Rechnerarchitektur SS 2013
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- Henriette Stieber
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1 Rechnerarchitektur SS 2013 Parallel Random Access Machine (PRAM) Michael Engel TU Dortmund, Fakultät für Informatik Teilweise basierend auf Material von Gernot A. Fink und R. Yahyapour 6. Juni 2013
2 Parallel Random Access Machine (PRAM) Maschinenmodell zur Analyse paralleler Algorithmen Annahmen: PRAM verwendet einen gemeinsamen Speicher Zugriff auf jede Speicherzelle erfolgt in konstanter Zeit (von jedem Prozessor aus) Prozessoren kommunizieren über gemeinsamen Speicher Alle Prozessoren sind identisch, haben lokalen Speicher Operationen haben identische Ausführungszeiten Alle Prozessoren führen synchron dasselbe Programm aus Effekt der Operationen hängt von lokalen Daten ab
3 Parallel Random Access Machine (PRAM) II Quelle: R. Yahyapour, ehem. TU Dortmund
4 Parallel Random Access Machine (PRAM) II Quelle: R. Yahyapour, ehem. TU Dortmund Kennen wir so ein ähnliches Modell schon?
5 PRAM: Speicherzugriff Gemeinsamer Speicher zentraler Aspekt der PRAM zur Kommunikation zwischen Prozessoren Wie parallele Zugriffe handhaben? Verarbeitungsphasen (ähnlich Pipelining): Lesen Verarbeiten Schreiben Operationen der Form A = A B unproblematich!
6 PRAM: Speicherzugriff II Parallele Zugriffe (lesend/schreibend) auf die gleiche Speicherzelle? Mögliche Varianten des PRAM-Modells: CRCW: Concurrent Read, Concurrent Write gleichzeitiger Lese- und Schreibzugriff möglich CREW: Concurrent Read, Exclusive Write gleichzeitiger Lesezugriff, aber nur exklusiver Schreibzugriff erlaubt ERCW: Exclusive Read, Exclusive Write nur exklusiver Lese- und Schreibzugriff erlaubt EREW: Exclusive Read, Concurrent Write exklusiver Lese-, aber gleichzeitiger Schreibzugriff erlaubt Relativ unproblematisch: Concurrent Read Definitiv problematisch: Concurrent Write
7 PRAM: Behandlung von Schreibkonflikten... im Concurrent Write (CW) Modell: Weak CW: Prozessoren können nur 0 parallel in dieselbe Zelle schreiben. Common CW: Prozessoren können parallel den gleichen Wert in dieselbe Zelle schreiben. Random / Arbitrary CW: Schreibkonflikt wird durch Auswahl eines zufälligen Werts aus den konkurrierenden Schreibanforderungen aufgelöst Priority CW: Bei Schreibkonflikt erhält Prozessor mit höchster Priorität (i.d.r. mit kleinstem Index) exklusiven Schreibzugriff
8 Bewertung von parallelen Algorithmen Ausführungszeiten: Sequentielle Ausführungszeit T 1 : Laufzeit des (besten) sequentiellen Algorithmus zur Lösung eines Problems Parallele Ausführungszeit T P : Laufzeit bei Verwendung von P Prozessoren Abgeleitete Bewertungsmaße: Speedup S(P) = T 1 T P Es gilt S(P) P Effizienz E(P) = T 1 P T P Es gilt E(P) 1 Effizienz gibt Anteil des maximal erreichbaren Speedups an. E P Prozessoren tragen effektiv zur Problemlösung bei.
9 Programmierung einer PRAM: Beispiele 1. Vektoraddition, d.h. Addition von N Zahlen 2. Maximum von N Zahlen (= Vektormaximum) 3. Matrixmultiplikation Mit welcher Zielsetzung?
10 Programmierung einer PRAM: Beispiele 1. Vektoraddition, d.h. Addition von N Zahlen 2. Maximum von N Zahlen (= Vektormaximum) 3. Matrixmultiplikation Mit welcher Zielsetzung? Klar: Reduktion der Laufzeit!
11 Programmierung einer PRAM: Beispiele 1. Vektoraddition, d.h. Addition von N Zahlen... in log(n) Zeit 2. Maximum von N Zahlen (= Vektormaximum) 3. Matrixmultiplikation Mit welcher Zielsetzung? Klar: Reduktion der Laufzeit!
12 Programmierung einer PRAM: Beispiele 1. Vektoraddition, d.h. Addition von N Zahlen... in log(n) Zeit 2. Maximum von N Zahlen (= Vektormaximum)... in konstanter Zeit 3. Matrixmultiplikation... Mit welcher Zielsetzung? Klar: Reduktion der Laufzeit!
