Was ist MATLAB? Typische Anwendungen

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1 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 1 Was ist MATLAB? numerisches Berechnungs- und Simulationswerkzeug integriert Berechnung, Visualisierung und Programmierung gleichzeitig höhere Programmiersprache und interaktives Rechenwerkzeug einheitliche Umgebung Interpretersprache High-Performance Computing? ideal für mathematisches Rapid Prototyping Ein Beispiel für die Vorteile von Matlab: Matrixmultiplikation In Java: double a[][] = new double[10][10]; double b[][] = new double[10][10]; double c[][] = new double[10][10]; For(int k=0;k< a[1].length; k++) For(int l=0;k< b.length; k++) { c[k][l] = 0; For(int m=0;k< b[k].length; k++) c[k][l] += a[k][m]*b[m][l]; } In Matlab A = zeros(10); B = zeros(10): C = A*B; Matlab ist weder die schnellste, noch die eleganteste Sprache. Es ist aber vielseitig und nützlich Schweizer Taschenmesser der Numerik Typische Anwungen Mathematik und Numerik Entwicklung mathematischer Algorithmen Simulationen Daten-Aufnahme, -Analyse, -Visualisierung Entwicklung von Anwungen mit grafischer Benutzerschnittstelle Industrie und Universitäten für Forschung und Lehre

2 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 2 Das MATLAB System 1. Entwicklungsumgebung Umgebung zur effizienten Nutzung der MATLAB-Funktionalität (Command-Window, Editor, Debugger, Help-Browser, Profiler,...) 2. Bibliothek mathematischer Funktionen Sammlung arithmetischer Algorithmen (Summe, Sinus, Kosinus,..., lineare Algebra, Fourier- Transformation, Statistik, Bildbearbeitung, Parallel und GPU-Computing, usw ) 3. Sprache MATLAB Aufruf der arithmetischen Algorithmen, Bildung von Datenstrukturen, Steuerung des Programmablaufs 4. Grafik grafische Darstellung von Vektoren und Matrizen, 2D, 3D, Animationen, Bildverarbeitung, grafische Interfaces 5. Application Program Interface (API) Schnittstelle zu den Programmiersprachen C und Fortran (dynamic linking, computational engine) Alternativen Octave teilweise code-kompatibel, GNU-Freeware, ( weniger Features Maple/Mathematica konzentrieren sich eher auf analytische/symbolische Probleme Hochsprachen (Fortran, C(++,#), Java) höherer Entwicklungsaufwand, Kompatibilitätsprobleme, weniger Bibliotheken, bessere Systemintegration, schnellere Ausführung, teilweise Freeware

3 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 3 Schnellstart in MATLAB Matlab als besserer Taschenrechner 1) Notation >> Eingabe Ausgabe Kommentar Name Variable der 2) Skalaroperationen >> a=16 a = 16 Workspace-Window beobachten >> b=2 b = 2 >> a+b 18 Zuweisung des Ergebnisses zur Variable ans (von engl. answer) >> c=a+b c = 18 >> c=a*b c = 32 3) Komplexe Zahlen >> c=1+2*i (oder 2*j oder 2*1i) c = i >> c*c i Achtung: Variable i nicht überschreiben!!! >> i=3 i = >> c=1+2*i c = Inhalt Variable der Ans steht für Answer 4) Vektoren Trennung der Elemente durch Komma oder Leerzeichen >> a=[16,b,3,13] a = >> a* >> b=[ ] b = >> a+b Immer noch a aber komplett neuer Inhalt

4 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite >> a*b??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Vektoren sind eigentlich Matrizen! >> a' >> a'*b Skalarprodukt >> b*a' 236 5) Komponentenweise Operatoren >> a.*b Transponieren! Spaltenvektor*Zeilen vektor ergibt Matrix Zeilenvektor*Spalten vektor ergibt Skalarprodukt 6) Zugriff auf Einzelelemente >> a(1)+a(2)+a(3)+a(4) >> a(5)??? Index exceeds matrix dimensions. >> a(6)=7 a = >> a=[a,b] a = dynamische Anpassung des Speicherplatzes >> a(6)=[] a = [] ist leerer Vektor 7) Der Doppelpunkt Operator >> 1: >> 1:2: >> a=a(1:4) a = >> a(:) (:) macht aus JEDEM Array einen Spaltenvektor.* bedeutet, dass a und b nicht als Matrizen, sondern nur als Zahlenreihen zu behandeln sind (sog. Arrays) Wenn das 6. Feld beschrieben werden soll, muss auch das 5. definiert sein MatLab versucht es mit 0

