Theoretische Informatik

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1 HTWM Hochschule für Technik und Wirtschaft Mittweida University of Applied Sciences Technikumsplatz 17 0xxxx Mittweida Fachbereich: MPI Fachgruppe Informatik Seminargruppe: IF99P1 Mitschrift von: Isabel Drost Massaneier Str Waldheim Theoretische Informatik Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 1 von 9

2 Alles was entscheidbar ist, ist auch aufzählbar! Beispiele aufzählbarer Mengen: 1. Natürliche Zahlen 1. Primzahlen Entscheidbar: T Element von M Aufzählbar: T T kein Element von M I Semipositiv entscheidbar: A I M T M Zusammenhänge: (semipositiv=semientscheidbar) 1. entscheidbar=> aufzählbar (Satz x) 2. entscheidbar=> semipositiv entscheidbar 3. entscheidbar=> seminegativ entscheidbar 4. seminegativ+semipositiv <=> entscheidbar 5. Satz 7 6. M semipositiv=> ϕ(m) negativ semientscheidbar 7. M semipositiv=> M aufzählbar (Nachweis: DB von semientscheidbar: M, satz8: M ist aufzählbar, da es semientscheidbar ist. ) X(Kappa)(x)=1 falls x M n.d. sonst (Partielle Charakteristische Funktion von M) Bemerkungen: 1. Aufzählbarkeit und semipositivität sind synonym. 2. Eine Menge ist entscheidbar, wenn die charakt. Fkt. c M berechenbar ist, sie ist aufzählbar, wenn die part. charakt. Fkt. X M berechenbar ist. tϕϕ t ϕϕ A M A M T Μ T ϕ(μ) Zu 6.: ist A m semientscheidbar, ist dessen Komplement semientscheidbar. Damit sind Entscheidungen immer für die gleichen Zahlen möglich. Beispieltabelle: entscheidbar aufzählbar=positiv semientsch. neg. entscheidbar M 3 ={[i,j]: ϕ i, ϕ j Pr,ϕ i ϕ j } i, j=nummern von Funktionen (Programme von Fkt.) M 1 =DBϕ, ϕ P a M 2 ={[i,j]: ϕ i, ϕ j Pr,ϕ i= ϕ j } M2: gibt es einen Algorithmus, der herausfindet, ob beide das gleiche leisten, den gleichen Output liefern (nicht entscheidbar!) M 2 ={[i,j]: ϕ i, ϕ j Pr,ϕ i= ϕ j } aufzählbar hieße, ich kann nacheinander neue Programme erstellen, die den gleichen Algorithmus nach meiner Vorgabe liefern bzw. ich kann bei seminegativ welche finden, die das Gegenteil liefern. Ob sie verschieden sind, krieg ich raus: nach endlicher Zeit kann ich dann nämlich aufhören, zu kontrollieren, ob sie den gleichen Output haben, nämlich an der Stelle, wo sie sich dann unterscheiden. M 3 ={[i,j]: ϕ i, ϕ j Pr,ϕ i ϕ j } ist aufzählbar nach den Dove-tailing-Verfahren. Vorgehensweise: Nimm an, Du hast ein Paar x 1, x 2, wenn die beiden Ausgaben der Funktionen Phi verschieden sind, so kriege ich das nach endlicher Zeit heraus. Wenn sie identisch sind, kriege ich das nicht raus. Also ist M3 positiv entscheidbar, aufzählbar. Nicht aber neg. semientscheidbar. Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 2 von 9

