4 Bemessung für Querkraft I. Danielewicz 4.1 Einführung In der DIN 1045-1 Ausgabe Juli 001 wurde ein einheitliches Nachweisverfahren zur Querkraftbemessung von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen, für alle Schubbeanspruchungsarten und für alle Betonarten vorgeschlagen. Im Nachweisverfahren werden einwirkende und die widerstehende Kräfte verglichen. Sie werden wie in den bisherigen Verfahren prinzipiell an einem ebenem Fachwerk ermittelt. Die indirekte Nachweise über einen Vergleich von Schubspannungen, wie sie die DIN 1045 1988 enthielt, finden keine Anwendung mehr. Eine von der Beanspruchungshöhe abhängige Neigung der Schubrisse geht in die Bemessung explizit ein. Sie wird nicht mehr in Form von Schubbereichen verschlüsselt und trägt somit zum besseren Verständnis der zu führenden Nachweise bei. Die Regelungen zur Querkraftbemessung beinhalten keine Nachweise auf dem Niveau der Gebrauchslasten. Eine rechnerische Begrenzung der Hauptzugspannungen oder der Breite der Schubrisse wird nicht gefordert. Darüber ob und wie viel Querkraftbewehrung einzubauen ist, entscheidet Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Regelungen zur baulichen Durchbildung. 4. Nachweisformat Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ist für den Grenzzustand der Tragfähigkeit zu führen. Die Einwirkungen und die Widerstände gehen mit ihren Bemessungswerten ein. Das allgemeine Nachweisformat lautet: VEd V Rd (1) V Ed V Rd Bemessungswert der einwirkenden Querkraft Bemessungswert des Querschnittswiderstandes gegen Querkraft Für den Bauteilwiderstand V Rd werden drei Bemessungswerte der Querkraft definiert, die den verschiedenen Brucharten und Versagensmechanismen entsprechen: V Rd,ct V Rd,st V Rd,max aufnehmbare Querkraft eines längsbewehrten Bauteils ohne Querkraftbewehrung, aufnehmbare Querkraft eines Bauteils mit Querkraftbewehrung, Begrenzung der Tragfähigkeit durch das Versagen der bis auf die Streckgrenze beanspruchten Querkraftbewehrung (Zugstrebenversagen), aufnehmbare Querkraft bedingt durch die Tragfähigkeit des Stegbetons, Begrenzung der Tragfähigkeit durch das Versagen der Druckstrebe. Prof. Dr.-Ing. I. Danielewicz, Hochschule Magdeburg-Stendal, Fachbereich Bauwesen IV-1
Bleibt die einwirkende Querkraft unter dem V Rd,ct Wert, ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich. Der Index ct weist darauf hin, dass für diesen Bauteilwiderstand die Betonzugfestigkeit f ct eine entscheidende Rolle spielt. Die Überprüfung V Ed < V Rd,ct ist jedoch nur für Flächentragwerke sinnvoll. Da bei stabförmigen Bauteilen immer eine Mindestbewehrung einzulegen ist (siehe Kap. 4.9), kann die o.g. Überprüfung des V Rd,ct Wertes entfallen, der Bemessungswert V Rd,st wird maßgebend. Ist die Schubbewehrung erforderlich (V Ed > V Rd,ct ), muss sie die gesamte Querkraft aufnehmen. Ein Abzugsglied für die Betonschubtragfähigkeit (wie im Standardverfahren des Eurocode ) gibt es nicht. Der Betonbeitrag wird über entsprechende Festlegung zur Neigung der Druckstrebe berücksichtigt. Bei Balken ist die Überprüfung der Tragfähigkeit der Druckstrebe V Rd,max nur bei hohen Beanspruchungen notwendig. Sie liegt nach [8] vor mit; V Ed > 0,46 b w z α c f cd V Ed > 0,40 b w z α c f cd für Bauteile ohne Längsdruckkraft für Bauteile mit Längsdruckkraft Die Querkraftnachweise für Bauteile ohne und mit Schubbewehrung basieren auf zwei völlig unterschiedlichen Lastabtragungsmodellen. Die Nachweisgleichungen für Bauteile ohne Schubbewehrung basieren auf einer empirischen Beziehung mit mechanischem Hintergrund - Kammmodell, und gelten für gerissenen Bauteile. Nachweisgleichungen für Bauteile mit Schubbewehrung sind an einem parallelgurtigem Fachwerkmodell mit lastabhängig geneigten Druckstrebe abgeleitet worden. Einen fließenden Übergang zwischen den beiden Modellen gibt es nicht. 4.3 Bemessungswert der einwirkenden Querkraft V Ed In dem am häufigsten vorkommenden Fall einer direkten Lagerung und einer gleichmäßig verteilten Belastung darf zur Berechnung der Schubbewehrung der Bemessungswert der Querkraft V Ed in einer Entfernung d vom Auflagerrand ermittelt werden, (nach DIN 1045/88 im Abstand d/). Bei einer indirekten Lagerung ist die Querkraft am Anschnitt des Hauptträgers maßgebend. (Eine indirekte Lagerung liegt vor, wenn die Einbindung in den Hauptträger nicht oberhalb seiner Schwerpunktlinie erfolgt) Die Bemessung der Druckstrebe erfolgt immer mit dem Bemessungswert der Querkraft am Auflagerrand. d Tragwerk F cd d indirekte Lagerung V Ed für Druckstrebennachweis System und Querkraftlinie V Ed für Querkraftbewehrung V Ed für Querkraftbewehrung und für Druckstrebennachweis Bild 1: Bemessungsschnitte für Querkraftnachweise, direkte / indirekte Lagerung IV-
Bei Einzellasten, die in einem Abstand x,5d vom Auflagerrand wirken, darf auf Grund der direkten Lastabtragung der Einzellast über die Druckstrebe bei der Ermittlung der Schubbewehrung der Querkraftanteil aus der Einzellast mit dem Beiwert β abgemindert werden: x β (),5 d Die Bemessung zwischen linkem Auflager und Schnitt x erfolgt mit der abgeminderten Querkraft, rechts der Einzellast ist β 1 zu setzen. Für die Bemessung der Druckstrebe darf keine Abminderung vorgenommen werden. x β 1 0,5d V Ed,links - für Druckstrebennachweis β V Ed,links - für Querkraftbewehrung Bild : Maßgebende Querkraft bei auflagernahen Einzellast Bei Bauteilen mit veränderlicher Querschnittshöhe verlaufen die Druck- und Zuggurtkräfte aus Biegung nicht parallel zur Bauteilachse. Deren vertikale Komponenten wirken in Querkraftrichtung. Sie können den aufzunehmenden Bemessungswert der Querkraft vergrößern oder verringern. Die gleiche Auswirkung ergibt sich aus Anordnung von geneigten Spanngliedern. Die maßgebende Querkraft unter Berücksichtigung alle Querkraftkomponenten ergibt sich zu: mit: V Ed V V V V (3) Ed 0 ccd td pd V Ed Bemessungswert der einwirkenden Querkraft V Ed 0 Grundbemessungswert der auf den Querschnitt einwirkenden Querkraft V ccd Querkraftkomponente der Betondruckkraft parallel zu V Ed Vccd ( Fcd + Fsd ) tanψ o ( M Eds / z) tanψ o V td Querkraftkomponente der StahlzugkraftF sd1 parallel zu V Ed Vtd Fsd1 tanψ u ( M Eds / z + N Ed ) tanψ u V pd Querkraftkomponente der Spannstahlkraft F pd im GZdT V F sinϕ pd pd p IV-3