5 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite >> alpha=(-pi:pi/10:pi) alpha = Columns 1 through Columns 11 through Column ) Unterdrückung der Ausgabe mit dem End-Semikolon >> alpha=(-pi:pi/10:pi); 9) Mathematische Funktionen >> sin(pi/2) 1 >> s=sin(alpha); >> c=cos(alpha); viele Funktionen arbeiten sowohl auf einzelnen Zahlen, als auch auf ganzen Zahlenfeldern (sog. Vektorisierung) 10) Grafik mit der PLOT-Funktion >> plot(s) >> plot(alpha,s) >> plot(s,c) >> plot(s,c,'o') >> plot(s,c,s*2,c*2) >> plot(s,c,'o',s*2,c*2) >> plot(s,c,'o',s*2,c*2,'m') Zurückholen der letzten Eingabe mit CURSOR UP, bzw. Anfangsbuchstabe und CURSOR UP >> plot(s,c,'o',s*2,c*2,'--b') Was ist b? Bearbeitung der Grafikeigenschaften im Grafikfenster 11) Matritzen >> A=[1 2;3 4] A = >> A=[a; b; ; ] A = ) Zugriff auf Einzelelemente Summe der ersten Spalte >> A(1,1)+A(2,1)+A(3,1)+A(4,1) sequentielle Indizierung >> A(1)+A(2)+A(3)+A(4)

6 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 6 Selbständige Aufgabe: Summe der zweiten Zeile >> A(2,1)+A(2,2)+A(2,3)+A(2,4) Selbständige Aufgabe: Summe der dritten Spalte >> A(1,3)+A(2,3)+A(3,3)+A(4,3) Summe aller Spalten >> sum(a) (oder sum(a,1)) Summe aller Zeilen (durch Transponieren) >> sum(a') (oder sum(a,2)) Summe der Diagonalen >> sum(diag(a)) MATLAB ist eine Hochsprache und beinhaltet auch solche komplexen Befehle. Summe der Gegiagonalen (durch Links-Rechts-Spiegelung) >> sum(diag(fliplr(a))) 13) Der Doppelpunkt Operator Vertauschung der beiden mittleren Spalten >> A=A(:,[ ]) A = Aufgabe: Überprüfen der Magie- Summe der Diagonalen, mit Befehlswiederholung >> sum(diag(a)) Aufgabe: Überprüfen der Magie- Summe der Gegiagonalen (durch Links-Rechts- Spiegelung) >> sum(diag(fliplr(a))) Löschen der zweiten Spalte >> A(:,2)=[] A = ) Höherdimensionale Objekte Konstruktion eines 3D Arrays >> A=zeros(2,3,4) A(:,:,1) = A(:,:,2) = also: 4 Matrizen, mit jeweils 2 Zeilen und 3 Spalten oder auch: A(1:4,[ ]) oder auch: A([ ],[ ])

7 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 7 A(:,:,3) = A(:,:,4) = Zugriff auf Einzelelement >> A(1,2,3) 0 Zugriff auf erste Seite >> A(:,:,1) Größe bestimmen >> size(a) ) Lineare Algebra Rekonstruktion des magischen Quadrats >> A=magic(4) A = Summe einer quadratischen Matrix mit der Transponierten => Symmetrie >> A+A' Invertieren der Matrix >> inv(a) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e e+014 * singuläre Matrix aber durch Rundungsfehler für den Algorithmus nicht sicher zu erkennen Überprüfung durch Bestimmung der Determinante >> det(a) 0 Wie sehen die Eigenwerte einer singulären Matrix aus? >> eig(a)

8 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 8 Richtig! Einer ist Null. Aber weshalb schon wieder diese magische? Ursache ist, dass der Eins-Vektor ein Eigenvektor ist. Überprüfung: >> eigv=ones(4,1) eigv = >> A*eigv Matrix*Spaltenvektor Richtig! Der Eins-Vektor ist der Eigenvektor zum Eigenwert. 16) 2D Grafik mit den Funktionen image, mesh und surf >> A=magic(8) A =... >> image(a) >> colorbar Darstellung quasi-continuierlicher Funktionenverläufe Erstellen des Grundgebietes >> [X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8); >> R=sqrt(X.^2+Y.^2); >> Z=sin(R)./R; >> mesh(x,y,z) Wert im Zentrum fehlt da Division durch Null im Ursprung Z-Wert im Zentrum nicht darstellbar => siehe WORKSPACE => Doppelklick auf Z und dort steht in Z(17,17) NaN (engl. Not a Number) Korrektur durch Zufügen eines kleinen Wertes eps >> R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; >> Z=sin(R)./R; >> mesh(x,y,z) Verschönerung >> surf(x,y,z) Noch mehr Verschönerung >> surf(x,y,z,'facecolor','red','edgecolor','none') >> camlight left >> lighting phong >> view(-15,65) alle Befehle auch interaktiv über Schönes Bild! Benutzeroberfläche 17) Abspeichern von Ergebnissen save speichert alle Variablen des Arbeitsbereichs in File matlab.mat load Einlesen des Files matlab.mat Beispiel: >> save Saving to: matlab.mat >> clear >> load save('filename','variable','format') speichert eine Variablen als ASCII-File Beispiel: save ('test.dat','a','-ascii') File im Editor ansehen Über das Menü im Workspace ansteuerbar!

