NMR Vortag im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums Martin Fuchs 1 Motivation Die Nuclear Magnetic Resonance, oder zu deutsch Kernspinresonanz ist vor allem durch die aus der Medizin nicht mehr wegzudenkende Magnetresonanztomographie eine zumindest dem Namen nach weitläug bekannte physikalische Erscheinung. Die Physik die dahintersteckt ist allerdings ebenso komplex wie spannend und soll in diesem Vortrag näher beleuchtet werden. Figure 1: Das Stern-Gerlach-Experiment 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Kernspin Der Spin als intrinsische Teilcheneigenschaft wurde erstmals 1925 postuliert um die Ergebnisse des Stern-Gerlach-Experiments zu erklären, bei dem ein Strahl aus Silberatomen im Magnetfeld nicht wie klassisch erwartet kontiuierloich sondern diskret aufspaltet. Abbildung 1 Nach dem Standardmodell setzt sich der Kernspin aus den Spins der Neutronen und Protonen zusammen, und deren spin wiederum aus den Spins der am Aufbau beteiligten Quarks.(siehe Abbildung 2) Figure 2: Zusammensetzung des Kernspins 1
2.2 Verhalten des Kernspins im B-Feld Für uns ist das Verhalten des Kernspin in äuÿeren Feldern, vor allem in einem äuÿeren Magnetfeld von Interesse. Bei der Beschreibung dieses Verhaltens hilft uns die Tatsache, dass die Richtung des Spinvektors der Richtung zugehörigen magnetischen Moments entspricht. µ Bahn = e 2mc L µ Spin = g e S 2mc Wir können uns nun deshalb als Modell des Spinvektors einen Stabmagneten vorstellen, der sich in einem Magnetfeld bendet. Dieser wird versuchen sich entlang der Feldlinien auszurichten. Da der Spin wie aus der Quantenmechanik bekannt nur die Projektion des Spinvektors ist (siehe dazu Abbildung 3) und der Spinvektor im Winkel zur z-achse steht, wird dieser der Kreiselgleichung gehorchend eine Präzessionsbewegung ausführen, welche sich beschreiben lässt durch ω L = γb 0. ω L nennt man auch die Lamorfrequenz. Diese ist, wie aus der Gleichung hervorgeht abhängig von der Stärke des Magnetfeldes und vom gyromagnetischen Faktor γ der wie in Tabelle 4 ersichtlich von Kern zu Kern verschieden ist. Nun präzediert in einer makroskopischen Probe nicht nur ein Spin sondern eine enorme Anzahl an Spins mit der gleichen Frequenz aber in allen möglichen Phasen sowie in den beiden möglichen Ausrichtungen - entlang der Feldlinien bzw. entgegengesetzt Figure 3: Der Spin als Projektion des Spinverktors Figure 4: dazu. Setzen wir alle diese Spinvektoren gedanklich auf den Ursprung eines Koordinatensystems so können wir die resultierende Magnetisierung, auch Nettomagnetisierung genannt, als Vektorsumme der Einzelspins betrachten. Veranschaulicht ist das in Abbildung 5. 2.3 Formale Beschreibung Die eben angesprochenen Tatsachen helfen uns, das Verhalten der Spins auf einer abstrakteren Ebene zu beschreiben. Wir transformieren die Spins und somit auch die Netto-Magnetisierung in ein Koordinatensys- 2
Figure 5: Die Netto-Magnetisierung als Vektorsumme der einzelnen Spins tem, dass mit ω L rotiert, so dass in dem neuen Koordinatensystem keine Bewegung stattndet und können somit die Lage (und für später wichtig: die Bewegung) der Nettomagnetisierung mit Hilfe der sogenannten Bloch-Kugel zu beschreiben. (Abbildung 6) Dieses Phänomen ist als Zeeman-Eekt bekannt. Der Energieunterschied der der beiden Niveaus beträgt de = hγb 0 wobei wir aber wissen, dass γb 0 = ω L. Diese Zustände können durch Emission bzw. Absorption eines Photons mit der Energie E pho = hω pho ineinander übergehen, wobei ω pho = ω L sein muss. Wir brauchen also für das Wechseln der Zustände resonantes Licht, was den Begri Kernspinresonanz plausibel macht. Beim einfachsten Resonanz-Experiment, dem Continous-Wave-Experiment (cw Abbildung 7) nutzt man diese Tatsache um durch das langsame Ändern der Wellenlänge von eingestrahltem Licht irgendwann den Resonanzpeak zu nden und so Rückschlüsse auf z.b. die Teilchenart machen zu können. Figure 6: Bloch-Kugel Figure 7: Continous Wave Experiment 2.4 Resonanz Wie oben bereits erwähnt existieren zwei Spineinstellungen, was in einem anliegenden B-Feld zu einer Energieaufspaltung führt. 2.5 Relaxationszeiten Durch Einstrahlen eines transversalen Magnetpulses kann man die Ausrichtung der Spins und somit des Magnetisierungsvektors 3