ψ o Neigung der Bauteiloberkante V Ed0 V Ed (V pd im Bild nicht dargestellt) Bild 3: Querkraftkomponenten bei geneigten Bauteilkanten Die Auswirkung der Gurtneigung ist günstig (Verringerung der aufzunehmenden Querkraft, V Ed < V Ed0 ), wenn mit zunehmendem Biegemoment die Bauteilhöhe anwächst. 4.4 Bauteile ohne Querkraftbewehrung In Bauteilen ohne Schubbewehrung ist die Schubtragfähigkeit des Querschnittes im wesentlichen auf Rissreibung (F k ), Dübelwirkung der Längsbewehrung in der Zugzone (F Dü ), Schubspannungen der Druckzone (V cd ) sowie die Einspannung der Betonzähne in der Druckzone zurückzuführen. Als Berechnungsgrundlage dient ein kammartiges Lastabtragungsmodell (Bild 4). Danach versagt der Querschnitt infolge der Überschreitung der Betonzugfestigkeit an der Einspannung der Betonzähne in Verbindung mit Verringerung der Rissverzahnung infolge fortschreitender Rissöffnung. Die gegebenenfalls vorhandenen Längsdruckkräfte wirken der Rissöffnung entgegen und begünstigen hiermit das Schubtragverhalten des Bauteils. Die Überschreitung der Tragfähigkeit führt zum plötzlichen Versagen. V cd1 V cd f ct Fs1 F Dü1 F k1 F k F Dü F s1 + F s1 Bild 4: Tragmodell für Querschnitt ohne Querkraftbewehrung Die Tragfähigkeit des biegebewehrten Querschnittes ohne Schubbewehrung wird in DIN 1045-1 mit V Rd,ct beschrieben. Überschreitet die aufzunehmende Querkraft den V Rd,ct Wert nicht, ist rechnerisch keine Schubbewehrung erforderlich. Bei Balken und einachsig gespannten Platten mit b/h < 5 ist jedoch eine Mindestschubbewehrung (Kap. 4.9) stets vorzusehen. VEd V Rd,ct keine Querkraftbewehrung erforderlich (4) IV-4
Die Schubtragfähigkeit eines biegebewehrten Bauteils ohne Querkraftbewehrung kann wie folgt ermittelt werden: V Rd,ct 3 ( 100 ρ f ) 1 / 0,1 ] b d [ η 0,10 κ σ (5) 1 1 ck cd w mit: η 1 1,0 für Normalbetone ρ η 1 0,40 + 0,60 für Leichtbetone mit Rohdichte ρ [kg/m 3 ] 00 κ Maßstabsfaktor zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe 00 κ 1 +,0 (d in mm) d A ρ 1 1 s 0, 0 Längsbewehrungsgehalt bw d A s1 Querschnittsfläche der Zugbewehrung, die Mindestens um das Maß d über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird und dort verankert wird Bild 4: Anrechenbare Biegezugbewehrung A s1 σ cd N Ed Betonlängsspannung in der Schwerpunktlinie des Querschnittes [MN/m ] Ac N Ed Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Einwirkung oder Vorspannung (N Ed < 0 als Längsdruckkraft) b w kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone bei Querschnitten mit verpressten Spanngliedern Σ dh bw / 8 muss w mit b w,nom ersetzt werden; b w,nom b w - 0,5 Σd h bis C50/C60 bzw. LC50/55 b w,nom b w - 1,0 Σd h ab C55/C67 bzw. LC55/60 d h äußerer Hüllrohrdurchmesser, bei Querschnitten mit nicht verpressten Spanngliedern Σ d b / 8 gilt b w,nom b w - 1,3 Σd h In der Gleichung (5) wird mit dem Ausdruck (f ck ) 1/3 die Einspannung der Betonzähne in der Biegedruckzone berücksichtigt (proportional zu der Betonzugfestigkeit). Die Dübelwirkung der Biegezugbewehrung wird mit dem Faktor (100ρ l ) 1/3 erfasst. Der Maßstabsfaktor κ steht für die abnehmende Schubtragfähigkeit des Betonquerschnittes mit wachsenden Querschnittshöhe. Mit dem Faktor 0,1 werden die Mittelwerte des Versuchergebnisse an querkraftbeanspruchten Bauteilen auf das Niveau der Bemessungswerte umgerechnet. Ein Vergleich zeigt, dass die Schubtragfähigkeiten der DIN 1045-1 niedriger ausfallen als die der DIN 1045-88. h w IV-5
4.5 Bauteile mit Querkraftbewehrung Die Querkraftbemessung biegebeanspruchte Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt auf der Grundlage des Fachwerkmodells. Die schrägen Betonzähne und die Biegedruckzone stellen die Druckstreben des Fachwerkes dar, die Zugkräfte werden der Biegezug- und Querkraftbewehrung zugewiesen. Die Neigung der Querkraftbewehrung und die der Druckstreben darf im vorgegebenen Bereich frei gewählt werden. entnommen aus Leonhardt, Vorlesung über Massivbau Teil 1 z cotθ z cotα V Ed α Neigung der Schubbewehrung θ Neigung der Druckstrebe c Breite der Zugstrebe F swd c Breite der Druckstrebe F cwd c c sin θ z(cotθ+cotα) sin θ s w Bügelanstand in Längsrichtung F cwd Druckstrebenkraft F swd Zugstrebenkraft F cwd V Ed c/z II F swd Zugstrebe: F swd V Ed /sinα F swd a sw f ywd c A sw /s w f ywd z(cotθ+cotα) Druckstrebe: F cdw V Ed /sinθ [MN] F cdw σ c b w c σ c b w z(cotθ+cotα) sinθ Bild 5: Fachwerkmodell für Bauteile mit Querkraftbewehrung Die DIN 1045-1 verlangt ein Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit der Zug- und der Druckstrebe des gedachten Fachwerkes: VEd V Rd,sy V Rd,sy VEd V Rd,max V Rd,max Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit bedingt durch das Versagen der Schubbewehrung (Zugstrebennachweis) Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit bedingt durch das Versagen des Beton auf Druck (Druckstrebenversagen) Mit den im Bild 5 dargestellten Beziehungen lassen sich die nachstehenden Gleichungen (6) und (8) aufstellen. IV-6
In dem allgemeinen Fall der Bauteile mit geneigter Querkraftbewehrung ergibt sich für die gewählten Neigungswinkel α und θ die Querkrafttragfähigkeit V Rd,sy zu: Asw VRd,sy f yd z (cotθ + cotα ) sinα (6) s w Die einwirkende Querkraft V Ed wird voll der Schubbewehrung zugewiesen, V Ed V Rd,sy. Ein Abzugsglied für die Übertragung eines Teils der Querkraft über die Rissreibung wird hier nicht explizit berücksichtigt. Dies erfolgt über eine entsprechnde Neigung der Druckstebe nach Glg. (10). Nach Gleichsetzen V Ed V Rd,sy erhält man folgenden Ausdruck für den Querschnitt der Querkraftbewehrung: a sw Asw VEd (7) s f z (cotθ + cot α ) sinα w yd mit A sw Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung s w Abstand der geneigten Bewehrung in Richtung der Bauteilachse z Hebelarm der inneren Kraft: z 0,9 d d - c nom,druckzone α Neigung der Querkraftbewehrung gegen die Bauteilachse θ Winkel zw. Druckstrebe und Bauteilachse (θ θ Glg.10 ) Die maximale, durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe bestimmte, aufnehmbare Querkraft V Rd,max erhält man aus: cotθ + cotα VRd,max bw z αc fcd (8) 1 + cot θ mit α c 0,75 η 1 Abminderung der Druckfestigkeit der Betonstrebe infolge Querzugbeanspruchung durch Bügelbewehrung η 1 siehe Erläuterung zu Glg. (5) mit 1 /(1+ cot θ ) sin θ ergibt sich V Rd,max zu: V Rd,max ( cotθ + cotα ) sin θ b z α f (9) w Druckstrebenneigung: Bei niedrigen Beanspruchungen stellen sich in Stahlbetonbalken flachere Schubrisse und somit auch Druckstrebenfelder als bei hohen Beanspruchungen ein. Eine flachere Druckstrebe ergibt im Fachwerk geringere Zugpfostenkräfte und somit eine geringere erforderliche Schubbewehrung als steile Druckstrebe. Die Entlastung der Zugpfosten bei niedriger Beanspruchung wurde in der DIN 1045-88 durch die s.g. verminderte Schubdeckung im Schubbereich 1 und berücksichtigt. Im Schubbereich 3 -hohes Beanspruchungsniveau- war volle Schubdeckung vorgeschrieben. In der DIN 1045-1 wird der Einfluß der Druckstrebenneigung bei der Bemessung explizit berücksichtigt werden. Die Neigung θ ist abhängig vom Verhältnis der Betonlängsspannung zu Betondruckfestigkeit (σ cd /f cd ) und vom Verhältnis des Betontragteils zur einwirkenden c cd IV-7