13 PRAM Programmierung: Vektoraddition Geg.: N Zahlen x i, i = 1... N Gesucht: S = N i=1 x i Frage: Wie von PRAM-Modell profitieren?
14 PRAM Programmierung: Vektoraddition Geg.: N Zahlen x i, i = 1... N Gesucht: S = N i=1 x i Frage: Wie von PRAM-Modell profitieren? Klar: Beliebige Anzahl von Prozessoren kann benutzt werden!
15 PRAM Programmierung: Vektoraddition Geg.: N Zahlen x i, i = 1... N Gesucht: S = N i=1 x i Frage: Wie von PRAM-Modell profitieren? Klar: Beliebige Anzahl von Prozessoren kann benutzt werden! Aber: Wie Berechnung eines skalaren Ergebnisses auf mehrere Rechenknoten verteilen?
16 PRAM Programmierung: Vektoraddition Geg.: N Zahlen x i, i = 1... N Gesucht: S = N i=1 x i Frage: Wie von PRAM-Modell profitieren? Klar: Beliebige Anzahl von Prozessoren kann benutzt werden! Aber: Wie Berechnung eines skalaren Ergebnisses auf mehrere Rechenknoten verteilen? Idee: Geeignete Definition partieller Ergebnisse (parallel berechenbar) und Kombination dieser zu Gesamtergebnis
17 PRAM Programmierung: Vektoraddition II Hier: Addition in Baumstruktur ausführen 7 i=0 xi 3 i=0 xi 7 i=4 xi x0 + x1 x2 + x3 x4 + x5 x6 + x7 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Annahme: N = 2 k, dann log 2 N = k Zeitschritte erforderlich!
18 PRAM Programmierung: Vektoraddition II #define N... shared int x[n] = {...}; int i, j, stride; int sum; for (i = 0, stride = 1; i < ld(n); i++, stride *= 2) parallel for (j = 0; j < N; j += 2 * stride) x[j] = x[j] + x[j + stride]; sum = x[0];
19 PRAM Programmierung: Vektoraddition III Laufzeitanalyse Sequentielle Laufzeit der Summation: N 1 Additionen T 1 = O(N) Parallele Laufzeit auf max. P = N/2 Prozessoren: k = log 2 N Schritte im Baum O(log N) T P = O(log N) Speedup S(N/2) = T 1 T P = Effizienz E(N/2) = T 1 N/2 T P = O(N) O(log N) = O( N log N ) O(N) O(N) O(log N) = O( 1 log N )
20 PRAM Programmierung: Vektormaximum Geg.: N Zahlen x i, i = 1... N Gesucht: M = max i = 1 N x i Frage: Wie von PRAM-Modell profitieren? Klar: Beliebige Anzahl von Prozessoren kann benutzt werden! Problem: Was bringt uns das hier? Braucht man vielleicht noch weitere PRAM-Eigenschaften?
21 PRAM Programmierung: Vektormaximum II #define N... shared int x[n] = {...}, int ismax[n]; int i, j, ij, max; parallel for (i = 0; i < N; i++) ismax[i] = 1; parallel for (ij = 0; ij < N * N; ij++) { i = ij / N; j = ij % N; if (x[i] < x[j]) ismax[i] = 0; } parallel for (i = 0; i < N; i++) if (ismax[i] == 1) max = x[i];
22 PRAM Programmierung: Vektormaximum III Welche PRAM-Eigenschaften werden ausgenützt?
23 PRAM Programmierung: Vektormaximum III Welche PRAM-Eigenschaften werden ausgenützt? Beliebige Anzahl von Prozessoren (hier N 2 )
24 PRAM Programmierung: Vektormaximum III Welche PRAM-Eigenschaften werden ausgenützt? Beliebige Anzahl von Prozessoren (hier N 2 ) Beliebig grosser Speicher (hier Zwischenergebnisfeld ismax[] )
25 PRAM Programmierung: Vektormaximum III Welche PRAM-Eigenschaften werden ausgenützt? Beliebige Anzahl von Prozessoren (hier N 2 ) Beliebig grosser Speicher (hier Zwischenergebnisfeld ismax[] ) Concurrent Read (in Schritt zwei greifen jeweils N Prozessoren auf jedes x[i] zu)
26 PRAM Programmierung: Vektormaximum III Welche PRAM-Eigenschaften werden ausgenützt? Beliebige Anzahl von Prozessoren (hier N 2 ) Beliebig grosser Speicher (hier Zwischenergebnisfeld ismax[] ) Concurrent Read (in Schritt zwei greifen jeweils N Prozessoren auf jedes x[i] zu) Concurrent Write (in Schritt zwei schreiben i.d.r. mehrere Prozessoren 0 in ismax[j] ) Wieviele genau? Welche CW Betriebsart ist erforderlich?
