Sortieren und Suchen. Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2

Sortieren und Suchen Jens Wächtler 17.05.2017 Hallo Welt! -Seminar LS 2

Überblick Sortieren kurze Wiederholung Binäre & Ternäre Suche Binäre Suche in einer Liste Bisektionsverfahren (Nullstellensuche) Ternäre Suche (Extremasuche) Range Minimum Query Lowest Common Ancestor Quellen 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 2

Sortieren 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 3

Warum sortieren? Sortieren gibt Daten Struktur Ermöglicht die Verwendung von effizienten Suchalgorithmen Kosten-Nutzen-Verhältnis meist vorteilhaft 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 4

Eigenschaften von Sortieralgorithmen Zusätzlicher Speicherbedarf Stabilität stabil: Die Reihenfolge bei gleichem Schlüssel bleibt erhalten instabil: Die Reihenfolge bei gleichen Schlüssel wird nicht unbedingt behalten Komplexitätsanalyse Best Case Average Case Worst Case 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 5

Vergleichsbasierte Sortieralgorithmen Algorithmus Best-Case Average-Case Worst-Case Stabil Zusätzlicher Speicherbedarf Bogosort O(n) O(n n!) Bubblesort O(n) O(n 2 ) O(n 2 ) Insertionsort O(n) O(n 2 ) O(n 2 ) Shellsort O(n) O(n log n ²) O(n 1,25 ) Quicksort O(n log n ) O(n log n ) O(n 2 ) Für den Heap Introsort O(n log n ) O(n log n ) O(n log n ) Selectionsort O(n 2 ) O(n 2 ) O(n 2 ) Heapsort O(n log n ) O(n log n ) O(n log n ) Mergesort O(n log n ) O(n log n ) O(n log n ) O(n) 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 6

Suche Implementieren Suchalgorithmen selbst zu implementieren kostet Zeit Nutzt die Java-API & C++-STL Wesentlich schneller und weniger fehleranfällig 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 7

Suchen 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 8

Naiver Ansatz Sequentielle Suchen Suchen eines Elementes in einer Liste Vorteil: Keine Sortierung nötig Nachteil: Aufwand sehr hoch. Worst-Case: O n 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 9

Optimierter Ansatz Auf geordneten Listen suchen Ermöglicht effizienteres Suchen Binäre Suche Worst Case: O(log n) 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 10

Binäre Suche Verfahren: Eingabe: liste; wert; links = 0; rechts = liste.length() - 1; mitte = (links + rechts) / 2 links > rechts return -1; wert == liste[mitte] return mitte; rechts = mitte - 1; wert < liste[mitte] links = mitte + 1; 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 11

Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 12

Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 13

Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 14

Beispiel: Binäre Suche Gesucht: 13 links = 0; rechts = 9; mitte = 4; 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 15

Bisektionsverfahren Nullstellensuche einer Funktion f(x) Numerisches Verfahren Voraussetzungen: Funktion ist stetig auf abgeschlossenem Intervall [a, b] Es existiert ein Vorzeichenwechsel f a < 0 und f b > 0 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 16

Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n 0 0 2-2 2 1-1 1 1 2-1 2 1,5 0,25 2 1 1,5-1 0,25 1,25-0,4375 3 1,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0,109375 4 1,375 1,5-0,109375 0,25 1,4375 0,06640625 5 1,375 1,4375-0,109375 0,06640625 1,40625-0,0224609 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 17

Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n 0 0 2-2 2 1-1 1 1 2-1 2 1,5 0,25 2 1 1,5-1 0,25 1,25-0,4375 3 1,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0,109375 4 1,375 1,5-0,109375 0,25 1,4375 0,06640625 5 1,375 1,4375-0,109375 0,06640625 1,40625-0,0224609 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 18

Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n 0 0 2-2 2 1-1 1 1 2-1 2 1,5 0,25 2 1 1,5-1 0,25 1,25-0,4375 3 1,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0,109375 4 1,375 1,5-0,109375 0,25 1,4375 0,06640625 5 1,375 1,4375-0,109375 0,06640625 1,40625-0,0224609 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 19

Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n 0 0 2-2 2 1-1 1 1 2-1 2 1,5 0,25 2 1 1,5-1 0,25 1,25-0,4375 3 1,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0,109375 4 1,375 1,5-0,109375 0,25 1,4375 0,06640625 5 1,375 1,4375-0,109375 0,06640625 1,40625-0,0224609 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 20

Beispiel: Bisektionsverfahren 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-0,5-1,0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f x = x 2 2 [a n, b n ] a 0 = 0, b 0 = 2 x n = a n + b n 2-2,0-3,0 n a n b n f(a n ) f b n x n f x n 0 0 2-2 2 1-1 1 1 2-1 2 1,5 0,25 2 1 1,5-1 0,25 1,25-0,4375 3 1,25 1,5-0,4375 0,25 1,375-0,109375 4 1,375 1,5-0,109375 0,25 1,4375 0,06640625 5 1,375 1,4375-0,109375 0,06640625 1,40625-0,0224609 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 21

Ternäre Suche Problem: Finden von Extrema mit Genauigkeit ε Voraussetzung: Funktion f x hat nur eine Extremstelle in einem abgeschlossenen Intervall a, b Funktion f x steigt (fällt) monoton im Intervall a, x und fällt (steigt) monoton im Intervall x, b Idee: Intervall wird pro Iteration in drei Teile aufgeteilt Suche wird auf neuem (kleineren) Intervall fortgesetzt Wenn gewünschte Genauigkeit erreicht, dann terminiere 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 22

Ternäre Suche: Ablauf 1. Aufteilen des Intervalls [a, b] in die drei Intervalle a, c, c, b und a, d 2. Berechnen der Funktionswerte f(c) und f(d) 3. Drei Fälle: f c < f d Extremum im Intervall [c, b] f c > f d Extremum im Intervall [a, d] f c = f(d) Extremum im Intervall [c, d] 4. Falls geforderte Genauigkeit erreicht gib x zurück 5. Ansonsten: Nächste Iteration mit neuem Bereich 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 23

Ternäre Suche: Beispiel 25 20 15 10 f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1,5 5 0-5 0 1 2 3 4 5 6 c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) 0 1 5 7/3 11/3 2 2 16,5185 19.9259 1 7/3 5 3,22222 4,11111 16,5185 2 20,4322 17,1291 2 7/3 4,11111 2,92592 3,51851 16,5185 17,1291 19,7562 20.3407 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 24

Ternäre Suche: Beispiel 25 20 15 10 f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1,5 5 0-5 0 1 2 3 4 5 6 c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) 0 1 5 7/3 11/3 2 2 16,5185 19.9259 1 7/3 5 3,22222 4,11111 16,5185 2 20,4322 17,1291 2 7/3 4,11111 2,92592 3,51851 16,5185 17,1291 19,7562 20.3407 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 25

Ternäre Suche: Beispiel 25 20 15 10 f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1,5 5 0-5 0 1 2 3 4 5 6 c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) 0 1 5 7/3 11/3 2 2 16,5185 19.9259 1 7/3 5 3,22222 4,11111 16,5185 2 20,4322 17,1291 2 7/3 4,11111 2,92592 3,51851 16,5185 17,1291 19,7562 20.3407 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 26

Ternäre Suche: Beispiel 25 20 15 10 f x = x 3 + 5x² + 2 Ausgangssituation: a, b = 1,5 5 0-5 0 1 2 3 4 5 6 c = 7 3 d = 11 3 n a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) 0 1 5 7/3 11/3 2 2 16,5185 19.9259 1 7/3 5 3,22222 4,11111 16,5185 2 20,4322 17,1291 2 7/3 4,11111 2,92592 3,51851 16,5185 17,1291 19,7562 20.3407 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 27

Range-Minimum-Query 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 28

Range-Minimum-Query Problem: Gesucht ist der Index des kleinsten Elements innerhalb eines Teilarrays A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 RMQ A 2,5 = 4 Naiver Ansatz: Sequenzielle Suche im Teilbereich Laufzeit pro Anfrage: O(n) 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 29

Range-Minimum-Query: Optimierung Verarbeitung der Liste in eine Lookup-Tabelle Form der Tabelle A[start][länge] RMQ A (0,0) RMQ A (0,1) RMQ A (0,2) RMQ A (0,7) RMQ A (1,1) RMQ A (1,2) RMQ A (1,7) RMQ A (2,2) RMQ A (2,7) RMQ A (7,7) Laufzeit für Erstellung O n 3 Suchen O(1) 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 30

