Skript Algebra I WS 2002/03. Fachbereich Mathematik/Informatik Universität Osnabrück

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1 Skript Algebra I WS 2002/03 Tim Römer Fachbereich Mathematik/Informatik Universität Osnabrück

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3 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Gruppentheorie 5 1. Grundbegriffe der Gruppentheorie Normalteiler, Faktorgruppen, Isomorphiesätze Zyklische Gruppen Kapitel 2. Ringtheorie Grundbegriffe der Ringtheorie Restklassen- und Quotientenringe Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen Polynomringe Der Satz von Gauß Irreduzibilitätskriterien für Polynome Kapitel 3. Körpertheorie Endliche und algebraische Körpererweiterungen Der algebraische Abschluss eines Körpers Zerfällungskörper, normale Körpererweiterungen Der Hauptsatz der Galoistheorie Separable Körpererweiterungen Kapitel 4. Fortführung der Gruppentheorie Gruppenoperationen Endlich erzeugte abelsche Gruppen p-gruppen und die Sylowsätze Permutationsgruppen Auflösbare Gruppen Kapitel 5. Anwendungen der Galoistheorie Der Fundamentalsatz der Algebra Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Einheitswurzeln Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen Literaturverzeichnis 97

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5 KAPITEL 1 Gruppentheorie 1. Grundbegriffe der Gruppentheorie Definition 1.1. Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung : G G G, (a, b) a b = ab heißt eine Gruppe, wenn Folgendes gilt: (i) ist assoziativ, d.h. für alle a, b, c G gilt (ab)c = a(bc). (ii) Es gibt ein Element e G mit folgenden Eigenschaften: (a) Für alle a G gilt ea = a. (b) Zu jedem a G existiert ein b G mit ba = e. Die Gruppe heißt abelsch (kommutativ), wenn zusätzlich gilt: (iii) Für alle a, b G gilt ab = ba. Man schreibt (G, ) oder G für die Gruppe. Das Element e heißt das neutrale Element der Gruppe. Das Element b aus (ii)(b) heißt das inverse Element zu a und man schreibt a 1. Bemerkung 1.2. Es gilt: (i) Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt und es gilt auch ae = a für a G. (ii) Zu jedem Element a G ist das inverse Element eindeutig bestimmt und es gilt auch aa 1 = e. (iii)... In 1.1 wurde die Gruppe multiplikativ geschrieben. In diesem Fall wird das neutrale Element auch mit 1 bezeichnet. Alternativ lässt sich eine Gruppe additiv (mit einer Verknüpfung +) schreiben. Dann wird das neutrale Element auch mit 0 und das inverse Element zu a mit a bezeichnet. Beispiel 1.3. Nun ein paar Beispiele: (i) Die Menge der ganzen Zahlen Z mit der Addition als Verknüpfung ist eine abelsche Gruppe. (ii) Die Menge der natürlichen Zahlen N mit der Addition als Verknüpfung ist keine Gruppe. (iii) G = {e, a}, e = neutrales Element, a 2 = aa = e ist eine abelsche Gruppe mit zwei Elementen. (iv) Eine Gruppe kann man durch eine Gruppentafel beschreiben:

6 6 1. GRUPPENTHEORIE... b a a b... Sei G = {e, a, b, c}. Die Menge G mit e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ist eine abelsche Gruppe. G mit e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b ist auch eine abelsche Gruppe. (v) Sei X ein Menge. Mit S(X) bezeichnen wir die Menge aller bijektiven Abbildungen von X nach X. Die Menge S(X) zusammen mit der Verknüpfung als Abbildung ist eine Gruppe. S(X) heißt die symmetrische Gruppe auf X. Speziell: S n = S({1,..., n}). Die Elemente von S(X) heißen Permutationen. Falls X 3, dann ist S(X) nicht abelsch. Denn seien: (a) x 1, x 2, x 3 X, (b) ϕ 1 S(X) mit ϕ 1 (x 1 ) = x 2, ϕ 1 (x 2 ) = x 1, ϕ 1 (x 3 ) = x 3, ϕ 1 (x) = x sonst, (c) ϕ 2 S(X) mit ϕ 2 (x 1 ) = x 2, ϕ 2 (x 2 ) = x 3, ϕ 2 (x 3 ) = x 1, ϕ 2 (x) = x sonst. Dann gilt: ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 ϕ 1, etwa ϕ 1 ϕ 2 (x 1 ) = x 1 x 3 = ϕ 2 ϕ 1 (x 1 ). Sei X endlich und ϕ S(X), dann kann ϕ wie folgt beschrieben werden: ( ) x1 x (a) 2... ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )... (b) (Zyklenschreibweise) Z.B.: ϕ: (x 1, x 2 )(x 4, x 5, x 6 ) für ϕ(x 1 ) = x 2, ϕ(x 2 ) = x 1, ϕ(x 4 ) = x 5, ϕ(x 5 ) = x 6, ϕ(x 6 ) = x 4, ϕ(x) = x sonst.

7 1. GRUNDBEGRIFFE DER GRUPPENTHEORIE 7 Definition 1.4. Seien G, H Gruppen. Eine Abbildung ϕ: G H heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle a, b G gilt: ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b). Ein Gruppenhomomorphismus ϕ heißt (i) Monomorphismus, wenn ϕ injektiv ist, (ii) Epimorphismus, wenn ϕ surjektiv ist, (iii) Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist. Bemerkung 1.5. Man überlegt sich, dass (i) ϕ(e G ) = e H, (ii) ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1. Beispiel 1.6. Betrachte: (i) Jede beliebige Gruppe G lässt sich in eine symmetrische Gruppe einbetten. Genauer gilt, dass mit ϕ: G S(G), a ϕ(a) ϕ(a): G G, b ab ein Monomorphismus ist. (ii) Sei G = {e, a} die Gruppe von 1.3 (iii), also a 2 = e. Definiere ϕ: Z G = {e, a}, { e falls z gerade, z a falls z ungerade. ϕ ist ein Epimorphismus. (iii) Die beiden Gruppen aus 1.3(iv) sind nicht isomorph, obwohl beide vier Elemente besitzen. Definition 1.7. Sei G eine Gruppe. Eine nicht leere Teilmenge H von G (H G) heißt Untergruppe von G, wenn: (i) Für alle a, b H gilt ab H, (ii) H zusammen mit der induzierten Abbildung H H H, (a, b) ab ist eine Gruppe. Lemma 1.8. Sei G eine Gruppe. Eine nicht leere Teilmenge H G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn für alle a, b H gilt: ab 1 H. Dies ist das sogenannte Untergruppenkriterium. Beweis. Ist H eine Untergruppe von G, so folgt direkt aus der Definition, dass ab 1 H für alle a, b H gilt. Gelte nun das Untergruppenkriterium für eine Menge H G. Dann gilt: (i) Sei a H beliebig. Dann ist e = aa 1 H. (ii) Sei a H beliebig. Dann ist nach (i) e H und es gilt a 1 = ea 1 H. (iii) Sei a, b H. Dann folgt nach (ii), dass b 1 H und somit ab = a(b 1 ) 1 H.

8 8 1. GRUPPENTHEORIE Mit Hilfe dieser Aussagen folgt, dass H eine Gruppe, speziell eine Untergruppe von G, ist. Beispiel 1.9. Betrachte: (i) Die Teilmenge nz, der durch n teilbaren ganzen Zahlen, ist eine Untergruppe von Z. (ii) In jeder der Gruppen aus 1.3 ist die Untergruppe mit zwei Elementen enthalten. Lemma Seien G, H Gruppen und ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: (i) Im(ϕ) = {b H : es gibt ein a G mit ϕ(a) = b} ist eine Untergruppe von H. (ii) Sei e H das neutrale Element von H. Ker(ϕ) = {a G: ϕ(a) = e H } ist eine Untergruppe von G. Im(ϕ) heißt das Bild und Ker(ϕ) der Kern von ϕ. Beweis. (i) Seien b 1, b 2 Im(ϕ) und a 1, a 2 G mit ϕ(a 1 ) = b 1, ϕ(a 2 ) = b 2. Wir zeigen, dass b 1 b 1 2 Im(ϕ). Dann folgt aus 1.8 die Behauptung. Es gilt: b 1 b 1 2 = ϕ(a 1 )ϕ(a 2 ) 1 = ϕ(a 1 )ϕ(a 1 2 ) = ϕ(a 1 a 1 2 ) Im(ϕ). (ii) Seien a 1, a 2 Ker(ϕ) und somit ϕ(a 1 ) = ϕ(a 2 ) = e H. Wir zeigen, dass a 1 a 1 2 Ker(ϕ). Es gilt: ϕ(a 1 a 1 2 ) = ϕ(a 1 )ϕ(a 1 2 ) = ϕ(a 1 )ϕ(a 2 ) 1 = e H e 1 H = e H. Es folgt, dass a 1 a 1 2 Ker(ϕ) und somit aus 1.8 die Behauptung. Korollar Jede Gruppe G ist als Untergruppe in einer symmetrischen Gruppe enthalten. Beweis. In 1.6 wurde gezeigt, dass ein Monomorphismus existiert, der G in S(G) einbettet. Nach einer Identifikation von G mit dem Bild in S(G) folgt die Aussage. Definition Sei G eine Gruppe, H G eine Untergruppe und a G beliebig. (i) Die Menge ah = {ab: b H} heißt eine Linksnebenklasse von H. (ii) Die Menge Ha = {ba: b H} heißt eine Rechtsnebenklasse von H. (iii) Mit G/H bezeichnen wir die Menge der Linksnebenklassen von H. Bemerkung Im Folgenden betrachten wir nur Linksnebenklassen. Alle Aussagen gelten jedoch analog für Rechtsnebenklassen. Lemma Seien ah und bh Linksnebenklassen von H in G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) ah = bh, (ii) ah bh, (iii) a bh, (iv) b 1 a H.

