Elementargeometrie- Kontrollfragen und aufgaben Grundlagen Grundlegende Begriffe, die in der Vorlesung zur Elementargeometrie nicht mehr explizit behandelt wurden 1. Sie sollten in der Lage sein, die folgenden Begriffe mathematisch völlig korrekt und sauber zu definieren: Strecke, Strahl bzw. Halbgerade, Parallelität von Geraden, Winkel, Inneres eines Winkels Nebenwinkel, Scheitelwinkel, rechter Winkel, Dreieck Innenwinkel eines Dreiecks, Inneres eines Dreiecks, Höhen eines Dreiecks, Gleichschenkliges Dreieck, Basis, Basiswinkel, Schenkel, Viereck, Innenwinkel eines Vierecks, Inneres eines Vierecks, Diagonalen eines Vierecks, Mittelsenkrechte einer Strecke (zwei prinzipiell verschiedene Definitionen), Winkelhalbierende eines Winkels (zwei prinzipiell verschiedene Definitionen), Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt, Dreieckstransversalen Kreis, Kugel, Winkel am Kreis, Bezüglich eines Kreises: Radius, Durchmesser, Sehne, Sekante, Tangente, Passante, Sehnenviereck, Trapez, Parallelogramm, gleichschenkliges Trapez, Rechteck, Quadrat, Drachen, Raute. Schulwissen ist durch nichts zu ersetzen: 2. Sie sollten die folgende Sätze formulieren und beweisen können: Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Starker Außenwinkelsatz für Dreiecke, Satz über die Innenwinkelsumme im Viereck, Satz über die Innenwinkelsumme im n-eck, Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen, Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck, Peripheriewinkelsatz, Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz, Satz des Thales. 3. Sie sollten die Formeln zur Berechnung des Flächeninhaltes und des Umfangs folgender Figuren kennen und ggf. herleiten können: Dreieck, Trapez, Parallelogramm, Rechteck, Quadrat. 4. Sie sollten die Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen der folgenden Körper kennen und Ideen zu deren Herleitung haben: Prismen, Zylinder, Kugel. 5. Haus der Vierecke 6. Arten von Dreiecken 1
Grundlegendes mathematisches Wissen und Können, das nicht nur der Geometrie zuzuordnen ist 7. Grundbegriffe der mathematische Logik Sie sollten zu den folgenden Begriffen ein grundlegendes Wissen haben: Implikation, Umkehrung einer Implikation, Kontraposition, Äquivalenz. Sie sollten folgendes können: Implikationen identifizieren, die Kontraposition zu einer Implikation formulieren, die Umkehrung zu einer Implikation bilden, Äquivalenzen identifizieren, Eine Implikation und deren Umkehrung ggf. zu einer Äquivalenz zusammenfassen. 8. Beweistechniken Sie sollten die folgenden Techniken beherrschen: Identifizieren von Voraussetzung(en) und Behauptung, direkte Beweise, indirekte Beweise. 9. Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen Sie sollten wissen, was man unter einer Äquivalenzrelation und unter Klasseneinteilungen versteht. Sie sollten den Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen erläutern können. Sie sollten wichtige Äquivalenzrelationen aus der Schulmathematik kennen und erläutern können. Sie sollten die Klasseneinteilungen erläutern können, die diese Relationen nach sich ziehen. Elementargeometrie Der Bewegungsbegriff (1) Der Begriff der Bewegung kann auf zwei prinzipiell verschiedene Arten und Weisen definiert werden. Erläutern Sie diese und geben Sie jeweils eine korrekte Definition des Bewegungsbegriffs entsprechend dieser Herangehensweisen an den Begriff an. (2) Beweisen Sie: Jede Bewegung ist eine Bijektion. (3) Begründen bzw. beweisen Sie die folgenden Invarianten von Bewegungen: Längentreue, Invarianz der Zwischenrelation, Streckentreue, Halbgeradentreue, Geradentreue, Winkeltreue, Invarianz von Winkelgrößen, Parallelentreue. Schuladäquate Begriffsbildungen für Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen (1) Formulieren Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden. (2) Leiten Sie aus der Konstruktionsbeschreibung entsprechend (1) eine mathematisch exakte Definition des Begriffs Geradenspiegelung ab, die keine operationale Definition ist. (3) Unter einer Bewegung wollen wir eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich verstehen. Beweisen Sie: Jede Geradenspiegelung entsprechend Teilaufgabe (2) ist eine Bewegung. (4) Formulieren Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung um einen Punkt mit dem Drehwinkel. 2
