Was ist MATLAB? Typische Anwendungen

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1 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 1 Was ist MATLAB? numerisches Berechnungs- und Simulationswerkzeug integriert Berechnung, Visualisierung und Programmierung gleichzeitig höhere Programmiersprache und interaktives Rechenwerkzeug einheitliche Umgebung Interpretersprache High-Performance Computing? ideal für mathematisches Rapid Prototyping Ein Beispiel für die Vorteile von Matlab: Matrixmultiplikation In Java: double a[][] = new double[10][10]; double b[][] = new double[10][10]; double c[][] = new double[10][10]; For(int k=0;k< a[1].length; k++) For(int l=0;k< b.length; k++) { c[k][l] = 0; For(int m=0;k< b[k].length; k++) c[k][l] += a[k][m]*b[m][l]; } In Matlab zeros(10); B = zeros(10): C = A*B; Matlab ist weder die schnellste, noch die eleganteste Sprache. Es ist aber vielseitig und nützlich Schweizer Taschenmesser der Numerik Typische Anwendungen Mathematik und Numerik Entwicklung mathematischer Algorithmen Simulationen Daten-Aufnahme, -Analyse, -Visualisierung Entwicklung von Anwendungen mit grafischer Benutzerschnittstelle Industrie und Universitäten für Forschung und Lehre

2 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 2 Das MATLAB System 1. Entwicklungsumgebung Umgebung zur effizienten Nutzung der MATLAB-Funktionalität (Command-Window, Editor, Debugger, Help-Browser, Profiler,...) 2. Bibliothek mathematischer Funktionen Sammlung arithmetischer Algorithmen (Summe, Sinus, Kosinus,..., lineare Algebra, Fourier- Transformation, Statistik, Bildbearbeitung, Parallel und GPU-Computing, usw ) 3. Sprache MATLAB Aufruf der arithmetischen Algorithmen, Bildung von Datenstrukturen, Steuerung des Programmablaufs 4. Grafik grafische Darstellung von Vektoren und Matrizen, 2D, 3D, Animationen, Bildverarbeitung, grafische Interfaces 5. Application Program Interface (API) Schnittstelle zu den Programmiersprachen C und Fortran (dynamic linking, computational engine) Alternativen Octave teilweise code-kompatibel, GNU-Freeware, ( weniger Features Maple/Mathematica konzentrieren sich eher auf analytische/symbolische Probleme Hochsprachen (Fortran, C(++,#), Java) höherer Entwicklungsaufwand, Kompatibilitätsprobleme, weniger Bibliotheken, bessere Systemintegration, schnellere Ausführung, teilweise Freeware

3 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 3 Schnellstart in MATLAB Matlab als besserer Taschenrechner 1) Notation >> Eingabe Ausgabe Kommentar Name Variable der 2) Skalaroperationen >> a=16 16 Workspace-Window beobachten >> b=2 b = 2 >> a+b 18 Zuweisung des Ergebnisses zur Variable ans (von engl. answer) >> c=a+b c = 18 >> c=a*b c = 32 3) Komplexe Zahlen >> c=1+2*i (oder 2*j oder 2*1i) c = i >> c*c i Achtung: Variable i nicht überschreiben!!! >> i=3 i = >> c=1+2*i c = Inhalt Variable der Ans steht für Answer 4) Vektoren Trennung der Elemente durch Komma oder Leerzeichen >> a=[16,b,3,13] >> a* >> b=[ ] b = >> a+b Immer noch a aber komplett neuer Inhalt

4 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite >> a*b??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Vektoren sind eigentlich Matrizen! >> a' >> a'*b Skalarprodukt >> b*a' 236 5) Komponentenweise Operatoren >> a.*b Transponieren! Spaltenvektor*Zeilen vektor ergibt Matrix Zeilenvektor*Spalten vektor ergibt Skalarprodukt 6) Zugriff auf Einzelelemente >> a(1)+a(2)+a(3)+a(4) >> a(5)??? Index exceeds matrix dimensions. >> a(6)= >> a=[a,b] dynamische Anpassung des Speicherplatzes >> a(6)=[] [] ist leerer Vektor 7) Der Doppelpunkt Operator >> 1: >> 1:2: >> a=a(1:4) >> a(:) (:) macht aus JEDEM Array einen Spaltenvektor.* bedeutet, dass a und b nicht als Matrizen, sondern nur als Zahlenreihen zu behandeln sind (sog. Arrays) Wenn das 6. Feld beschrieben werden soll, muss auch das 5. definiert sein MatLab versucht es mit 0

5 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite >> alpha=(-pi:pi/10:pi) alph Columns 1 through Columns 11 through Column ) Unterdrückung der Ausgabe mit dem End-Semikolon >> alpha=(-pi:pi/10:pi); 9) Mathematische Funktionen >> sin(pi/2) 1 >> s=sin(alpha); >> c=cos(alpha); viele Funktionen arbeiten sowohl auf einzelnen Zahlen, als auch auf ganzen Zahlenfeldern (sog. Vektorisierung) 10) Grafik mit der PLOT-Funktion >> plot(s) >> plot(alpha,s) >> plot(s,c) >> plot(s,c,'o') >> plot(s,c,s*2,c*2) >> plot(s,c,'o',s*2,c*2) >> plot(s,c,'o',s*2,c*2,'m') Zurückholen der letzten Eingabe mit CURSOR UP, bzw. Anfangsbuchstabe und CURSOR UP >> plot(s,c,'o',s*2,c*2,'--b') Was ist b? Bearbeitung der Grafikeigenschaften im GrafikfensterMatritzen >> A=[1 2;3 4] >> A=[a; b; ; ] ) Zugriff auf Einzelelemente Summe der ersten Spalte >> A(1,1)+A(2,1)+A(3,1)+A(4,1) sequentielle Indizierung >> A(1)+A(2)+A(3)+A(4) Selbständige Aufgabe: Summe der zweiten Zeile >> A(2,1)+A(2,2)+A(2,3)+A(2,4)

