OPTIMALE ROUTENPLANUNG - MÜLLABFUHR -

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1 OPTIMALE ROUTENPLANUNG - MÜLLABFUHR - Sarina Zens HS Mathematische Modellierung WS 2018/19 Dozentin: Prof. Dr. Mária Lukácová-Medvidová zle/muellabfuhr-06346/index.html

2 Inhalt Einführung Modellierung als graphentheoretisches Problem Konstruktion von Eulergraphen und touren Algorithmen zur Bestimmung von Eulertouren in Eulergraphen Der Zwiebelschalen-Algorithmus Fleurys Algorithmus Verbindung von ungeraden Knoten Beispiel JGU-Campus 2

3 Einführung Optimale Routenplanung für die Müllabfuhr 3

4 Wie viel Müll produziert ihr im Jahr? (vgl. bvse & Grall) Mainz: 180 kg pro Einwohner Deutschlandweites Mittelfeld: Hamburg 279 kg Konstanz 86 kg Die Kosten für die Müllabfuhr und die Müllfahrzeuge steigen immer weiter an Die Optimierung der Fahrtroute spart Zeit und Treibstoff Kostenminimierung 4

5 Was ist eine optimale Route? Ziel: Der Gesamtweg soll möglichst kurz sein Kriterien: Alle Straßen müssen einmal befahren werden Anfangs- und Endpunkt der Route stimmen überein Einbahnstraßen: Fahrtrichtung ist vorgegeben Sackgassen/ Straßen mit begrüntem Mittelstreifen: müssen in beide Richtungen befahren werden 5

6 Historisch Anfang der 60er: Mei Go Guan (Chinesischer Mathematiker) Optimierung der Fahrtwege chinesischer Postzusteller Chinesisches Postbotenproblem Unterschiede: Postbote befährt mit seinem Fahrrad jede Straße zweimal Einbahnstraßen stellen kein Problem dar 6

7 Modellierung als graphentheoretisches Problem Transformation eines Stadtplanes in einen Graphen 7

8 Definitionen: Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten K, einer Menge von Kanten E und einer Zuordnung, die jeder Kante ein Knotenpaar zuweist. Straßennetz: Jede Kreuzung stellt einen Knoten dar. Jede Straße stellt eine Kante dar. 8

9 Abbildung 1: Schematische Darstellung einer Fahrtroute Abbildung 2: Graph der dargestellten Fahrtroute 9

10 Definitionen: Ein gerichteter Graph besteht aus Knoten und Bögen. Ein Bogen hat eine Richtung und verbindet zwei Knoten miteinander. Ein gemischter Graph kann sowohl Kanten als auch Bögen haben. Abbildung 3: Gemischter Graph 10

11 Abbildung 4: Vereinfachter Graph der dargestellten Fahrtroute 11

12 Definition: Ein gewichteter Graph ist ein Graph mit einer zusätzlichen Gewichtsfunktion, die jeder Kante eine Zahl zuordnet. Abbildung 5: Gewichteter Graph der dargestellten Fahrtroute 12

13 Definitionen: Ein Weg, der durch jede Kante eines zusammenhängenden Graphen genau einmal führt, heißt Eulerweg. - Eine Rundtour, die durch jede Kante eines zusammenhängenden Graphen genau einmal führt, heißt Eulertour. - Ein Graph, der eine Eulertour enthält, heißt Eulergraph. Abbildung 6: Königsberger Brückenproblem 13

14 Konstruktion von Eulergraphen und -touren Für welche Graphen existiert eine Eulertour? 14

15 Abbildung 7: HvN 15

16 Definition: Die Anzahl der Kantenenden an einem Knoten k heißt der Grad des Knotens d(k). Satz: Sei G ein zusammenhängender Graph. Dann existiert eine Eulertour genau dann, wenn alle Knoten in G geraden Grad besitzen. Abbildung 8: HvN mit Knotengraden 16

17 Beweis (vgl. Baur) - Sei G ein Eulergraph. - Dann existiert in G eine Eulertour pp = kk 1, kk 2,, kk ii, kk 1, die alle Kanten umfasst. - In dieser Tour pp wird jeder Knoten n-mal durchlaufen, d.h. jeweils über eine Kante erreicht und über eine weitere verlassen. Alle Knoten in pp haben also geraden Grad - Da der Graph zusammenhängend ist, umfasst die Tour alle Knoten. Alle Knoten in G haben daher geraden Grad. 17

