Algorithmen für Routenplanung 16. Sitzung, Sommersemester 2012 Thomas Pajor 25. Juni 2012

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1 Algorithmen für Routenplanung 16. Sitzung, Sommersemester 2012 Thomas Pajor 25. Juni 2012 I NSTITUT FÜR T HEORETISCHE I NFORMATIK A LGORITHMIK P ROF. D R. D OROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Fenchurch Street River Thames Station in Zone 9 Station in Zone 8 Station in Zone 7 Station in both zones Station in Zone 6 Station in Zone 5 Station in Zone 4 Station in both zones Station in Zone 3 Station in Zone 2 Station in both zones Station in Zone 1 Fahrplanauskunft A B C D E F Special fares apply Epping Chesham Watford Junction 9 Chalfont & Theydon Bois Latimer Watford High Street High Barnet Watford Cockfosters Debden Amersham Bushey Totteridge & Whetstone Chorleywood Croxley Oakwood Loughton 6 Carpenders Park Rickmansworth Woodside Park Buckhurst Hill Moor Park Southgate Hatch End Roding Mill Hill East Grange 5 Northwood West Finchley Arnos Grove Valley Hill West Ruislip Northwood Edgware Hills Headstone Lane 4 Stanmore Bounds Green Chigwell Hillingdon Ruislip Finchley Central Harrow & Burnt Oak Hainault Ruislip Manor Pinner Wealdstone Canons Park Wood Green Woodford Uxbridge Ickenham East Finchley Colindale Fairlop Eastcote North Harrow Kenton Harringay Queensbury Turnpike Lane South Woodford 4 Hendon Central Highgate Green Lanes Barkingside Harrowon-the-Hill Park Road Kingsbury Northwick Preston Crouch Hill South Tottenham Ruislip Snaresbrook Rayners Lane Brent Cross Gardens Archway Manor House Seven Newbury Park 3 Blackhorse Sisters West Road South Kenton Harrow Golders Green Gospel Redbridge South Harrow North Wembley Neasden Oak Tufnell Park Upper Holloway Hampstead Tottenham Walthamstow South Ruislip Wembley Hampstead Heath Finsbury Hale Central Wanstead Gants Wembley Central Park Dollis Hill Arsenal Leytonstone Hill Upminster Kentish Town Park Finchley Road Sudbury Hill Stonebridge Park Willesden Green Walthamstow & Frognal Holloway Road Kentish Leyton Leytonstone Upminster Bridge Queen s Road Belsize Park Town West Midland Road High Road Northolt Harlesden Kilburn Caledonian Road Highbury & Hornchurch Kensal Brondesbury Islington Sudbury Town Rise Park Chalk Farm Dalston Leyton Willesden Junction West Hampstead Camden Kingsland 2 3 Stratford Dagenham Road International East Elm Park Brondesbury Finchley Road Camden Town Caledonian Wanstead Park Kensal Green Road & Canonbury Hackney Central Alperton Swiss Cottage Barnsbury Dagenham Queen s Park Kilburn South Mornington Dalston Junction Stratford Heathway Greenford High Road Hampstead St. John s Wood Crescent Homerton Hackney King s Cross Wick Becontree Woodgrange Park Kilburn Park St. Pancras Edgware Haggerston Upney Perivale Maida Vale Paddington Road Marylebone Great Baker Portland Euston Stratford 2 Warwick Avenue Barking Street Street High Street Pudding Royal Oak Angel Hoxton Hanger Lane Mill Lane Abbey East Ham Westbourne Park Warren Street Euston Old Street Bethnal Road Edgware Square Green Mile End Upton Park Road Farringdon Park Royal Regent s Park Liverpool Bow Road Ladbroke Grove Shoreditch Plaistow Bayswater Russell Street High Street Latimer Road Square Barbican Bromleyby-Bow West Ham North Ealing Goodge Bow Church