Theoretische Informatik

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1 HTWM Hochschule für Technik und Wirtschaft Mittweida University of Applied Sciences Technikumsplatz 17 0xxxx Mittweida Fachbereich: MPI Fachgruppe Informatik Theoretische Informatik Seminargruppe: IF99P1 Mitschrift von: Isabel Drost Massaneier Str Waldheim Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 1 von 14

2 Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit...3 Satz6: REC RE (RE=Menge aller aufzählbaren Mengen)... 3 Satz7 Charakteriesierung der entscheidbaren Mengen:... 3 Satz8: RE={DB(f P a )}={WB:f P a } (Eine Fkt. ist aufzählbar, wenn sie Wertebereich und Definitionsbereich einer partiell rekursiven Fkt. ist.)... 4 Vorlesung 2 mit Laptop...5 Bestandsaufnahme Was ist nicht berechenbar?...5 Satz8: RE= {DB ϕ: ϕ P a } RE= {WB ϕ: ϕ P a }... 5 Satz9: Jedes unendliche M RE ist eineindeutig aufzählbar... 5 Satz10: Für unendliche A N gilt: A REC A ist streng monoton aufzählbar... 5 Satz11: Jede unendliche rekursiv aufzählbare Menge besitzt einen unendliche entscheidbare Teilmenge... 6 Satz12: RE ist abgeschlossen gegenüber... 6 Satz13 - Projektionssatz:... 7 Beispiele:... 7 Satz 14: K REC (Allgemeines Halteproblem)... 8 Satz 15: REC RE... 8 Darstellung von berechenbaren Funktionen Berechnungsvorschriften Erzeugungsschema der Algebra a=[s,ω] Nummer bezüglich einer festen Gödelisierung Phi von Pa Symolischer Bezeichner... 9 Eigenschaften:... 9 Satz 17 (Satz von Rice) Für nichttriviale F Pa ist N F nicht entscheidbar Anwendung von Methoden und Ergebnissen aus der Theoretischen Informatik in anderen Bereichen...10 Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz Satz 18: Jede berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar Satz 19: WA ist nicht aufzählbar Wie ist die Beweisbarkeit von WA? Satz20 Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Beweissystem (B,F) für WA die Menge der wahren arithmet. Ausdrücke ist notwendigerweise unvollständig Isomorphiesatz von Rogers: Haben wir zwei Gödelisierungen, so können wir von einer Gödelisierung in die andere im Sinne einer Isomorphie (eineindeutige Inhaltsgleichung) umrechnen Fixpunktsatz/ Rekursionstheorem: Überblick und Prüfungswichtung/ Musterklausur:...13 Was ist berechenbar?...13 Was ist ein Alghorithmus?...13 Was ist intuitiv berechenbar?...13 Konstruktion von intuitiv berechenbaren Funktionen (Pr, R, Pa)...13 Algorithmenmodelle...13 REC, RE...13 Anwendung in anderen Theorien...13 Wesentliche Schwerpunkte siehe obige Auflistung!...13 Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 2 von 14

3 VORLESUNG Fragestellung: Was ist nicht berechenbar? Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit M={[a 0... a n ] : n N, a i Z,Summe von i=8 bis n (a i X i = 0 besitzt ganzzahlige Lösungen} H10 ist eine Codierung der Menge M über den natürlichen Zahlen. Liegt das 10 hilbertsche Problem innerhalb REC? (von 1900) 1972 wurde nachgewiesen, das dies nicht der Fall ist, somit liegt H10 auch nicht innerhalb von P A! Ziel: möglichst umfassende Charakterisierung der nichtentscheidbaren Mengen. (in VO wird nur ein Teil betrachtet werden. Definition: M Ν heißt aufzählbar (rekursiv aufzählbar)= M= oder: es gibt eine allgemein rekursive Funktion f, mit W f =M. f(0), f(1),...,f(i),.. M Für x M gibt es j Ν mit f(j)=x. Satz6: REC RE (RE=Menge aller aufzählbaren Mengen) Beweis Satz6: Vorgehensweise Es sei M REC so folge daraus: M RE. Es sei M REC so folgt daraus: c M R. Fall 1: M= Fall 2: M<> =>es gilt: a M f(x)={ a falls c M (x)=0 x sonst f R, da c M (x)=0 für beliebige x berechenbares Prädikat und f überall definiert. W f =M qed. Ist auch jede aufzählbare Menge entscheidbar (RE Teilmenge von REC)? Satz7 Charakteriesierung der entscheidbaren Mengen: M REC M RE und ϑ (Komplement) RE Beweis: 1. => M REC => M RE (Jede entscheidbare Menge ist auch aufzählbar, nach Satz6) Wenn M entscheidbar ist, so ist auch dessen Komplement entscheidbar, nach Satz5. Auch das Komplement von M liegt in RE Ist auch das Komplement entscheidbar, so ist es auch aufzählbar (Satz 6). 2. <= M RE und Komplement(M) RE Es sei, W f =M, W g =Komplement(M), f, g R. Auch wenn M oder deren Komplement die leere Menge ist, sind beide entscheidbar (Leere Menge Komplement=Natürliche Zahlen) Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 3 von 14

4 Entscheidungsverfahren: x M? Berechne simultan f(0) und g(0); f(1), g(1);... ;f(n), g(n) x kommt entweder in der oberen (f) oder der unteren (g) Berechnung vor. Kommt x in der Aufzählung f vor, gehört x zu M. Kommt es in g vor, gehört es nicht zu M. Satz8: RE={DB(f P a )}={WB:f P a } (Eine Fkt. ist aufzählbar, wenn sie Wertebereich und Definitionsbereich einer partiell rekursiven Fkt. ist.) RE<={DB:f P a } RE>={DB:f P a } Beweis erstens: M RE, WB=M 1 falls x M X M Cx=DB n.d. sonst Berechne nacheinander f(0), f(1),... bis f(i)=x In diesem Fall ist x M und es muß X M =1 gesetzt werden. Gibt es kein i mit f(i)=x (x! M) bricht der Berechnungsprozess nicht für X M (x) nicht ab. 1) X M P a 2) D Xm =M Beweis zweitens: zu zeigen ist, Jeder Definitionsbereich einer partiell rek. Funktion f ist aufzählbar (semi entscheidbar) Konstruieren einer Aufzählung f von DB mit Hilfe des dove-tailing (Schwalbenschwanz) Verfahrens: 1) Schritte berechne ϕ (0) 1 Takt 2) Schritte berechne ϕ (0) 2 Takte 3) Schritte berechne ϕ (1) 1 Takt 4) Schritte berechne ϕ (0) 3 Takte 5) Bei jedem Schritt wird getestet, ob die entsprechende Berechnung abbricht. Bricht die Berechnung ab, gehört der Zeilenindex (das Argument von ϕ) zum Definitionsbereich von ϕ. Definieren einer Aufzählung f von Dϕ: 1. Fall: Dϕ=0 => Dϕ aufzählbar nach Definition 2. Fall: Dϕ!=0=> Es gibt x Dϕ x 0 fall im x-ten Schritt des d.t. die Berechnung nicht abbricht f(x)= t falls im x-ten Schritt des d.t. die Berechnun von Dϕ (t) abbricht Es ist f R und es gibt WB=DBϕ Das dovetailin Verfahren Ergänzungen zum Beweis von Satzx : RE={Dϕ:ϕ Pa}< RE {Wϕ:ϕ Pa }< und zu zeigen: RE {f Pa} Es sei M=W f (f Pa) Konstruieren einer Aufzählung f für M mit dovetailing: 1. Fall: Wϕ=0, M RE (Definition) 2. Fall: Wϕ!=0=> es gibt a Wϕ a falls im x-ten Schritt von d.t. die Berechnung nicht abbricht f(x)= ϕ (i) Fall Berechnung von ϕ (t) abbricht Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 4 von 14

