Algorithmen für Routenplanung 13. Sitzung, Sommersemester 2013 Julian Dibbelt 19. Juni 2013

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1 Algorithmen für Routenplanung 13. Sitzung, Sommersemester 2013 Julian Dibbelt 19. Juni 2013 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Letztes Mal Einführung zeitabhängige Routenplanung Folie Juni 2013

3 Heute: Beschleunigungstechniken Landmarken Bidirektionale Suche Kontraktion Arc-Flags s t Folie Juni 2013

4 Landmarken Vorberechnung: wähle eine Hand voll ( 16) Knoten als Landmarken berechne Abstände von und zu allen Landmarken Anfrage: benutze Landmarken und Dreiecksungleichung um eine untere Schranke für den Abstand zum Ziel zu bestimmen d(s, t) d(l 1, t) d(l 1, s) d(s, t) d(s, L 2 ) d(t, L 2 ) verändert Reihenfolge der besuchten Knoten Folie Juni 2013

5 Anpassung Beobachtung: Korrektheit von ALT basiert darauf, dass reduzierte Kosten größergleich 0 sind len π (u, v) = len(u, v) π(u) + π(v)! 0 durch Erhöhen der Kantengewichte wird dies nicht verletzt Folie Juni 2013

6 Anpassung Beobachtung: Korrektheit von ALT basiert darauf, dass reduzierte Kosten größergleich 0 sind len π (u, v) = len(u, v) π(u) + π(v)! 0 durch Erhöhen der Kantengewichte wird dies nicht verletzt Somit: Definiere lowerbound-graph G = (V, E, len) mit len := min len Vorberechnung auf lowerbound-graph korrekt aber eventuell langsamere Anfragezeiten Folie Juni 2013

7 Bidirektionale Suche s t starte zweite Suche von t relaxiere rückwärts nur eingehende Kanten stoppe die Suche, wenn beide Suchräume sich treffen Folie Juni 2013

8 Anpassung Zeitanfragen: Ankunft unbekannt Rückwärtsuche? Folie Juni 2013

9 Anpassung Zeitanfragen: Ankunft unbekannt Rückwärtsuche? Rückwärtssuche nur zum Einschränken der Vorwärtssuche benutzen je nach Beschleunigungstechnik verschieden später Folie Juni 2013

10 Anpassung Zeitanfragen: Ankunft unbekannt Rückwärtsuche? Rückwärtssuche nur zum Einschränken der Vorwärtssuche benutzen je nach Beschleunigungstechnik verschieden später Profilanfragen: Anfrage zu allen Startzeitpunkten somit Rückwärtsuche kein Problem µ: tentative Abstandsfunktion breche ab, wenn minkey( Q ) + minkey( Q ) µ Erinnere: key von v ist der lowerbound seiner Profilfunktion Folie Juni 2013

11 Arc-Flags Idee: partitioniere den Graph in k Zellen hänge ein Label mit k Bits an jede Kante zeigt ob e wichtig für die Zielzelle ist modifizierter Dijkstra überspringt unwichtige Kanten Beobachtung: Partition wird auf ungewichtetem Grahen durchgeführt Flaggen müssen allerdings aktualisiert werden Folie Juni 2013

12 Anpassung Idee: ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region setze Flagge wenn Kante mindestens ein mal am Tag wichtig ist Folie Juni 2013

13 Anpassung Idee: ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region setze Flagge wenn Kante mindestens ein mal am Tag wichtig ist Anpassung: für alle Randknoten b und alle Knoten u: Berechne Abstandsfunktion d (u, b) setze Flagge wenn gilt len(u, v) d (v, b) d (u, b) u v w x b Folie Juni 2013

17 Approximation Arc-Flags Beobachtung: viele Interpolationspunkte (Straße) Berechnung der Abstandsfunktionen ist sehr zeitintensiv Laufzeit stark abhängig von der Komplexität der Funktionen Idee: v u w x b Folie Juni 2013

18 Approximation Arc-Flags Beobachtung: viele Interpolationspunkte (Straße) Berechnung der Abstandsfunktionen ist sehr zeitintensiv Laufzeit stark abhängig von der Komplexität der Funktionen Idee: benutze über- and Unterapproximation 22 u v 16 w 21 x 19 b Folie Juni 2013

19 Approximation Arc-Flags Beobachtung: viele Interpolationspunkte (Straße) Berechnung der Abstandsfunktionen ist sehr zeitintensiv Laufzeit stark abhängig von der Komplexität der Funktionen Idee: benutze über- and Unterapproximation 22 u v 16 w 21 x 19 b Folie Juni 2013