East White Shepherd s Notting Lancaster Bond Oxford Street Chancery Moorgate Acton City Bush Hill Gate Gate Street Circus Lane Stepney Green Devons Road Ealing Broadway Aldgate Star Lane St. Paul s West North Holland Queensway Marble Tottenham Holborn East Whitechapel Langdon Park Acton Acton Park Arch Court Road Bank Wood Lane Covent Garden Aldgate Canning All Saints Town 3 High Street Royal Acton Central Green Park Kensington Leicester Square Shadwell Westferry Blackwall Victoria Shepherd s Bush Ealing Common Market Custom House for ExCeL Hyde Park Corner Piccadilly Kensington Cannon Street Circus Limehouse Poplar East South Acton (Olympia) Monument Tower India Prince Regent Goldhawk Road Knightsbridge Mansion House Hill Tower Charing Wapping West Barons Gloucester Blackfriars Gateway Cross India Quay West Silvertown Royal Albert Acton Town Hammersmith Court Road St. James s South Ealing Victoria Park Temple Beckton Park Rotherhithe Canary Wharf Northfields Pontoon Dock Cyprus Chiswick Turnham Stamford Ravenscourt West Earl s South Sloane Westminster Embankment North Park Green Brook Park Kensington Court Kensington Square London Bermondsey Canada Greenwich Boston Manor Bridge Water Heron Quays for The O2 Gallions Reach London City Airport Osterley West Brompton Waterloo South Quay Beckton Gunnersbury Surrey Quays Crossharbour 2 2 King George V Hounslow East Pimlico Southwark Hounslow Kew Gardens Fulham Broadway Imperial Mudchute West Hounslow Central Wharf Hatton Cross Parsons Green 3 1 Lambeth Borough Island Gardens Richmond North Heathrow Putney Bridge Terminals 1, 2, 3 Cutty Sark for Woolwich Arsenal 4 3 Maritime Greenwich Heathrow East Putney Terminal 4 Vauxhall Elephant & Castle New Cross Gate New Cross Greenwich Southfields 5 2 Brockley Deptford Bridge Heathrow Terminal 5 Clapham Oval Kennington Wimbledon Park Junction Honor Oak Park Elverson Road Stockwell Wimbledon Clapham North Forest Hill Lewisham 4 Clapham Common Sydenham Brixton Clapham South Penge West Key to symbols Explanation of zones Balham Blackfriars Station closed Anerley Tooting Bec Interchange stations Crystal Palace Norwood Junction Tooting Broadway Step-free access from 3 street to train Colliers Wood West Croydon Step-free access from street to platform South Wimbledon National Rail Morden Riverboat services Transport for London August Tramlink Airport 4 A B C D E F Check before you travel Bank Waterloo & Ci 0615 until 214 Fridays and 08 Saturdays. Clo and Public Ho Blackfriars Underground until late Camden Town From 1300 unt Sundays open interchange a Canary Wharf Step-free inte between Unde Canary Wharf Heron Quays at street level Cannon Street Open until 210 Fridays. Close and Sundays Heron Quays Step-free inte between Hero Canary Wharf station at stre Hounslow West Step-free acce wheelchair us Tottenham Northern line Court Road stop at Totten Road until late Turnham Green Served by Picc trains early m late evenings Victoria Major escalato refurbishment early Use stations or alt Waterloo Waterloo & Ci 0615 until 214 Fridays and 08 Saturdays. Clo and Public Ho West India Quay Not served by from Bank tow before 1900 o to Fridays Key to lines Bakerloo Central Circle District Hammersm Jubilee Metropolita Northern Piccadilly Victoria Waterloo & DLR London Ove Folie Juni 2012

