Grundlegende Algorithmen

Transkript

1 ST 430k HEUH (ä.) Volker Heun Grundlegende Algorithmen Einführung in den Entwurf und die Analyse effizienter Algorithmen 2., verbesserte und erweiterte Auflage >( "4.?

2 Einleitung und Grundlagen Ziele Einführendes Beispiel: Berechnung der Fibonacci-Zahlen Rekursive Berechnung Iterative Berechnung Berechnung mit Hilfe des iterierten Quadrierens Grundlagen Registermaschine (RAM) Zeitkomplexität Platzkomplexität Beschreibungskomplexität Landausche Symbole Übungsaufgaben 24 Sortieren Einfache Sortieralgorithmen Relationen, Ordnungen und Sortierungen Sortieren durch Auswahl Sortieren durch Einfügen Verbessertes Sortieren durch Einfügen Mergesort Rekursiver Mergesort Analyse des rekursiven Mergesort Iterativer Mergesort Analyse des iterativen Mergesort Heapsort Heaps und generischer Heapsort Implementierung von Heaps Standard-Heapsort Analyse von Standard-Heapsort Carlssons Variante von Heapsort Bottom-Up-Heapsort Quicksort Allgemeines Verfahren 57

3 2.4.2 Worst-Case und Best-Case Analyse von Quicksort Average-Case Analyse von Quicksort Varianten von Quicksort Interludium: Divide-and-Conquer-Algorithmen Prinzip Ansatz für eine allgemeine Analyse Analyse eines Spezialfalles Analyse für allgemeinere Fälle Eine untere Schranke für das Sortieren Entscheidungsbaum Maximale Anzahl von Vergleichen Mittlere Anzahl an Vergleichen Bucketsort Das Universum [0 : N - 1] Das Universum [0 : N - l] c Das Universum [0 : N - lj* Hinweise zur Implementierung Übungsaufgaben 84 3 Selektieren Quickselect Ein partitionierender Algorithmus Analyse von Quickselect Ein linearer Selektionsalgorithmus Der BFPRT-Algorithmus Analyse des BFPRT-Algorithmus Der Spinnen-Algorithmus Spinnen Der Algorithmus Analyse des Algorithmus Die Spinnenfabrik Eine untere Schranke Ein Gegenspielerargument Mindestanzahl von Vergleichen im schlimmsten Falle Ein randomisierter Median-Algorithmus Der Algorithmus Ein wenig Wahrscheinlichkeitstheorie Analyse des randomisierten Algorithmus Neuere Ergebnisse Algorithmen Untere Schranken 117

4 xi 3.7 Übungsaufgaben 117 Suchen Wörterbücher Ausnutzen von Sortierung Lineare Suche Binäre Suche Exponentielle Suche Hashing Hashfunktionen Hashing durch Verkettung Linear Probing Quadratic Probing Double Hashing Universelle Hashfunktionen Binäre Suchbäume Suchbaumeigenschaft Suchen und Einfügen im binären Suchbaum Löschen im binären Suchbaum AVL-Bäume Höhenbalancierung Einfügen in einen AVL-Baum Löschen im AVL-Baum (a,6)-bäume Definition Einfügen in einen (a, 6)-Baum Löschen im (a, 6)-Baum Weitere Varianten von Suchbäumen Vielweg-Suchbäume Balancierte Suchbäume Tries Einfügen und Löschen in Tries Implementierung von Tries Übungsaufgaben 156 Graphen Grundlagen der Graphentheorie Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Repräsentationen von Graphen Traversieren von Graphen Tiefensuche (DFS) 166

5 xii Breitensuche (BFS) Traversieren von Bäumen Zusammenhang von Graphen Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Kürzeste Wege Der Algorithmus von Floyd Transitive Hülle von Graphen Der Algorithmus von Dijkstra Der Algorithmus von Dijkstra mit Priority Queues Interludium: Fibonacci-Heaps Aufbau eines Fibonacci-Heaps Analyse von Fibonacci-Heaps Minimale Spannbäume Der Algorithmus von Prim Der Algorithmus von Kruskal Interludium: Union-Find-Datenstrukturen Darstellung von Mengen durch Listen Darstellung von Mengen durch Bäume Pfadkompression Übungsaufgaben Texte Alphabete und Zeichenketten Der Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt Die Idee Analyse des Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt Bestimmung eigentlicher Ränder Der Algorithmus von Boyer und Moore Die Idee Bestimmung der Shift-Tabelle Analyse des Algorithmus von Boyer und Moore Tries für Texte Suffix-Tries Suffix-Bäume Suchen mit Suffix-Bäumen Interludium: Datenkompression Eine untere Schranke Huffman-Kodierung Lempel-Ziv Lempel-Ziv

6 xiii Lempel-Ziv-Welch Die Burrows-Wheeler-Transformation Übungsaufgaben Arithmetik Euklidischer Algorithmus Grundalgorithmus Erweiterte Version Iterative Implementierungen Effiziente Implementierungen Modulare Arithmetik Grundlagen Modulare Gleichungen Chinesischer Restsatz Berechnung von Potenzen Primzahlen Elementare Ergebnisse Primzahltests Interludium: Kryptographie Public-Key-Kryptographie Das RSA-Verfahren Sicherheit des RSA-Verfahrens Die schnelle Fouriertransformation Multiplikation von Polynomen Eine alternative Methode zur Polynommultiplikation Berechnung der Konvolution mittels FFT Multiplikation ganzer Zahlen Analyse der Schulmethode Ein Divide-and-Conquer-Algorithmus Analyse des Algorithmus von Karatsuba und Ofman Verbesserung des Algorithmus von Karatsuba und Ofman Optimale Klammerung von Matrizenprodukten Einleitendes Beispiel Anzahl verschiedener Klammerungen Lösung mit dynamischer Programmierung Matrizenmultiplikation Der Algorithmus von Strassen Analyse des Algorithmus von Strassen Verbesserung des Algorithmus von Strassen Weitere Entwicklungen Invertierung von Matrizen 300

7 xiv Transitive Hülle Übungsaufgaben Schwierige Probleme Unentscheidbarkeit Entscheidungsprobleme Abzählbarkeit Gödelisierung Universelle Registermaschinen Unentscheidbare Probleme Die Church-Turing These MV- Vollständigkeit Die Klassen V und MV Standard-Registermaschinen Reduktionen AfP-harte und jv"p-vollständige Probleme Erfüllbarkeitsproblem Satz von Cook Konjunktive Normalform und 3SAT Beispiele jvp-vollständiger Probleme Approximative Algorithmen Optimierungsprobleme und Approximationen Die Klassen MVO und "PC Die Klasse APX Die Klasse VTAS Die Klasse TVTAS Übungsaufgaben 353 A Literaturhinweise 355 A.l Lehrbücher zur Algorithmik 355 A.2 Lehrbücher zu angrenzenden Themen 356 A.3 Originalarbeiten 357 B Gofer-Skripten 359 B.l Berechnung von Fibonacci Zahlen 359 C Index 361