9 1. GRUNDBEGRIFFE DER GRUPPENTHEORIE 9 Beweis. Gilt (i), so folgt direkt (ii), da H. Sei nun (ii) gegeben. Dann existiert ein c ah bh und c = ah 1 = bh 2 für h 1, h 2 H. Dann ist a = bh 2 h 1 1 bh und daher gilt (iii). Aus (iii) folgt ähnlich (iv). Gelte (iv), etwa b 1 a = h H. Dann ist a = bh bh und es folgt ah bh. Mit b 1 a H ist auch das inverse Element (b 1 a) 1 = a 1 b H. Es folgt analog bh ah und somit ah = bh. Definition Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe von G. (i) Die Ordnung ord(g) von G ist die Anzahl der Elemente von G. (ii) Der Index [G : H] von H in G ist definiert als die Anzahl der Linksnebenklassen von H. Satz (Lagrange) Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Dann gilt: ord(g) = [G : H]ord(H). Beweis. Seien a 1,..., a r so gewählt, dass G/H = {a 1 H,..., a r H} und a i H a j H. Es folgt, dass r G = a i H. i=1 Wegen 1.14 ist diese Vereinigung disjunkt und somit ord(g) = r i=1 a ih. Die Abbildung H a i H, b a i b ist bijektiv, also gilt H = a i H. Daher r ord(g) = a i H = r H = [G : H]ord(H). i=1 Korollar Sei G eine Gruppe mit ord(g) ist eine Primzahl. Dann besitzt G keine echten Untergruppen, d.h. {e} und G sind die einzigen Untergruppen von G. Definition Sei G ein Gruppe und a G. (i) Wir bezeichnen mit {, falls a n e für alle n > 0, ord(a) = inf{n N: a n = e}. die Ordnung von dem Element a. (ii) Für z Z ist a z für z > 0, a z = e für z = 0, (a 1 ) z für z < 0. Lemma Sei G eine endliche Gruppe und a G. Dann gilt: (i) ord(a) <, (ii) ord(a) ord(g),

10 10 1. GRUPPENTHEORIE (iii) (kleiner Fermatsche Satz) a ord(g) = e. Beweis. Zu (i): Die Menge H = {a z : z Z} ist eine Untergruppe von G. Da G endlich ist folgt, dass auch H endlich ist. Somit ist ord(a) eine endliche Zahl. Zu (ii): Die Menge H = {a, a 2,..., a ord(a) = e} bildet eine Untergruppe von G. Es gilt ord(h) = ord(a). Die Behauptung folgt aus Zu (iii): Es gilt a ord(g) = (a ord(a) ) ord(g)/ord(a) = e. 2. Normalteiler, Faktorgruppen, Isomorphiesätze Problem: Sei G eine Gruppe. Welche Untergruppen sind Kern eines Gruppenhomomorphismus ϕ: G G für eine Gruppe G. Sei H = Ker(ϕ), dann gilt Ker(ϕ) = aker(ϕ)a 1 für alle a G. Definition 2.1. Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe H G heißt Normalteiler, wenn aha 1 = H für alle a G gilt. Wir schreiben hierfür H G. Bemerkung 2.2. Die Bedingung lässt sich umschreiben zu ah = Ha, d.h. die zugehörigen Links- und Rechtsnebenklassen von H in G stimmen überein. Konstruktion 2.3. Sei G eine Gruppe und H G. Wir erklären auf G/H eine Gruppenstruktur. Sei ah, bh G/H, dann definieren wir ah bh = abh. Dieses Produkt ist wohldefiniert. Sei a 1 H = a 2 H und b 1 H = b 2 H. Dann gilt a 1 1 a 2, b 1 1 b 2 H und somit (a 1 b 1 ) 1 a 2 b 2 = b 1 1 a 1 1 a 2 b 2 = (b 1 1 (a 1 1 a 2 )b 1 )(b 1 1 b 2 ) H. Also a 1 b 1 H = a 2 b 2 H. G/H ist zusammen mit dieser Abbildung eine Gruppe (H ist das neutrale Element; a 1 H ist das inverse Element zu ah). Satz 2.4. Sei G eine Gruppe und H G. Dann gilt: (i) G/H ist zusammen mit der Verknüpfung G/H G/H G/H, ah bh abh eine Gruppe. Sie heißt die Faktorgruppe von G modulo H. (ii) Die Abbildung ε: G G/H, a ah ist ein Epimorphismus und heißt der kanonische Epimorphismus. Es gilt Ker(ε) = H. Korollar 2.5. Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Genau dann ist H G, wenn H = Ker(ϕ) für einen geeigneten Gruppenhomomorphismus. Beweis. Ist H = Ker(ϕ), so haben wir schon gesehen, dass H G. Wenn umgekehrt H G gilt, so ist H = Ker(ε), wobei ε der kanonische Epimorphismus von G G/H ist.

11 2. NORMALTEILER, FAKTORGRUPPEN, ISOMORPHIESÄTZE 11 Satz 2.6. (Die universelle Eigenschaft der Faktorgruppe) Seien G, G Gruppen, H G und ϕ: G G ein Gruppenhomomorphismus mit H Ker(ϕ). Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G/H G mit ϕ = ϕ ε, d.h. folgendes Diagramm ist kommutativ: ε G ϕ G/H G. Es gilt Ker(ϕ ) = Ker(ϕ)/H = ε(ker(ϕ)) und Im(ϕ ) = Im(ϕ). Beweis. Eindeutigkeit von ϕ : Sei ah G/H für ein a G. Dann ist ϕ ϕ (ah) = ϕ ε(a) = ϕ(a). und somit folgt die Behauptung Existenz von ϕ : Sei ah G/H für ein a G. Wir definieren ϕ (ah) = ϕ(a). Als erstes ist zu zeigen, dass ϕ wohldefiniert ist. Sei ah = bh für a, b G, d.h. a 1 b H. Da H Ker(ϕ), folgt e G = ϕ(a 1 b) = ϕ(a) 1 ϕ(b). Daher ϕ(a) = ϕ(b). ϕ ist ein Gruppenhomomorphismus: Seien ah, bh G/H für a, b G. Dann gilt ϕ (ahbh) = ϕ (abh) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ (ah)ϕ (bh). Sei ah Ker(ϕ ). Dann gilt e = ϕ (ah) = ϕ(a) und es folgt a Ker(ϕ). Daher Ker(ϕ ) Ker(ϕ)/H. Sei umgekehrt a Ker(ϕ). Es folgt, dass ϕ (ah) = ϕ(a) = e und somit Ker(ϕ ) Ker(ϕ)/H. Insgesamt folgt die Behauptung. Korollar 2.7. (Homomorphiesatz) Seien G, G Gruppen und ϕ: G G ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung ϕ : G/Ker(ϕ) Im(ϕ) ein Isomorphismus. Satz 2.8. Seien G, G Gruppen und ϕ: G G ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: (i) Ist U G eine Untergruppe von G, so ist ϕ 1 (U ) eine Untergruppe von G. (ii) Ist U G ein Normalteiler von G, so ist ϕ 1 (U ) ein Normalteiler von G. (iii) Ist U G eine Untergruppe, so ist ϕ(u) eine Untergruppe von G. (iv) Ist U G ein Normalteiler und ϕ surjektiv, so ist ϕ(u) ein Normalteiler von G. (v) Ist ϕ surjektiv, so induziert ϕ eine Bijektion der Menge aller Untergruppen (Normalteiler) von G, die Ker(ϕ) umfassen, auf die Menge aller Untergruppen (Normalteiler) von G. Beweis. Wir zeigen:

12 12 1. GRUPPENTHEORIE (i) Seien a, b ϕ 1 (U ). Dann ist ϕ(ab 1 ) = ϕ(a)ϕ(b) 1 U. Daher ist ab 1 ϕ 1 (U ) und nach dem Untergruppenkriterium 1.8 ist ϕ 1 (U ) eine Untergruppe. (ii) Sei a G und b ϕ 1 (U ) beliebig. Es ist ϕ(aba 1 ) = ϕ(a)ϕ(b)ϕ(a) 1 U, da U ein Normalteiler ist. Es folgt, dass aϕ 1 (U )a 1 ϕ 1 (U ) und daher aϕ 1 (U )a 1 = ϕ 1 (U ). Also ist ϕ 1 (U ) ein Normalteiler von G. (iii) Seien a, b ϕ(u) mit ϕ(a) = a und ϕ(b) = b. Dann ist a (b ) 1 = ϕ(a)ϕ(b) 1 = ϕ(ab 1 ) ϕ(u), da ab 1 U gilt. Wieder nach dem Untergruppenkriterium folgt, dass ϕ(u) eine Untergruppe ist. (iv) Seien a G und b ϕ(u) mit b = ϕ(b). Die Abbildung ϕ ist surjektiv und es folgt, dass ein a G existiert mit ϕ(a) = a. Dann ist a b (a ) 1 = ϕ(a)ϕ(b)ϕ(a) 1 = ϕ(aba 1 ) ϕ(u), da U ein Normalteiler ist und daher aba 1 U gilt. Es folgt, dass a ϕ(u)(a ) 1 ϕ(u) und somit a ϕ(u)(a ) 1 = ϕ(u). Daraus folgt die Behauptung. (v) Behauptung: Für eine Untergruppe Ker(ϕ) U G ist U = ϕ 1 (ϕ(u)). Es gilt immer U ϕ 1 (ϕ(u)). Sei a ϕ 1 (ϕ(u)). Da ϕ(a) ϕ(u), existiert ein b U mit ϕ(a) = ϕ(b). Daher ϕ(ab 1 ) = ϕ(a)ϕ(b) 1 = ϕ(a)ϕ(a) 1 = e G und somit ab 1 = c Ker(ϕ) U. Es folgt a = cb U und dies zeigt die Behauptung. Da ϕ surjektiv ist, gilt analog für jede Untergruppe V G, dass V = ϕ(ϕ 1 (V )). Dies zeigt (v). Satz 2.9. (1. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, H G eine Untergruppe, N G. Dann gilt: (i) HN = {ab: a H, b N} ist eine Untergruppe von G. (ii) N HN. (iii) Der kanonische Homomorphismus ε: H HN/N, a an ist ein Epimorphismus mit Ker(ε) = H N. Insbesondere ist H N H und H/(H N) = HN/N. Beweis. Zu (i): Sei a 1 b 1, a 2 b 2 HN mit a 1, a 2 H und b 1, b 2 N. Dann ist a 1 b 1 (a 2 b 2 ) 1 = a 1 b 1 b 1 2 a 1 2 = (a 1 a 1 2 )(a 2 (b 1 b 1 2 )a 1 2 ) HN. Aus dem Untergruppenkriterium 1.8 folgt die Behauptung. Zu (ii): Es gilt N HN, da N G vorausgesetzt wurde. Zu (iii): Nach (ii) gilt N HN und somit ist HN/N eine Gruppe. Es ist leicht zu überprüfen, dass ε ein Gruppenhomomorphismus ist. Sei nun an HN/N beliebig mit a = bc HN für ein b H und c N. Dann gilt an = bcn = (bn)(cn) = bn = ε(b). Somit ist ε ein Epimorphismus. Als nächstes zeigen wir Ker(ε) = H N. Es gilt H N N Ker(ε). Sei nun a Ker(ε) H. Dann ist N = ε(a) = an und

13 3. ZYKLISCHE GRUPPEN 13 daher a N. Es folgt, dass a H N und insgesamt H N = Ker(ε). Nach dem Homomorphiesatz 2.7 gilt nun H/(H N) = HN/N. Beispiel Sei G = S 3, H = {id, (1, 2)}, N = {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Dann ist H kein Normalteiler und N ist ein Normalteiler von G. Es gilt HN = G und H N = {id}. Nach dem 1. Isomorphiesatz folgt S 3 /N = HN/N = H/H N = H. Satz (2. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, H G, N G und N H. Dann gibt es einen kanonischen Epimorphismus ε: G/N G/H mit Ker(ε) = H/N. Insbesondere gilt (G/N)/(H/N) = G/H. Beweis. Definiere ε wie folgt: ε: G/N G/H, an ah. Da N H gilt, ist diese Abbildung wohldefiniert und man sieht leicht, dass ε ein Epimorphismus ist. Es bleibt zu zeigen, dass Ker(ε) = H/N gilt. Sei an H/N mit a H. Dann gilt ε(an) = ah = H und somit an Ker(ε). Sei nun an Ker(ε), dann ist H = ε(an) = ah und daher a H. Es folgt, dass Ker(ε) = H/N. Nach dem Homomorphiesatz 2.7 gilt nun (G/N)/(H/N) = G/H. 3. Zyklische Gruppen Konstruktion und Definition 3.1. Sei G eine Gruppe und S G eine Teilmenge. Wir bezeichnen mit S die kleinste Untergruppe von G, die S enthält. Man überlegt sich, dass S = U S U G, U Untergruppe = {a G: Es gibt a 1,..., a r G und ε 1,..., ε r {1, 1} mit a = a ε 1 1 a εr r }. S heißt die von S erzeugte Untergruppe. Ist S = {a}, so schreiben wir kurz a (= {a z : z Z}). Die Gruppe a heißt die von a erzeugte zyklische Untergruppe von G. Ist G = a, so heißt G eine zyklische Gruppe. Korollar 3.2. Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Beispiele 3.3. Es gilt: (i) Die ganzen Zahlen Z zusammen mit der Addition ist eine zyklische Gruppe. (ii) Sei G eine endliche Gruppe und a G. Die Untergruppe {a, a 2,..., a ord(a) = e} ist zyklisch. (iii) Sei n N und Z n die von (1,..., n) erzeugte Untergruppe von S n. Dann ist Z n zyklisch von der Ordnung n. Insbesondere ist für jede Primzahl p die zyklische Gruppe Z p von der Ordnung p. Der folgende Satz zeigt, dass es keine weiteren Gruppen von Primzahlordnung existieren. Satz 3.4. Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p. Dann ist G isomorph zu Z p.

14 14 1. GRUPPENTHEORIE Beweis. Sei e a G. Dann ist ord(a) = p, da ord(a) p gilt. Insbesondere ist G = a zyklisch. Betrachte den Homomorphismus Z n G, (1,..., p) i a i. Dies ist ein Isomorphismus und beweist den Satz. Lemma 3.5. Sei H Z eine Untergruppe. Dann existiert ein m Z mit H = mz. Insbesondere ist H eine zyklische Gruppe. Beweis. Ist H = {0}, so können wir m = 0 wählen. Sei also H {0}. Mit z H ist auch z H, also existieren positive Zahlen in H. Sei m die kleinste positive Zahl in H. Wir behaupten, dass mz = H. Es gilt immer mz H. Sei nun a H. Dividiere a durch m mit Rest, d.h. es existieren zwei Zahlen q, r Z mit 0 r < m und a = qm + r. Wegen r = a qm H und der Wahl von m folgt r = 0, also a = qm. Somit gilt mz = H. Satz 3.6. Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt: { G Z, falls ord(g) =, = Z/mZ, falls ord(g) <. Insbesondere existiert zu jedem n N eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Beweis. Mit Hilfe von 2.7 und 3.5 lässt sich die Behauptung leicht beweisen. Satz 3.7. Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt: (i) Ist ϕ: G G ein Gruppenhomomorphismus für eine Gruppe G, so sind Ker(ϕ) und Im(ϕ) zyklische Gruppen. (ii) Jede Untergruppe H G ist zyklisch. Beweis. Zu (i): Sei ϕ: G G ein Gruppenhomomorphismus. Es folgt aus der Definition einer zyklischen Gruppe, dass Im(ϕ) zyklisch ist. Ker(ϕ) G ist eine Untergruppe von G und somit bleibt (ii) zu zeigen. Zu (ii): Sei G eine zyklische Gruppe und H G eine Untergruppe. Sei ferner ε: Z G ein Epimorphismus. ε 1 (H) ist eine Untergruppe von Z und somit zyklisch nach 3.5. Dann ist H = ε(ε 1 (H)) wieder zyklisch.