3 Abgrenzung zu Straßennetzwerken Eingabe bei Straßennetzen Straßenkarte bestehend aus Kreuzungen Straßensegmenten Verschiedene Metriken (Reisezeit, Distanz,... ) Evtl. historische Reisezeitprofile Abbiegekosten,... Folie Juni 2012

4 Abgrenzung zu Straßennetzwerken Eingabe bei Straßennetzen Straßenkarte bestehend aus Kreuzungen Straßensegmenten Verschiedene Metriken (Reisezeit, Distanz,... ) Evtl. historische Reisezeitprofile Abbiegekosten,... Was ist Eingabe bei der Fahrplanauskunft? Folie Juni 2012

5 Fahrpläne Gegeben (Fahrplan): Menge B von Bahnhöfen (Stops, Bahnsteigen,... ), Menge Z von Zügen (Bussen, Trams, etc) Menge C von elementaren Verbindungen Mindestumstiegszeiten transfer : B N. Folie Juni 2012

6 Fahrpläne Gegeben (Fahrplan): Menge B von Bahnhöfen (Stops, Bahnsteigen,... ), Menge Z von Zügen (Bussen, Trams, etc) Menge C von elementaren Verbindungen Mindestumstiegszeiten transfer : B N. Elementare Verbindung: Tupel bestehend aus Zug Z Z Abfahrtsbahnhof S dep B Zielbahnhof S arr B Abfahrtszeit τ dep Π Ankunftszeit τ arr Π Folie Juni 2012

7 Fahrpläne Gegeben (Fahrplan): Menge B von Bahnhöfen (Stops, Bahnsteigen,... ), Menge Z von Zügen (Bussen, Trams, etc) Menge C von elementaren Verbindungen Mindestumstiegszeiten transfer : B N. Elementare Verbindung: Tupel bestehend aus Zug Z Z Abfahrtsbahnhof S dep B Zielbahnhof S arr B Abfahrtszeit τ dep Π Ankunftszeit τ arr Π Interpretation: Zug Z fährt von S dep nach S arr ohne Zwischenhalt von τ dep bis τ arr Uhr. Folie Juni 2012

8 Fahrpläne II Trips Fahrt eines Zuges Z Von Endstation zu Endstation Abfahrten an den Stops zu bestimmten Zeiten Folie Juni 2012

9 Fahrpläne II Trips Fahrt eines Zuges Z Von Endstation zu Endstation Abfahrten an den Stops zu bestimmten Zeiten Routen Partitionierung der Trips Zwei Trips t 1, t 2 gehören zur gleichen Route, gdw. t 1 und t 2 folgen der genau gleichen Sequenz von Stops Folie Juni 2012

10 Fahrpläne, Beispiel Beispiel für einen Fahrplan... (IR 2269, Karlsruhe Hbf, Pforzheim Hbf, 10:05, 10:23) (IR 2269, Pforzheim Hbf, Mühlacker, 10:25, 10:33) (IR 2269, Mühlacker, Vaihingen(Enz), 10:34, 10:40) (IR 2269, Vaihingen(Enz), Stuttgart Hbf, 10:41, 10:57)... (ICE 791, Stuttgart Hbf, Ulm Hbf, 11:12, 12:06) (ICE 791, Ulm Hbf, Augsburg Hbf, 12:08, 12:47) (ICE 791, Augsburg Hbf, München Hbf, 12:49, 13:21)... Folie Juni 2012

11 Fahrpläne, Beispiel Beispiel für einen Fahrplan... (IR 2269, Karlsruhe Hbf, Pforzheim Hbf, 10:05, 10:23) (IR 2269, Pforzheim Hbf, Mühlacker, 10:25, 10:33) (IR 2269, Mühlacker, Vaihingen(Enz), 10:34, 10:40) (IR 2269, Vaihingen(Enz), Stuttgart Hbf, 10:41, 10:57)... (ICE 791, Stuttgart Hbf, Ulm Hbf, 11:12, 12:06) (ICE 791, Ulm Hbf, Augsburg Hbf, 12:08, 12:47) (ICE 791, Augsburg Hbf, München Hbf, 12:49, 13:21)... Frage: Wie Fahrplan modellieren? Folie Juni 2012

12 Ausgabe Ausgabe bei der Fahrplanauskunft Sequenz von (Teil-)Trips aus dem Fahrplan Beginnend bei Startstop Ended bei Zielstop (Möglicherweise mit Fußwegen dazwischen) Folie Juni 2012

13 Ausgabe Ausgabe bei der Fahrplanauskunft Sequenz von (Teil-)Trips aus dem Fahrplan Beginnend bei Startstop Ended bei Zielstop (Möglicherweise mit Fußwegen dazwischen) Reiseroute ist konsistent wenn Erster Stop von Trip t i+1 entspricht letztem Stop von Trip t i Abfahrt von t i+1 ist nach Ankunft von t i Folie Juni 2012

14 Modellierung von Fahrplänen Zwei grundlegende Ansätze 1 Modellierung als gerichteter Graph 2 Keine besondere Modellierung (benutze Fahrplan "direkt") Folie Juni 2012

15 Modellierung von Fahrplänen Zwei grundlegende Ansätze 1 Modellierung als gerichteter Graph 2 Keine besondere Modellierung (benutze Fahrplan "direkt") Jetzt ersteres, später zweiteres. Folie Juni 2012