Querkraft (V Rd,c /V Ed ). V Rd,c entspricht der vertikalen Komponente der Reibungskraft im Schubriss, (sie soll nicht mit der V Rd,ct nach Glg. (5) verwechselt werden). Der Querkraftanteil V Rd,c nimmt mit zunehmenden Längsdruck ab, was auf flachere Rißneigung zurückzuführen ist. Die Neigung der Druckstrebe darf letztendlich im folgenden Bereich gewählt werden: 0,58 cot 1, 1,4 σ / f 3 für Normalbeton cd cd θ (10) 1 VRd,c / VEd für Leichtbetone θ 60 θ 18,5 bzw. θ 6,5 mit: V 0,10 f 1 / 3 σ cd Rd,c β ct η1 ck 1 + 1, bw z f (11) cd β ct,4, für η 1 siehe Erläuterung zu Glg. (5) σ cd N Ed /A c Betonlängsspannung in der Schwerpunktlinie des Querschnittes (Druck negativ) Der Wert θ 18,5 entspricht dem Druckstrebenneigungswinkel bei Bauteilen mit Mindestbewehrung, θ 45 sollte nach [7] nur in Ausnahmefällen verwendet werden. Bei zugbeanspruchten Bauteilen sollte cot θ 1 eingehalten werden. In dem Standardfall der Bauteile mit vertikaler Schubbewehrung (α 90 ) vereinfachen sich die Gleichungen (6) bis (9) zu: V Rd,sy Asw f yd z cotθ (1) s w a sw Asw VEd (13) s f z cotθ w yd und V Rd,max bw z α c f cd (14) cotθ + tanθ In diesem Fall (α 90 ) dürfen vereinfachend für cot θ in Gleichungen (1) und (13) folgende Werte angesetzt werden: reine Biegung cotθ 1, Biegung mit Längsdruckkraft cotθ 1, Biegung mit Längszugkraft cotθ 1,0 Den Zusammenhang zwischen der erforderlichen Schubbewehrung, dem Druckstrebneigungswinkel und der Beanspruchungshöhe für Bauteile aus Beton C0/5 ohne Längsdruckkräfte zeigt das aus [7] entnommene Bild 6. Die Druckstrebenneigung nimmt mit zunehmender Beanspruchung zu. IV-8
Bild 6: Zusammenhang zwischen Beanspruchungsniveau und Druckstrebenneigung Bild 7 zeigt ein dimensionsloses Bemessungsdiagramm für lotrechte Bügelbewehrung für Bauteile ohne Längskräfte nach [8]. Eine Mindestbewehrung ist hier bereits berücksichtigt. Bild 7: Bemessungshilfe für Bauteile mit lotrechter Bügelbewehrung nach [8] IV-9
4.6 Anschluss von Zug- und Druckgurten an Stege Bei stark gegliederten Querschnitten (Plattenbalken und Hohlkastenquerschnitten) werden wesentliche Anteile der Gurtkräfte in die Flansche eingeleitet. Diese sind mit den Stegen schubfest zu verbinden. Die Größe der in einen Flansch eingeleiteten Druckkraft entspricht in etwa dem Flächenanteil des Flansches in der Druckzone, die Größe der Zugkraft dem Anteil der in den Flansch ausgelagerten Biegezugbewehrung. Die Modellierung der Kraftausbreitung in den Gurten erfolgt an einem räumlichen Fachwerk, Bild 8. Nachzuweisen ist, dass die Druckstreben und Zugpfosten des im Gurt liegenden Fachwerkes die Beanspruchung aufnehmen können. a v M Ed M Ed a v a v b eff, θ f b eff,1 Druckstrebe im Steg Druckstreben im Druckgurt Zugstreben Bild 8: Gurtfachwerk zur Modellierung der Krafteinleitung in den Druckflansch Die Längsschubkraft V Ed, die durch eine Fuge zwischen dem Steg und dem einseitigen Gurt übertragen werden muss, entspricht der in den Gurt eingeleiteten Längsdifferenzkraft F d. Bei reiner Biegung wird F d auf der Strecke zwischen Momentennullpunkt und Momentenhöchstwert eingeleitet und lässt sich für einen Druckgurt wie folgt ausdrücken: F d M A M b Ed c,gurt Ed eff,i Fcd VEd (15) z A z b Druckzone A c,gurt A Druckzone b eff,i b eff Fläche des einseitig angeschlossenen Gurtes Druckzonenfläche mitwirkende Breite des angeschlossenen Flansches Gesamtbreite der Druckzone IV-10
Der bei dem Anschluss des Zuggurtes auftretende Längsschub lässt sich sinngemäß angeben: M A Ed s1,gurt F d Fsd VEd (16) z A A s1,gurt A s1 s1 in den Gurt ausgelagerte Biegezugbewehrung gesamter Bewehrungsquerschnitt b eff b eff,1 b w b eff, a sw A s1,gurt x d d x Bild 9: Bezeichnungen für Druck- und Zuggurt Im rechnerischen Nachweis des Anschlusses muss die Einleitung des Längsschubs innerhalb einer Einleitungslänge a v von höchstens dem halben Abstand zw. Momentennullpunkt und Momentenhöchstwert nachgewiesen werden. a v entspricht der Länge des Bereiches auf dem der Längsschub in etwa konstant bleibt. In der Bemessung wird F d den aufnehmbaren Kräften gegenübergestellt, die (bei orthogonaler Gurtbewehrung) mit Hilfe der Gleichungen (1) bis (14), durch einsetzen b w h f und z a v, errechnet werden können. Hiermit ergibt sich: h f av α c f cd V Rd,max cotθ + tanθ (17) näherungsweise: cotθ 1, für Druckgurte, cotθ 1,0 für Zuggurte Asw VRd,sy f yd s z cotθ (18) w bzw. a sw Asw VEd (19) s f a cotθ w yd vd Die Bewehrung soll gleichmäßig auf die Ober- und Unterseite des Flansches verteilt werden. Die Norm erlaubt die volle Anrechnung der Querbiegebewehrung des Flansches auf die Bewehrung zur Aufnahme der Gurtanschlusskräfte. Bei einer genaueren Berechnung kann die Neigung der Druckstrebe θ f des im Flansch liegenden Fachwerkes (θ in Glg. (17) - (19)) mit Hilfe der Gleichung (10) ermittelt werden. Hierbei IV-11
ist als σ cd in Glg. (11) bzw. Glg.(19a) die mittlere Spannung in dem angeschlossenen Gurt innerhalb von a v anzusetzen, also mindestens 0,5 F d / (b eff,i h f ). VRd,c 1 / 3 σcd βct 0,10 η1 fck 1+ 1, hw av f cd (19a) 4.7 Schubübertragung in Fugen (Fugen parallel zur Systemachse) 4.7.1 Allgemeines Bei Verwendung von Fertigteilen, Teilfertigteilen mit Ortbetonergänzung sowie bei abschnittsweiser Herstellung von Bauteilen wird gegen bereits erhärteten Beton betoniert. Bei einer Biegebeanspruchung diese Bauteile müssen die Fugen Schubkräfte übertragen. a) b. Betonierabschnitt b) c) v Ed v Rd Fuge Verbundbewehrung v Ed < v Rd Bild 10: Längsfuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzung a) Plattenbalken b) π-platte c) Schubbeanspruchung der Fuge Für die Übertragung der Kräfte in der Fuge ist ihre Rauigkeit entscheidend. In der Norm wird zwischen vier Fugenrauigkeiten unterschieden: - sehr glatt Beton gegen Holz oder Stahlschalung betoniert - glatt Frischbetonoberfläche wird abgezogen, im Gleit- oder Extrudierverfahren hergestellt, oder bleibt nach dem Verdichten unbehandelt - rau Betonoberfläche weist eine definierte Rauigkeit gemäß DAfStb- Heft 55 auf, ist künstlich aufgeraut R t > 0,9 mm mittlere Rautiefe nach Sandflächenverfahren von Kaufmann R p > 0,7mm maximale Profilkuppenhöhe, siehe DAfStb Heft 456 - verzahnt Betonoberfläche weist eine Verzahnung nach Bild 11 auf oder das Korngerüst wurde z.b. durch Strahlen freigelegt. Verankerung der Verbundbewehrung Bild 11: a) Ausbildung einer verzahnten Fuge b) Rauigkeitsparameter [7] IV-1