18 Beweis (vgl. Baur) - Sei G ein zusammenhängender Graph, wobei alle Knoten geraden Grad besitzen. Sei kk 1 ein beliebiger Anfangsknoten. - Wir durchlaufen von kk 1 aus einen Weg ee 1, ee 2, und fügen so lange Kanten an, bis wir einen Knoten kk n erreichen, von dem aus keine unbenutzte Kante mehr abgeht. - Da kk 1 und kk n nach Voraussetzung geraden Grad haben, muss der Endknoten kk n mit kk 1 identisch sein Fall: Haben mit ee 1, ee 2, den gesamten Graphen durchlaufen. Fertig! 2. Fall: Haben den Graphen noch nicht durchlaufen. 18

19 Beweis (vgl. Baur) - Dann gibt es einen Knoten kk i, an dem ein weiterer geschlossener Weg ff 1, ff 2,, ff mm beginnt und endet, denn auch der Grad von kk i ist gerade. - Die zusammengelegten Wege bilden wieder einen geschlossenen Weg pp = ee 1, ee 2,, ee ii, ff 1, ff 2,, ff mm, ee ii+1,, ee nn - Der Prozess bricht ab, wenn alle Kanten verwendet wurden. Der Weg pp ist eine Eulertour. - Ein zusammenhängender Graph, in dem alle Knoten geraden Grad haben, ist also ein Eulergraph. Da kk 1 beliebig war, kann jeder Knoten Anfangs- und Endknoten einer Eulertour sein. 19

20 Algorithmen zur Bestimmung von Eulertouren in Eulergraphen Der Zwiebelschalen- Algorithmus (Hierholzer-Algorithmus) 20

21 Der Zwiebelschalen- Algorithmus Eingabe: Ein Eulergraph Ausgabe: Eine Eulertour 1. Wähle im Graphen einen Startknoten. Abbildung 9: ZA Startknoten 21

22 2. Laufe von diesem Knoten aus entlang noch unmarkierter Kanten bis der Ausgangsknoten wieder erreicht ist. Prüfe, ob bereits alle Kanten des Graphens markiert wurden: - Wenn ja, dann gehe zu Schritt 3. - Wenn nein, dann suche einen Knoten, der noch unmarkierte Kanten besitzt, und wiederhole Schritt 2. Abbildung 10: ZA Kreis 1 22

23 Abbildung 11: ZA Kreis 1&2 Abbildung 12: ZA Kreis1&2&3 23

24 3. Die Eulertour wird aus den Kreisen zusammengesetzt: - Gehe entlang des ersten Kreises, bis er einen weiteren Kreis berührt. - Folge dem neuen Kreis, bis dieser an einen nächsten Kreis stößt... - Findet man keinen neuen beginnenden Kreis, so gehe den zuletzt begonnenen Kreis zu Ende und dann wieder in den vorherigen hinein... Abbildung 13: ZA Eulertour 24

25 Algorithmen zur Bestimmung von Eulertouren in Eulergraphen Fleurys Algorithmus 25

26 Definition: Brücke Eine Brücke ist eine Kante in einem Graphen, bei deren Wegnahme der Graph in zwei Komponenten zerfallen würde Abbildung 14: Brücke Abbildung 15: Brückenhälften 26

27 Fleurys Algorithmus Eingabe: Ein Eulergraph Ausgabe: Eine Eulertour 1. Beginne mit einer beliebigen Kante. Abbildung 16: FA Startkante 27

28 2. Wähle die jeweils nächste Kante so, dass sie in dem Restgraphen, der entsteht, keine Brücke bildet. 3. Die Tour ist fertig, wenn alle Kanten aufgenommen wurden. Abbildung 17: FA Kante 2 Abbildung 18: FA Kante 3 28

29 Abbildung 19: FA Kante 7 Abbildung 20: FA Brücke 29

30 Verbindung von ungeraden Knoten Die Anzahl der ungeraden Knoten 30

31 Das Haus vom Nikolaus Wie kann man den Graphen reparieren um doch noch eine Rundtour darin machen zu können? Abbildung 21: HvN mit Knotengraden 31

32 Herstellung eines Eulergraphen durch die kürzeste Verbindung der beiden ungeraden Knoten Abbildung 22: HvN Verbindung ungerader Knoten 32