5 Vorlesung 2 mit Laptop Bestandsaufnahme Was ist nicht berechenbar? M N M ist entscheidbar, wenn C M (charakterist. Funktion) berechenbar ist und umgekehrt M ist nicht entscheidbar, wenn CM nicht berechenbar ist M ist aufzählbar M= oder M berechenbar nummerierbar (M=WBf, f R (f überall definiert)) M ist nicht aufzählbar jede Nummerierung von M ist nicht berechenbar REC RE (Definition der Entscheidbarkeit ist strenger/ restriktiver als die Aufzählbarkeit) Wegen der Gödelisierbarkeit von Pa gibt es abzählbar viele berechenbare Funktionen. Es gibt aber überabzählbar viele Teilmengen M N Daher gibt es auch nur abzählbar viele entscheidbare und abzählbar viele aufzählbare Mengen. Es gibt demzufolge überabzählbar viele nicht entscheidbare und überabzählbar viele nicht aufzählbare Mengen. Satz8: RE= {DB ϕ: ϕ P a } RE= {WB ϕ: ϕ P a } M ist bereits dann aufzählbar, wenn sie der WErtebereich einer partiell rekursiven Funktion ist Eigenschaft: M aufzählbar M semientscheidbar (X M berechenbar) Satz9: Jedes unendliche M RE ist eineindeutig aufzählbar Beweis: Es sei M RE, d.h. W f =M. g(0)=f(0) g(n+1)=f(t), t=µ y (f(y) {g(0),..., g(n)}) g ist a) berechenbar b) überall definiert qed. Der Wertebereich von g ist M (g über f definiert, WB(f) ist M und alle Elemente aus f kommen vor) W f =M, f R und es ist g eineindeutig. Satz10: Für unendliche A N gilt: A REC A ist streng monoton aufzählbar Beweis: 1. => Es sei A REC. Konstruieren einer streng monotonen Aufzählung f von A. (f muß streng monoton steigend sein, da wir bei fallend bei unendlich vielen Elementen nicht wüßten, wo genau wir anfangen sollen...) f(0)= µ x (x A) (berechenbare Funktion, das kleinste Element existiert, da A ja als unendlich groß definiert wurde) f(n+1)= µ x (x A und x>f(n)) WB f =A, f streng monoton wachsend und f R 2. <= Es sei f überall definierte, streng monotone Aufzählung von A. Konstruiere eine Entscheidung: x A! Prinzipielle Vorgehensweise: suche solange, bis das Ergebnis f(x) gleich y 0 ist, oder das Ergebnis größer als dieses ist in jedem Fall abrechende Funktion. (f ist ja streng monoton steigend und unendlich) Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 5 von 14

6 Berechne formal: f(0), f(1),...,f(i) mit f(i) x Ist f(i)=x, so gehört x zu A dazu, sonst nicht. (A ist entscheidbar, nicht nur semientscheidbar.) qed. Übungsaufgabe: Dieser Satz kann auch ohne die Eigenschaft der Unendlichkeit, und ohne die der strengen Entscheidbarkeit formuliert werden. Beweise folgende Aussage: eine Menge A ist entscheidbar, wenn sie monoton aufzählbar ist und umgekehrt. Satz11: Jede unendliche rekursiv aufzählbare Menge besitzt einen unendliche entscheidbare Teilmenge. Beweis: Folgerung aus beiden vorhergehenden Sätzen. Satz11 sagt nichts über die Relation der Mengen RE und REC aus: RE REC Aber er zeigt etwas über das Verhältnis von aufzählbaren zu entscheidbaren Mengen. Satz12: RE ist abgeschlossen gegenüber Beweis: Es seinen