4.7. Schubbeanspruchung in der Fuge Die über die Fuge zu übertragende Schubkraft pro Längeneinheit ergibt sich aus: Fcdj VEd ν Ed (0) Fcd z dabei ist: M F cd Ed die gesamte Gurtlängskraft infolge Biegung in dem betrachteten Schnitt z F cdj die über die Fuge zu übertragende Gurtlängskraft infolge Biegung (liegt die Druckzone vollständig jenseits der Fuge, gilt F cdj F cd ) 4.7.3 Fugen ohne Verbundbewehrung Bei niedriger Beanspruchung der Schubfuge und ausreichender Fugenrauigkeit, kann auf die Verbundbewehrung (auch auf konstruktive Bewehrung) in der Fuge verzichtet werden. Die Schubtragfähigkeit der Fuge ohne Verbundbewehrung v Rd,ct ergibt sich aus einem Haftverbund- und Rissreibungsanteil und wird nach Glg. (1) wie folgt ermittelt: v Rd,ct 3 [ 0,04 β f ] 1 / µ b η σ (1) 1 ct ck Nd mit η 1 1 für Normalbetone, für Leichtbetone siehe Glg. (5) β ct Rauigkeitsbeiwert nach Tabelle 1 f ck charakteristische Betondruckfestigkeit des Ortbetons oder des Fertigteils, der kleinere Wert ist maßgebend µ Reibungsbeiwert nach Tabelle 1 σ Nd Normalspannung senkrecht zur Fuge (als Druckspannung negativ) ned σ Nd b 0,6 fcd [MN/m ] n Ed unterer Bemessungswert der Normalkraft senkrecht zur Fuge (vgl. Bild 11) b die Breite der Kontaktfläche Wirkt senkrecht zur Fuge eine Zugkraft, so ist bei glatten und rauen Oberflächen der Rauigkeitsbeiwert β ct zu Null zu setzen. Tabelle 1: Beiwerte β ct und µ Oberfläche β ct µ verzahnt,4 1,0 rau,0 0,7 Glatt 1,4 0,6 Sehr glatt 0 0,5 IV-13
4.7.4 Fugen mit Verbundbewehrung Kann auf die Verbundbewehrung in der Fuge nicht verzichtet werden, muss sie die gesamte Beanspruchung aufnehmen. Eine Entlastung infolge Reibung darf hierbei berücksichtigt werden. σ Nd F cdw α µ σ Nd b σ cd θ v Rd F sdw Bild 1: Fachwerkmodell für den Nachweis der Schubfuge Die in der Verbundbewehrung auftretenden Kräfte können anhand des Fachwerkes im Bild 1 ermittelt werden. v a f (cotθ + cotα ) sinα µ σ b () Rd,sy s yd oder direkt die erforderliche Verbundbewehrung: v Ed µ σ Nd b as (3) f (cotθ + cotα ) sinα yd mit α Winkel der die Fuge kreuzenden Bewehrung a s Querschnittsfläche der Verbundbewehrung je Längeneinheit Die Druckstrebenneigung θ ist in dem durch Glg. (4) vorgegebenen Bereich zu wählen 1,µ 1,4 σ cd / fcd 1,0 cotθ 3 für Normalbeton 1 vrd,ct / ved für Leichtbetone (4) mit v Rd,ct nach Glg. (1) und σ cd Längsnormalspannung parallel zur Fuge im Gesamtquerschnitt (Heft 55) Die nach Gleichung (3) ermittelte Verbundbewehrung darf bei biegebeanspruchten Bauteilen entsprechend dem Verlauf der Schubkraftlinie abgestuft werden. Die Länge des Einschnittes in die Verbundkraftlinie l E sollte l E 0,5 cotθ d nicht überschreiten, wobei ein Flächenausgleich innerhalb von l E erfolgen muss. Bei Bauteilen unter Scheibenbeanspruchung darf sie konzentriert an den Enden der Fuge angeordnet werden. Nd v Ed a s f yd (cotθ + cotα) sinα -µ σ Nd b Bild 13: Schubkraftlinie und Verteilung der Verbundbewehrung IV-14
4.8 Schubübertragung über Fugen rechtwinklig zur Systemachse (Arbeitsfugen) Eine rechtwinklig zur Systemachse angeordnete Fuge wirkt sich ähnlich wie ein Biegeriss aus. Die Querkraftnachweise können daher grundsätzlich nach Glg. (5) bis (11) erfolgen. Bei Fugen geringerer Rauhigkeit (siehe β ct in Tab. 1) ist der Betontragteil bei Querkraftübertragung entsprechend kleiner. Im Heft 55 [7] wird empfohlen, die Schubtragfähigkeit des Querschnittes ohne Querkraftbewehrung V Rd,ct nach Glg. (5) und die vertikale Komponente der Rissreibungskraft V Rd,c nach Glg. (11) im Verhältnis β ct,vorh /,4 abzumindern. Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung ist die Abminderung mindestens bis zum Abstand von l e 0,5 cotθ d beiderseits der Fuge vorzunehmen. 4.9 Konstruktionsregeln für querkraftbewehrte Bauteile Im Bezug auf die Ausbildung, Anordnung, Schließung der Bügelbewehrung und sonstigen Schubzulagen entsprechen die neuen Regelungen den bekannten Grundsätzen der DIN 1045/88. Sie werden hier vollständigkeitshalber wiederholt. Veränderungen ergeben sich im Bezug auf die Mindestbewehrung und die einzuhaltenden Bügelabstände (4.9. und 4.9.3). 4.9.1 Querkraftbewehrung Die Querkraftbewehrung soll mit der Schwerlinie des Bauteils einen Winkel von 45 bis 90 bilden. Sie darf aus der Kombination folgender Bewehrungen bestehen: - Bügeln, die Längsbewehrung und die Druckzone umfassen - Schrägstäben, - Schubzulagen wie Leiter und Körber, die die Längsbewehrung nicht umschließen. Bei Balken dürfen Schrägstäbe und Schubzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Bügelbewehrung muss dabei mindestens 50% der erforderlichen Schubbewehrungsfläche ausmachen. Bild 14: Beispiel für Kombination von Bügeln und Querkraftzulagen. IV-15
Das Bild 15 enthält die Regelungen zur Schließung der Bügelbewehrung in der Druck- und Zugzone. Die Verankerungselemente in der Druckzone müssen zwischen dem Schwerpunkt der Druckzone und dem Druckrand angeordnet werden, in der Zugzone möglichst nah am Zugrand. Die Bügeln müssen die Zugbewehrung umschließen. 4.9. Mindestbewehrung Zur Vermeidung des Schubversagen ohne Ankündigung ist bei stabförmigen Bauteilen eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Der Bewehrunggrad ergibt sich aus der Forderung, dass die Schubrisslast des Betonquerschnittes mit einfacher Sicherheit von Mindestbewehrung aufgenommen werden muss. Bei Platten (b/h > 5) ohne statisch erforderlicher Querkraftbewehrung kann aufgrund derren Umlagerungsmöglichkeiten auf die Mindestbewehrung verzichtet werden. Eine lokale Schwächung der Schubtragfähigkeit Die Mindestbewehrung für Balken wird über den geometrischen Bewehrungsgehalt min ρ w definiert. Der vorhandene Bewehrungsgehalt ρ w darf min ρ w nicht unterschreiten. ρ w Asw min ρ w s b sinα 1,0 ρ nach Tabelle (5) w w f ck [MN/m ] 1 16 0 5 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 ρ [ o / oo ] 0,51 0,61 0,7 0,83 0,93 1,0 1,1 1,1 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,6 1,66 für Leichtbetone müssen die ρ - Werte mit Faktor η 1 (vgl. Glg. (5)) multipliziert werden Tabelle : Grundwerte ρ der Mindestbewehrung Die Mindestschubbewehrung im Übergangsbereich zwischen Balken (b/h 4) und Platte (b/h 5) ist gesondert geregelt. Im Bereich 5 > b/h > 4 ist eine Mindestbewehrung erforderlich, die: - bei Platten ohne rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung zwischen dem nullfachen und dem einfachen Wert, - bei Platten mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung (V Ed > V Rd,ct ) zwischen dem 0,6fachen und dem einfachen Wert der Mindestbewehrung nach Glg. (5) interpoliert werden darf. Die Mindestdicke einer querkraftbewehrten Platte ist auf 160 mm begrenzt. (Der Eurocode legte hierfür eine Mindestplattendicke von h 00 mm fest). IV-16