33 Handshaking-Lemma: Sei G ein Graph mit e Kanten und n Knoten kk 1, kk 2,, kk n Dann gilt: nn ii=1 d kk ii = 2e Beweis: Bildet man die Summe über alle Knotengrade, so zählt man jede Kante zwei Mal Denn: Jede Kante {x,y} wird ein erstes Mal berücksichtigt, wenn man den Grad des Knotens x betrachtet und ein zweites Mal, wenn man den Grad des Knotens y addiert Die Summe entspricht folglich dem Doppelten der Anzahl der Kanten in dem Graphen 33

34 Satz: In jedem Graphen G ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. Beweis: an Tafel Aus jedem nicht eulerschen Graphen lässt sich ein Eulergraph entwickeln, indem je zwei Knoten ungeraden Grades auf kürzestem Weg miteinander verbunden werden. 34

35 Verbindung von ungeraden Knoten Matchings 35

36 Definition: Matching Ein Matching ist ein Teilgraph, in dem alle Knoten höchstens Grad 1 haben. Ein perfektes Matching hat lauter Knoten vom Grad 1, es sind also alle Knoten zu Paaren verbunden. Ein Matching heißt minimal, wenn die Summe der Kantengewichte kleiner (oder gleich) der Summe der Kantengewichte bei jedem anderen Matching ist, welches diese Knoten verbindet. 36

37 Abbildung 23: Reparierter Graph Hußmann & Lutz-Westphal, S. 90 Hußmann & Lutz-Westphal, S. 90 Abbildung 24: Kürzeste-Wege-Graph der ungeraden Knoten

38 Wie viele verschiedene Matchings gibt es auf n Knoten? Beispiel: 18 ungerade Knoten Anzahl: = Kombinatorische Explosion, die es im Allgemeinen unmöglich macht, alle Matchings zu berechnen und zu vergleichen Ausweichen auf Algorithmen 38

39 Das gemischte Chinesische Postbotenproblem Gehört zur Klasse der NP-schweren Probleme NP = nichtdeterministische Polynomialzeit (vgl. Erickson) Ein Problem wird in Polynomialzeit lösbar genannt, wenn es von einem Algorithmus gelöst wird, dessen benötigte Rechenzeit höchstens polynomiell mit der Größe der Eingaben des Problems wächst Polynomialzeit = Grenze zwischen praktisch lösbaren und praktisch unlösbaren Problemen (nicht trennscharf) 39

40 Beispiel JGU-Campus Wie lässt sich eine optimale Route für den JGU-Campus planen? 40

41 Abbildung 25: Lageplan Campus 41

42 Abbildung 26: Vereinfachter Graph 42

43 Abbildung 27: Reduzierter Graph 43

44 Abbildung 28: Gewichteter Graph 44

45 Abbildung 29: Ungerade Knoten 45

46 Abbildung 30: Matching 1 & 2 46

47 Abbildung 31: Graph mit geraden Knotengraden 47

48 Abbildung 32: Kreis 1 48

49 Abbildung 33: Kreis 2 49

50 Abbildung 34: Kreise 3 & 4 50

51 kphoto.de/clipartvecteur/dustcart.html 51

52 Literatur Hauptquellen: Hußmann, Stephan; Lutz-Westphal, Brigitte (Hg.) (2007): Kombinatorische Optimierung erleben. In Studium und Unterricht. Wiesbaden: Frieds. Vieweg & Sohn Verlag. S Online verfügbar unter Ortlieb, Claus Peter; Dresky, Caroline; Gasser, Ingenuin; Günzel, Silke (2013): Mathematische Modellierung. Eine Einführung in zwölf Fallstudien. 2., akt. Aufl Wiesbaden: Springer. S Online verfügbar unter Nebenquellen: Baur, Lene (2010): Königsberger Brückenproblem. Hg. v. Philipps-Universität Marburg. Online verfügbar unter marburg.de/~bschwarz/sem_09w_files/02%20lene%20baur%20- %20Königsberger%20Brückenproblem%20-%20Ausarbeitung.pdf. bvse (Hg.) (2017): Studie: 200 Kommunen im Müllvergleich. Online verfügbar unter Erickson, Jeff (2014): NP-Hard Problems. Online verfügbar unter Grall, Ulla (2011): Der Müll, die Stadt und Hg. v. Sensor-Magazin. Online verfügbar unter 52

53 Abbildungen