9 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 9 18) ZUSATZ: Weitere Datentypen: char-arrays (Strings) >> text='hallo Welt' text = Hallo Welt Was ist eigentlich ein Text? >> size(text) 1 10 Ein array?! Könnte man dann nicht auch? >> text(2:4) all oder vielleicht? >> text(2:4).^ e e e+003 Hat keinen Sinn aber Matlab stört sich daran NICHT! Vorsicht bei Arrays von Strings (geht i.a. nicht)! 19) ZUSATZ: Weitere Datentypen: struct Container für zusammengesetzte Daten erzeugen >> s.vorlesung = 'Computational Physics 1'; >> s.teilnehmer = 3; >> s.matrikel = [ ]; >> s s = Vorlesung: 'Computational Physics 1' Teilnehmer: e+000 Matrikel: [12.50e e e+003] Auf einzelne Elemente zugreifen >> s.matrikel(1:2) Davon kann man auch Arrays machen! >> S = [s, s] S = 1x2 struct array with fields: Vorlesung Teilnehmer Matrikel

10 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 10 Einfache Übungsaufgaben 1) Erzeugen Sie einen Vektor, der alle geraden Zahlen zwischen 100 und 400 enthält. 2) Erzeugen Sie eine quadratische Matrix der Größe 4x4, welche alle natürlichen Zahlen von 1-16 in aufsteiger Reihenfolge enthält. 3) Plotten Sie die Gauß-Funktion exp(-x 2 ) im Intervall von -10 bis 10.

11 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 11 Programmieren in MATLAB Mehr als nur ein Taschenrechner 1) Definition eigener Funktionen Anlegen eines neuen m-files im m-file-editor mit folgem Beispielinhalt: function summe=addi(s1,s2) % Berechnung der Summe zweier Zahlen summe=s1+s2; 1. Zeile: Keywort (function) Ausgangsargument (summe) = Funktionenname (addi) Eingangsargumente (s1 und s2) 2. Zeile: Komentar der bei help addi angezeigt wird 3. Zeile: Funktionskörper, irgwo muss dem Ausgangsargument ein Wert zugewiesen werden Abspeichern des m-files mit dem Namen addi.m im Arbeitsverzeichnis Ausprobieren: >> addi(1,2) 3 2) ZUSATZ: Hilfe zu eigenen Funktionen Der help befehl druckt den ersten zusammenhängen Kommentar (%) Block >> help addi Berechnung der Summe zweier Zahlen 3) Funktionen als Argument von Funktionen Sollen Funktionen auf beliebige zu wähle Funktionen wirken, müssen diese als Argument an die Funktion übergeben werden. Übergabe erfolgt in Form von handle. >>func=@(x)(sin(x)).^2 Die Funktioneklaration muss die Übergabe des fhandle enthalten: function x=plot_funktion(fhandle,x) Innerhalb der Funktion wird die übergebene Funktion durch ihren fhandle mit feval aufgerufen. plot(x,fhandle(x)) oder: plot(x,feval(fhandle,x)) Addi.m kann nur gefunden werden, wenn es im Working Directory liegt (oberhalb von command window) angezeigt! Ausprobieren: >> plot_funktion(func,-pi:0.01:pi) >> plot_funktion(@(x)sin(x),-pi:0.01:pi) Dateiname MUSS addi.m sein sonst großes Chaos abkürze Schreibweise für: func ist eine Funktion mit einem Parameter x die sich errechnet, indem man von x den sinus nimmt und quadriert

12 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 12 Steuerung des Programmablaufes mehr als zusammengefasste Befehle 4) if - Verzweigung Auswertung eines logischen Ausdrucks und Abarbeitung einer Befehlsfolge, wenn der logische Ausdruck wahr ist, sonst Alternative Notation: if log. Ausdruck 1 Befehlsfolge 1 elseif log. Ausdruck 2 Befehlsfolge 2 else Befehlsfolge 3 Beispiel: if a>b else max=a; max=b; ACHTUNG: Unterscheidung zwischen zuweisem Ist-Gleich ( a=b sei a gleich b ) und vergleichem Ist-Gleich ( a==b. ist a gleich b?) 5) for - Schleife Wiederholung einer Befehlsfolge eine vorgegebene Anzahl mal. Notation: for Laufvariable = Startwert : Endwert Befehlsfolge Beispiel: fakultaet=1; for i=2:n fakultaet=fakultaet*i; Anmerkung: Schleifen in MATLAB sind nicht immer effizient innere Schleifen können auf Vektor/Matrix-Operationen abgebildet werden 6) while - Schleife Wiederholung einer Befehlsfolge so lange ein logischer Ausdruck wahr ist. Notation: while logischer Ausdruck Befehlsfolge Beispiel: fakultaet=1; i=2 while i<=n fakultaet=fakultaet*i; i=i+1;