27 PRAM Programmierung: Vektormaximum IV Laufzeitanalyse Sequentielle Laufzeit: N Vergleiche erforderlich (je Element) T 1 = O(N) Parallele Laufzeit auf max. P = N 2 Prozessoren: 1 Schritt f. Initialisierungvon ismax[] (N Proz.) 1 Schritt f. par. Bestimmung von ismax[] (N 2 Proz.) 1 Schritt f. par. Prüfung auf Maximum (N Proz.) T P = O(1) Speedup S(N 2 ) = T 1 T P = O(N) O(1) = O(N) Effizienz E(N 2 ) = T 1 N 2 T P = O(N) N 2 O(1) = O( 1 N )
28 PRAM Programmierung: Vektormaximum IV Laufzeitanalyse Sequentielle Laufzeit: N Vergleiche erforderlich (je Element) T 1 = O(N) Parallele Laufzeit auf max. P = N 2 Prozessoren: 1 Schritt f. Initialisierungvon ismax[] (N Proz.) 1 Schritt f. par. Bestimmung von ismax[] (N 2 Proz.) 1 Schritt f. par. Prüfung auf Maximum (N Proz.) T P = O(1) Speedup S(N 2 ) = T 1 T P = O(N) O(1) = O(N) Effizienz E(N 2 ) = T 1 N 2 T P = O(N) N 2 O(1) = O( 1 N )... wegen verschwenderischem Umgang mit Prozessoren!
29 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation Geg.: zwei Matrizen A, B IR n n Gesucht: C = A B mit C = [c ij ] und c ij = n 1 k=0 a ik b kj für 0 i, j < n Komplexität bei linearer Berechung?
30 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation Geg.: zwei Matrizen A, B IR n n Gesucht: C = A B mit C = [c ij ] und c ij = n 1 k=0 a ik b kj für 0 i, j < n Komplexität bei linearer Berechung? O(n 3 )
31 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation Geg.: zwei Matrizen A, B IR n n Gesucht: C = A B mit C = [c ij ] und c ij = n 1 k=0 a ik b kj für 0 i, j < n Komplexität bei linearer Berechung? O(n 3 ) Frage: Welche Parallelisierungsmöglichkeiten existieren?
32 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation Geg.: zwei Matrizen A, B IR n n Gesucht: C = A B mit C = [c ij ] und c ij = n 1 k=0 a ik b kj für 0 i, j < n Komplexität bei linearer Berechung? O(n 3 ) Frage: Welche Parallelisierungsmöglichkeiten existieren? Naheliegend: Parallele Berechnung der c ij auf n 2 Prozessoren
33 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation II #define N... shared int A[N][N], B[N][N], C[N][N]; int i, j, k, ij; parallel for (ij = 0; ij < N * N; ij++) { i = ij / N; j = ij % N; C[i][j] = 0; for (k = 0; k < N; k++) C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]; }
34 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation III Laufzeitanalyse (Variante A) Sequentielle Laufzeit: N 2 Elemente in Ergebnismatrix je N Multiplikationen und N 1 Additionen T 1 = N 2 (N + (N 1)) = O(N 3 ) Parallele Laufzeit auf P = N 2 Prozessoren: je 1 Skalarprodukt (N Multiplikationen und N 1 Additionen) T P = O(N) Speedup S(N 2 ) = T 1 T P = O(N3 ) O(N) = O(N2 ) Effizienz E(N 2 ) = T 1 N 2 T P = O(N3 ) N 2 O(N) = O(1)
35 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation III Laufzeitanalyse (Variante A) Sequentielle Laufzeit: N 2 Elemente in Ergebnismatrix je N Multiplikationen und N 1 Additionen T 1 = N 2 (N + (N 1)) = O(N 3 ) Parallele Laufzeit auf P = N 2 Prozessoren: je 1 Skalarprodukt (N Multiplikationen und N 1 Additionen) T P = O(N) Speedup S(N 2 ) = T 1 T P = O(N3 ) O(N) = O(N2 ) Effizienz E(N 2 ) = T 1 N 2 T P = O(N3 ) N 2 O(N) = O(1)... also optimal parallelisiert (bei geg. Anz. Prozessoren)
36 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation IV Geg.: zwei Matrizen A, B IR n n Gesucht: C = A B mit C = [c ij ] und c ij = n 1 k=0 a ik b kj für 0 i, j < n Variante A: Parallele Berechnung der c ij auf n 2 Prozessoren Speedup O(N 2 )! Frage: Weitere Reduktion der Laufzeit möglich?... also noch mehr Parallelität ausnutzen?