16 Modellierung von Fahrplänen Zwei grundlegende Ansätze 1 Modellierung als gerichteter Graph 2 Keine besondere Modellierung (benutze Fahrplan "direkt") Jetzt ersteres, später zweiteres. Modellierung als Graph Reduziere auf (bekanntes) kürzeste-wege-problem Optimale Reiserouten entsprechen kürzesten Wegen Bekannte Techniken (evtl. leicht) übertragbar Folie Juni 2012

17 Stationsgraph Modellierung: Für jeden Bahnhof S B: Ein Knoten Kante (S i, S j ) gdw. ex. elementare Verbindung von S i nach S j Kantengewichte: Lower-Bound der Reisezeit zw. Bahnhöfen Folie Juni 2012

18 Stationsgraph Modellierung: Für jeden Bahnhof S B: Ein Knoten Kante (S i, S j ) gdw. ex. elementare Verbindung von S i nach S j Kantengewichte: Lower-Bound der Reisezeit zw. Bahnhöfen Nachteile: Unrealistische Anfragen (keine Zeitabhängigkeit) Mit Zeitabhängigkeit: Unrealistische Umstiege Folie Juni 2012

19 Modellierung: Zwei Ansätze 1. Zeitexpandiert Zeitabhängigkeiten ausrollen Knoten entsprechen Ereignissen im Fahrplan Kanten verbinden Ereignisse miteinander Zugfahrt eines Zuges, Umstieg zwischen Zügen, Warten - Großer Graph (viele Knoten und Kanten) + Einfacher Anfragealgorithmus (Dijkstra) Folie Juni 2012

20 Modellierung: Zwei Ansätze 1. Zeitexpandiert Zeitabhängigkeiten ausrollen Knoten entsprechen Ereignissen im Fahrplan Kanten verbinden Ereignisse miteinander Zugfahrt eines Zuges, Umstieg zwischen Zügen, Warten - Großer Graph (viele Knoten und Kanten) + Einfacher Anfragealgorithmus (Dijkstra) 2. Zeitabhängig Zeitabhängigkeit an den Kanten Knoten entsprechen Bahnhöfen Kante Zug verbindet Bahnhöfe Transferzeiten? + Kleiner Graph - Zeitabhängige Routenplanung Folie Juni 2012

21 Modellierung: Zwei Ansätze 1. Zeitexpandiert 2. Zeitabhängig Z 1, Z 2 S 1 S 2 Z 3 Arrival-, Transfer- und Departure-Ereignisse Für jeden Zug Kantengewicht = Zeitdifferenz Folie Juni 2012 Partitioniere Züge in Routen Pro Bahnhof: Stationsknoten Pro Route: Route-Knoten Routenkanten: Mehrere Züge Stationskanten: Transferzeit

22 Public Transport Funktionen Eingabe: Reisezeit zu bestimmten Zeitpunkten (Fahrzeiten der Züge) Jeden Tag verschieden Somit: Periodische stückweise lineare Funktionen Definiert durch Stützpunkte Wartezeit zur nächsten Verbindung + Reisezeit travel time departure Folie Juni 2012

23 FIFO-Eigenschaft (Wdh.) Definition Sei f : R + 0 R+ 0 eine Funktion. f erfüllt die FIFO-Eigenschaft, wenn für jedes ε > 0 und alle τ R + 0 gilt, dass f (τ) ε + f (τ + ε). Diskussion Interpretation: Warten lohnt sich nie Kürzeste Wege auf Graphen mit non-fifo Funktionen zu finden ist NP-schwer. (wenn Warten an Knoten nicht erlaubt ist) Sicherstellen, dass Funktionen FIFO-Eigenschaft erfüllen. Folie Juni 2012

24 Operationen Funktion gegeben durch: Menge von Interpolationspunkten I f := {(t f 1, w f 1 ),..., (t f k, w f k )} 3 Operationen notwendig: Auswertung Linken Minimumsbildung Beobachtung: Unterschiedlich für Straße und Schiene! Folie Juni 2012

25 Public Transport: Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i τ minimal dann Evaluation durch f (τ) = w i + (t i τ) travel time departure Folie Juni 2012