15 KAPITEL 2 Ringtheorie 1. Grundbegriffe der Ringtheorie Definition 1.1. Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen +: R R (Addition) und.: R R (Multiplikation), so dass folgende Bedingungen erfüllt sind: (i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0. (ii). ist assoziativ, d.h. für alle a, b, c R gilt (ab)c = a(bc). (iii) Es gelten die Distributivgesetze, d.h. für alle a, b, c R gilt a(b+c) = ab+ac und (b + c)a = ba + ca. Der Ring heißt Ring mit 1, wenn ein Element 1 R existiert, so dass für alle a R gilt 1a = a = a1. Der Ring heißt kommutativ, wenn für alle a, b R gilt ab = ba. Bemerkung 1.2. In einem Ring kann auch 1 = 0 gelten, z.b. wenn R = {0}. Es gelten die Rechenregeln: (i) 0a=a0=0, (ii) a(-b)=-ab=(-a)b, (iii) (-a)(-b)=ab, (iv)... Vorsicht, es gilt nicht in jedem Ring die Kürzungsregel. Wir betrachten im Folgenden nur kommutative Ringe R mit 1. Definition 1.3. Sei R ein Ring. (i) Ein Element a R heißt Nullteiler, wenn ein 0 b R existiert mit ab = 0. (ii) R heißt ein Integritätsbereich (oder nullteilerfrei), wenn R keine Nullteiler außer 0 besitzt. (iii) Ein Element a R heißt Einheit, wenn ein b R existiert mit ab = 1. (iv) Die Menge der Einheiten E R von R bildet hinsichtlich der Multiplikation eine Gruppe. Sie heißt die Einheitengruppe von R. (v) S R heißt ein Unterring von R, wenn S mit der induzierten Verknüpfung von R ein Ring ist. Das Paar S R heißt dann eine Ringerweiterung. Beispiele 1.4. Betrachte: (i) Z ist ein Integritätsring mit E Z = { 1, 1}. (ii) R ist ein Körper genau dann, wenn E R = R \ {0}. (iii) Seien R 1,..., R n Ringe. Dann ist R = R 1... R n mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein Ring. Es gilt 1 R = (1 R1,..., 1 Rn ), 0 R = (0 R1,..., 0 Rn ) und E R = E R1 E Rn. Für n 2 ist R kein

16 16 2. RINGTHEORIE Integritätsbereich, da (0, 1, 0,...)(1, 0, 0,...) = (0, 0, 0,...). Definition 1.5. Seien R und S Ringe. Eine Abbildung ϕ: R S heißt ein Ringhomomorphismus, wenn für alle a, b R gilt ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) und ϕ(1) = 1. Ein Ringhomomorphismus ϕ heißt (i) Monomorphismus, wenn ϕ injektiv ist. (ii) Epimorphismus, wenn ϕ surjektiv ist. (iii) Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist. Die Ringe R, S sind isomorph, wenn ϕ ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann R = S. Definition 1.6. Seien R, S Ringe und ϕ: R S ein Ringhomomorphismus. (i) Die Menge Ker(ϕ) = {a R: ϕ(a) = 0} heißt der Kern von ϕ. (ii) Die Menge Im(ϕ) = {ϕ(a) S : a R} heißt das Bild von ϕ. Bemerkung 1.7. Es gilt: (i) Im(ϕ) ist ein Unterring von S. (ii) Ker(ϕ) ist i.a. kein Unterring von R, da i.a. 1 / Ker(ϕ). (iii) ϕ induziert einen Gruppenhomomorphismus E R E S zwischen den Einheitengruppen von R und S. Definition 1.8. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I R heißt ein Ideal, wenn: (i) (I, +) ist eine Untergruppe von (R, +). (ii) Für alle a R und b I gilt ab I. Beispiele 1.9. Sei R ein Ring. (i) {0} und R sind die trivialen Ideale von R. (ii) R ist ein Körper genau dann, wenn {0} und R die einzigen Ideale von R sind. (iii) Sei S ein weiterer Ring und ϕ: R S ein Ringhomomorphismus. Dann ist Ker(ϕ) ein Ideal von R. Ist insbesondere R ein Körper, so ist ϕ entweder die Nullabbildung oder injektiv. (iv) Genau die Mengen nz sind die Ideale von Z. (v) Ein Ideal von der Form (a) = {ra: r R} heißt Hauptideal von R. Lemma und Definition Sei R ein Ring und (J i ) i I eine Familie von Idealen von R. Dann gilt: (i) Der Durchschnitt i I J i ist ein Ideal von R. (ii) Die Summe i I J i = { i I a i : a i J i, fast alle a i = 0} ist ein Ideal von R. Beispiel Sei R ein Ring und I, J Ideale in R. Dann ist I + J = {a + b: a I, b J}. Z.B. 4Z + 6Z = 2Z. Definition Sei R ein Ring und {a i } i I eine Familie von Elementen von R. Das von dieser Familie erzeugte Ideal ist das kleinste Ideal, das alle a i enthält. Es

17 2. RESTKLASSEN- UND QUOTIENTENRINGE 17 wird mit (a i ) i I bezeichnet. Wird J von a 1,..., a n R erzeugt, so schreibt man J = (a 1,..., a n ) = { n i=1 r ia i : r i R}. Definition Sei R ein Ring und J 1,..., J n Ideale von R. Dann ist J 1 J n = (a 1 a n : a i J i ) das Produkt der Ideale J 1,..., J n. Lemma Sei R ein Ring und I, J, J Ideale von R. Dann gilt: (i) I(JJ ) = (IJ)J. (ii) IJ I J. Bemerkung In 1.14 (ii) gilt im Allgemeinen keine Gleichheit. Zum Beispiel: (4)(6) = (24) und (4) (6) = (12). Definition Ein Ring R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal I von R ein Hauptideal ist, d.h. I = (a) für ein a R. Satz Der Ring Z ist ein Hauptidealring. Beweis. Sei I Z ein Ideal. Dann ist (I, +) eine Untergruppe von (Z, +), also hat I nach Kapitel 1, 3.5 die Gestalt nz = (n) für ein n Z. Dies zeigt die Behauptung. 2. Restklassen- und Quotientenringe Konstruktion 2.1. Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Sei R/I = {a + I : a R}. Da I ein Normalteiler von R ist, ist dies eine (additive) Gruppe. Wir erklären nun auch ein Produkt auf R/I. Seien a 1 + I, a 2 + I R/I. Setze (a 1 + I)(a 2 + I) = a 1 a 2 + I. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten. Seien etwa a 1 + I = b 1 + I und a 2 + I = b 2 + I, d.h. a 1 b 1 = c 1 I und a 2 b 2 = c 2 I. Dann gilt b 1 b 2 = (a 1 c 1 )(a 2 c 2 ) = a 1 a 2 + (c 1 c 2 a 1 c 2 a 2 c 1 ) a 1 a 2 + I. Daraus folgt, dass a 1 a 2 + I = b 1 b 2 + I. Man sieht nun leicht, dass R/I ein Ring ist. Dieser Ring heißt der Restklassenring (Faktorring) von R modulo I. Bemerkung 2.2. Für a + I = b + I schreibt man auch a b mod I. Satz 2.3. Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Dann gilt: (i) Die Abbildung ε: R R/I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus und Ker(ε) = I. ε heißt der kanonische Epimorphismus. (ii) (Die universelle Eigenschaft des Restklassenrings) Sei S ein weiterer Ring und ϕ: R S ein Ringhomomorphismus mit I Ker(ϕ). Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus ϕ : R/I S mit ϕ = ϕ ε. Es gilt Im(ϕ ) = Im(ϕ) und Ker(ϕ ) = Ker(ϕ)/I R/I. Beweis. Der Beweis verläuft analog zu dem entsprechenden Beweis in der Gruppentheorie (Die universelle Eigenschaft der Faktorgruppe). Korollar 2.4. Es gilt: (i) (Homomorphiesatz) Seien R, S Ringe und ϕ: R S ein (Ring-) Epimorphismus. Dann gilt R/Ker(ϕ) S.

