Krümmung in der Mathematik und Physik Relativitätstheorie im Alltag Justus-Liebig-Universität Giessen, 2014 Dr. Frank Morherr
Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius, kleine Krümmung: - kleiner Radius, große Krümmung: Daher liegt nahe zu definieren: Krümmung k = 1/R
Wie passt die Gerade hier rein? Erdoberfläche ist gekrümmt, trotzdem hielt sich hartnäckig bis ins 15.Jh. die Ansicht einer Scheibe. Grund: Erdradius so groß, dass man Krümmung auf 1. Blick nicht sieht. Gerade ist Kreis mit großem Radius.
Krümmung anderer Kurven der Gestalt Differentialrechnung: y 3.75 Steigung Kurve = Steigung Tangente = 2.5 1.25 0 Krümmung Kurve = Krümmung des Krümmungskreises -2.5-1.25-1.25-2.5 0 1.25 2.5 x Maß hierfür: Was ist der Krümmungskreis? ghghg Annäherung von P und P auf P ergibt Krümmungskreis mit Radius
Krümmung mit Vorzeichen Mathematisch positive Richtung ist entgegen dem Urzeigersinn, daher Positiv = Linkskrümmung Steigung der Ableitung wächst Negativ = Rechtskrümmung Steigung der Ableitung fällt
Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen Für Kurven der Gestalt Beispiel Ellipse mit Parameter t gilt für die Krümmung
Herleitung der Krümmungsformel
Klothoide/Cornuspirale: Straßenbau versus Lichtausbreitung Die Klothoide (von griechisch κλώθω spinnen ), ist eine spezielle ebene Kurve, bis auf Ähnlichkeit eindeutig. Krümmung ist an jeder Stelle der Kurve proportional zur Länge ihres Bogens bis zu dieser Stelle. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale und Spinnkurve, da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die umsponnen wird). Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer ruckfreien Fahrdynamik, d.h. die Krümmung der Kurve ist eine stetige Funktion der Länge. Parameterdarstellung mittel Fresnelintegralen:
Klothoide in der Optik Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals.
Frenet-Kurven und das begleitende Dreibein
Schnittkrümmung von Flächen Schnitt von Flächen mit Ebenen ergibt Schnittkurven mit Krümmung Hauptkrümmungen = minimale und maximale Krümmung Satz von Meusnier: Abhängigkeit Krümmung von Winkel der Schnittebene: Krümmungskreise aller ebenen Schnitte durch dasselbe Linienelement, d.h. Punkt mit zugehöriger Tangentenrichtung der Fläche liegen auf einer Kugel Hauptkrümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.
Gaußsche Krümmung K Theorema Egregium: Gaußkrümmung K hängt nur von der Inneren Geometrie der Fläche ab, nicht von dem umgebenden Raum
Theorema Egregium von Gauß
Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt? Gauss, 1818: Messung der Winkelsumme im Dreieck Brocken-Inselsberg-Göttingen Erdkrümmung <1 Winkelsumme: 180 1 0 0 Winkelsumme: 180 1 Winkelsumme: 180 0 Messung durch Interferometer, z.b. Lisa (ursprünglich zum Nachweis von Gravitationswellen)
Gravitationswellen Gravitationswellen gehören zu den wenigen von der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Phänomenen, die bislang nicht direkt nachgewiesen werden konnten. 1974 entdecken amerikanischen Radioastronomen Russell Hulse und Joseph Taylor zwei sich eng umkreisende Pulsare (1913/16) von denen Sie Radiopulse mit äußerst genauer Periode empfingen. Dadurch eigneten sich die beiden Körper als sehr genau gehende kosmische Uhren. Für ein solches System sagt Allgemeine Relativitätstheorie merklichen Energieverlust durch die Abstrahlung von Gravitationswellen voraus. Als Folge davon müssten sich die beiden Sterne einander annähern und immer schneller einander umkreisen. Abnahme der Umkreisungsdauer konnten Hulse und Taylor aus der jahrzehntelangen Beobachtung der Radiopulse nachweisen.wert stimmt exakt mit der relativistischen Vorhersage überein.