3 Das Dove-tailing-Verfahren: Ergänzung zum Beweis von Satz8: RE={D ϕ :ϕp a } RE {W ϕ :ϕ P a } und zu zeigen: RE {W ϕ :ϕ P a } Es sei M=W ϕ (ϕ P a) Konstruktion einer Aufzählung f für M mit dovetailing (dt). 1. Fall: W ϕ =φ=m RE (Definition) 1. Fall: W ϕ <>φ=> es gibt ein a W ϕ a falls im x-ten Schritt von dt die Berechnung abbricht f(x)= Df { } ϕ (i) falls die Berechnung von ϕ (i) abbricht f(x)= W ϕ Seminar 2 mit Topflappen Weise nach, das H10={[a 0,...,a n ]:n N a i Z von i=0 bis n a i *x i =0 besitzt ganzzahlige Lösung} H10 REC stimmt REC=RE? Zeige H10 ist aufzählbar (Strategie Dove-tailing) Im x-ten Schritt des Dovetailing wird festgestellt, dass x 0 [1,-1] (entspricht 1-x=0) keine Lösung von t n ist f(x)={ } t n (Neu gefundenes, lösbares Polynom)Im x-ten Schritt des Dovetailing wird festgestellt, dass x 0 eine Lösung von t n ist. to t1... tn x [*] RE (aufzählbar) REC (entscheidbar) ϕ (N) FIN = Menge aller endlichen Mengen Ist A entscheibar, ist auch ihr Komplement entscheidbar. Komplement zu endlichen Mengen ist unendliche, da beide zusammen die natürlichen Zahlen ergibt. Komplement von B kann entweder endlich oder nur entscheidbar sein. Beispiel endlich: B sei Menge der natürlichen Zahlen ohne die 1. Beispiel undendlich: Menge der positiven ganzen Zahlen. Komplement von C liegt nur innerhalb der Menge aller Komplemente ist nicht aufzählbar und nicht entscheidbar (Satz7) Komplement von D kann aufzählbar sein, aber auch außerhalb liegen. card(re/ REC/ FIN)= ℵ 0 (abzählbar) card(ϕ(n))= ℵ 1 (überabzählbar) Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 3 von 9

4 M N REC (entscheidbar) RE (aufzählbar) unendlich nein nein wiederholungsfrei nummerierbar nein nein monoton nummerierbar nein nein strengmonoton nummerierbar nein nein berechenbar nummerierbar nein ja wiederholgsfrei berechen. num.bar nein ja streng monoton berechn. num.bar ja ja endlich ja ja Das Post sche Korrespondenzproblem: Geg: Folge ((x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),..., (x n,y n )) (Folge von Wortpaaren über einem Alphabet) mit x i,y i X *. Ges: I=(i 1,i 2,... i n ) mit x i1 x i2... x in =y i1... y in Bsp: K1=((1,101),(10,00),(011,11)) I=(1, 3,2,3) x y x y x y geht nicht x y sieht besser aus x y fertig Es ist algorithmisch nicht entscheidbar, ob ein PKP (Post sches Korrespondenzproblem) lösbar ist, oder nicht. K2=((001,0),01,011,(01,101),(10,001)) diese hat als kürzeste Lösung hat 66 Elemente. Ist die Menge der PKP aufzählbar/ entscheidbar? 1. PKP REC 1. PKP RE Beweis mit dem Projektionssatz: Suche entscheidbare Menge B, mit PKP ist Projektion von B. B={[pkp, ind]:pkp ist Post sches Korrespondenzproblem, ind ist endliche Indexfolge} B ={[pkp,ind ]:pkp lösbares PKP und ind ist Lösung} Es gibt einen Algorithmus, der bei vorgegebenen PKP und vorgegebener Indexfolge herausfindet, ob diese Indexfolge Lösung des PKP ist. Vorgehensweise: Ausprobieren. B ist somit entscheidbar. PKP ist Prjektion von B :pkp PKP es gibt eine Lösung ind mit [pkp, ind] B qed. RE H10 REC PKP Dϕ ist aufzählbar (Beweis mit dovetailing) 1. Es ist bekannt: 15 Dϕ 1. Τ berechne ϕ (T ist Turingmaschine) T kommt bei Eingabe von x nach y Schritten in den Finalzustand i in der Zeichnung Ergebnis der Berechnung das Phi Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 4 von 9