18 18 2. RINGTHEORIE (ii) (Isomorphiesatz) Sei R ein Ring und I, J R Ideale mit J I. Dann gilt R/I (R/J)/(I/J). Beweis. Die Beweise verlaufen analog zu den entsprechenden Beweisen in der Gruppentheorie. Definition 2.5. Sei R ein Ring und I, J R Ideale. I und J heißen teilerfremd (koprim), wenn I + J = R gilt. Bemerkung 2.6. In der Zahlentheorie wird meist folgender Satz bewiesen. Für zwei Zahlen m, n Z gilt (m) + (n) = Z genau dann, wenn n und m teilerfremd sind. Satz 2.7. (Chinesischer Restsatz) Sei R ein Ring und I 1,..., I n paarweise teilerfremde Ideale von R. Dann ist die Abbildung ϕ: R R/I 1 R/I n, a (a + I 1,..., a + I n ) ein Epimorphismus mit Ker(ϕ) = n i=1 I i. Insbesondere gilt n R/( I i ) R/I 1 R/I n. i=1 Beweis. Man sieht leicht, dass ϕ ein Ringhomomorphismus ist und das Ker(ϕ) = n i=1 I i gilt. Es bleibt zu zeigen, dass ϕ surjektiv ist. Behauptung: Für i = 1,..., n existieren Elemente x i mit x i 1 mod I i und x i 0 mod I j für j i. Ist dann (a 1 + I 1,..., a n + I n ) R/I 1 R/I n beliebig gewählt, dann gilt ϕ(a 1 x a n x n ) = (a 1 x 1 + I 1,..., a n x n + I n ) = (a 1 + I 1,..., a n + I n ) und somit ist ϕ surjektiv. Es bleibt die Behauptung zu zeigen. Sei im Folgenden i {1,..., n} fest gewählt. Für j i gilt nach Voraussetzung I i + I j = R, also existiert ein a j I i und b j I j mit a j + b j = 1. Dann gilt 1 = j i (a j + b j ) = c i + x i mit c i I i und x i j i I j. Es gilt x i 1 = c i I i, x i I j für j i. Also x i 1 mod I i und x i 0 mod I j für j i. Korollar 2.8. Seien b 1,..., b n Z paarweise teilerfremde Zahlen. Dann ist das simultane Kongruenzsystem x a i mod (b i ) für i = 1,..., n und beliebige Zahlen a 1,..., a n Z lösbar. Die Lösung ist eindeutig modulo b 1 b n. Beweis. Für beliebige i, j gilt (b i ) + (b j ) = Z und (b i b j ) = b i b j. Nun folgt die Behauptung aus 2.7. Bemerkung 2.9. Der Beweis von 2.7 zeigt auch, wie eine Lösung in 2.8 gewonnen werden kann. Definition Sei R ein Ring. Ein Ideal P R heißt Primideal, wenn P R und wenn für alle a, b R mit ab P folgt, dass a P oder b P gilt.

19 2. RESTKLASSEN- UND QUOTIENTENRINGE 19 Lemma Sei n Z, n > 1. Dann ist (n) genau dann ein Primideal, wenn n eine Primzahl ist. Beweis. Sei (n) ein Primideal, n = dm für d, m Z und o.e. d > 1, m 1. Dann ist dm (n). Es folgt, dass d (n) oder m (n). Da 1 m = n/d < n, gilt m / (n). Somit d = cn (n). Nun folgt d = cn = cdm, also 1 = cm und daher 1 = c. Insgesamt gilt d = n. Es folgt, dass n eine Primzahl ist. Sei nun n eine Primzahl. Ist ab (n) für a, b Z, dann gilt n ab. Da n eine Primzahl ist, folgt n a oder n b. Also a (n) oder b (n). Satz Sei R ein Ring und P R ein Ideal. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) P ist ein Primideal, (ii) R/P ist ein Integritätsbereich. Beweis. (i) (ii): Sei P a + P, b + P R/P. Also gilt a / P und b / P. Da P ein Primideal ist, folgt ab / P, also ab + P P. (ii) (i): Seien a, b R mit ab P. Es folgt, dass P = ab+p = (a+p )(b+p ). Da R/P ein Integritätsbereich ist, gilt a+p = P oder b+p = P. Dies ist äquivalent zu a P oder b P. Definition Sei R ein Ring. Ein Ideal M R heißt ein maximales Ideal, wenn M R und für alle Ideale I R mit M I folgt, dass I = M oder I = R gilt. Lemma (Zorn) Sei M = eine partiell geordnete Menge. Besitzt jede total geordnete Teilmenge von M eine obere Schranke in M, dann besitzt M ein maximales Element. Satz Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Dann existiert ein maximales Ideal M R mit I M. Beweis. Sei M die Menge der Ideale J R mit I J. Dann ist M, da I M. Mit der Inklusion ist M partiell geordnet. Sei (J k ) k K eine vollständig geordnete Teilmenge von M. Man sieht leicht, dass I i K J i = J ein Ideal ist. Angenommen J = R. Dann wäre 1 J und somit 1 J k für ein k K. Dann ist J k = R ein Widerspruch. Also gilt J R und es ist J M eine obere Schranke für (J k ) k K. Nach 2.14 besitzt M ein maximales Element M. Dieses Element ist dann das gesuchte maximale Ideal. Satz Sei R ein Ring und M R ein Ideal. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) M ist ein maximales Ideal, (ii) R/M ist ein Körper. Beweis. (i) (ii): Sei M ein maximales Ideal. Sei 0 a + M R/M beliebig mit a / M. Betrachte das Ideal M J = M + (a). Es gilt J M und daher J = R. Dann ist 1 J, d. h. es existiert ein b R und ein c M mit 1 = ba + c. Somit ist (b + M)(a + M) = ba + M = 1 + M. Also ist b + M das inverse Element zu a + M und R/M ist ein Körper. (ii) (i): Sei M J R ein Ideal mit M J. Sei a J \ M. Dann ist a+m M in R/M. Da R/M ein Körper ist, existiert ein b R mit (b+m)(a+m) =

20 20 2. RINGTHEORIE ba + M = 1 + M. Es folgt, dass 1 ba M, also 1 (a) + M J. Somit J = R und M ist ein maximales Ideal. Korollar Maximale Ideale sind Primideale. Beweis. Sei M ein maximales Ideal in einem Ring R. Nach 2.16 ist R/M ein Körper, also insbesondere ein Integritätsbereich. Aus 2.12 folgt, dass M ein Primideal ist. Beispiel Maximale in Z sind die Ideale (p) für eine Primzahl p. Das Ideal (0) ist das einzige Primideal in Z, das nicht maximal ist. Satz Sei R ein Ring. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) (0) ist ein Primideal, (ii) R ist ein Integritätsbereich. Beweis. Betrachte die Abbildung id: R R. Es ist Ker(id) = (0) und nach dem Homomorphiesatz gilt R = R/(0). Die Behauptung folgt aus Satz Sei R ein Integritätsbereich mit endlich vielen Elementen. Dann ist R ein Körper. Beweis. Sei 0 a R beliebig. Die Abbildung ϕ a : R R, b ab ist injektiv, da R ein Integritätsbereich ist. Da R < folgt, dass ϕ a bijektiv ist. Somit 1 Im(ϕ a ), d.h. es existiert ein b R mit 1 = ba. Dies zeigt die Behauptung. Konstruktion (Quotientenringe) Sei R ein Integritätsbereich, T = R \ {0}. Wir definieren auf der Menge der Paare {(a, b): a R, b T } eine Äquivalenzrelation: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) a 1 b 2 = a 2 b 1. Die Äquivalenzklasse (a, b) wird mit a b bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit Q(R). Definiere Addition und Multiplikation auf Q(R) wie folgt: a 1 b 1. a 2 b 2 = a 1a 2 b 1 b 2 und a 1 b 1 + a 2 b 2 = a 1b 2 + a 2 b 1 b 1 b 2. Die Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Repräsentanten und (Q(R), +,.) ist ein Körper mit 1 als Einselement,... 1 Satz Sei R ein Integritätsbereich. Dann gilt: (i) (Q(R), +,.) ist ein Körper. (ii) Die Abbildung ι: R Q(R), a a ist ein Monomorphismus und wird 1 die kanonische Einbettung genannt. (iii) (Universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers) Sei ϕ: R K ein Ringhomomorphismus in einen Körper K. Dann gibt es genau einen Körperhomomorphismus ϕ : Q(R) K mit ϕ = ϕ ι, d.h. folgendes Diagramm ist kommutativ: R ι ϕ Q(R) K. ϕ