(siehe dazu nochmals Abbildung 6) ändern. Wählt man die Dauer des Pulses richtig so ist es möglich ein Umklappen um beliebige Winkel zu erzeugen. Zwei wichtige, weil in der Praxis ständig angewandte Pulse sind der 90 - und 180 -Puls, die die Magnetisierung dementsprechend um 90 bzw 180 Grad klappen. Da das longtudinale Magnetfeld (aucch B 0 -Feld genannt) jedoch nach wie vor anliegt richten sich die Spins nach und nach wieder entlang der B 0 -Feldlinien aus. Diesen Vorgang bezeichnt man als Relaxation. Bei der longitudinalen Relaxation betrachten wir nur die z-komponente der Magnetisierung deren Änderung durch M z = M 0 (1 e t T 1 ) beschrieben wird (T1 ist hierbei die longitudinale Relaxationszeit). In Abbildung 8 ist der zeitliche Verlauf der Änderung grasch dargestellt. Die transversale Relaxation be- die Spins, die nach einem Transversalpuls alle in Phase präzedieren brauchen, um wieder zu dephasieren. Figure 9: Transversale Relaxation In der Praxis betrachtet man noch die T 2 -Zeit, die Zeit des Free Induction Decay. Durch Inhomogenitäten im B 0 -Feld und lokal induzierte Felder von benachbarten Kernen kommt es dabei zu einer schnelleren Dephasierung (und somit Relaxation) der Spins, als in der T 2-Zeit angenommen. Figure 8: Longitudinale Relaxation trachtet nur die transversale Komponente der Magnetisierung und ist beschrieben durch M xy = M xy0 e t T 2 (mit der transversalen Relaxationszeit T2)(Abbildung 9). Hierbei handelt es sich anschaulich um die Zeit, welche 2.6 Bloch'sche Bewegungsgleichung Die oben beschriebenen Vorgänge lassen sich alle durch die Bloch'schen Gleichungen ausdrücken. Diese wurden vom Nobelpreisträger Felix Bloch als Bewegungsgleichungen für den Magnetisierungsvektor eingeführt und lauten: 4
dm y dt dm x dt = (ω 0 ω)m y M x T 2 (1) = (ω 0 ω)m x + 2πγB 1 M z M y T 2 (2) Mit den Ergebnissen kann man Rückschlüsse auf die chemische Struktur der betrachteten Probe ziehen. In Abbildung 10 sind die verschiedenen Resonanzfrequenzen der Kohlenstoatome je nach ihrer Verbindung im Molekül zu sehen. dm z dt M z M z0 = 2πγB 1 M y T 1 (3) 3 Anwendungen Mit den bisher vorgestellten Eigenschaften der Kernspins im Feld, nämlich der der Resonanz und der Relaxationszeiten, haben wir schon sehr viel von der Teilchenart und - Umgebung abhängige Parameter gefunden. Diese mikroskopischen Parameter können wir durch Induktion (denn wir betrachten ja insbesondere bei den Relaxationszeiten sich zeitlich ändernde Magnetfelder) in messbare elektrische Signale umwandeln und somit auswerten. Zwei Anwendungen sind dabei besonders hervorzuheben. Die Magnetresonanzspektroskopie und die Magnetresonanztomographie (MRT). 3.1 NMR-Spektroskopie Bei der NMR-Spektroskopie wird die Tatsache ausgenutzt, dass das Feld am Kernort immer von seiner Umgebung abhängig ist. Man misst die Resonanzfrequenzen der Teilchen einer Probe und bestimmt die relative Verschiebung der Resonanzfrequenzen zur bekannten Eichfrequenz. δ = ν P robe ν ref νref Figure 10: Chemische Verschiebung 3.2 MR-Tomographie Bei der Magnetresonanztomographie werden mit Hilfe der NMR Schnittbilder des (menschlichen) Körpers gewonnen. Dazu müssen allerdings die empfangenen Signale räumlich kodiert werden. Das geschieht mit Hilfe von drei Gradientenspulen, deren Wirkungsweise aus Bild 11 hervorgeht. Die technische Umsetzung zeigt Bild 12. Der supraleitende Magnet erzeugt das statische B 0 -Feld, dessen Inhomogenitäten die Shim-Spulen ausgleichen. Die Gradientenspulen erzeugen die Gradientenfelder und die Körperspulen induzieren sowohl den B 1 - Puls, als wie sie auch die Relaxationssignale aufnehmen. 5
Figure 14: Bildrekonstruktion durch FT Figure 11: Gradientenspulen zur räumlichen Kodierung 4 Ausblick Auch wenn die Grundlagen der NMR schon lange bekannt sind, ist vor allem die Entwicklung der Bildgebung bei der MRT nach wie vor ein hochaktuelles Feld und wird es auf absehbare Zeit auch bleiben. Figure 12: Technische Umsetzung Die Bildrekonstruktion geschieht durch Fouriertransformation der Signale, wobei durch Manipulationen im Frequenzraum, dem sogenannten k-raum, noch einiges an Qualitätsgewinn möglich ist. (Abbildung 13 und 14 Figure 13: Aufnahme der Signale im k-raum 6