5 i t x ϕ(i) f(0) = 15 (da die 0te Maschine nicht im 1. Takt, sondern im 6. Takt aufhört, somit muß ich mein Standardergebins ausgeben) f(1) = 15 f(2) = f(7) = 15 f(8) = 2 f(13)=3 f(15)=0 f(x)= i falls im x-ten Schritt von dovetailing die Berechnung von ϕ abbricht 15 sonst (denn davon wissen wir, dass bei dessen Eingabe die Berechnung immer abbricht) somit is f überall definiert und somit allgemein rekursiv. W f = Dϕ Eingabe der Turingmaschine ist das, was links der Tabelle steht. Kommt er zum Ende geben wir das i aus. Aufgabe: Zeigen Sie mit dem Projektionsatz, für ϕ Pa gilt: Dϕ RE Benötigt entscheidbare Menge B mit: Dϕ ist Projektion von B x Dϕ <=> es gibt y, es gibt z, es gibt u, mit [x,y,z,u] B Es gibt einen Takt t und es gibt eine Ausgabe y, mit: Die Berechnung von ϕ(x) hört an der Stelle t auf und die Ausgabe ist y. Wenn dem so ist, so gehört x zum Definitionsbereich der Turingmaschine ϕ. B={[x,t,y]:Berechnung von ϕ (x) hört nach t Takten mit Ausgabe von y auf} Dieses B ist entscheidbar: bei bestimmten vorgegebenen Parametern einfach ausprobieren (Nimm die Maschine x, lasse sie 13 Takte rechnen und gucke, ob y rauskommt. B ist entscheidbar, somit ist Dϕ aufzählbar (B REC=> Dϕ RE) PKP={pkp:Menge aller lösbaren Post schen Korrespondenzprobleme} Behauptung: Diese Menge ist aufzählbar PKP n = DF {pkp:pkp PKP und pkp besitzt eine Lösung der Länge n}:pkp n REC (entscheidbar und aufzählbar) Zeige, dass pkp aufzählbar ist: pkp PKP es gibt Lösung l mit [pkp,l] B B={[pkp,l ]:l ist Lösung von pkp} REC PKP ist Projektion von B! B={[a,x,0],[a,y,1],[b,x,1],[c,y,0]} Projektionen von B: P1={[a,x],[a,y],[b,x],[c,y]} P2={[a,0],[a,1],[b,1],[c,0]} P3={[x,0],[y,1],[x,1],[y,0]} PRP REC wurde bewiesen. Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 5 von 9