A, B RE a) zeige: A B RE W f =A; W g =B; f,g R Konstruiere Aufzählung h für A B: f(ndiv2) falls n gerade h(n)= Df { } g(ndiv2) falls n ungerade b) A,B RE X A,X B P a zeige: X A B P a [X A B (x) = X A (x) * X B (x)] P a (gehört x nicht zu A oder B oder zu gar keinem von beiden, so ist auch der Duchschnitt nicht definiert) qed. Ist RE auch bezüglich ϕ (der Komplementbildung) abgeschlossen? Wäre RE Komplementabgeschlossen, so hätten wir mit A RE => ϕ(a) RE } A REC Somit wäre RE REC, wir haben bereits: REC RE, somit wären Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit das Gleiche. Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 6 von 14

7 Satz13 - Projektionssatz: Eine Menge ist aufzählbar, genau dann, wenn sie die Projektion einer entscheidbaren Menge ist. M RE genau dann wenn, es gibt B REC und M ist Projektion von B. P(N) (Nummerierbare Mengen) REC RE (aufzählbare Mengen) Formal: M ist aufzählbar M ist Projektion einer geeigneten entscheidbaren Menge B. Beweis: 1. => Es sei M aufzählbar, d.h. M=WB f, f R A N ist Projektion von B N 2 = Df x A Es gibt y mit [x,y] Β G f ={[x,y]:x N, y=f(x)} (Graph von f) G f entscheidbar? => stimmt, wenn man für ein beliebiges Paar Zahlen [a,b] feststellen kann, ob es zu G f gehört oder nicht. Vorgehensweise: setze a ein und prüfe, ob b herauskommt, kommt b heraus, gehört [a,b] dazu, sonst nicht. Ist M Projektion von G f? => stimmt, wenn y Μ Es gibt eine Nummer x mit f(x)=y 2. <= zu zeigen: alle Projektionen von B sind aufzählbar ohne Beschränkung der Allgemeinheit: B NxN (N kreuz N) P1= P2: Projektion auf erste Komponente P3: Projektion auf zweite Komponente Zeige, dass P1, P2, P3 aufzählbar sind. Zu P1: Leere Menge ist aufzählbar, nach Definition. (Menge is aufzählbar, wenn sie leer ist, oder eine bestimmte Eigenschaft besitzt) j Zu P2(P3): Konstruieren einer Aufzählung ϕ 2(3) von P2(3): i(j) falls im x-ten Schritt des dovetail. felstgestellt wird, dass [i,j] zu B gehört ϕ 2(3) (x)={ } a sonst i [i,j] im x-ten Schritt von dove-tailing a P2(P3) Es sind ϕ 2(3) R und es gilt Wϕ 2 =P2, Wϕ 3 =P3 Projektionssatz und dovetailing hängen eng zusammen: Der Beweis der Aufzählbarkeit einer Menge gelingt mit dovetailing genau dann, wenn der Nachweis mit dem Projektionssatz geführt werden kann. Beispiele: 1) K={i:i D i } ϕ ist Gödelisierung von P a (TMaschine) ϕ i ist die i-te Funktion (Maschine) D i =Dϕ i Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 7 von 14

8 K ist das spezielle Halteproblem für Turingmaschinen, i gehört zu K genau dann, wenn die i-te Turingmaschine auf i angesetzt anhält. Zeige: K ist aufzählbar, K RE. true Turingmaschine i hält bei Eingabe von x nach t Takten mit Ausgabe y an Turingprädikat: T(x,i,t,y)= Df { } false sonst Gib x ein und lasse die Maschine i (Arbeitsmechanismus der Maschine ist also i) t Takte laufen, steht danach die Maschine auf anhalten und gibt sie y aus, so gib Du als Beobachter true aus. T(5,7,3,6)=> nimm die 7. Turingmaschine aus all Deinen gödilisierten Turingmaschinen, gib 5 ein und lasse die Maschine 3 Takte laufen, steht sie nach 3 