Elemente der Geometrie

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1 Elemente der Geometrie

2 Harald Scheid Wolfgang Schwarz Elemente der Geometrie 5. Auflage

3 Harald Scheid Wuppertal, Deutschland Wolfgang Schwarz Wuppertal, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1991, 1996, 2001, 2007, 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Dr. Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg

4 Vorwort In den vergangenen Jahren haben die Reformbemühungen um die Verbesserung der Qualität und der Inhalte universitärer Ausbildung in den meisten Bundesländern zur Ablösung der grundständigen Lehramtsstudiengänge durch konsekutiv strukturierte Modelle geführt. Ein polyvalent angelegtes Bachelorstudium kann durch einen passend gestalteten Masterstudiengang zu einem Hochschulabschluss komplettiert werden, der nach den Bestimmungen der Lehramtsprüfungsordnungen als erste Staatsprüfung anerkannt wird. Vielfach werden schulartenspezifische Teilstudiengänge angeboten, grundsätzlich lässt sich aber die Vielfalt individuell konzipierter Bachelor- Master-Modelle nur schwer überschauen. Das vorliegende Buch ist geprägt von dem Bemühen, den Studierenden elementare Grundlagen der Geometrie zu vermitteln, ebenso aber auch fachliche Vertiefungen dieser mit einer Vielzahl anderer mathematischer Teilgebiete verwobenen Disziplin anzubieten, die typischerweise im Hauptstudium einer grundständigen Lehrerausbildung angesprochen werden oder aber als Professionalisierungsinhalte einer polyvalenten mathematischen Ausbildung infrage kommen. Daher werden wesentlich mehr Themen angesprochen, als in einer einzelnen Lehrveranstaltung zu bewältigen sind. Dies ermöglicht nicht nur den Einsatz des Lehrbuchs in verschiedenen Lehrveranstaltungen der unterschiedlichsten Akzentuierungen und Niveaus, sondern bietet interessierten Studierenden auch die Möglichkeit der selbstständigen Weiterarbeit, was im Hinblick auf die Selbststudiumanteile in Bachelor- und Masterstudiengangen durchaus wertvoll ist. Die Grundbegriffe der Geometrie werden zunächst der Anschauung entnommen; erst im letzten Kapitel wird eine Möglichkeit der Axiomatisierung der Geometrie vorgestellt. Wir tragen damit einer Eigenart der Geometrie Rechnung, die sie von anderen mathematischen Disziplinen unterscheidet: Die Anschaulichkeit ihrer Grundlagen erfordert immer wieder eine Standortbestimmung bei der Frage, welche Sachverhalte klar und welche beweisbedürftig sind. Im Rückgriff auf Schulkenntnisse werden häufiger Begriffe schon verwendet, ehe sie in einen systematischen Zusammenhang gestellt werden (z.b. Ähnlichkeit, Koordinatensystem, trigonometrische Funktionen). Dies soll die Arbeit mit dem Text nicht erschweren, sondern eher eine Motivation für die Systematisierung von Begriffsstrukturen schaffen. Am Rande werden auch einige wenige Begriffe und Techniken aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe angesprochen, etwa die Begriffe des Grenzwerts, der Ableitung oder des Integrals; dies unterstreicht, dass die Geometrie keinen isolierten Platz in der Mathematik einnimmt, sondern dass geometrische Inhalte und das Denken in geometrischen Kategorien teilgebietsübergreifend eine wichtige Rolle spielen. Viele Probleme der Geometrie lassen sich erst in algebraischen oder analytischen Begriffszusammenhängen so formulieren, dass sie erfolgreich bearbeitet werden können. Diese Erkenntnis vermitteln auch die ausgewählten weiterführenden Inhalte: Neben den