4.9.3 Bügelabstände bei stabförmigen Bauteilen Die Abstände der Bügelschenkel in Bauteillängs- und Querrichtung sind abhängig von der Beanspruchungshöhe die über den Quotienten der Einwirkung V Ed und maximalen aufnehmbaren Querkraft V Rd,max nach Glg. (10) ausgedrückt wird. Die zulässigen Werte sind in der Tabelle 3 angegeben. Tabelle 3: Größte Längs- und Querabstände s max von Bügelschenkeln und Querkraft- Zulagen für Balken 4.9.9 Abstände der Querkraftbewehrung bei Platten In Platten mit V Ed 0,30 V Rd,max V Ed > 0,30 V Rd,max darf die Querkraftbewehrung vollständig aus Schrägstäben oder Querkraftzulagen bestehen muss mindestens die Hälfte der Querkraftbewehrung aus Bügeln bestehen. Für den größten Längs- und Querabstand von Bügeln gilt: a) in Längsrichtung: - für V Ed 0,30 V Rd, max s max 0,7 h - für 0,30 V Rd, max V Ed 0,60 V Rd, max s max 0,5 h - für V Ed > 0,60 V Rd, max s max 0,5 h b) in Querrichtung: Der größte Längsabstand von Schrägstäben ist s max h s max h IV-17
Bild 15: Verankerungen und Schließen von Bügeln [7] IV-18
4.10 Schubübertragung in Fugen bei Verwendung von Gitterträgern 4.10.1 Allgemeines Bei der bauaufsichtlichen Einführung der DIN 1045: 001.07 wurde ein Mischungsverbot ausgesprochen, wonach das komplette Tragwerk entweder nach neuem oder nach altem Normwerk zu planen und auszuführen ist. Die Grundlage für die bauaufsichtliche Zulassung für Gitterträger ist jedoch die DIN 1045: 1988-07, so dass bei der Planung nach dem neuen Normwerk die Gitterträger nicht verwendet werden dürften. Um deren Verwendung zu ermöglichen, wurden bestehende Gitterträger-Zulassungen entsprechend erweitert [9]. Die nachstehend beschriebenen Festlegungen sind zeitlich beschränkte Übergangsregelungen, die ihre Gültigkeit bis zur vollständigen Umstellung der allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassungen für Gitterträger auf DIN 1045: 001-07 behalten. Im Rahmen dieses Aufsatzes wird nur auf die Regelungen für Gitterträger in Elementdecken unter vorwiegend ruhender Belastung eingegangen. 4.10. Schnittgrößenermittlung und Betonstahleigenschaften Bei Verwendung von Gitterträgern dürfen die Schnittgrößen nur nach elastischen Verfahren, gegebenenfalls mit anschliessenden Schnittgrößenumlagerung, ermittelt werden. Verfahren der Plastizitätstheorie sowie nicht lineare Verfahren sind zumindest bis zur kompletten Umstellung der Zulassungen nicht erlaubt. Bei Ausführung von zweiachsig gespannten Platten ergeben sich unterschiedliche statische Höhen für die im Fertigteil und im Ortbeton liegenden Bewehrungslagen. Dieser Unterschied darf bei der Schnittgrößenermittlung außer Acht gelassen werden, wenn der lichte Abstand der beiden Längsbewehrungslagen geringer als 5 cm oder h/10 beträgt (der größere Wert ist maßgebend). Die Drillsteifigkeit der Platten kann bei Schnittgrößenermittlung in Ansatz gebracht werden, wenn im Bereich der Drillmomente (0,3l x x 0,3l x von Plattenecke) keine Stoßfuge der Filigranplatten angeordnet wird oder wenn die Fuge durch eine Verbundbewehrung im Abstand von maximal 100 mm vom Fugenrand gesichert wird. Die Aufnahme der Drillmomente ist rechnerisch nachzuweisen. Glatte und profilierte Betonstähle dürfen rechnerisch als Biegezugbewehrung nicht angesetzt werden. Der Grund hierfür sind die gegenüber den Rippenstahl schlechteren Verbundeigenschaften und damit verbundenen Rissbreiten, die durch Konstruktionsregeln der DIN 1045-1 nicht abgedeckt sind. Der Bemessungswert der Streckgrenze für Schubbewehrung aus Stählen mit glatter Oberfläche ist anzusetzen mit: 40 f yd 365MN / m 1,15 IV-19
4.10.3 Montagestützweiten Die in Zulassungsbescheiden angegebenen Montagestützweiten sind weiterhin gültig. Zu beachten ist, dass die in den Zulassungen angegebenen Schnittgrößen für Gebrauchslasten mit γ F 1 gelten. 4.10.3 Biegebemessung und Bewehrungsstöße Bei Fertigteilen mit Ortbetonergänzung muss der Aufbeton eine Mindeststärke von 50 mm ausweisen. Die Besonderheiten bei der Schnittgrößenermittlung wurden bereits unter 4.10. angesprochen. Die Biegebemessung wird für einen monolithischen Querschnitt durchgeführt. Die statische Höhe ist entsprechend der Lage der Biegezugbewehrung anzupassen. Bei einachsig gespannten Decken darf die Querbewehrung auf der Filigranplatte aufgelegt werden. Bei zweiachsig gespannten Platten darf selbstverständlich nur die über die Fugen durchlaufende Biegezugbewehrung als statisch wirksam betrachtet werden. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit der Ausbildung von Tragstößen für die im Fertigteil und in der Ortbetonergänzung liegende Biegezugbewehrung. Da einige Randbedingungen eines normalen, im Ortbetonquerschnitt ausgeführten Tragstoßes bei Elementdecken nicht eingehalten werden können, ( Abstand a > 4 s, Fuge zwischen Bewehrungslagen, ein Zwei- Ebenen-Stoß) wurden in der DIN 1045-1 (13.4.3) diese Tragstöße gesondert geregelt. - im Stoßbereich ist der erforderliche Bewehrungsquerschnitt a sy 10cm /m - Durchmesser der Biegezugbewehrung ist s 14mm - Querkraft an der Fuge ist: v Ed < 0,15 v Rd, max (in DIN 1045-1 z.z fälschlicherweise 0,5 v Rd, max ) - Stoßbereich ist beidseitig der Fuge durch biegesteife Querbewehrung gesichert - Abstand der Querbewehrung ( Gitterträger) ist a q h - Querschnitt der Querkraftbewehrung ist für die Zugkraft der Längsbewehrung bemessen. Die Anordnung der Gitterträger als biegesteife Querbewehrung ist im Bild 16 dargestellt. Die Gitterträger im Bild 16-unten müssen einen Querabstand von ebenfalls h aufweisen (im Bild nicht darstellbar). Stoß senkrecht zum Gitterträger Stoß parallel zum Gitterträger 1 Fertigteilplatte Ortbeton 3 Längsbewehrung 4 Querbew. im Fertigteil 5 Querbew. Stoßzulage 6 Gitteträger 7 Längsbew. Stoßzulage Bild 16: Tragstöße bei zweiachsig gespannten Platten IV-0