(5) Leiten Sie aus der Konstruktionsbeschreibung entsprechend (4) eine mathematisch exakte Definition des Begriffs Drehung ab, die keine operationale Definition ist. (6) Unter einer Bewegung wollen wir eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich verstehen. Beweisen Sie: Jede Drehung entsprechend Teilaufgabe (5) ist eine Bewegung. (7) Analog zu (1), (2), (3) bzw. (4), (5), (6) für den Begriff der Verschiebung. (8) Sie haben Geradenspiegelungen, Drehungen und Verschiebungen mit den Schülern behandelt. Der Lehrplan des Jahres 2020 (Der erste Lehrplan, in dem nach dem Abschluss des inhaltsleeren Kompetenzgequatsches wieder konkreter Stoff steht.) schreibt die explizite Behandlung des Bewegungsbegriffs vor. Wie würden Sie diesen für die Schüler fassen? (9) Definieren Sie den Begriff der Achsensymmetrie. (10) Beweisen Sie: Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. (11) Beweisen Sie: Jeder Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen über Fixpunkte festlegen (1) Erläutern Sie mittels Beispielen und Gegenbeispielen den Begriff des Fixpunktes bezüglich einer Abbildung. (2) Geben Sie eine formal exakte Definition des Begriffs Fixpunkt einer Abbildung an. (3) Erläutern Sie mittels Beispielen und Gegenbeispielen die Begriffe Fixgerade und Fixpunktgerade bezüglich einer Abbildung. (4) Beweisen Sie: Eine Bewegung hat entweder genau einen Fixpunkt oder genau eine Fixpunktgerade oder keinen Fixpunkt. (5) Definieren Sie den Begriff der Drehung mittels des Begriffs des Fixpunktes. (6) Beweisen Sie die Korrektheit Ihrer in (4) generierten Definition. (7) Definieren Sie den Begriff der Geradenspiegelung mittels des Begriffs der Fixpunktgeraden. (8) Beweisen Sie die Korrektheit Ihrer in (7) generierten Definition. (9) Man ist geneigt analog zu den Definitionen aus (5) und (7) zu definieren, dass eine Bewegung genau dann eine Verschiebung ist, wenn sie keinen Fixpunkt besitzt. Warum wäre diese Definition nicht korrekt? Bewegungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (1) Im Mathematikunterricht der allgemeinbildenden Schulen wird den Geradenspiegelungen ein größerer zeitlicher Rahmen eingeräumt als den übrigen Bewegungen. Erläutern Sie, was aus fachlicher Sicht für diese Vorgehensweise spricht. (2) Beweisen Sie Ihre Begründung aus (1). (3) Beweisen Sie: Es seien und zwei Geraden ein und derselben Ebene, die nicht identisch sind. Die Nacheinanderausführung der Spiegelungen an und ist genau dann kommutativ, wenn und senkrecht aufeinander stehen. (4) Beweisen Sie: Jede Drehung um mit dem Drehwinkel ist die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben und die einen Winkel einschließen, der halb so groß ist wie der Drehwinkel. (5) Beweisen Sie: Die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen, deren Spiegelachsen sich in genau dem Punkt schneiden und die einen Winkel der Größe einschließen ist eine Drehung um mit dem Drehwinkel. (6) Formulieren und beweisen Sie zu (4) und (5) analoge Aussagen bezüglich des Begriffs der Verschiebung. Der Kongruenzbegriff (1) Es gibt prinzipiell zwei verschiedene Zugangsweisen zum Begriff der Kongruenz von Figuren. Erläutern Sie diese. (2) Setzen Sie die beiden unter (1) erläuterten Zugangsweisen in Bezug zum naiven Begriff der Deckungsgleichheit der Schüler. 3
Bewegungen als Werkzeug und didaktisches Hilfsmittel im Geometrieunterricht (1) In den 60-ger Jahren des vorigen Jahrhunderts wurde der Geometrieunterricht einem Paradigmenwechsel unterworfen: Weg von Euklid, hin zu dynamischen Betrachtungsweisen. Erläutern Sie, welche Intentionen diesem Wechsel zugrunde lagen, und wie diese Intentionen letztlich in den 70-ger Jahren pervertiert wurden. (2) Inwiefern wirken die Pervertierungen noch heute nach und wie werden sie gerade aufgehoben? (Ein Blick in die gymnasialen Mathematikehrbücher der SI hilft.) (3) Begründen Sie, warum der Begriff der Bewegung in seiner vollständigen Bedeutung den Schülern verborgen bleiben muss (Hinweis: Figurkonzept). Erläutern Sie in diesem Zusammenhang, wie weit das Verständnis der Schüler auf der SI für den Begriff der Bewegung nur gehen kann. (4) Setzen Sie sich mit der Aussage auseinander, dass abbildungsgeometrische Beweise einfacher zu führen wären als Beweise, die nicht auf Abbildungen zurückgreifen. Argumentieren Sie mit Hilfe von Beispielen. (z.b. Basiswinkelsatz) (5) Erläutern Sie anhand von instruktiven Beispielen, wie Bewegungen helfen können, Konstruktionsprobleme zu lösen. Die Strahlensätze (1) Es sei eine Ebene und eine Gerade in dieser Ebene. Definieren Sie den Begriff der Parallelprojektion von auf. (2) Definieren Sie den Begriff des inneren und des äußeren Teilverhältnisses. (3) Beweisen Sie: Die Parallelität ist eine Invariante bei Parallelprojektionen. (4) Beweisen Sie: Das Teilverhältnis ist eine Invariante bei Parallelprojektionen. (5) Formulieren Sie den ersten Strahlensatz mithilfe