20 Approximation Arc-Flags Beobachtung: viele Interpolationspunkte (Straße) Berechnung der Abstandsfunktionen ist sehr zeitintensiv Laufzeit stark abhängig von der Komplexität der Funktionen Idee: benutze über- and Unterapproximation schnellere Vorberechnung, langsamere Anfragen aber immer noch korrekt u v w x b Folie Juni 2013

21 Heuristische Flaggen Idee: führe von jedem Randknoten K Zeitanfragen aus mit fester Ankunftszeit setze Flagge, wenn Kante auf einem dem Bäume eine Baumkante ist Folie Juni 2013

22 Heuristische Flaggen Idee: führe von jedem Randknoten K Zeitanfragen aus mit fester Ankunftszeit setze Flagge, wenn Kante auf einem dem Bäume eine Baumkante ist Beobachtungen: Flaggen eventuell nicht korrekt ein Pfad wird aber immer gefunden Fehlerrate? Folie Juni 2013

23 Kontraktion Knoten-Reduktion: entferne Knoten füge neue Kanten (Shortcuts) hinzu, um die Abstände zwischen verbleibenden Knoten zu erhalten Zeugensuche: behalte nur relevante Shortcuts lokale Suche während oder nach Knoten-Reduktion Folie Juni 2013

24 Kontraktion Knoten-Reduktion: entferne Knoten füge neue Kanten (Shortcuts) hinzu, um die Abstände zwischen verbleibenden Knoten zu erhalten Zeugensuche: behalte nur relevante Shortcuts lokale Suche während oder nach Knoten-Reduktion Folie Juni 2013

25 Anpassung Zeugensuche Zeitunabhängig: Kante (u, v) nicht nötig, wenn (u, v) nicht Teil des kürzesten Weges von u nach v ist, also len(u, v) > d(u, v) lokale Dijkstra-Suche von u Zeitabhängig: Folie Juni 2013

26 Anpassung Zeugensuche Zeitunabhängig: Kante (u, v) nicht nötig, wenn (u, v) nicht Teil des kürzesten Weges von u nach v ist, also len(u, v) > d(u, v) lokale Dijkstra-Suche von u Zeitabhängig: Kante (u, v) nicht nötig, wenn (u, v) nicht Teil eines kürzesten Wege von u nach v ist, also len(u, v) > d (u, v) lokale Profilsuche Problem: deutlich langsamer Folie Juni 2013

27 Korridorsuche Idee: führe zunächst zwei Dijkstra-Suchen mit len und len durch relaxiere dann nur solche Kanten (u, v), für die d(s, u) + len(u, v) d(s, v) gilt lokale Profilsuche in diesem Korridor Anmerkung: auch zur Beschleunigung von s-t Profil-Suchen Folie Juni 2013

28 Approximation der Shortcuts Problem: hoher Speicherbedarf der Shortcuts (Straße) Ideen: Shortcuts nur approximieren, inexakte Anfragen Keine Gewichte am Shortcut speichern, stattdessen on-the-fly entpacken und Pfad linken spart Speicher, kostet Laufzeit speichere auf Shortcuts Über- und Unterapproximation der Funktionen induzieren wieder Korridor (aber genaueren als nur Min/Max!) entpacke Shortcuts im Korridor, dies gibt einen Teil des Originalgraphen benutze nun die nicht-approximierten Originalkanten für eine exakte Suche Folie Juni 2013

29 Anpassung der Basismodule Basismodule: 0 Bidirektionale Suche + Landmarken + Kontraktion + Arc-Flags Somit sind folgende Algorithmen gute Kandidaten ALT Core-ALT SHARC Contraction Hierarchies MLD Folie Juni 2013

30 Bidirektionaler zeitabhängiger ALT s t Idee - Drei Phasen: Folie Juni 2013

31 Bidirektionaler zeitabhängiger ALT s t Idee - Drei Phasen: 1 Vorwärts zeitabhängig, Rückwärtssuche benutzt Minima der Funktionen. Fertig wenn Suchen sich treffen. Berechne zeitabhängige tentative Distanz µ (durch Auswerten des gefundenen Weges, alternativ: Rückwärtssuche schleift auch Maxima durch, benutzt diese zum bestimmen von µ) Folie Juni 2013