6 Es ist relativ einfach, nachzuweisen, dass eine Menge entscheidbar oder aufzählbar ist. (Finde einfach einen Entscheidungs- bzw. Aufzählungsalgorithmus) Schwieriger ist der Nachweis, dass eine Menge nicht entscheidbar/ nicht aufzählbar ist (Weise nach, dass es keinen solchen Algorithmus gibt, c m Pa). Möglichkeiten für den Nachweis der Nicht-Entscheidbarkeit und der Nichtaufzählbarkeit: A,B N; A m B (A auf B m-reduzierbar (transformierbar))= Es gibt f R mit x A<=> f(x) B Eigenschaften: Es sei A m B: a) B REC Ich kriege auch heraus, ob x zu A gehört: berechne f(x). x gehört zu A, wenn f(x) zu B gehört. Ist B entscheidbar, so ist auch A entscheidbar. a) B RE X A (Aufzählbarkeit von A, Semientscheidbarkeit von A) ist herauszufinden, wie oben. Will ich wissen, ob x zu A gehört, muß ich f(x) berechnen. Wenn f(x) zu B gehört, gehört x zu A. B ist aber nur im positiven Falle entscheidbar. Also kann ich die Zuordnung in A auch nur im positiven Falle treffen. A m B positive algorithmische Eigenschaften (Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit) vererben sich von oben nach unten, von rechts nach links. a) A ist nicht entscheidbar, dann muß auch B nicht entscheidbar sein. a) A ist nicht aufzählbar, dann muß auch B nicht aufzählbar sein. A m B, die negativen algorithmischen Eigenschaften vererben sich von oben nach unten/ von links nach rechts. Spezielles Halteproblem K, K ist aufzählbar (RE) und nicht entscheidbar (REC). K m PKP wurde bewiesen. Somit ist PKP nicht entscheidbar. K {[x,y]:x D y } heißt allgemeines Halteproblem (x gehört zum DB der yten Funktion). K={i:i D i } ist das spezielle Halteproblem (i gehört zum DB der iten Fkt.) Halte ich an, oder nicht? Behauptungen: K ist aufzählbar und nicht entscheidbar. 1. Beweis K ist aufzählbar über den Projektionssatz: Projektionsatz: A ist aufzählbar, genau dann, wenn A ist Projektion einer entscheidbaren Menge B. Die Projektion einer Menge ist die Reduktion auf Komponenten dieser Menge. Um diesen Satz anwenden zu können, brauchen wir eine Menge mit mehr Komponenten als K. Turingprädikat : T(y,x,t,z) Suche also von der bekannten Menge K eine entscheidbare Menge und stelle K als Projektion von M dar (M={[i,x,t,y]:T(i,x,t,y)} REC) [x,y] K es gibt eine Taktzahl t und es gibt eine Ausgabe z (oben als y bezeichnet) mit [y,x,t,z] M M ist entscheidbar, somit ist auch K entscheidbar. Halte ich nach t Takten an, oder nicht? 1. Zeige K<= m K (K reduzierbar auf K K ist nichtentscheidbar) Dazu wird die allgemein rekursive Funktion f R mit x K f(x) K. f(x)=[x,x] (ich habe für K zwei Werte als Eingabe, für K nur einen Wert, gebe ich bei K x ein, wird geprüft, ob die xte Maschine bei Eingabe von x anhält, dies erreiche ich, wenn ich bei K x eingebe und intern prüfe, ob die xte Maschine bei Eingabe von x anhält, also die eine Eingabe vorher in eine Eingabe von [x,x] umwandle. Somit gilt: x K f(x) K x D x [x,x] K Somit ist K reduzierbar auf K. M={i: ϕ i ist monoton steigend} Welche algorithmischen Eigenschaften hat M? M ist eine Sammlung von Programmen, die monotone Fkt. berechnen. Ist diese Menge z.b. nicht entscheidbar entscheidbar Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 6 von 9

7 entscheidbar gibt es einen Algorithmus, der mir sagt, ob ein bestimmtes Programm x eine monotone Funktion beschreibt oder nicht. Nach dem Satz von Rice ist nebenstehende Entscheidung unmöglich. 1. M ist also nicht entscheidbar. 1. Komplement von M aufzählbar (positiv semientscheidbar)? ϕ (M) =M M ={i: ϕ i ist nicht monoton steigend} Beweis über den Projektionssatz: x M Es gibt z mit ϕ x (z) definiert und ϕ x (z-1) definiert und mit ϕ x (z)< ϕ x (z-1) (eine Stelle, die kleiner ist, als die Stelle einen Schritt vorher) Welche Algorithmischen Eigenschaften hat M? es gibt t,t,z mit ϕ x hält bei Eingabe von z nach t Takten (ϕ x ist an der Stelle z definiert), ϕ x hält bei Eingabe von z-1 nach t Takten (ϕ x ist an der vorhergehenden Stelle definiert) und ϕ x (z)< ϕ x (z-1) B{[x,t,t,z]: ϕ x stopt bei Eingabe von z nach t Takten, bei Eingabe von z-1 nach t Takten und es ist ϕ x (z)< ϕ x (z-1)} Diese Menge B ist entscheidbar! (Nimm die Eingabe z und lasse die Maschine x t Takte arbeiten stoppt sie, nimm das Ergebnis, nimm dann die Eingabe z-1 und lasse die Maschine x t Takte arbeiten, ist diese Ergebnis kleiner als das, was Du Dir gemerkt hast, gib true aus!) Ergebnis1 < Ergebnis2 true false x M es gibt z,t,t mit [x,t,t,z] B Spezifikation des H10 mittels Projektionsatz H10={[a 0... a n ]:a i Z 1 Σa i x i (von i=0 bis n) =0 besitzt ganzahlige Lösung} H10 RE (aufzählbar, Beweis mit Projektionssatz) [a 0... a n ] H10 es gibt z Z mit Σa i z i (von i=0 bis n) =0 es gibt z Z mit [a 0... a n ] B qed. Behauptung: M REC M monoton aufzählbar (M ist auch dann entscheidbar, wenn M monoton und nicht streng monoton ist) Beweis: => konstruktiv siehe VO <= a) M ist endlich => M ist entscheidbar nach der Definition a) M ist unendlich => Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 7 von 9