Range-Minimum-Query: Optimierung Nicht jede mögliche Sequenz speichern RMQ A Teilbereiche der Länge 2 j, j 0, log 2 (n) Vorverarbeitung lässt sich in O n log n bewerkstelligen Platzbedarf beträgt O n log n Suche in O(1) 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 31

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 32

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 33

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 34

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 35

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 36

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 37

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 38

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 39

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 40

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 41

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 42

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 43

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 44

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 45

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 46

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 47

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 48

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 49

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 4 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 50

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 51

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 52

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 53

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6 7 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 54

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 4 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6 7 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 55

RMQ: Sparse Table M 2 0 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 4 1 1 1 4 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6 7 6 6 7 7 7 8 8 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 56

RMQ: Sparse Table M 0 1 2 3 0 0 0 0 4 1 1 1 4 4 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6 7 6 6 7 7 7 Suchanfrage: A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] 5 7 32 43 2 21 15 9 19 M i k, A[M i k A[M j 2 k + 1 k ] RMQ A i, j = M j 2 k + 1 k, sonst RMQ A 2,8 RMQ A 2,5 & RMQ A (5,8) RMQ A (2,5) = 4 RMQ A (5,8) = 7 RMQ A (2,8) = 4 Anfrage in O(1) 8 8 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 57

Lowest Common Ancestor 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 58

Lowest Common Ancestor Gegeben ist ein gerichteter Baum Gesucht ist gemeinsamer Elternknoten zweier unterschiedlicher Knoten Der am weitesten von der Wurzel entfernte Elternknoten ist der Lowest Common Ancestor 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 59

Lowest Common Ancestor LCA 5,3 = 2 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 60

LCA: Erste Überlegung Weg von der Wurzel zu den Knoten speichern Der letzte gemeinsame Knoten ist LCA Vorteil: Einfach zu Implementieren Nachteil: Laufzeit O n Ungeeignet für viele Abfragen 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 61

LCA: Optimierung Umwandlung von LCA zu RMQ Benutze Tiefensuche auf Baum Befülle drei Arrays auf dem Weg: Array A[i] speichert Schlüssel des Knoten Array B[i] speichert Distanz zur Wurzel Array C i speichert das erstmalige Vorkommen eines Knoten 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 62

LCA zu RMQ: Beispiel 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 63

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 C A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 64

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 B 0 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 65

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 B 0 1 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 66

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 B 0 1 2 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 67

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 B 0 1 2 1 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 68

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 B 0 1 2 1 0 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 69

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 B 0 1 2 1 0 1 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 70

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 B 0 1 2 1 0 1 2 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 71

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 7 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 B 0 1 2 1 0 1 2 3 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 72

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 7 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 73

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 9 7 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 5 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 3 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 74

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 9 7 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 5 3 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 3 2 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 75

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 9 7 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 5 3 2 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 3 2 1 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 76

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 9 7 2 12 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 5 3 2 8 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 3 2 1 2 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 77

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 9 7 2 12 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 5 3 2 8 2 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 3 2 1 2 1 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 78

LCA zu RMQ: Beispiel LCA 6,8 = A RMQ B (C 6, C 8 ) = A RMQ B 7,11 = 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 5 6 1 9 7 2 12 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 9 4 7 4 9 2 3 6 3 5 3 2 8 2 9 B 0 1 2 1 0 1 2 3 2 3 2 1 2 1 0 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 79

FRAGEN? 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 80

Quellen RMQ & LCA https://www.topcoder.com/community/datascience/data-science-tutorials/range-minimum-queryand-lowest-commonancestor/#range_minimum_query_(rmq) Bisektionsverfahren https://apps.topcoder.com/forums//www.eclipse.org?m odule=thread&threadid=670168&start=0&mc=10 Ternäre Suche https://apps.topcoder.com/forums//www.eclipse.org?m odule=thread&threadid=670169&start=0&mc=2 Folien früherer Semester 17.05.2017 Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2 Suchen und Sortieren 81