4.10.3 Querkraftbemessung Verbundbewehrung Bei Platten ohne statisch erforderliche Querkraftbewehrung v Ed < v Rd,ct (siehe Glg.(5)) muss zusätzlich die Schubübertragung in der Fuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzung überprüft werden. Der Nachweis erfolgt mit Hilfe der im Kapitel 4.7 zitierten Gleichungen (1) bis (4). Auf der sicheren Seite liegend kann hier von einer glatten Fuge ausgegangen werden. (Die Bemessungshilfen der Hersteller werden in der Regel mit Parametern der glatten Fugen erstellt). Ist eine Verbundbewehrung erforderlich, müssen die Gitterträger in Ortbeton so weit einbinden, dass zwischen der Gurtunterkante und Oberkante Fertigteil ein Abstand von mindestens cm verbleibt. Die Abstände der Gitterträger untereinander sind bei einachsig gespannten Platten auf maximal s q,max 75 cm begrenzt. Bei zweiachsig gespannten Platten mit Bewehrung im Fertigteil beträgt der maximale Gitterträgerabstand s q,max fache Deckenstärke. Liegt die Biegezugbewehrung der Querrichtung im Ortbeton, ist für diese Richtung keine Verbundbewehrung erforderlich. Der maximale Abstand der Gitterträger zum Plattenrand ist auf 37,5 cm begrenzt. Querkraftbewehrung Im Bereich v Ed > v Rd,ct (siehe Glg.(5)) ist eine Querkraftbewehrung erforderlich. Werden zur Querkraftaufnahme nur die Diagonalen der Gitterträger angesetzt, so ist der Bemessungswert der Querkraft generell zu begrenzen auf: v Ed 0,5 v Rd,max (6) Im Bereich negative Momente wird weiter zwischen zwei Einbausituationen unterschieden: bei v Ed 0,15 v Rd,max darf der Obergurt der Gitterträger unterhalb, die obere Längsbewehrung oberhalb der Querbewehrung angeordnet werden bei v Ed > 0,15 v Rd,max muss der Obergurt der Gitterträger in gleicher Lage wie die Längsbewehrung liegen, wobei die Querbewehrung über der Längsbewehrung liegen darf. Querbewehrung Bild 16: Gitterträgerhöhen bei Anwendung als Querkraftbewehrung: links v Ed 0,15 v Rd,max, rechts 0,5 v Rd,max > v Ed > 0,15 v Rd,max IV-1
Wie im Kapitel 4.5 ausgeführt, beeinflußt die Neigung der Querkraftbewehrung α die Tragfähigkeit der Druckstrebe v Rd,max, (vgl. Glg. (8)). So erhält man für ein und dieselbe Druckstrebenneigung von z.b. θ 45 für geneigte Schubbewehrung mit α 45 doppelt so hohen v Rd,max,-Wert als bei senkrechter Schubbewehrung mit α 90. Eine einfache Mittelung der v Rd,max,-Werte zur Bestimmung der Obergrenze der zulässigen Querkraftbeanspruchung nach Glg. (6) ist jedoch nicht zulässig. Da eindeutige Regelungen für Bauteile mit unterschiedlicher Neigung der Schubbewehrung in der DIN 1045-1 nicht enthalten sind, wurde eine entsprechende Ergänzung für Gitterträger zwingend erforderlich. Die unterschiedliche Neigung der anzurechnenden Bewehrungsstäbe der Gitterträger kann bei Ermittlung von v Rd,max und v Rd,sy nach Glg.(6) und Glg.(8) durch eine lineare Wichtung der Querkrafttragfähigkeiten unter Berücksichtigung eines gleichbleibenden Druckstrebenwinkels θ erfasst werden. Dabei ist folgende Bedingung zu beachten: mit VRd,sy, αi VRd,max, α VRd,sy, VRd,max, i i 1 α Querschnittstragfähigkeit (Stahl) für Bewehrungsneigung α i nach Glg.(6) i (7) α Querschnittstragfähigkeit (Druckstrebe) bei Bewehrungsneigung α i Glg.(8) Die oben beschriebene Begrenzung der einwirkenden Querkraft nach Glg. (7) ist wenig anwenderfreundlich. In [6] wird eine Auswertung für Standardgitterträger vorgenommen. Danach ist v Ed < 0,175 v Rd,max,α45 einzuhalten. v Rd,max ist hier mit θ 45 und α 45 zu ermitteln. Die Gitterträger bestehen aus senkrechten Pfosten und Diagonalen mit gleichen Querschnittsflächen. Längs und Querabstände der Querkraftbewehrung Die maximalen zulässigen Längsabstände der Gitterträgerdiagonalen ergeben sich auf der Grundlage der Fachwerkanalogie zu: s l, max mit (cotθ + cot α ) z 5cm (8) z 0,9d d - c nom c nom Betondeckung der Längsbewehrung der Druckzone z cotθ z cotα Die Querabstände der Gitterträger für einachsig gespannte Decken sind wie folgt geregelt: bei Deckenstärken 40 cm bei Deckenstärken > 40 cm s q,max (cot θ + cot α ) z 40cm sq,max (cotθ + cot α ) z 80cm hdecke IV-
Für zweiachsig gespannte Platten gilt für die Querrichtung: bei Deckenstärken 40 cm s q,max s q, max (cot θ + cot α ) z h 40cm Es ist zu beachten, dass in zweiachsig gespannten Platten für die beiden Tragrichtungen gegebenenfalls unterschiedliche Neigungen der Druckstrebe zu berücksichtigen sind. Literatur [1] DIN 1045-1 Ausgabe Juli 001 Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton Teil 1: Bemessung und Konstruktion. [] DIN 1055-100 Ausgabe März 001 Einwirkungen auf Tragwerke. Teil 100: Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln. [3] DIN V ENV 199-1: Eurocode : Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Grundlagen und Anwendungsregeln für den Hochbau. [4] Zilch, K; Rogge, A.: Bemessung der Stahlbeton- und Spannbetonbauteile nach DIN 1045-1. Betonkalender 000, Teil 1. [5] Leonhardt, F.: Vorlesung über Massivbau, Teil 1, Grundlagen [6] Furche, J; Bauermeister: Elementdecken mit Gitterträgern nach neuer DIN 1045-1 BFT Beton + Fertigteil-Technik August 004 [7] Heft 55 DAfStb Erläuterungen zu DIN 1045-1 1. Auflage, September 003 [8] Reineck, K.-H.: Hintergründe zur Querkraftbemessung nach DIN 1045-1 für Bauteile aus Konstruktionsbeton mit Querkraftbewehrung. Bauingenieur 76 (001) H. 4 [9] Verwendung von Gitterträgern nach bestehenden Zulassungen in Bauteilen nach DIN 1045-1, Übergangsregelungen, Aus der Arbeit der Sachverständigenausschüsse, SVA B Bewehrungselemente, V. Häusler, T. Schellenberg, 004 IV-3
IV-4