6 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 6 Selbständige Aufgabe: Summe der dritten Spalte >> A(1,3)+A(2,3)+A(3,3)+A(4,3) Summe aller Spalten >> sum(a) (oder sum(a,1)) Summe aller Zeilen (durch Transponieren) >> sum(a') (oder sum(a,2)) Summe der Diagonalen >> sum(diag(a)) MATLAB ist eine Hochsprache und beinhaltet auch solche komplexen Befehle. Summe der Gegendiagonalen (durch Links-Rechts-Spiegelung) >> sum(diag(fliplr(a))) 12) Der Doppelpunkt Operator Vertauschung der beiden mittleren Spalten >> A=A(:,[ ]) Aufgabe: Überprüfen der Magie- Summe der Diagonalen, mit Befehlswiederholung >> sum(diag(a)) Aufgabe: Überprüfen der Magie- Summe der Gegendiagonalen (durch Links-Rechts- Spiegelung) >> sum(diag(fliplr(a))) Löschen der zweiten Spalte >> A(:,2)=[] ) Höherdimensionale Objekte Konstruktion eines 3D Arrays >> A=zeros(2,3,4) A(:,:,1) = A(:,:,2) = A(:,:,3) = also: 4 Matrizen, mit jeweils 2 Zeilen und 3 Spalten oder auch: A(1:4,[ ]) oder auch: A([ ],[ ])

7 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 7 A(:,:,4) = Zugriff auf Einzelelement >> A(1,2,3) 0 Zugriff auf erste Seite >> A(:,:,1) Größe bestimmen >> size(a) ) Lineare Algebra Rekonstruktion des magischen Quadrats >> A=magic(4) Summe einer quadratischen Matrix mit der Transponierten => Symmetrie >> A+A' Invertieren der Matrix >> inv(a) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e e+014 * singuläre Matrix aber durch Rundungsfehler für den Algorithmus nicht sicher zu erkennen Überprüfung durch Bestimmung der Determinante >> det(a) 0 Wie sehen die Eigenwerte einer singulären Matrix aus? >> eig(a) Richtig! Einer ist Null. Aber weshalb schon wieder diese magische? Ursache ist, dass der Eins-Vektor ein Eigenvektor ist.

8 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 8 Überprüfung: >> eigv=ones(4,1) eigv = >> A*eigv Matrix*Spaltenvektor Richtig! Der Eins-Vektor ist der Eigenvektor zum Eigenwert. 15) 2D Grafik mit den Funktionen image, mesh und surf >> A=magic(8)... >> image(a) >> colorbar Darstellung quasi-continuierlicher Funktionenverläufe Erstellen des Grundgebietes >> [X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8); >> R=sqrt(X.^2+Y.^2); >> Z=sin(R)./R; >> mesh(x,y,z) Wert im Zentrum fehlt da Division durch Null im Ursprung Z-Wert im Zentrum nicht darstellbar => siehe WORKSPACE => Doppelklick auf Z und dort steht in Z(17,17) NaN (engl. Not a Number) Korrektur durch Zufügen eines kleinen Wertes eps >> R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; >> Z=sin(R)./R; >> mesh(x,y,z) Verschönerung >> surf(x,y,z) Noch mehr Verschönerung >> surf(x,y,z,'facecolor','red','edgecolor','none') >> camlight left >> lighting phong >> view(-15,65) alle Befehle auch interaktiv über Schönes Bild! Benutzeroberfläche 16) Abspeichern von Ergebnissen save speichert alle Variablen des Arbeitsbereichs in File matlab.mat load Einlesen des Files matlab.mat Beispiel: >> save Saving to: matlab.mat >> clear >> load save('filename','variable','format') speichert eine Variablen als ASCII-File Beispiel: save ('test.dat','a','-ascii') File im Editor ansehen Über das Menü im Workspace ansteuerbar! 17) ZUSATZ: Weitere Datentypen: char-arrays (Strings) >> text='hallo Welt'

9 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 9 text = Hallo Welt Was ist eigentlich ein Text? >> size(text) 1 10 Ein array?! Könnte man dann nicht auch? >> text(2:4) all oder vielleicht? >> text(2:4).^ e e e+003 Hat keinen Sinn aber Matlab stört sich daran NICHT! Vorsicht bei Arrays von Strings (geht i.a. nicht)! 18) ZUSATZ: Weitere Datentypen: struct Container für zusammengesetzte Daten erzeugen >> s.vorlesung = 'Computational Physics 1'; >> s.teilnehmer = 3; >> s.matrikel = [ ]; >> s s = Vorlesung: 'Computational Physics 1' Teilnehmer: e+000 Matrikel: [12.50e e e+003] Auf einzelne Elemente zugreifen >> s.matrikel(1:2) Davon kann man auch Arrays machen! >> S = [s, s] S = 1x2 struct array with fields: Vorlesung Teilnehmer Matrikel

10 Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 10 Einfache Übungsaufgaben 1) Erzeugen Sie einen Vektor, der alle geraden Zahlen zwischen 100 und 400 enthält. 2) Erzeugen Sie eine quadratische Matrix der Größe 4x4, welche alle natürlichen Zahlen von 1-16 in aufsteigender Reihenfolge enthält. 3) Plotten Sie die Gauß-Funktion exp(-x 2 ) im Intervall von -10 bis 10.