13 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 13 7) continue - Anweisung Sprung in nächste for- oder while-schleife unter Umgehung noch folger Befehle der in der Schleife befindlichen Befehlsfolge Notation: while logischer Ausdruck 1 Befehlsfolge 1 if logischer Ausdruck 2 continue Befehlsfolge 2 8) break - Anweisung vorzeitiges Been einer for- oder while-schleife unter Umgehung noch folger Befehle der in der Schleife befindlichen Befehlsfolge Notation: while logischer Ausdruck 1 Befehlsfolge 1 if logischer Ausdruck 2 break Befehlsfolge 2 9) case Anweisung Auswahl zwischen mehreren Alternativen für den Wert eines Ausdrucks Notation: switch Ausdruck case Wert1 Befehlsfolge 1 case Wert2 Befehlsfolge 2... otherwise Befehlsfolge n Beispiel: switch day_string case Montag day_numeric = 1; case Dienstag day_numeric = 2;... otherwise day_numeric = 0;

14 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 14 Übungsaufgabe: Numerische Differentiation Aufgabe 1 Konvergenzverhalten: Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten des rechtsseitigen Differenzenquotienten f( xi+ 1) f( xi) Dh f ( x) =. x x in Abhängigkeit von der Schrittweite h= xi+ 1 xi für die periodische Funktion sin(x). Programmieren Sie dazu eine MatLab-Funktion zur numerischen Differentiation einer beliebigen analytischen Funktion basier auf der obigen Definition des rechtsseitigen Differenzenquotienten. Berechnen Sie unter Verwung dieser Funktion den Gesamtfehler i+ 1 ( h) h E h f ( x) D f ( x) = = h h x= 50 x= 50 im Intervall x = [-50,50] in Abhängigkeit von der Schrittweite. (Achtung: die Summengrenzen (-50,50) sind hier nur symbolischer Art und bezeichnen die Grenzen des Summationsbereiches in x. Die in der Berechnung zu verwen Grenzen haben eine Abhängigkeit von h.) f (x) ist dabei die analytische Ableitung der zu differenzieren Funktion f. Stellen Sie (h) für Schrittweiten im Intervall h = [0,3] grafisch dar. Stellen Sie außerdem auch den lokalen Fehler E h für drei h 0,3 im Intervall x = [-50,50] grafisch verschiedene [ ] dar. Beschreiben und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. i

15 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 15 Ihre Funktion soll als Eingabeargumente die zu differenziere Funktion, die Intervallgrenzen a und b sowie die Schrittweite h erhalten. Sie soll die Vektoren xwerte und ableitung zurückgeben. Die Definition der zu differenzieren Funktion f(x) soll extern erfolgen. Nutzen Sie hierbei die in Matlab vorgesehene Übergabe von Funktionen mittels handles. Die grafischen Darstellungen sollen mit einem separaten MatLab-Skript erzeugt werden, dessen Struktur nicht vorgegeben ist. Funktionskopf: function [xwerte, ableitung] = diffquot(fhandle,a,b,h) % fhandle: Funktionshandle zur analytischen Funktion welche abgeleitet werden soll % a,b: untere und obere Intervallgrenzen % h: Schrittweite der Differentiation % Funktionsaufruf: [xwerte, ableitung] = diffquot(fhandle, a, b, h) % Beispiel: [xwerte, ableitung] = diffquot(@(x) sin(x), -10, 10, 0.1);

16 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 16 Hilfreiche Funktionen: sum(x) berechnet die Summe der Elemente des Vektors x function_handle(@) verknüpft eine Variable mit einer Funktion, z.b. fhandle x.^2 oder fhandle sin(x) plot(x,y) stellt y Werte über den übergebenen x Werten graphisch dar Die Lösungen sind als -Anhang bis spätestens , 04:00 Uhr morgens zu sen an: thomas.pertsch@uni-jena.de. Bitte unbedingt Name, Matrikelnummer, Computational Physics I und Nummer der Übungsserie in die Betreffzeile der schreiben. Einzusen sind mindestens die Differentiationsfunktion diffquot.m und eine 1-2 seitige Darstellung Ihrer Ergebnisse, welche die erzeugten Bilder und deren Beschreibung sowie Interpretation beinhaltet.