Takten auf dem Endzustand und gibt 6 aus, gibst Du true aus. B T sei die Menge aller der Quadtrupel, für die T wahr ergibt. Kann ich in obigem Bsp. wahr ausgeben, gehört die Fkt zu B T dazu. Ob eine Maschine dazugehört, läßt sich ganz einfach, via ausprobieren, herausfinden. Das heißt, die Menge B T ist entscheidbar. B T {[x1,x2,x3,x4]:t(x1,x2,x3,x4)} REC K ist Projektion von B T : z K Es gibt einen Takt t und (eine Ausgabe ) y mit (z, z, t,y) B T (Projetziere auf die erste Komponente und identifiziere mit der zweiten Komponente Turingmaschine z hält bei Eingabe von z an) Somit ist K aufzählbar, da es Projektion einer entscheidbaren Menge ist. (K RE) 2) A={i:D i } Behauptung: A ist aufzählbar ( RE) i A Es gibt x, es gibt t und es gibt y mit T(x,i,t,y) d.h. A ist Projektion von B T, somit ist A aufzählbar. Weitere Untersuchung von K Satz 14: K REC (Allgemeines Halteproblem) Definition von K: K={i:i D i }; i K i D i (i ist eine bestimmte Turingmaschine, dieses i gehört zu K, wenn i bei Eingabe von i anhält, sprich, wenn das i zum Definitionsbereich von der i-ten Turingmaschine gehört. Können wir dies angeben, so wissen wir dass c k (charakterist. Fkt. von K) nicht berechenbar ist. Beweis: Annahme: K sei Element von REC, somit müssten sowohl K als auch dessen Komplement ϕ(k) RE (aufzählbar) sein (Satz 7); somit müsste nach Satz 6 ϕ(κ) den Definitionsbereich eines m sein. Gehört m zum Definitionsbereich von m, so gehört m auch zum Komplement von K, so gehört m nicht zu K, so gehört m nicht zum Definitionsbereich von m (Definition von K: m gehört zu K, wenn m zum Definitionsbereich der m-ten Turingmaschine D m gehört.) m D m m ϕ(k) m K m D m Dies ist ein Widerspruch. Somit ist die Annahme verkehrt und K ist kein Element von REC. Somit ist K nicht entscheidbar und somit C K (charakterist.funktion) nicht berechenbar. (Erster Formaler Beweis einer nicht berechenbaren Funktion.) Satz 15: REC RE P(N) (Nummerierbare Mengen) RE (aufzählbare REC Mengen) K Komplement von Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 K nicht aufzählbar Seite 8 von 14

9 Darstellung von berechenbaren Funktionen 1. Berechnungsvorschriften Pascalprogramme Turingprogramme Markov-Befehle... Bsp: (y=0; (x 0,...,x n ),y) berechnet die Funktion f mit den Eingaben x 0 bis x n Ergebnis ist die Null 2. Erzeugungsschema der Algebra a=[s,ω] S={0,s} {I k (n) :n Ν, k<=n} Ω={SUB (n) :n N} {PR,MIN} Bsp: PR(I (1) 1,SUB(s,I 3 (3) )) berechnet die Funktion f(x,y)=x+y 3. Nummer bezüglich einer festen Gödelisierung Phi von Pa n bezeichnet die Funtkion ϕ n 4. Symolischer Bezeichner DIV(x,y), add(x,y), s(x) Eigenschaften: 1. Die Darstellungen 1 bis 3 sind universell. Jede berechenbare Funktion ist in dieser Weise darstellbar 2. Für die Darstellungen von 1 bis 3 gibt es für jede berechenbare Funktion beliebieg viele Darstellungen 3. Die Darstellungen gemäß 1 bis 3 sind in eine beliebige Darstellung aus 1 bis 3 umrechenbar. Die Darstellungen 1 bis 3 sind algorithmisch gleichwertig. Daher ist eine Konzentration auf eine Darstellung möglich. Wir konzentrieren uns auf die Gödelnummern. Haben wir eine bestimmte Funktion, so hat diese unendlich viele Gödelnummern und unter Umständen die Eigenschaften Unterscheidbarkeit, Aufzählbarkeit. F Pa F={f:f Pa und f besitzt eine Eigenschaft ξ} N F ={i:ϕ i F} ist die Menge aller Gödelnummern (Programme, Erzeugungschemata) von Funktionen aus F. F heißt trivial, falls F= oder F=Pa N F = (falls F= ) oder N (Menge aller Nummern falls F=Pa) Für triviale F ist die Menge N F entscheidbar. Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 9 von 14

10 Satz 17 (Satz von Rice) Für nichttriviale F Pa ist N F nicht entscheidbar. Nichttriviale Eigenschaften von berechenbaren Funktionen/ Computerprogrammen/ Gödelnnummern sind nicht entscheidbar. Beispiele: F={f:f Pa und f monoton} Die zweite Eigenschaft ist nicht trivial. Das bedeutet, mit einem vorgegebenen Algorithmus läßt sich nicht entscheiden, ob eine Funktion/ ein Programm monoton ist, oder nicht. F ist ebenfalls nicht aufzählbar, allerdings kann man feststellen, ob eine Funktion nicht monoton ist. Somit ist das Komplement dieser Menge positiv semientscheidbar. N F ={i:i N und ϕ i= ϕk} (Aquivalenzproblem, Es ist algorithmisch nicht entscheidbar, ob zwei beliebige Programme bei allen Eingaben das gleiche leisten oder nicht Massenproblem, universelles Problem. N F ={i:d i =N} (Finde heraus, ob der Definitionsbereich von beliebig vorgegebenen Funktionen gleich N ist! Dies ist trivialerweise nicht entscheidbar. Es ist also algorithmisch nicht entscheidbar, ob ein vorgegebenes Programm eine allgemein rekursive Funktion berechnet oder nicht.) Somit ist keine algorithmische Eigenschaft eines Programms nicht entscheidbar. Mithin ist der Satz von Rice recht restriktiv. Anwendung von Methoden und Ergebnissen aus der Theoretischen Informatik in anderen Bereichen Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz Formeln (Aussagen) der Zahlentheorie sind ZK über einem bestimmten Alphabet, bestehend aus Variablen und Konstantensymbolen, den Zeichen +,*,=,,,,, und (,). Beispiel: x y((x+y)=x*(x+1)) (In Deutsch: Für jedes x gibt es ein y mit der Eigenschaft x+y=x*(x+1) ) Formeln werden mit Interpretationen Bedeutungen (Semantik) zugewiesen. Dabei wird zwischen Termen (Ausdrücken, denen mittels Interpretation eine natürliche Zahl (ein Wort aus N) zugewiesen wird) und Formeln, denen ein Wahrheitsgehalt zugewiesen wird, unterschieden. Beispiel: φ(x)=5, φ(y)=7 φ(x*(1+y))=40 (Dies ist ein Term!) t 1, t 2 sind Terme, F 1, F 2 sind Formeln (t 1 =t 2 ) ist wahr = Für jede Interpretation φ ist φ (t 1 )= φ (t 2 ) F 1 wahr F 1 ist falsch F 1 F 2 wahr F 1 wahr und F 2 wahr F 1 F 2 wahr F 1 wahr oder F 2 wahr x F 1 wahr Es gibt n N mit F 1 (x n) ist wahr F 1 (x n): jede nichtgebundene Variable x in F 1 wird durch n ersetzt x F 1 wahr F(x n) ist wahr für alle n N WA= Df {F:Fist wahre Formel} (elementare Zahlentheorie/ Arithmetik) Eine Funktion f:n k =>N heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es eine Formel F gibt, mit f(x 1,...x k )=y F(x 1,...,x k,y) ist wahr für beliebige x und y gibt. (F liefert wahr, wenn beide Seiten links gleich sind, sonst falsch. Beispiele: f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2 ist durch x 1 +x 2 =y arithmetisch repräsentierbar. DIV(x 1,x 2 ) ist arithmetisch repräsentierbar durch F(x 1,x 2,y)= r((r<x 2 ) x 1 =y*x 2 +r)) (r sei der Rest, der bei der DIV-Division übrigbleibt.) Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 10 von 14