21 Beweis. Eindeutigkeit: Sei a b 3. TEILBARKEITSTHEORIE IN INTEGRITÄTSBEREICHEN 21 Q(R) beliebig. Dann gilt ϕ ( a b ) = ϕ ( a 1 1 b ) = ϕ ( a 1 ( b 1 ) 1 ) = ϕ ( a 1 ) ϕ ( b 1 ) 1 = ϕ (ι(a)) ϕ (ι(b)) 1 = ϕ(a) ϕ(b) 1. Existenz: Zeige, dass die Abbildung ϕ mit ϕ ( a) = ϕ(a) b ϕ(b) 1 die gewünschten Eigenschaften hat. 3. Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen Definition 3.1. Sei R ein Integritätsbereich und a, b R. Das Element a heißt ein Teiler von b, wenn ein c R existiert mit b = ac. Man schreibt hierfür a b. Das Element a heißt assoziiert zu b, wenn a b und b a gilt. Dies wird mit a b bezeichnet (Bemerkung: ist eine Äquivalenzrelation). Lemma 3.2. Sei R ein Integritätsbereich und a, b, c, d R. Dann gelten folgende Rechenregeln: (i) a b und b c a c. (ii) a b und a c a b ± c. (iii) a b und a b + c a c. (iv) a b und c d ac bd. (v) a b (a) (b). (vi) a b (a) = (b) a = cb mit c E R. Beweis. Diese Regeln rechnet man leicht nach. Definition 3.3. Sei R ein Integritätsbereich. Ein Element 0 a R \ E R heißt irreduzibel, wenn für b, c R mit a = bc stets b E R oder c E R gilt. Satz 3.4. Sei R ein Integritätsbereich und Hauptidealring. Für ein 0 a R sind folgende Aussagen äquivalent: (i) a ist irreduzibel, (ii) (a) ist ein maximales Ideal. Beweis. (i) (ii): Sei (a) (b) R ein Ideal mit b R. Da a (b) existiert ein c R mit a = bc. Nun folgt wegen der Irreduzibilität von a, dass b E R oder c E R. Dies ist äquivalent zu (b) = R oder (a) = (b). Daher ist (a) ein maximales Ideal. (ii) (i): Sei a = bc mit b, c R. Nun gilt (a) (b) R. Da (a) ein maximales Ideal ist, folgt (a) = (b) oder (b) = R. Gilt (b) = R, dann ist b E R, da dann 1 (b). Sonst ist (a) = (b), also existiert ein d R mit ad = b. Es folgt, dass a = bc = adc und somit 1 = dc. Daher gilt c E R. Insgesamt folgt die Behauptung. Definition 3.5. Sei R ein Integritätsbereich. Eine Folge von Elementen (a n ) n N mit a n R \ {0} heißt Teilerkette, wenn für alle n N a n+1 a n gilt. In R gilt der Teilerkettensatz, wenn jede Teilerkette (a n ) n N stationär wird, d.h. es gibt ein n 0 N mit a n a n+1 für n n 0.

22 22 2. RINGTHEORIE Beispiel 3.6. In Z gilt der Teilerkettensatz. Sei (a n ) n N ein Teilerkette in Z. Die Menge { a n : n N} besitzt ein kleinstes Element a n0. Da a n+1 a n für alle n N gilt, folgt a n a n+1 für n n 0. Satz 3.7. In R gelte der Teilerkettensatz. Dann lässt sich jedes Element 0 a R \ E R als Produkt a = b 1 b n mit endlich vielen irreduziblen Elementen b 1,..., b n darstellen (das Produkt ist nicht notwendigerweise eindeutig). Beweis. Sei a R ein beliebiges Element. Angenommen a lässt sich nicht als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen schreiben. Wir definieren induktiv ein Kette von Elementen (a n ) n N mit a n+1 a n, a n a n+1 und a n lässt sich für alle n N nicht als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen schreiben. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass in R der Teilerkettensatz gilt. Für n = 0 setze a 0 = a. Sei n > 0 und die Kette a 0,..., a n bereits konstruiert. a n kann nicht irreduzibel sein, also existieren 0 b, c R \ E R mit a n = bc. Wegen der Wahl von a n können b und c sich nicht beide als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen schreiben lassen. Lässt sich etwa b nicht so schreiben, dann setze a n+1 = b. Dies zeigt die Behauptung. Lemma 3.8. Sei R ein Integritätsbereich und ein Hauptidealring. Dann gilt in R der Teilerkettensatz. Beweis. Sei (a n ) n N ein Teilerkette in R. Da a n+1 a n für alle n N gilt, folgt (a 0 ) (a 1 )... (a n )... Sei I = n N (a n). Dann ist I ein Ideal, insbesondere ein Hauptideal. Also existiert ein b R mit I = (b). Sei n 0 so gewählt, dass b a n0 gilt. Dann ist (a n ) = (a n+1 ) für n n 0 und somit a n a n+1 für n n 0. Definition 3.9. Sei R ein Integritätsbereich und 0 p R \ E R. Das Element p heißt ein Primelement, wenn für alle a, b R mit p ab folgt, dass p a oder p b gilt. Bemerkung Sei R ein Integritätsbereich. Dann gelten folgende Regeln: (i) Seien p, q R, p ein Primelement und p q q ist ein Primelement. (ii) Sind p, q R Primelemente mit p q p q. (iii) Ist p R ein Primelement mit p a 1 a n p a i für ein i {1,..., n}. Lemma Sei R ein Integritätsbereich und 0 p R \ E R. Dann gilt: (i) p ist ein Primelement (p) ist ein Primideal. (ii) p ist ein Primelement p ist irreduzibel. Beweis. Zu (i): Dies folgt direkt aus den Definitionen von Primelement und Primideal. Zu (ii): Sei p ein Primelement und p = ab für a, b R. Da p ab gilt, folgt p a oder p b. Gelte etwa p a, dann existiert ein c R mit pc = a. Somit folgt aus p = ab = pcb, dass 1 = cb gilt. Also ist b E R. Damit ist p irreduzibel. Satz Sei R ein Integritätsbereich und Hauptidealring, 0 p R \ E R. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) p ist ein Primelement,

23 3. TEILBARKEITSTHEORIE IN INTEGRITÄTSBEREICHEN 23 (ii) p ist irreduzibel, (iii) (p) ist ein maximales Ideal. Beweis. In 3.4 und 3.11 wurde bereits (i) (ii) und (ii) (iii) bewiesen. Es bleibt zu zeigen, dass (iii) (i) gilt. Ist (p) ein maximales Ideal, so ist (p) ein Primideal nach Aus 3.11 (i) folgt die Behauptung. Lemma Sei R ein Integritätsbereich und 0 a R. Seien a = p 1 p m = q 1 q n zwei Darstellungen von a als Produkt von Primelementen. Dann gilt: (i) m = n. (ii) Nach einer geeigneten Umnummerierung gilt p i q i. Die Darstellung von Primelementen ist also im Wesentlichen eindeutig. Beweis. Wir beweisen den Satz durch eine Induktion nach l = min{m, n}. O.E. ist l = m. Für l = 1 folgt wegen p 1 q 1 q n, dass p 1 q i für ein i {1,..., n} und somit nach 3.10 p 1 q i, etwa q i = εp 1 für ein ε E R. Außerdem gilt nach Kürzen durch p 1, dass 1 = εq 1 q i 1 q i+1 q n. Also gilt n = 1 und damit die Behauptung. Sei nun l > 1. Es gilt p m q 1 q n und daher wieder p 1 q i für ein i {1,..., n}. O.E. i = n und daher p m q n, etwa q m = εp n für ein ε E R. Nach Kürzen gilt p 1 p m 1 = εq 1 q n 1 mit min{m 1, n 1} < l. Nach der Induktionsvoraussetzung gilt m 1 = n 1 m = n und nach einer geeigneten Nummerierung gilt p i q i für i = 1,..., n 1. Definition Sei R ein Integritätsbereich. R heißt faktoriell, wenn sich jedes Element 0 a R \ E R eindeutig als Produkt von Primelementen schreiben lässt. Bemerkung Sei R ein faktorieller Ring, 0 a R und P ein Vertretersystem der Primelemente von R. Dann besitzt a die Darstellung a = ε p P p vp(a) mit ε E R, v p (a) N und fast alle v p (a) = 0. Korollar Sei R ein Integritätsbereich und Hauptidealring, dann ist R faktoriell. Beweis. Dies folgt aus 3.7, 3.8, 3.12 und Definition Ein Integritätsbereich R zusammen mit einer Abbildung δ : R\{0} N heißt ein euklidischer Ring, wenn für alle Elemente a, b R mit b 0 Elemente q, r R existieren mit (i) a = qb + r, (ii) r = 0 oder δ(r) < δ(b). Die Abbildung δ wird mit Grad- oder Normabbildung von R bezeichnet. Beispiel Z bildet zusammen mit der Betragsfunktion einen euklidischen Ring. Jeder Körper ist aus trivialen Gründen ein euklidischer Ring.