26 Public Transport: Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i τ minimal dann Evaluation durch f (τ) = w i + (t i τ) travel time Problem: Finden von t i und t i+1 Theoretisch: Lineare Suche: O( I ) Binäre Suche: O(log 2 I ) praktisch: I < 30: Lineare Suche Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt τ Π I departure Folie Juni 2012

27 Linken Definition Seien f : R + 0 R+ 0 und g : R+ 0 zwei Funktionen die die FIFO-Eigenschaft erfüllen. Die Linkoperation f g ist dann definiert durch f g := f + g (id +f ) Oder (f g)(τ) := f (τ) + g(τ + f (τ)) Folie Juni 2012

28 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g u 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min v w 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Folie Juni 2012

29 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g u 8: min 9: min w 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min v 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Folie Juni 2012

30 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g Für jeden Punkt (ti f, w i f ti f wi f 0 minimal Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann t g j ) bestimme den Verbindungspunkt (t g j, w g j ) mit u 8: min 9: min w 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min v 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Folie Juni 2012

31 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g Für jeden Punkt (ti f, w i f g ) bestimme den Verbindungspunkt (tj, w g j ) mit t g j ti f wi f 0 minimal Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann Füge (ti f, t g j + w g j ti f ) hinzu u 8: min 9: min w 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min v 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Folie Juni 2012

32 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g ) bestimme den Verbindungspunkt (t g j, w g Für jeden Punkt (ti f, w i f t g j ti f wi f 0 minimal Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann Füge (ti f, t g j + w g j ti f ) hinzu Wenn zwei Punkte den gleichen Verbindungspunkt haben, behalte nur den mit größerem ti f u 8: min 9: min j ) mit w 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min v 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Folie Juni 2012

33 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g ) bestimme den Verbindungspunkt (t g j, w g Für jeden Punkt (ti f, w i f t g j ti f wi f 0 minimal Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann Füge (ti f, t g j + w g j ti f ) hinzu Wenn zwei Punkte den gleichen Verbindungspunkt haben, behalte nur den mit größerem ti f u Wieder Sweep-Algorithmus 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min 8: min 9: min v j ) mit w 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Folie Juni 2012

34 Public Transport: Diskussion Link Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Folie Juni 2012

35 Public Transport: Diskussion Link Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Gelinkte Funktion hat min{ I f, I g } Interpolationspunkte Folie Juni 2012

36 Public Transport: Diskussion Link Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Gelinkte Funktion hat min{ I f, I g } Interpolationspunkte Somit: Deutlich gutmütiger als Straßengraph-Funktionen Folie Juni 2012

37 Public Transport: Merge Minimum zweier Funktionen f und g travel time departure time Folie Juni 2012

38 Public Transport: Merge Minimum zweier Funktionen f und g Für alle (ti f, w i f f ): behalte Punkt, wenn wi < g(ti f ) Für alle (t g j, w g j ): behalte Punkt, wenn w g j < f (t g j ) Keine Schnittepunkte möglich(!) travel time departure time Folie Juni 2012

39 Public Transport: Merge Minimum zweier Funktionen f und g Für alle (ti f, w i f f ): behalte Punkt, wenn wi < g(ti f ) Für alle (t g j, w g j ): behalte Punkt, wenn w g j < f (t g j ) Keine Schnittepunkte möglich(!) Vorgehen: Linearer Sweep travel time departure time Folie Juni 2012

40 Public Transport: Diskussion Merge Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Folie Juni 2012

41 Public Transport: Diskussion Merge Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Keine Schnittpunkte Minimum-Funktion kann maximal I f + I g Interpolationspunkte enthalten Folie Juni 2012

42 Schiene vs. Straße Laufzeit Operationen gleich für beide O(log I ) für Auswertung O( I f + I g ) für Linken und Minimum Folie Juni 2012

43 Schiene vs. Straße Laufzeit Operationen gleich für beide O(log I ) für Auswertung O( I f + I g ) für Linken und Minimum Speicherverbrauch Public Transport deutlich geringer Link: Merge: I f g min{ I f, I g } vs. I f g I f + I g I min{f,g} I f + I g vs. eventuell I min{f,g} > ( I f + I g ) Folie Juni 2012