11 Satz 18: Jede berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar Satz 19: WA ist nicht aufzählbar WA= Df {F:Fist wahre Formel} (elementare Zahlentheorie/ Arithmetik) Beweis: Annahme: WA ist aufzählbar. Für beliebige F gilt F WA oder F WA Zeige: WA ist entscheidbar F WA: Zähle WA auf, bis entweder F oder F erscheint. Im ersten Fall gehört F dazu, im zweiten nicht. Somit ist bei der Annahme, dass WA aufzählbar, WA automatisch entscheidbar. Es sei A eine aufzählbare aber nicht entscheidbare Menge. X A ist berechenbar und wegen Satz18 ist X A arithmetisch repräsentierbar (F). N A X A (n)=1; F(n,1) ist wahr. F(n,1) WA, dies ist entscheidbar laut Annahme, somit müßte auch A entscheidbar sein, dies stimmt aber nicht. Wiederspruch: Die Annahme WA ist aufzählbar ist falsch. qed. Wie ist die Beweisbarkeit von WA? Es sei b Σ* ein Beweis, B die Menge aller Beweise. Minimalanforderungen an B: 1. B REC 2. Es gibt F R (einen Algorithmus/ eine Interpretationsfunktion) mit F(b) ist die vom Beweis b bewiesene Aussage. Allgemein: b=(p1,...pn) Im Beweis haben wir eine Folge von Beweisschritten (elemtaren Axiomen, bewiesenen Schritten oder sie wurden mithilfe von festen Beweisregeln aus dem vorhergehenden Aussagen erzeugt) Mit dem Beweis wird häufig das bewiesen, was als letztes Element darstellt. Somit ist das zu Beweisende ( F(b) ) eine Projektion auf das letzte Element der Beweiskette pn. (B,F) heißt Beweissystem für A= DF 1) B REC 2) F:B->A, F R Bew(B,F)= DF F(B) (Wertebereich von F) = {p: Es gibt b B und F(b)=p } (Menge aller der Aussagen, die ich mittels B und F (B,F) beweisen kann. Im allgemeinen gilt: Bew(B,F) </= A) (B,F) heißt für A vollständig = DF Bew(B,F)=A Satz20 Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Beweissystem (B,F) für WA die Menge der wahren arithmet. Ausdrücke ist notwendigerweise unvollständig. Wenn ich z.b. einen Satz aus der elmentaren Zahlentheorie nicht beweisen kann, so hat das verschiedene Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 11 von 14

12 Ursachen: Aussage falsch Aussage mit meinem Beweissystem nicht nachweisbar Beweis nur noch nicht gefunden Aussage, die ich beweisen will. WA Beweis(B,F) Beweis von Satz20: Annahme: (B,F) ist vollständig für WA. Da B entscheidbar (laut Vorraussetzung) => B ist aufzählbar (REC RE) Aufzählung von B sei ϕ (ϕ (n) sei Element von B) F(ϕ (n)) ist Aufzählung von WA, Widerspruch mit Satz 19. qed. Beweissystem, dass ich nutze Isomorphiesatz von Rogers: Haben wir zwei Gödelisierungen, so können wir von einer Gödelisierung in die andere im Sinne einer Isomorphie (eineindeutige Inhaltsgleichung) umrechnen. Sind ϕ und ψ Gödelisierungung von Pa (Pr), dann gibt es einen Übersetzungsisomorphismus