4.11 Rechenbeispiel zur Querkraftbemessung Nachstehend werden Querkraftnachweise für das im Kap. III dargestellte System geführt. Die Berechnung wird um die Nachweise für die Stahlbetondecke erweitert. Um alle maßgebende Querkraftnachweise im Rahmen eines Beispiels zeigen zu können, wird für das Deckensystem ein folgender Bauablauf angenommen: - die Decke wird als Elementplatte mit Ortbetonergänzung ausgeführt - der Steg des Unterzuges ist ein Fertigteil. 470 Ortbetonergänzung h1 cm Beton C0/5, Stahl S500 Elementplatte h 6cm Beton C5/30, Stahl S500 Steg-Fertigteil b/h30/5 cm Beton C5/30, Stahl S500 Das Beispiel ist wie folgt gegliedert: 4.11.1 Deckenbemessung 4.11.1.1 Belastung, statisches System und Schnittgrößen 4.11.1. Biege- und Querkraftbemessung der Decke als Ortbetonquerschnitt 4.11.1.3 Ausführung der Decke als Elementplatte mit Ortbetonergänzung 4.11.1.4 Bemessung mit Gitterträgern 4.11. Unterzug 4.11..1 System, Schnittgrößen und Vorwerte 4.11.. Bemessung für Querkraft 4.11..3 Anschluß von Zug- und Druckgurten an Stege 4.11..4 Nachweis der Schubfuge zwischen Steg und Gurt 4.11.1 Deckenbemessung 4.11.1.1 Belastung, statisches System und Schnittgrößen Belastung charakteristische Werte DIN 1055 T1 Eigengewicht Decke g EG 0,18 5 4,5 kn/m Ausbau g EG 1,5 kn/m 6,0 kn/m Verkehrslast (Versammlungsraum) q 3,5 kn/m DIN 1055-100 Bemessungswerte der Lasten ständige Last g d g k γ G 6 1,35 8,1 kn/m veränderliche Last g d g k γ Q 3,5 1,5 5,5 kn/m DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1 IV-5
Statisches System: DIN 1045-1 7.3.1 (6) Einachsig gespannte Durchlaufplatte über 8 Felder. Im Rahmen des Beispiels wird nur ein Innenfeld bemessen. Effektive Spannweiten: Randfeld Innenfeld l eff 3,75m (Vorgabe) l a + l 0,15 + 4 7, eff 1 n 5,0 m Betondeckung DIN 1045-1 6. Tab. 3 DIN 1045-1 6.3 Tab. 4 DIN 1045-1 11.3. () keine Trennwände vorh. DIN 1045-1 11.3. Tab. Berechnung mit InfoGraph Modul: Ebene Stabwerke Umgebungsklasse für Bewehrungskorrosion XC1 trocken c min 10 mm c 10 mm c nom 0 mm Erforderliche Deckenstärke li Mit der zulässigen Schlankheit zul λ 35 d erhält man für Randfeld: l i 0,8 3,75 3m und erf d 3,0 / 35 8,6 cm für Innenfeld l i 0,6 5,0 3m und erf d 3,0 / 35 8,6 cm. Mit c nom 0 mm und dem Durchmesser der Bewehrung d s 10mm ergibt sich vorh h 18 cm > erf h 8,6 cm +,0 cm + 0,5cm 11,1 cm. Schnittgrößenermittlung (die Bemessung erfolgt nur für ein Innenfeld) Die Schnittgrößen wurden für einen 8 Feldträger elektronisch ermittelt. Dargestellt werden nur die Schnittgrößen des Innenfeldes charakteristische Werte E k Bemessungswerte E d DIN 1045-1 8. linear-elastische Berechnung ohne Schnittgrößenumlagerung M gk M qk M (g+q)d Biegemoment inf. g k Biegemoment inf. q k Bemessungsmoment V gk V qk V (g+q)d Querkraft inf. g k Querkraft inf. q k Bemessungsquerkraft IV-6
4.11.1. Biege- und Querkraftbemessung der Decke (Ortbetonquerschnitt) DIN 1045-1 10 Vorwerte für die Bemessung Querschnitt b/d/h 100/15,5/18 cm Beton C0/5 f 0 MN / m ck f ck 0 f cd α 0,85 11,3 MN / m γ c 1,5 Betonstahl S500M f 500 MN / m ; f 55 MN yk tk,cal / m DIN 1045-1 9.1.7 Tab. 9 DIN 1045-1 9.1.6 Glg. (67) 5.3.3 Tab. 1 DIN 1045-1 9.. Tab. 11 f yk f 435 MN / m ; γ yd s f tk,cal γ s 55 1,15 457 MN / m DIN 1045-1 9..4 (3) 5.3.3 Tab. 1 Bemessung für Feldquerschnitt m µ Ed m G γ G + m Q γ Q 6,7 1,35 + 7,3 1,5 19,31kNm / m m b d 0,0193 1 0,155 11,33 Eds Eds fcd o 0,0739 ε s 1 5 / σ sd ω, oo erf a 1 ( ω b d f ) 0,071 f / γ 457 MN tk,cal s1 cd σ sd 1 0,0739 1 0,155 11,33 10 4,83 cm 457 gewählt unten: Lagermatte R 335 A Bemessung für Stützquerschnitt ( ) / m s / m DIN 1055-100 DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1 DIN 1045-1 9..4 Bild 7 Linie Bemessung mit µ Eds -Tafel aus Schneider Bautab. 14. Auf. m Ed m G γ + m G Q γ Q 6,7 1,35 + 7,3 1,5 31, 77 knm / m DIN 1055-100 DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1 Bemessungsmoment am Anschnitt des Unterzuges a m m v a / 31, 77 35, 75 0,3 / 6,41kNm / m Ed Ed Ed Mindestwert für das Stützmoment: 1 min med 0,65 pd ln 1 1 0,65 ( 8,1 + 5,5) 4 7, 15,98 knm / m < 6,41 1 Bemessung erfolgt mit m Ed 6,41 knm/m DIN 1045-1 7.3. (3) Decke ist mit dem Unterzug monolithisch verbunden DIN 1045-1 8. (5) 65% Starreinspannung jedoch mit l netto IV-7
µ m b d 0,064 1 0,155 11,33 Eds Eds f cd 0,097 ω 0,103 ξ 0, 17 x 0,17 15,5 cm ς 0,947 z 0,947 15,5 14 7, cm ε s 1 4 / oo σ sd 456 MN / m erf a 1 456 4 ( 0,103 1 0,155 11,33) 10 3,94 cm / m s 1 gewählt oben: Lagermatte R 335A 3,35 cm /m Zulage 6 mm a 30 cm 0,94 cm /m 4,9 cm /m DIN 1045 13.1.1 (1) Mindestbewehrung Feld- und Stützquerschnitt Die Mindestbewehrung muß das Rißmoment abdecken. Das Rißmoment ist mit dem Mittelwert der Betonzugfestigkeit zu ermitteln. DIN 1045-1 9.1.7 Tab. 9 mit m r ctm f w f b h / 6 ctm c,rand ctm, 1 0,18 / 6 0,01188 MNm / m f, MN / m für Beton C0/5 Mit der Mindestbewehrung aufnehmbares Biegemoment im Zd. II: m Min Mindestbewehrung a s,min f yk 0,90 d mr 0,01188 4 as,min 10 17, f 0,9 d 500 0,9 0,155 yk cm / m DIN 1045-1 13.1.1 (3) d d V Ed -Druckstrebennachweis V Ed -Querkraftbewehrung ist nicht maßgebend. Die Feldbewehrung (R 335A) wird durchgehend verlegt. Querkraftbemessung Für die Bemessung ist der Schnitt - am Auflagerrand - für Druckstrebennachweis - im Abstand "d" vor Auflagerrand - für Zugstrebennachweis maßgebend. Die Überprüfung, ob Schubbewehrung erforderlich ist, erfolgt mit Schnittgrößen am Auflagerrand. Die Bemessung der Druckstrebe kann bei Platten im Allgemeinen entfallen. IV-8
Maßgebende Querkräfte am Innenauflager max v Ed 35, 75 kn / m am Auflagerrand ved, Rand 35, 75 0,15 13,35 33, 75 kn / m Bem im Abstand d vom Auflagerrand ν Ed 33,75-0,155 13,3531,68 kn /m Querkrafttragfähigkeit der Stahlbetondecke (Ortbeton h 18cm) ohne Schubbewehrung: v Rd,ct 3 ( 100 ρ f ) 1 / 0,1 ] b d [ η 0,10 κ σ 1 1 ck cd w DIN 1045-1 10.3.3 Glg. (70) mit η 1 1,0 für Normalbetone 00 κ ; κ 1 +, 14 < (d 155mm ) 155 a ρ 1 s1 4,9 0,008 0, 0 b d 100 15,5 a - obere Bewehrung im Stützquerschnitt σ cd N s1 Ed 0 Ac 1 / 3 ( 100 0,008 0) 0 ] 1,0 0,155 0, 055 vrd,ct [1 0,1 MN/m Bem ved 33, 75 kn / m < vrd, ct 55 kn/m es ist keine Schubbewehrung erforderlich. DIN 1045-1 10.3.1 () 4.11.1.3 Ausführung der Decke als Elementplatte mit Ortbetonergänzung Für die Elementplatte (h 6 cm) wurde ein Beton C5/30 verwendet, die Ortbetonergänzung (h 1 cm) besteht aus Beton C0/5. In allen Nachweisen sind die Festigkeiten des Betons C0/5 anzusetzen. Die Schubtragfähigkeit der Fuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzung (ohne Anordnung der Verbundbewehrung) errechnet sich wie folgt: v Rd,ct 3 [ 0,04 η β f ] 1 / µ b σ 1 ct ck mit η 1 1 für Normalbetone, für Leichtbetone siehe Glg. (5) β ct,0 raue Fuge (β ct,0 Fuge glatt) f ck 0 MN/m, Druckfestigkeit des Ortbetons µ 0,7 (µ 0,6 Fuge glatt) σ Nd 0,1 0,05 0,003 MN / m 0 b 1m v 1 / 3 Rd,ct 0,04 1,0 0 + 0 7, 0,003 0,30 MN / m 30 kn/m Nd DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (84) DIN 1045-1 10.3.6 Tab. 13 DIN 1045-1 10.3.6 Tab. 13 IV-9