5 vi Vorwort Standardthemen der schulischen Lehrpläne behandeln wir z. B. auch die Geometrie der komplexen Zahlen, die sphärische Trigonometrie, die Graphentheorie, endliche Geometrien und Modelle nichteuklidischer Geometrien. Jeder Abschnitt endet mit einer kleinen Aufgabensammlung. Sie enthält in der Regel neben Routineaufgaben auch einige Aufgaben zum Knobeln ; diese illustrieren eine wesentliche Komponente der Mathematik als allgemeinbildende Unterrichtsdisziplin, nämlich die Förderung des kreativen, fantasievollen Verhaltens beim Problemlösen. Zu allen Aufgaben sind Lösungen oder Lösungshinweise angegeben, schöner wäre es aber, wenn der Leser diese nicht zurate ziehen müsste. Die jetzt vorliegende 5. Auflage der Elemente der Geometrie ist eine komplette Überarbeitung der vorangegangenen Auflage; sie weist neben der ausführlicheren Erläuterung mancher Zusammenhänge auch einige inhaltliche Ergänzungen auf, die aus den bisherigen Erfahrungen beim Einsatz dieses Buchs in universitären Lehrveranstaltungen resultieren. In Kapitel 4 wurde die Thematik Bandornamente umfangreich elementarmathematisch ausgebaut und auch die Klassifikation der Symmetriegruppen von Bandornamenten vorgenommen. Neu ist Kapitel 7 zum Thema Projektive Geometrie ; hier handelt es sich im Kern um einen Beitrag unseres jungen Kollegen Sebastian Kitz, der sich im Rahmen seiner Dissertation intensiv mit den didaktischen Möglichkeiten der Thematik auseinandergesetzt und eine sehr erfolgreich evaluierte Lehrveranstaltung zur projektiven Geometrie durchgeführt hat. Das vorliegende Werk deckt gemeinsam mit den beiden Büchern Elemente der Arithmetik und Algebra und Elemente der Linearen Algebra und der Analysis, die ebenfalls bei Springer Spektrum erschienen sind, den Kernbereich der reinen Mathematik auf elementarmathematischem Niveau ab. Wuppertal, Mai 2016 Harald Scheid und Wolfgang Schwarz

6 Inhaltsverzeichnis Vorwort Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie Punktmengen und Inzidenzbeziehungen Aufgaben Längen, Winkel und Lagebeziehungen Aufgaben Das Dreieck und seine Transversalen Aufgaben Der Satz des Pythagoras Aufgaben Winkel im Kreis Aufgaben Kreise und Geraden Aufgaben Geometrie im Raum Polyeder Aufgaben Schrägbilder Aufgaben Abwicklungen und Auffaltungen Aufgaben Zylinder und Kegel Aufgaben Kugeln Aufgaben Flächeninhalt und Volumen Flächeninhalt von Polygonen Aufgaben Kreisberechnung Aufgaben Volumen von Körpern Aufgaben Kugelberechnung Aufgaben Merkwürdige Punktmengen Aufgaben Abbildungsgeometrie Kongruenzabbildungen der Ebene Aufgaben v

7 viii Inhaltsverzeichnis 4.2 Symmetrien und Ornamente Aufgaben Abbildungsgeometrische Methoden Aufgaben Ähnlichkeitsabbildungen Aufgaben Anwendungen der zentrischen Streckung Aufgaben Affine Abbildungen Aufgaben Sätze der affinen Geometrie Aufgaben Affine Abbildungen im Raum Aufgaben Die Inversion am Kreis Aufgaben Rechnerische Methoden Trigonometrie Aufgaben Komplexe Zahlen Aufgaben Analytische Geometrie Aufgaben Sphärische Trigonometrie Aufgaben Darstellung affiner Abbildungen Aufgaben Kegelschnitte Definition der Kegelschnitte Ellipsen Aufgaben Hyperbeln Aufgaben Parabeln Aufgaben Flächen zweiter Ordnung Aufgaben Pole und Polaren Aufgaben Projektive Geometrie Fernelemente Aufgaben

8 Inhaltsverzeichnis ix 7.2 Doppelverhältnis, perspektive und projektive Grundgebilde Aufgaben Satze von Pascal und Brianchon Aufgaben Harmonische Punkte und Geraden, vollstandiges Viereck und Vierseit Aufgaben Inzidenzstrukturen Begriff der Inzidenzstruktur Aufgaben Affine Ebenen Aufgaben Graphen Aufgaben Planare Graphen Aufgaben Axiome der Geometrie Ein Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie Aufgaben Das Poincaré-Modell Aufgaben Das Klein-Modell Aufgaben Lösungen der Aufgaben Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie Geometrie im Raum Flächeninhalt und Volumen Abbildungsgeometrie Rechnerische Methoden Kegelschnitte Projektive Geometrie Inzidenzstrukturen Axiome der Geometrie Namensverzeichnis Sachverzeichnis