h R mit ϕ i =ψ h(i) (Es gibt einen eineindeutige Umrechnungen h von Gödelisierungung ineinander. Es genügt also, sich auf eine Gödelisierung zu beschränken.) S m n Theorem: Für beliebige k k=m+n; gibt es eine Übersetzungsfunktion s mit ϕ i =(x 1,...,x k )= ϕ i (x 1,...,x m,y 1,...,y n ) = ϕ s(i,x1,...,xm) (y 1,...,y n ) (Ich kann also eine k-stellige Funktion in eine n-stellige Fkt. überleiten und die restlichen Stellen m als konstant annehmen.) Konsequenz: Für jede kstellige berechenbare Funktion gibt es eine Übersetzungsfunktion, die es erlaubt, die ersten Parameter als konstant zu betrachten. Bei der Untersuchung von berechenbaren Funktionen kann man sich auf einstellige Funktionen beschränken. Fixpunktsatz/ Rekursionstheorem: Für jede Gödelisierung ϕ und jede Übersetzungsfunktion k R gibt es ein n N (nat. Zahlen) mit ϕ n = ϕ k(n) (n ist der Fixpunkt bezüglich k). Es gibt keine universelle Störfunktion. Es gilt darüberhinaus, dass es unendlich viele solche Fixpunkte gibt. Konsequenz: Es gibt keine universelle Störfunktion. ϕi i a j ϕi!=ϕj Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 12 von 14

13 Überblick und Prüfungswichtung/ Musterklausur: Was ist berechenbar? Was ist ein Alghorithmus? Was ist intuitiv berechenbar? Konstruktion von intuitiv berechenbaren Funktionen (Pr, R, Pa) s, o, I m (n)... Pr Pr, SUB... R MIN...R/Pa Algorithmenmodelle Pascalfraqument RAM Turing Markov R, Pa Hauptsatz der Algorithmentheorie: alle Modelle berechnen das Gleiche, sie berechnen die Fkt. aus Pa These von Church Gibt es algorithmisch unlösbare Probleme? REC, RE Definition, Eigenschaften, Zusammenhänge zwischen den Mengen REC RE K (spezielles Halteproblem) dovetailing Reduktion m A m B und A REC (RE) => B REC (B RE) H10, PKP (Postsches Korrespondenzproblem) Eigenschaften Gödelisierungen (Definition, Eigenschaften, Aussagen) T (Turingprädikat) Projektionsatz (Aussage über die Aufzählbarkeit und über den Satz von Rice indirekt über die nichtaufzählbarkeit) Satz von Rice Anwendung in anderen Theorien Gödelscher Unvollständigkeitssatz Wesentliche Schwerpunkte siehe obige Auflistung! Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 13 von 14

14 1. Verwendung der Rekursion 2. Erstellung eines Turingprogrammes ;+++;---;?++;--+;---;--+ (ist die charakterist. Fkt. einer Menge berechenbar, so ist diese Menge entscheidbar) (ist die spezielle charakterist. Fkt. einer Menge berechenbar, so ist die Menge aufzählbar) 4. Komplement monoton aufzählbar => Komplement auch entscheidbar (Satz10') Komplement entscheidbar => M entscheidbar (Satz5) P auf M reduzierbar, M entscheidbar => P entscheidbar 5. Def. Turingprädikat Verwendung für den Beweis der Aufzählbarkeit mithilfe des Projektionssatzes 6. nein Satz von Rice ja nur Semientscheidbarkeit gefragt/ Aufzählbarkeit (Dovetailing, Projektionsatz) Man muß zwei Elemente x1 und x2 finden, so, das die Funktionswerte verschieden sind. i M Es gibt x1, x2, t1, t2, y1, y2 mit T(i, xi, t1, y1) und T(i, x2, t2, y2) und y1 y2 Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 Seite 14 von 14