des Begriffs der Parallelprojektion. (6) Erläutern Sie warum Sie mit dem Beweis von (4) den Beweis des ersten Strahlensatzes bereits geführt haben. (7) Beweisen Sie den weiteren Teil des ersten Strahlensatzes. (8) Erläutern Sie die Problematik der Inkommensurabilität bezüglich des Beweisen von (4) bzw. bezüglich des Beweises des ersten Strahlensatzes. (9) Beweisen Sie den ersten Strahlensatz mittels Flächeninhalten von Dreiecken. (10) Das Problem der Inkommensurabilität ist im unter (9) geführten Beweis scheinbar verschwunden. Wo ist es geblieben, bzw. wohin wurde es verlagert? (11) Formulieren Sie den ersten und den zweiten Strahlensatz schuladäquat. (12) Beweisen Sie den zweiten Strahlensatz. (13) Bilden Sie die Umkehrungen der Strahlensätze und referieren Sie über die Gültigkeit dieser Umkehrungen. Die Strahlensätze als Hilfsmittel zum Konstruieren (1) Was versteht man unter Konstruktionen mit Zirkel und Lineal? (2) Konstruktionen mit Zirkel und Lineal hatten in der Mathematik der alten Griechen eine Blütezeit. Inwiefern kann man die Existenz von irrationalen Zahlen hierfür verantwortlich machen? (3) Es seien und zwei verschiedene Punkte. Ferner sei. Die Strecke soll in zueinander kongruente Teilstrecken unterteilt werden. Erstellen Sie für dieses Problem eine Konstruktionsbeschreibung und begründen Sie deren Korrektheit. (4) Es seien und zwei verschiedene Punkte. Konstruieren Sie einen Punkt auf derart, dass gilt. (5) Was versteht man unter dem goldenen Schnitt? Beweisen Sie: Das Verhältnis des goldenen Schnittes berechnet sich zu. Zentrische Streckungen (1) Definieren Sie den Begriff der zentrischen Streckung. (2) Beweisen Sie: Die Menge der zentrischen Streckungen mit dem Streckzentrum ist bezüglich der Nacheinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe. 4
(3) Gegeben seien zwei zentrische Streckungen mit unterschiedlichen Streckzentren. Beweisen Sie: Wenn das Produkt der Streckfaktoren dieser beiden zentrischen Streckungen 1 ist, so ist die Nacheinanderausführung der beiden zentrischen Streckungen eine Verschiebung. (4) Gegeben seien zwei zentrische Streckungen mit unterschiedlichen Streckzentren. Beweisen Sie: Wenn das Produkt der Streckfaktoren dieser beiden zentrischen Streckungen verschieden von 1 ist, so ist die Nacheinanderausführung der beiden zentrischen Streckungen eine zentrische Streckung deren Streckfaktor gleich dem Produkt der der Streckfaktoren der beiden Einzelstreckungen ist. (5) Gegeben seien zwei zentrische Streckungen mit unterschiedlichen Streckzentren. Beweisen Sie: Wenn das Produkt der Streckfaktoren dieser beiden zentrischen Streckungen -1 ist, so ist die Nacheinanderausführung der beiden zentrischen Streckungen eine Drehung um 180. (6) Konstruieren Sie das resultierende Streckzentrum für den Fall entsprechend (4). Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktion. Ähnlichkeitsabbildungen (1) Definieren Sie den Begriff der Ähnlichkeitsabbildung. (2) Definieren Sie den Begriff der Ähnlichkeit zweier Figuren. (3) Formulieren und beweisen Sie die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke. (4) Erläutern Sie, inwiefern der Begriff der Kongruenz von Figuren im Begriff der Ähnlichkeit von Figuren aufgehoben ist. Satzgruppe des Pythagoras (1) Definieren Sie: rechtwinkliges Dreieck. Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, Hypotenusenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks. (2) Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei. sei der Fußpunkt des Lotes von auf. Beweisen Sie: Das Dreieck und die Teildreiecke und sind paarweise ähnlich zueinander. (3) Formulieren Sie den Höhensatz von Euklid. Beweisen Sie ihn mittels der Erkenntnisse von (2). (4) Formulieren und beweisen Sie den Kathetensatz. (5) Formulieren und beweisen Sie den Satz des Pythagoras. (6) Frau Schultze-Kröttendörfer hat mit ihren Schülern bisher nur den Satz des Pythagoras behandelt. Jetzt gibt sie den Schülern Dreiecke durch die Angabe von deren Seitenlängen vor. Taifur begründet: Weil für Dreieck 1 gilt, ist Dreieck 1 rechtwinklig. Gülcan begründet: Weil für Dreieck 2 gilt, kann Dreieck 2 nicht rechtwinklig sein. Nur eine der beiden Begründungen darf zu diesem Zeitpunkt der Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras als korrekt angesehen werden, Welche? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (7) Erläutern Sie verschiedene Möglichkeiten, wie die Schüler die Aussage des Satzes von Pythagoras im Unterricht entdecken könnten. (8) Konstruieren Sie eine Strecke der Länge. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktion. 5