24 24 2. RINGTHEORIE Satz Sei R ein euklidischer Ring. Dann ist R ein Integritätsbereich und Hauptidealring. Insbesondere gilt: R ist ein euklidischer Ring R ist ein Integritätsbereich und Hauptidealring R ist ein faktorieller Ring. Beweis. Sei I R ein beliebiges Ideal. Ist I = (0), so ist I ein Hauptideal. Sei also I (0). Definiere m = min{δ(a): a I, a 0} und 0 a I mit δ(a) = m. Behauptung: I = (a). Es gilt immer (a) I. Sei nun 0 b I. Dann existieren q, r R mit b = qa + r und r = 0 oder 0 δ(r) < δ(a). Da r = b qa I folgt wegen der Wahl von a, dass r = 0 und b = qa (a) gilt. Definition Sei R ein Integritätsbereich. Seien a 1,..., a n R. (i) d R heißt grösster gemeinsamer Teiler von a 1,..., a n, wenn gilt: (a) d a i für i = 1,..., n. (b) Ist e R mit e a i für i = 1,..., n, so gilt e d. Wir schreiben dann ggt(a 1,..., a n ) für d. (ii) v R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a 1,..., a n, wenn gilt: (a) a i v für i = 1,..., n. (b) Ist u R mit a i u für i = 1,..., n, so gilt v u. Wir schreiben dann kgv(a 1,..., a n ) für v. Bemerkung ggt(a 1,..., a n ) und kgv(a 1,..., a n ) sind bis auf Assoziiertheit eindeutig. Satz Sei R ein faktorieller Ring, a 1,..., a n R \ {0}, P ein Vertretersystem der Primelemente von R und a i = e i p vp(ai) für i = 1,..., n p P die Primfaktorzerlegungen von a 1,..., a n. Dann existieren ggt und kgv und es gilt ggt(a 1,..., a n ) = p P p min(vp(a 1),...,v p(a n)), kgv(a 1,..., a n ) = p P p max(vp(a 1),...,v p(a n)). Beweis. Man beachte, dass für p P p vp(a) p P p vp(b) v p (a) v p (b) für alle p P gelten muss. Nun folgt die Behauptung.

25 4. POLYNOMRINGE 25 Satz (Euklidischer Algorithmus) Sei R ein euklidischer Ring mit Gradabbildung δ. Für Elemente a, b R \ {0} betrachte man die Folge z 0, z 1,... R, die induktiv gegeben ist durch: z 0 =a z 1 =b { der Rest der Division von z i 1 durch z i, falls z i 0, z i+1 = 0 sonst. Dann gibt es einen kleinsten Index n N mit z n+1 = 0. Für dieses n gilt z n = ggt(a, b). Beweis. Nach der Definition der Folge (z i ) i N hat man für i > 0 und unter der Voraussetzung z i 0 eine Gleichung der Form z i 1 = q i z i + z i+1 mit δ(z i+1 ) < δ(z i ) oder z i+1 = 0. Die Folge δ(z i ) ist für i > 0 und z i 0 streng monoton fallend. Daher hat die Menge N = {δ(z i ): z i 0} ein Minimum und es kann nur endlich viele z i 0 geben. Sei n minimal mit z n+1 = 0. Behauptung: z n teilt z i für 0 i < n. Wir beweisen die Behauptung durch eine Induktion nach n i. Für n 1 folgt dies aus der Gleichung z n 1 = q n z n. Sei die Aussage für n i gezeigt. Aus der Gleichung z n i 1 = q n i z n i + z n i+1 folgt aus der Induktionsvoraussetzung z n z n i+1 und z n z n i, dass z n z n i 1. Insbesondere gilt z n z 0 = a und z n z 1 = b. Sei c R mit c a und c b. Wir zeigen durch eine Induktion nach i, dass c z i gilt. Insbesondere c z n und es folgt z n = ggt(a, b). Für i = 0 und i = 1 gilt c z i nach Voraussetzung. Sei nun i > 1. Wegen der Gleichung z i 1 = q i z i + z i+1 und der Induktionsvoraussetzung gilt c z i+1. Bemerkung Durch den Beweis des Satzes 3.23 lässt sich eine explizite Darstellung des ggt s durch a und b gewinnen. Man muss lediglich die Gleichungen rückwärts auflösen. Bemerkung Mit dem ggt(a, b) hat man in der Situation von 3.23 auch den kgv(a, b) bestimmt, da ab = ggt(a, b)kgv(a, b) gilt. 4. Polynomringe Konstruktion 4.1. Sei R S eine Ringerweiterung und {a i } i I eine Teilmenge von S. Der Ring R[{a i } i I ] ist der kleinste Unterring P S mit den Eigenschaften (i) R P, (ii) Für i I gilt a i P.

26 26 2. RINGTHEORIE Ist I = {1,..., n} endlich, dann schreiben wir R[a 1,..., a n ]. Man sagt auch, dass R[{a i } i I ] aus R durch Adjunktion der Elemente {a i } i I von S entsteht. Beispiel 4.2. Betrachte: (i) S = C[X, Y ], R = C, I = {1} und a 1 = X. Dann ist R[X] S ein Polynomring (ii) S = C, R = R, I = {1} und a 1 = i. Dann ist R[i] = S kein Polynomring, da i = 0 gilt. Lemma 4.3. Sei R S eine Ringerweiterung und a 1,..., a n S. Dann gilt R[a 1,..., a n ] = {a S : a = c (m1,...,m n)a m1 1 a mn n mit c (m1,...,m n) R (m 1,...,m n) N n Beweis. Sei P = {a S : a = und fast alle c (m1,...,m n) = 0}. c (m1,...,m n)a m1 1 a mn n (m 1,...,m n) N n und fast alle c (m1,...,m n) = 0}. mit c (m1,...,m n) R Dann ist P ein Unterring von S, der a 1,..., a n enthält. Ist P ein weiterer Unterring von S mit dieser Eigenschaft, so gilt P P. Dies zeigt die Behauptung. Konstruktion 4.4. Sei R ein Ring und R[X 1,..., X n ] = {(c (m1,...,m n)) (m1,...,m n) N n : c (m 1,...,m n) R, fast alle c (m1,...,m n) = 0}. Definiere die Addition und die Multiplikation mit Sei (c (m1,...,m n)) + (d (m1,...,m n)) = (c (m1,...,m n) + d (m1,...,m n)) f (m1,...,m n) = (c (m1,...,m n))(d (m1,...,m n)) = (f (m1,...,m n)) e (m1,...,m n) = (s 1,...,s n)+(t 1,...,t n)=(m 1,...,m n) c (s1,...,s n)d (t1,...,t n). { 1 (m 1,..., m n ) = (0,..., 0), 0 sonst. Man rechnet nun nach, dass R[X 1,..., X n ] ein Ring mit 1 = (e (m1,...,m n)) und 0 = (0) ist. Man nennt R[X 1,..., X n ] den Polynomring in n Unbestimmten (Variablen) über R. Für n = 1 ist R[X] = {(c m ) m N : c m R, fast alle c m = 0}. der übliche Polynomring in einer Variablen.

27 4. POLYNOMRINGE 27 Satz 4.5. Sei R ein Ring. Dann entsteht der Ring S = R[X 1,..., X n ] aus dem Ring R = {(a (m1,...,m n) : a (m1,...,m n) = 0 für (m 1,..., m n ) (0,..., 0), a (0,...,0) R} durch Adjunktion der Elemente X i = (δ(m i 1,...,m ) mit n) { δ(m i 1 falls (m 1,..., m n ) = ε i, 1,...,m n) = 0 sonst. Beweis. Nachrechnen. Bemerkung 4.6. Jedes Element f R[X 1,..., X n ] besitzt eine eindeutige Darstellung als Polynom f = a (m1,...,m n)x m 1 1 Xn mn. (m 1,...,m n) Satz 4.7. (Die universelle Eigenschaft des Polynomrings) Seien R und S Ringe, ϕ: R S ein Ringhomomorphismus und a 1,..., a n S. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus Φ: R[X 1,..., X n ] S mit (i) Φ R = ϕ, (ii) Φ(X i ) = a i für i = 1,..., n. Ist insbesondere S = R[a 1,..., a n ], so ist Φ ein Epimorphismus. Beweis. Eindeutigkeit: Existiert Φ und ist f = a (m1,...,m n)x m 1 1 Xn mn R[X 1,..., X n ], so gilt Existenz: Definiere (m 1,...,m n) = (m 1,...,m n) = Φ(f) = Φ(f) Φ(a (m1,...,m n))φ(x 1 ) m1 Φ(X n ) mn (m 1,...,m n) (m 1,...,m n) ϕ(a (m1,...,m n))a m 1 1 a mn n. ϕ(a (m1,...,m n))a m 1 1 a mn n und rechnen nach, dass Φ eine Homomorphismus ist (dies folgt im Wesentlichen daraus, dass ϕ ein Homomorphismus ist). Korollar 4.8. Sei n N und R ein Ring. Dann gilt R[X 1,..., X n ][X n+1 ] = R[X 1,..., X n+1 ]. Beweis. Sei S = R[X 1,..., X n+1 ]. Betrachte den Monomorphismus (Einbettung) ϕ: R S, a a. Setze a 1 = X 1,..., a n = X n, dann existiert nach 4.7 ein eindeutiger Homomorphismus Φ: R[X 1,..., X n ] S mit