32 Bidirektionaler zeitabhängiger ALT s t Idee - Drei Phasen: 1 Vorwärts zeitabhängig, Rückwärtssuche benutzt Minima der Funktionen. Fertig wenn Suchen sich treffen. Berechne zeitabhängige tentative Distanz µ (durch Auswerten des gefundenen Weges, alternativ: Rückwärtssuche schleift auch Maxima durch, benutzt diese zum bestimmen von µ) 2 Rückwärtssuche arbeitet weiter bis minkey( Q ) > µ Folie Juni 2013

33 Bidirektionaler zeitabhängiger ALT s t Idee - Drei Phasen: 1 Vorwärts zeitabhängig, Rückwärtssuche benutzt Minima der Funktionen. Fertig wenn Suchen sich treffen. Berechne zeitabhängige tentative Distanz µ (durch Auswerten des gefundenen Weges, alternativ: Rückwärtssuche schleift auch Maxima durch, benutzt diese zum bestimmen von µ) 2 Rückwärtssuche arbeitet weiter bis minkey( Q ) > µ 3 Vorwärtssuche arbeitet weiter bis t abgearbeitet worden ist und besucht nur Knoten, die die Rückwärtssuche zuvor besucht hat Folie Juni 2013

34 Approximation Beobachtung: Phase 2 läuft recht lange weiter, bis minkey( Q ) > µ gilt insbesondere dann schlecht, wenn die lower bounds stark vom echten Wert abweichen Approximation: breche Phase 2 bereits ab, wenn minkey( Q ) K > µ gilt dann ist der berechnete Weg eine K -Approximation des kürzesten Weges Folie Juni 2013

35 Experimente Error Query relative abs. #sett. #rel. time scen. algorithm K rate av. max max [s] nodes edges [ms] mid Sat Sun uni-alt 0.0% 0.000% 0.00% TDALT % 0.000% 0.00% % 0.094% 14.32% % 0.097% 27.59% uni-alt 0.0% 0.000% 0.00% TDALT % 0.000% 0.00% % 0.088% 13.97% % 0.089% 26.17% uni-alt 0.0% 0.000% 0.00% TDALT % 0.000% 0.00% % 0.088% 14.28% % 0.089% 32.08% Folie Juni 2013

36 Core-ALT Idee begrenze Beschleunigungstechnik auf kleinen Subgraphen (Kern) s t Vorberechnung kontrahiere Graphen zu einem Kern Landmarken nur im Kern Anfrage Folie Juni 2013

37 Core-ALT Idee begrenze Beschleunigungstechnik auf kleinen Subgraphen (Kern) s t Vorberechnung kontrahiere Graphen zu einem Kern Landmarken nur im Kern Anfrage Initialphase: normaler Dijkstra Folie Juni 2013

38 Core-ALT Idee begrenze Beschleunigungstechnik auf kleinen Subgraphen (Kern) s t Vorberechnung kontrahiere Graphen zu einem Kern Landmarken nur im Kern Anfrage Initialphase: normaler Dijkstra benutze Landmarken nur im Kern Folie Juni 2013

39 Core-ALT Idee begrenze Beschleunigungstechnik auf kleinen Subgraphen (Kern) s t Vorberechnung kontrahiere Graphen zu einem Kern Landmarken nur im Kern Anfrage Initialphase: normaler Dijkstra benutze Landmarken nur im Kern zeitabhängig: Rückwärtssuche ist zeitunabhängig Vorwärtssuche darf alle Knoten der Rückwärtssuche besuchen Folie Juni 2013

40 Experimente Preproc. Error Query time space relative abs. #settled #relaxed time scenario K [min] [B/n] rate av. max max [s] nodes edges [ms] % 0.000% 0.00% Monday % 0.051% 11.00% % 0.052% 17.25% % 0.000% 0.00% midweek % 0.051% 13.84% % 0.052% 13.84% % 0.000% 0.00% Friday % 0.052% 11.29% % 0.054% 21.19% % 0.000% 0.00% Saturday % 0.031% 11.50% % 0.031% 24.17% % 0.000% 0.00% Sunday % 0.029% 12.72% % 0.029% 17.84% Folie Juni 2013

41 SHARC (Kontraktion, Arc-Flags) Vorberechnung: Multi-Level-Partition iterativer Prozess: kontrahiere Subgraphen berechne Flaggen Flaggenverfeinerung Anpassung: Kontraktion und Flaggen berechnung anpassen Verfeinerung durch (lokale) Profilsuchen Folie Juni 2013

50 Experimente Preprocessing Time-Queries time space edge points time speed scenario algom [h:m] [B/n] inc. inc. [ms] up Monday eco 1: % 366.8% midweek eco 1: % 363.8% Friday eco 1: % 358.0% Saturday eco 0: % 283.6% agg 48: % 264.4% Sunday eco 0: % 215.8% agg 27: % 202.6% no traffic static 0: % 23.9% Folie Juni 2013