37 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation IV Geg.: zwei Matrizen A, B IR n n Gesucht: C = A B mit C = [c ij ] und c ij = n 1 k=0 a ik b kj für 0 i, j < n Variante A: Parallele Berechnung der c ij auf n 2 Prozessoren Speedup O(N 2 )! Frage: Weitere Reduktion der Laufzeit möglich?... also noch mehr Parallelität ausnutzen? Lösungsmöglichkeit: alle Produkte individuell, dann Summation
38 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation V #define N... shared int A[N][N], B[N][N], AxB[N][N][N], C[N][N]; int i, j, k, ijk, ij, s, stride; parallel for (ijk = 0; ijk < (N * N * N); ijk++) { i = ijk / (N * N); j = (ijk % (N * N)) / N; k = ijk % N AxB[i][j][k] = A[i][k] * B[k][j]; } parallel for (ij = 0; ij < N * N; ij++) { i = ij / N; j = ij % N; for (s = 0, stride = 1; s < ld(n); s++, stride *= 2) parallel for (k = 0; k < N; k += 2 * stride) AxB[i][j][k] = AxB[i][j][k] + AxB[i][j][k + stride]; C[i][j] = AxB[i][j][0];
39 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation VI Laufzeitanalyse (Variante B) Sequentielle Laufzeit: T 1 = N 2 (N + (N 1)) = O(N 3 ) Parallele Laufzeit auf max. P = N 3 Prozessoren: je 1 Multiplikation pro Prozessor (A[i,j,k]) Addition der A[i,j,_] in O(log 2 N) Schritten Extraktion des Ergebnisses C ij in 1 Schritt T P = O(1 + log N + 1) = O(log N) Speedup S(N 3 ) = T 1 T P = O(N3 ) O(log N) > O(N2 ) Effizienz E(N 3 ) = T 1 N 3 T P = O(N 3 ) N 3 O(log N) = O( 1 log N )
40 PRAM Programmierung: Matrixmultiplikation VI Laufzeitanalyse (Variante B) Sequentielle Laufzeit: T 1 = N 2 (N + (N 1)) = O(N 3 ) Parallele Laufzeit auf max. P = N 3 Prozessoren: je 1 Multiplikation pro Prozessor (A[i,j,k]) Addition der A[i,j,_] in O(log 2 N) Schritten Extraktion des Ergebnisses C ij in 1 Schritt T P = O(1 + log N + 1) = O(log N) Speedup S(N 3 ) = T 1 T P = O(N3 ) O(log N) > O(N2 ) Effizienz E(N 3 ) = T 1 N 3 T P = O(N 3 ) N 3 O(log N) = O( 1 log N )... also prozessorintensiv parallelisiert
41 PRAM: Diskussion PRAM definiert theoretisches Modell paralleler Berechnungen Abstrahiert von Details der Kommunikation zwischen Prozessoren sowie der Synchronisation von Berechnungen Erlaubt Aussagen über Effizienz paralleler Impoementierungen Macht aber kritische vereinfachende Annahmen!
42 PRAM: Diskussion PRAM definiert theoretisches Modell paralleler Berechnungen Abstrahiert von Details der Kommunikation zwischen Prozessoren sowie der Synchronisation von Berechnungen Erlaubt Aussagen über Effizienz paralleler Impoementierungen Macht aber kritische vereinfachende Annahmen! Welche sind aus Ihrer Sicht am kritischsten?
43 PRAM: Diskussion PRAM definiert theoretisches Modell paralleler Berechnungen Abstrahiert von Details der Kommunikation zwischen Prozessoren sowie der Synchronisation von Berechnungen Erlaubt Aussagen über Effizienz paralleler Impoementierungen Macht aber kritische vereinfachende Annahmen! Welche sind aus Ihrer Sicht am kritischsten? Welche aktuelle Rechnerarchitektur kommt (mit Einschränkungen) dem PRAM-Modell am nächsten?
44 PRAM: Diskussion PRAM definiert theoretisches Modell paralleler Berechnungen Abstrahiert von Details der Kommunikation zwischen Prozessoren sowie der Synchronisation von Berechnungen Erlaubt Aussagen über Effizienz paralleler Impoementierungen Macht aber kritische vereinfachende Annahmen! Welche sind aus Ihrer Sicht am kritischsten? Welche aktuelle Rechnerarchitektur kommt (mit Einschränkungen) dem PRAM-Modell am nächsten? GPGPU!... mit welchen Gemeinsamkeiten/Unterschieden?
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