Gravitationswellen sich umkreisender Pulsare 1974: Hulse/ Taylor, Pulsare (PSR 1913/16) Nobelpreis 1993
Mittlere Krümmung H Bei Minimalflächen = Flächen minimaler Oberfläche bei vorgegebenem Rand Beispiel: H = 0 Seifenhautgebilde Oberflächenenergie ist minimal
Bilder verschiedener Minimalflächen Enneperfläche Scherksche Fläche Katenoid Hennebergfläche
Geodäte ist lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche Teile von Geraden auf Ebenen Teile von Großkreisen auf Kugeln - Fluglinien Allgemein: Lösungen der Geodätengleichung Geodäten Hjjjk
Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik Gegeben Polyeder (Vielflach) e : Anzahl der Ecken k : Anzahl der Kanten f : Anzahl der Flächen Dann gilt Platonsche Körper Eulercharakteristik:
Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik Kugel Torus Brezelfläche
Mathematik im Fernsehen: Simpsons Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)
Satz von Gauß-Bonnet K : Gaußkrümmung M : Fläche : stückweiser glatter Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M : Außenschnittwinkel an Ecken des Randes Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der differential-geometrischen Größe Krümmung Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:
Beispiel 1 zur Gauß-Bonnet-Formel
Beispiel 2 zur Gauß-Bonnet-Formel
Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand K : Gaußkrümmung M : Fläche : glatter Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der differential-geometrischen Größe Krümmung
Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt: Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen Randkurven aus Geodäten bestehen, ist
Die hyperbolische Kreisscheibe Modell einer Geometrie mit unendlich vielen Parallelen durch einen Punkt zu einer vorgegebenen Geraden. Konstruktion Geodäten
Kunst von M. C. Escher
Der Riemannsche Krümmungstensor Auf gekrümmten Flächen ändern Vektoren nach Paralleltransport ihre Richtung. Einführung des Symbols als Ableitung des Vektorfeldes Y in Richtung des Vektorfeldes X Riemannscher Krümmungstensor: In lokalen Koordinaten:
Albert Einstein und das Universum Kurzbiographie: 1879 geboren 14. März in Ulm 1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich 1902 Patentamt in Bern 1905 spezielle Relativitätstheorie 1908 Habilitation 1915 Allgemeine Relativitätstheorie 1921 Nobelpreis 1933 Umzug nach Princeton 1955 Stirbt am 18. April
Einsteinsche Feldgleichung Ric : Riccitensor R : Skalarkrümmung, Spur von Ric, R = 2K, K G.-Krümmung T : Energie-Impuls-Tensor g : Metrik (Abstandsfunktion) Λ : Kosmologische Konstante Spezielle Lösung: Schwarzschildmetrik eines schwarzen Loches:
Die Schwarzschildmetrik
(mit Skalierung G = c = 1) Die Schwarzschildmetrik
Äußere Schwarzschildmetrik
Äußere Schwarzschildmetrik
Geometrie der Schwarzschildmetrik
Innere Schwarzschildmetrik
Innere Schwarzschildmetrik
Innere Schwarzschildmetrik
Spezielle Relativitätstheorie Raum + Zeit = Raumzeit Zeitdehnung Längenkontraktion Massenzuwachs
Nachweise der speziellen Relativitätstheorie
Herleitung von E=mc²
Paul Diracs Kunstgriff: Spin und Antimaterie aus der Relativitätstheorie (Nobelpreis 1933 mit E. Schrödinger))
Stern-Gerlach-Versuch: Nebelkammer mit eingebauter Bleiplatte zur Bestimmung der Flugrichtung und damit der Krümmungsrich tung Ladung
Allgemeine Relativitätstheorie Massen krümmen die Raumzeit, wodurch umlaufende Körper wie auf einer schiefen Ebene eine Kraft nach innen erfahren. Albert Einstein (1879-1955) Beschrieb Verhalten von Körpern unter Schwerkraft, doch Grund für deren Existenz fand er nicht. Isaac Newton (1643-1727)
Allgemeine Relativitätstheorie In großen Schwerefeldern vergeht die Zeit langsamer. Auf Neutronensternen könnte man seinen Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern herumläuft.
Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie Periheldrehung des Merkur Schwarze Löcher als Gravitationslinse Scheinbare Positionsänderung von Sternen bei totaler Sonnenfinsternis
Periheldrehung des Merkur Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen, so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit verschieben kann Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro Jahrhundert. Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt erklärt werden. Um das relativistische Ergebnis mit dem klassischen vergleichen zu können, rekapitulieren wir zunächst Newtons klassische Überlegungen.
Berechnung der Periheldrehung Klassisches Ergebnis
Ergebnis mittels Schwarzschildmetrik
Damit gilt:
Lichtablenkung
Einsteinlinsen, Einsteinkreuze und Anwendung
Zukunft des Universums Robertson-Walker-Metrik (Grundlage kosmologisches Prinzip: Dichte und Druck homogen und Weltall nach jeder Richtung isotrop)
Robertson-Walker-Metrik Weltmodelle Daraus resultierender Energie- Impuls-Tensor liefert Friedmannmodell mit und effektivem Potential Es gilt mit Heutiger Kosmos Einstein-de-Sitter Kosmos
Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50
Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben Global Position System (GPS)