51 Approximation Prepro Error Time-Queries time space error max max time spd scenario algo [h:m] [B/n] -rate rel. abs.[s] [ms] up Monday heu 3: % 0.54% midweek heu 3: % 0.61% Friday heu 3: % 0.50% Saturday heu 2: % 0.23% Sunday heu 1: % 0.36% no static 0: % 0.00% Beobachtung: Fehler sehr gering hoher Speicherverbrauch Folie Juni 2013

52 Profilsuchen Time-Queries Profile-Queries #del. time #del. #re- time profile traffic var. mins [ms] mins ins. [ms] /time Monday eco heu midweek eco heu Friday eco heu eco Saturday agg heu eco Sunday agg heu Folie Juni 2013

53 Contraction Hierarchies Vorberechnung: benutze gleiche Knotenordnung kontrahiere zeitabhängig erzeugt Suchgraphen G = (V, E E) Folie Juni 2013

54 Contraction Hierarchies Vorberechnung: benutze gleiche Knotenordnung kontrahiere zeitabhängig erzeugt Suchgraphen G = (V, E E) Anfrage Rückwärts aufwärts mittels min-max Suche markiere alle Kanten (u, v) aus E mit d(u, v) + d(v, t) d(u, v) diese Menge sei E zeitabhängige Vorwärtsuche in (V, E E ) Folie Juni 2013

55 Experimente Contr. Queries type of ordering const. space time speed input ordering [h:m] [h:m] [B/n] [ms] up Monday static min 0:05 0: timed 1:47 0: midweek static min 0:05 0: timed 1:48 0: Friday static min 0:05 0: timed 1:30 0: Saturday static min 0:05 0: timed 0:52 0: Sunday static min 0:05 0: timed 0:38 0: Folie Juni 2013

56 Approximation Idee: speicher jeden Shortcut als Approximation reduziert Speicher um bis zu Faktor 10 Folie Juni 2013

57 Approximation Idee: speicher jeden Shortcut als Approximation reduziert Speicher um bis zu Faktor 10 Query: low-up bound Suchen in approximierter CH (Phase 1 3) alle Knoten an denen Suchen sich treffen: Kandidaten C entpacke alle (approximierten) Shortcuts auf wegen s C t Pfaden erzeugt (exakten) Subgraphen (Korridor) time-dependent Dijkstra im Korridor (Phase 4) nicht viel langsamer (Faktor 2) ist exakt Folie Juni 2013

58 Approximation Folie Juni 2013

59 Profilsuchen Variante 1: normale Profilsuche in der CH langsam Folie Juni 2013

60 Profilsuchen Variante 1: normale Profilsuche in der CH langsam Variante 2: normale Profilsuche im Korridor besser aber es geht noch besser Folie Juni 2013

61 Profilsuchen Variante 1: normale Profilsuche in der CH langsam Variante 2: normale Profilsuche im Korridor besser aber es geht noch besser Variante 3: Kontraktion des Corridors Interpolationspunkte steigen langsamer an ca. 30 ms Folie Juni 2013

62 Ergebnisse Folie Juni 2013

63 Ergebnisse II Folie Juni 2013

64 MLD Beobachtungen Folie Juni 2013

65 MLD Beobachtungen Partitionierung metrik-unabhängig viele Shortcuts / Overlay-Kanten Großer Vorteil von MLD (eigentlich): Komplettes Speicherlayout nach Partitionierung bekannt Folie Juni 2013

66 MLD Beobachtungen Partitionierung metrik-unabhängig viele Shortcuts / Overlay-Kanten Großer Vorteil von MLD (eigentlich): Komplettes Speicherlayout nach Partitionierung bekannt Work in progress Speicherlayout hängt an Komplexität der Overlay-Kanten-Funktionen; die ist aber vorab unbekannt unklar ob abspeichern aller Shortcuts sinnvoll hilft geschickte Approximation? Folie Juni 2013

67 Ende Literatur (Zeitabhängige Beschleunigungstechniken): Daniel Delling: Enginering and Augmenting Route Planning Algorithms Ph.D. Thesis, Universität Karlsruhe (TH), Gernot Veit Batz, Robert Geisberger, Sabine Neubauer, Peter Sanders Time-Dependent Contraction Hierarchies and Approximation In: Proceedings of the 9th International Symposium on Experimental Algorithms (SEA 10), Folie Juni 2013

68 Nächste Termine Montag, Mittwoch, Montag, Folie Juni 2013