8 Gibt es einen Algorithmus, der alle Programme auflistet (aufzählt), die 1) an wenigsten 2 Stellen definiert sind 1) niemals den Wert 0 annehmen 1) an keiner Stelle x den Wert x annehmen. 1) 1), 2) und 3) erfüllen? Beweis der Nichtentscheidbarkeit (REC): M REC [ M RE UND ϕ(m) RE (Komplement von M) ] ODER [M RE] REC RE M1= {i: ϕ i an wenigsten 2 Stellen definiert} = nicht entscheidbar nach Satz von Rice aufzählbar (positiv semientscheidbar, mit der Vorgehensweise des Projektionssatzes) B= {[i,x1,x2,t1,t2,y1,y2]:i N und T(i,x1,t1,y1) und T(i,x2,t2,y2)} Diese Menge B ist entscheidbar. Es gilt: i M1 es gibt ein x1,x2, t1,t2, y1, y2 mit [i, x1,x2, t1, t2, y1, y2] B Damit folgt, dass M1 aufählbar ist, M1 RE. M1= {i: Es gibt x 1, es gibt x 2 mit ϕ i (x1) definiert und ϕ i (x 2 ) definiert} M2= {i: ϕ i!= 0 für alle x N} = nicht entscheidbar nach Satz von Rice ϕ(m2)= {i: es gibt ein x mit ϕ i (x)=0} = aufzählbar, aber nicht entscheidbar (Beweis der Aufzählbarkeit mittels Projektionssatz) i ϕ(m2) es gibt x und es gibt t mit T(i,x,t,0) (bzw. B ([i,x,t,0]) Diese Menge ist entscheidbar. B={[x1,x2,x3,x4]:T(x1,x2,x3,x4)} REC. Damit folgt nach dem Projektionssatz, dass das Komplement von M2 aufzählbar, M2 aber nicht aufzählbar ist. ϕ(m3)= {i: ϕ i (x)= x für alle x N} M3= {i: ϕ i (x)!=x für alle x Ν } = aufzählbar, aber nicht entscheidbar nach dem Satz von Rice i ϕ(m3) es gibt x und es gibt t und T(i,x,t,x) Somit ist das Komplement von M3 aufzählbar, damit ist aber M3 selbst nicht aufzählbar, da ja M3 nach dem Satz von Rice nicht entscheidbar ist. Allgemeine Vorgehensweise: Man weise die Nichtaufzählbarkeit folgendermaßen nach: 1) Die Nichtentscheidbarkeit (REC) sei nach dem Satz von Rice gegeben. 2) Die Aufzählbarkeit von M oder dessen Komplement sei nachzuweisen, z.b. via Projektionssatz. 3) Somit kann ich auf die Nichtaufzählbarkeit des jeweils anderen Stücks schließen. Es gilt, M4 ist nicht entscheidbar nach dem Satz von Rice. Es gilt, M4 und sein Komplement sind nicht aufzählbar. Komplement von A RE REC Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 8 von 9

9 Ist R (Menge der allgemein rekursiven Funktionen) gödeliesierbar? Pr und Pa sind gödelisierbar, R ist nicht gödelisierbar. Pr R Pa Annahme: R sei gödelisierbar (ϕ) f(x) = ϕ x (x)+1 f(x) ist überall definiert und überall berechenbar, das heißt f R Es gibt m mit ϕ m =f (*) f(m)= ϕ m (m) (wegen *) f(m)= ϕ m (m) +1 wegen Definition von f => Widerspruch mit der Zeile drüber! (Klausur) Mitschrift von: Drost, Isabel/ if99wp1 Seite 9 von 9