28 28 2. RINGTHEORIE (i) Φ R = ϕ, (ii) Φ(X i ) = a i für i = 1,..., n. Man beachte, dass Φ injektiv ist. Nun betrachte den Homomorphismus ϕ = Φ: R[X 1,..., X n ] S und setze a 1 = X n+1. Wieder nach 4.7 existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus Φ : R[X 1,..., X n ][X n+1 ] S mit (i) Φ R[X 1,...,X = n] ϕ = Φ, (ii) Φ(X n+1 ) = a 1 = X n+1. Φ ist der gesuchte Isomorphismus. Definition 4.9. Sei R ein Ring und S = R[X 1,..., X n ]. (i) Sei m = (m 1,..., m n ) N n. Ein Element X m 1 1 Xn mn S heißt Monom. Man nennt (m 1,..., m n ) den Multigrad und m = m m n den Totalgrad von X m 1 1 Xn mn. (ii) Sei f = (m 1,...,m a n) (m 1,...,m n)x m 1 1 Xn mn S beliebig. Definiere { max{m m n : a m 0} f 0, deg(f) = f = 0. Dann heißt deg(f) der Grad von f. Ist insbesondere n = 1 und 0 f = m N a mx m. Dann gilt deg(f) = max{m: a m 0}. Das Element a deg(f) =Leit(f) heißt dann der Leitkoeffizient. f heißt normiert, wenn Leit(f) = 1. Bemerkung Seien f, g R[X], deg(f) = m, deg(g) = n, a m = Leit(f) und b m = Leit(g). Dann gilt: (i) deg(f + g) max{deg(f), deg(g)}. Es gilt Gleichheit genau dann, wenn (a) deg(f) deg(g), (b) oder f = g = 0, (c) oder deg(f) = deg(g) und a n + b n 0. (ii) deg(fg) deg(f) + deg(g). Es gilt Gleichheit genau dann, wenn (a) f = 0 oder g = 0, (b) oder f 0, g 0 und a m b n 0 (z.b. in einem Integritätsbereich). Satz Sei R ein Integritätsbereich. Dann gilt: (i) R[X 1,..., X n ] ist ein Integritätsbereich. (ii) E R[X1,...,X n] = E R. Beweis. Zu (i): Wir beweisen (i) durch eine Induktion nach n. Sei n = 1 und 0 f, g R[X]. Dann gilt nach 4.10, dass deg(fg) = deg(f) deg(g) 0 und daher fg 0. Also ist R[X] ein Integritätsbereich. Für n > 1 folgt die Aussage aus 4.8 und der Induktionsannahme wegen R[X 1,..., X n ] = R[X 1,..., X n 1 ][X n ]. Zu (ii): Auch (ii) wird durch eine Induktion bewiesen. Sei n = 1. Man beachte, dass für ein 0 f R[X] gilt deg(f) = 0 genau dann, wenn f R. Es gilt immer E R E R[X]. Sei nun f E R[X]. Dann ist f 0 und es existiert ein 0 g R[X] mit 1 = fg. Also 0 = deg(1) = deg(fg) = deg(f)+deg(g). Somit ist deg(f) = deg(g) = 0

29 4. POLYNOMRINGE 29 und daher f, g R, speziell f, g E R. Für n > 1 folgt die Behauptung wieder aus 4.8 und der Induktionsannahme wegen E R[X1,...,X n] = E R[X1,...,X n 1 ][X n] = E R[X1,...,X n 1 ] = E R. Satz (Division mit Rest) Sei R ein Ring, f, g R[X], g 0 und Leit(g) E R. Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome q, r R[X] mit (i) f = qg + r, (ii) deg(r) < deg(g). Beweis. Existenz: Ist f = 0, so setze q = r = 0. Sei nun f 0. Wir beweisen den Satz durch eine Induktion nach deg(f). Sei deg(f) = 0. Ist deg(g) = 0, so gilt g E R. Dann können wir q = g 1 f und r = 0 wählen und erhalten f = qg. Ist deg(g) > 0, dann sind q = 0 und r = f die gesuchten Elemente mit f = 0g + r. Sei nun deg(f) > 0. Im Falle deg(f) < deg(g), kann wieder q = 0 und r = f gewählt werden. Betrachte also deg(f) deg(g). Sei m = deg(f), n = deg(g), a m = Leit(f) und b n = Leit(g). Definiere q 1 = b 1 n a m X n m und f 1 = f q 1 g. Dann ist deg(f 1 ) < deg(f). Nach der Induktionsannahme existieren q 2, r R[X] mit f q 1 g = f 1 = q 2 g + r und deg(r) < deg(g). Somit Wähle nun q = q 1 + q 2. Eindeutigkeit: Sei f = (q 1 + q 2 )g + r. f = q 1 g + r 1 = q 2 g + r 2 mit deg(r 1 ), deg(r 2 ) < deg(g). Also (q 1 q 2 )g = r 2 r 1. Es gilt deg(r 2 r 1 ) max{deg(r 1 ), deg(r 2 )} < deg(g). Auf der anderen Seite ist deg((q 1 q 2 )g) = deg(q 1 q 2 ) + g, da Leit(g) E R. Somit deg(g) + deg(q 1 q 2 ) = deg(r 2 r 1 ) < deg(g). Dies ist nur für q 1 = q 2 und r 1 = r 2 möglich. Dies zeigt die Eindeutigkeit. Korollar Sei K ein Körper. Dann ist K[X] zusammen mit der Abbildung deg ein euklidischer Ring. Insbesondere ist K[X] ein Hauptidealring und faktoriell. Definition Sei R S eine Ringerweiterung und 0 f = m N a mx m R[X]. Ein Element b S heißt Nullstelle von f in S, wenn f(b) = m N a mb m = 0 gilt, also ist f ist im Kern des Einsetzungshomomorphismus R[X] S, f f(b). Satz Sei R ein Integritätsbereich und 0 f R[X] ein Polynom vom Grad n. (i) b R ist genau dann eine Nullstelle von f, wenn (X b) f in R[X]. (ii) f besitzt höchstens n Nullstellen in R.

30 30 2. RINGTHEORIE Beweis. Zu (i): Gilt (X b) f, so ist f = (X b)g. Also f(b) = (b b)g = 0. Sei nun b eine Nullstelle von f. Teile f mit Division durch Rest durch X b. Dann existieren q, r R[X] mit f = q(x b)+r und deg(r) 0. Es gilt 0 = f(b) = q(b)0+r(b) = r(b) und daher r = 0, da r R ein Widerspruch geben würde. Also gilt (X b) f. Zu (ii): Wir beweisen die Aussage durch eine Induktion nach deg(f). Ist deg(f) = 0, so ist f R und f kann keine Nullstellen besitzen. Sei nun deg(f) > 0. Falls f keine Nullstelle besitzt, ist nichts zu zeigen. Sei also b eine Nullstelle von f. Nach (i) gilt f = (X b)g für ein g R[X] mit deg(g) = deg(f) 1. Nach der Induktionsannahme hat g höchstens n 1 Nullstellen in R. Da b genau dann eine Nullstelle von f ist, wenn b eine Nullstelle von (X b) oder von g ist, hat f höchstens n = n Nullstellen. 5. Der Satz von Gauß Satz 5.1. (Gauß) Sei R ein faktorieller Ring, dann ist auch der Polynomring R[X] faktoriell. Korollar 5.2. Sei R ein faktorieller Ring, dann ist für n N, n 1 auch der Polynomring R[X 1,..., X n ] faktoriell. Beweis. Dies folgt aus 4.8 und 5.1. Bemerkung 5.3. Durch den Satz von Gauß sieht man, dass es faktorielle Ringe gibt, die keine Hauptidealringe sind. Z. B. ist für einen Körper K der Ring K[X, Y ] faktoriell. Dieser Ring ist aber kein Hauptidealring. Lemma 5.4. Sei R ein faktorieller Ring, P ein Repräsentantensystem der Primelemente von R. Dann besitzt jedes Element 0 x = a Q(R) eine eindeutige b Darstellung x = ε p P p vp(x) mit ε E R, v p (x) Z und fast alle v p (x) = 0. Insbesondere ist x R genau dann, wenn alle v p (x) N. Beweis. Existenz: Sei a = ε a p vp(a) und b = ε b p P p P p vp(b) mit ε a, ε b E R, v p (a), v p (b) N und fast alle v p (a) = 0 bzw. v p (b) = 0. Dann ist x = ε a ε 1 b p vp(a) vp(b). O.E. kann angenommen werden, dass immer v p (a) = 0 oder v p (b) = 0 gilt. Eindeutigkeit: Sei p P x = ε p P p v p(x)