Beanspruchung der Schubfuge: DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (83) Die über die Fuge zu übertragende Schubkraft pro Längeneinheit ergibt sich aus: Fcdj VEd ν Ed F z cd Da die gesamte Druckkraft entweder im Fertigteil (Stützquerschnitt) oder in Ortbeton (Feldquerschnitt) liegt, muß die volle Schubkraft über die Fuge übertragen werden. Es gilt überall F cd F cdj. maxν Ed v Ed, Rand / z Mit z14,7 cm (aus Biegebemessung im Stützquerschnitt) erhält man: maxν Ed 33, 75 / 0,147 9 kn / m DIN 1045-1 13.4.3 (5) Es ist keine Verbundbewehrung zw. Elementplatte und Ortbetonergänzung erforderlich. (Bei Endauflagern ohne Wandauflast ist entlang der Auflagerlinie eine konstruktive Verbundsicherungsbewehrung von 6 cm /m anzuordnen. Diese sollte auf einer Breite von 0,75 m angeordnet werden, was einen Querschnitt von 6/0,75 8 cm /m bedeutet.) DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (84) DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (85) θ α90 σ Nd µ σ Nd b F sdw die Auflast aus Ortbetonergänzung von 0,1m 5 kn/m 3 wurde vernachlässigt; σ Nd 0 DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (86) Für eine glatte Fuge ändert sich die Bemessung wie folgt: β ct,0, µ0,6 v Ed 0,9 MN/m v v 3 [ 0,04η β f ] 1 / µ b σ Nd 0,160 MN / m kn/m Rd,ct 1 ct ck 1 / 3 Rd,ct 0,04 1 1,4 0 + 0,6 0 Verbundbewehung ist erforderlich, (Querkraftbew. ist nicht erfordelich) ved µ σ Nd b erf as f (cotθ + cotα ) sinα yd 0,9 0,6 0 1 4 10,0 cm / m 435 (,39 + 0 ) 1 Mit α 90 Neigung der Verbundbewehrung θ 3 Neigung der Druckstrebe wobei θ aus nachstehender Gleichung ermittelt wurde: 1,µ 1,4 σ cd / f 1,0 cotθ cd 3 für Normalbeton 1 vrd,ct / ved σ cd 0 Längsnormalspannung im Gesamtquerschnitt 1, 0,6 1,4 0 / 13,3 1,0 cotθ,39 3 1 160 / 9 cot θ, 39 IV-30
4.11.1.4 Bemessung mit Gitterträgern Bei der Querkraftbemessung in diesem Kapitel werde Bemessungshilfen und Gitterträger der Farma Filigran verwendet. Bemessungsquerkraft Für die Bemessung der Querkraftbewehrung ist der Schnitt im Abstand "d" vor Auflagerrand maßgebend. ν Ed Bem 33,75-0,155 13,3531,68 kn /m Für die Bemessung der Verbundbewehrung ist der Schnitt am Auflagerrand maßgebend max v Ed 35, 75 kn / m Querkraft der Stahlbetondecke ohne Schubbewehrung h 18cm, d 15,5cm v Rd,ct ρ 1 0,08 im Stützquerschnitt 3 ( 100 ρ f ) 1 / 0,1 ] b d [ η 0,10 κ σ 1 1 ck cd w DIN 1045-1 10.3.3 Glg. (70) Bild 17: (FI-Norm E-4539) Grafische Ermittlung von v Rd,ct Es kann eine Tragfähigkeit von v Rd,ct 55 kn/m abgelesen werden. Es ist keine Querkraftbewehrung erforderlich. IV-31
Beanspruchung der Fuge zw. Fertigteil und Ortbeton DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (83) Schubkraft pro Längeneinheit wie zuvor unter 4.11.1.3: Fcdj VEd ved, Rand 33, 75 ν Ed 9kN / m F z z 0,147 cd mit z 14,7 cm aus Biegebemessung im Stützquerschnitt z d- c nom,druckbew. wird nicht angesetzt, da keine Schubbew. erf. Verbundbewehung zw. Fertigteil und Ortbeton Wie unter 4.11.1.3 ermittelt, erhält man für eine raue Fuge eine Tragfähigkeit, die größer ist als die Beanspruchung. v Rd,ct,rau 30 kn/m > v Ed,max 9 kn/m, so dass keine Verbundbewehrung erforderlich wird. Im vorliegenden Fall ist auch keine Mindestbewehrung anzuordnen. Bei einer glatten Fuge (v Rd,ct,glatt 160 kn/m) ist eine Verbundbewehung erforderlich. Es ist ausreichend niedrige Gitterträger zu verwenden (lichtes Abstand zw. Unterkante Obergurt und OK Fertigteil a,0 cm). v a f (cotθ + cotα ) sinα µ σ b v Ed,max Rd,sy s yd Querkraft Nd bei Kombination: v Rd,sy v Rd,sy (E/D) + v Rd,sy (EQ) gewählt: D11, Abstand 75 cm, v Rd,sy 65 kn/m > v Ed 9 kn/m s q,max 75 cm 75 cm < 5 18 cm 90cm IV-3
4.11. Unterzug 4.11..1 System, Schnittgrößen,Vorwerte Die Ergebnisse der Biegebemessung werden aus Kap. III übernommen. Die Querkraftbemessung wird hier nur für den Fall der elastisch ermittelten Schnittgrößen, ohne Umlagerung durchgeführt. Übersichtlichkeitshalber werden die für die Querkraftbemessung wesentlichen Parameter aus der Biegebemessung hier nochmals zitiert. Statisches System: Zweifeldträger mit l eff,1 l eff, 7,5 m Auflagertiefe a 1 a a 3 0,3 m Querschnitt: Plattenbalkenquerschnitt b w 30 cm, h 70 cm, d 65 cm b eff1 b eff, 1,107 m, b eff,51 h f 18 cm, Werkstoffe: Steg als Teilfertigteil aus C5/30 Platte als Elementdecke h 6 cm, C5/30, mit 1 cm Ortbetonergänzung in C0/5 Belastung: ständige Deckenlast g 1 6 kn/m 5m 30 kn/m Eigengewicht Steg g 0,30 0,5 5 3,9 kn/m Σg k 33,9 kn/m Verkehrslast der Decke q k 3,5 kn/m 5 17,5 kn/m Bemessungswert der Belastung p d 7,01 kn/m DIN 1045-1 7.3.1 () und (3) mitwirkende Plattenbreite im Feld b eff1 0,1 0,85 7,5+0, (4,7/) 1,107 < 0, 0,85 7,5 1,75m 1,107+0,30,51 m b eff Im Kapitel III wurden als Unterzugbelastung die unter Volllast ermittelte Auflagerreaktionen der Platte angesetzt. Schnittgrößen: Die für die Bemessung maßgebenden Schnittgrößen sind in der Tabelle B1 zusammengestellt. Der Schnittgrößenverlauf im Feld 1 (Bemessungswerte) ist im Bild B1 dargestellt. M Esd V Ed A B B DIN 1045-1 7.3. (3): Die maßgebenden Querkräfte dürfen unter Vollbelastung aller Felder ermittelt werden. Im Rahmen des Beispiels wurde die ungünstigste Laststellung berücksichtigt. Bild B1: Bemessungswerte des Biegemomentes M Ed und der Querkraft V Ed IV-33
gammafache M Ed, B M Ed,Bmin M Ed,1 M Ed, V Ed,A V Ed,Bl V Ed,Br V Ed,C Schnittgrößen [knm] [knm] [knm] [knm] [kn] [kn] [kn] [kn] Schnittgrößen elast. -506,36-39,13 30,48 30,48 14,85-337,57 337,57 14,85 mit Ausrundung -481,04 Tabelle B1: Maßgebende Schnittgrößen für die Unterzugsbemessung Biegebemessung im Feld: DIN 1045-1 9.1.6 Querschnitt b eff,51m, d 65 cm, h f 18 cm Druckzone in der Platte C0/5 mit f cd 11,33 MN/m Feldmoment M Eds 30,48 knm DIN 1045-1 9..4 Bild 7 Linie - Arbeitslinie des Stahls mit ansteigendem Ast µ Eds M b d Eds f cd 0,305 0,067 0,07,51 0,65 11,33 Bemessung mit µ Eds -Tafel aus Schneider Bautab. 14. Auf. ω 0,075 ξ 0, 05 x 0,05 65 3,4 cm < 18 cm ς 0,98 z 0,98 65 63,8 cm σ sd 457 MN / m 1 erf as1 457 4 ( 0,075,51 0,65 11,33) 10 11,1 cm Gewählt: 4 0mm 1,57 cm davon werden 0 mm zum Auflager geführt. Bemessung über der Zwischenstützung DIN 1045-1 9.1.6 Glg. (57): f cd DIN 1045-1 9.1.6 Tab. 9: f ck DIN 1045-1 7.3. (): Ausrundung M Ed B Ed a/8 Querschnitt b w 0,3m, d 65 cm Druckzone im Steg C5/30 mit f cd 14,17 MN/m Stützmoment M Eds 506,36 knm; ausgerundet M Eds 481,04 knm µ Eds M b d Eds f cd 0,481 0,30 0,65 14,17 0,68 0,7 ω 0,309 ς 0, 834 z 0,835 65 54 cm ε s 1 5,5 o / oo σ 438 MN / m 1 erf as1 438 sd 4 ( 0,309 0,3 0,65 14,17) 10 0,4 cm Gewählt: 3 5mm + 0mm 14,73 +6,8 1,0 cm davon 3 5 mm im Steg, 0 mm in die Platte IV-34