44 Schiene vs. Straße Laufzeit Operationen gleich für beide O(log I ) für Auswertung O( I f + I g ) für Linken und Minimum Speicherverbrauch Public Transport deutlich geringer Link: Merge: I f g min{ I f, I g } vs. I f g I f + I g I min{f,g} I f + I g vs. eventuell I min{f,g} > ( I f + I g ) Profilsuchen Somit in Public Transport Netzen wahrscheinlich schneller Folie Juni 2012

45 Zeit-Anfragen Gegeben: Startbahnhof S, Zielbahnhof T und Abfahrtszeit τ S Folie Juni 2012

46 Zeit-Anfragen Gegeben: Startbahnhof S, Zielbahnhof T und Abfahrtszeit τ S 1. Zeitexpandiert 2. Zeitabhängig Startknoten: Erstes Transferevent in S mit Zeit τ τ S. Zielknoten: Im Vorraus unbekannt! Stoppkriterium: Erster gesettleter Knoten an T induziert schnellste Verbindung zu T Startknoten: Bahnhofsknoten S Zielknoten: Bahnhofsknoten T Anfrage: Time-Dependent Dijkstra mit Zeit τ S Hier: Ankunftszeit im Vorraus unbekannt Folie Juni 2012

47 Zeit-Anfragen Algorithm 1: Time-Dijkstra(G = (V, E),s,τ) 1 d τ [s] = 0 2 Q.clear(), Q.add(s, 0) 3 while!q.empty() do 4 u Q.deleteMin() 5 for all edges e = (u, v) E do 6 if d τ [u] + len(e, τ + d τ [u]) < d τ [v] then 7 d τ [v] d τ [u] + len(e, τ + d τ [u]) 8 p τ [v] u 9 if v Q then Q.decreaseKey(v, d τ [v]) 10 else Q.insert(v, d τ [v]) Folie Juni 2012

48 Diskussion Zeit-Anfragen Beobachtung: Nur ein Unterschied zu Dijkstra Auswertung der Kanten Folie Juni 2012

49 Diskussion Zeit-Anfragen Beobachtung: Nur ein Unterschied zu Dijkstra Auswertung der Kanten non-fifo Netzwerke: Im Kreis fahren kann sich lohnen NP-schwer (wenn Warten an Knoten nicht erlaubt ist) Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten) Folie Juni 2012

50 Diskussion Zeit-Anfragen Beobachtung: Nur ein Unterschied zu Dijkstra Auswertung der Kanten non-fifo Netzwerke: Im Kreis fahren kann sich lohnen NP-schwer (wenn Warten an Knoten nicht erlaubt ist) Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten) In unserem Szenario: Sicherstellen dass alle Routen FIFO sind. Für alle Trips t i, t j der Route muss gelten: t i fährt an jeder Station jeweils vor t j ab (oder andersherum). Folie Juni 2012

51 Profil-Anfragen Gegeben: Startbahnhof S, Zielbahnhof T Folie Juni 2012

52 Profil-Anfragen Gegeben: Startbahnhof S, Zielbahnhof T 1. Zeitexpandiert 2. Zeitabhängig? Startknoten: Bahnhofsknoten S Zielknoten: Bahnhofsknoten T Anfrage: Label-Correcting Algorithmus von S Folie Juni 2012

53 Profil-Anfragen Algorithm 2: Profile-Search(G = (V, E),s) 1 d [s] = 0 2 Q.clear(), Q.add(s, 0) 3 while!q.empty() do 4 u Q.deleteMin() 5 for all edges e = (u, v) E do 6 if d [u] len(e) d [v] then 7 d [v] min(d [u] len(e), d [v]) 8 if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]) 9 else Q.insert(v, d[v]) Folie Juni 2012

54 Diskussion Profil-Anfragen Beobachtungen: Operationen auf Funktionen Priorität im Prinzip frei wählbar (d[u] ist das Minimum der Funktion d [u]) Knoten können mehrfach besucht werden label-correcting Folie Juni 2012

55 Literatur I Evangelia Pyrga, Frank Schulz, Dorothea Wagner, and Christos Zaroliagis. Efficient Models for Timetable Information in Public Transportation Systems. ACM Journal of Experimental Algorithmics, 12(2.4):1 39, Folie Juni 2012

56 Nächste Termine Montag, Montag, Montag, (?) Folie Juni 2012