Algorithmen für Routenplanung 7. Vorlesung, Sommersemester 2015 Ben Strasser 18. Mai 2014
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1 Algorithmen für Routenplanung 7. Vorlesung, Sommersemester 01 Ben Strasser 18. Mai 014 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Kürzeste Wege in Straßennetzwerken Beschleunigungstechniken (Fortsetzung) HLDB (G)PHAST Folie 18. Mai 014
3 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) u Folie 18. Mai 014
4 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) u Folie 18. Mai 014
5 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) u Folie 18. Mai 014
6 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) u Folie 18. Mai 014
7 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s t Folie 18. Mai 014
8 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s t Folie 18. Mai 014
9 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s t Folie 18. Mai 014
10 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s t Folie 18. Mai 014
11 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s s t Anfrage: finde Knoten v L f (s) L b (t)... t Folie 18. Mai 014
12 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s s t Anfrage: finde Knoten v L f (s) L b (t) der dist(s, v)+ dist(v, t) minimiert t Folie 18. Mai 014
13 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s s t Anfrage: finde Knoten v L f (s) L b (t) der dist(s, v)+ dist(v, t) minimiert t Folie 18. Mai 014
14 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s s t Anfrage: finde Knoten v L f (s) L b (t) der dist(s, v)+ dist(v, t) minimiert t Folie 18. Mai 014
15 Wiederholung: HL Vorberechung: für jeden Knoten u, berechne zwei Label L f (u), L b (u) ein Label ist eine Menge von Knoten (Hubs) und Distanzen dist(u, v) für jeden Hub v L f (u) dist(v, u) für jeden Hub v L b (u) die Label müssen die cover property einhalten: s, t, L f (s) L b (t) überdeckt den kürzesten s t Pfad s s t Anfrage: finde Knoten v L f (s) L b (t) der dist(s, v)+ dist(v, t) minimiert t Folie 18. Mai 014
16 Wiederholung: Inner Join a b 1 4 INNER JOIN b c š USING(b) Folie Mai 014
17 Wiederholung: Inner Join a b 1 4 INNER JOIN ergibt b a b c 1 4 c š USING(b) Folie Mai 014
18 HLDB HL kann man mit einer SQL-Datenbank umsetzen. Lege zwei Tabellen an: CREATE TABLE forward ( v e r t e x _ i d integer, hub_ id integer, distance integer ) ; CREATE TABLE backward ( v e r t e x _ i d integer, hub_ id integer, distance integer ) ; Folie 18. Mai 014
19 HLDB - Anfrage Die Distanz-Anfrage ist ein Join. SELECT min ( forward. distance+backward. distance ) FROM forward INNER JOIN backward USING( hub_id ) WHERE forward. v e r t e x _ i d = source, backward. v e r t e x _ i d = t a r g e t ; Folie Mai 014
20 HLDB - Pfadextraktion Zwei zusätzliche Spalten: CREATE TABLE forward ( v e r t e x _ i d integer, hub_ id integer, distance integer, previous_ hub integer, s h o r t c u t _ i d integer ) ; shortcut_id ist die ID der letzten Kante auf einem kürzesten up-down Weg (im CH Sinn). previous_hub ist Ausgangsknoten von shortcut_id. Folie Mai 014
21 HLDB - Pfadextraktion Und eine zusätzliche Tabelle: CREATE TABLE s h o r t c u t ( s h o r t c u t _ i d integer, shortcut_pos integer, a r c _id integer ) ; Idee: Speichere vorentpackte Shortcuts arc_id gibt die original Kante an shortcut_pos ist Position von arc_id im entpackten Pfad der shortcut_id entspricht Braucht nochmal etwa soviel Speicher wie die Hubs selber. Folie Mai 014
22 HLDB - Pfadextraktion Schritt 1: Bestimme meeting_hub wie für Distanzanfrage. Schritt : Baue temporäre Tabelle path: CREATE TABLE path ( s h o r t c u t _ i d integer, up_down_path_pos integer ) ; Folie Mai 014
23 HLDB - Pfadextraktion Schritt : Befülle Tabelle SET sequence = 0; SET now = meeting_hub ; WHILE now <> source do SELECT s h o r t c u t _ i d, previous_hub FROM forward WHERE forward. node = source AND forward. hub = now ; SET now = previous_hub ; INSERT INTO path VALUES( s h o r t c u t _ i d, sequence ) ; SET sequence = sequence 1; END WHILE ; Achtung: Nicht alle Datenbanken unterstüzen WHILE und nicht alle gleich. Folie Mai 014
24 HLDB - Pfadextraktion Schritt 4: Join mit shortcut-tabelle SELECT a r c _id FROM s h o r t c u t INNER JOIN path USING( s h o r t c u t _ i d ) ORDERED BY up_down_path_pos, shortcut_pos ; Folie Mai 014
25 Was bisher geschah bisheriger Stoff: Punkt-zu-Punkt Abfragen Folie Mai 014
26 Was bisher geschah bisheriger Stoff: Punkt-zu-Punkt Abfragen Erweiterte Anfragen one-to-many many-to-many one-to-all? Folie Mai 014
27 Kürzeste-Wege Bäume Anfrage: gegeben ein nicht negativ gewichteter gerichteter Graph und Knoten s berechne Distanzen von s zu allen anderen Knoten Folie Mai 014
28 Kürzeste-Wege Bäume Anfrage: gegeben ein nicht negativ gewichteter gerichteter Graph und Knoten s berechne Distanzen von s zu allen anderen Knoten Lösung: Dijkstra [Dij9] Folie Mai 014
29 Kürzeste-Wege Bäume Anfrage: gegeben ein nicht negativ gewichteter gerichteter Graph und Knoten s berechne Distanzen von s zu allen anderen Knoten Lösung: Dijkstra [Dij9] Fakten: O(m + n log n) mit Fibonacci Heaps [FT87] linear (mit kleiner Konstanten) in Praxis [Gol01] Ausnutzung von moderner Hardware schwierig Folie Mai 014
30 Moderne CPU Architektur Einige Fakten: viele Kerne mehr Kerne als Speicherkontroller Hyperthreading Multi-Sockel System steile Speicherhierarchie Cache coherency Folie Mai 014
31 Moderne CPU Architektur Einige Fakten: viele Kerne mehr Kerne als Speicherkontroller Hyperthreading Multi-Sockel System steile Speicherhierarchie Cache coherency Hauptherausforderungen: Parallelisierung Speicherzugriff Folie Mai 014
32 Ausnutzen von Moderner Hardware Daten Lokalität Eingabe: West Europa 18M Knoten, M Strassen Dijkstra:.0 s nicht real-time Core-i7 workstation (.66 GHz) Folie Mai 014
33 Ausnutzen von Moderner Hardware Daten Lokalität Eingabe: West Europa 18M Knoten, M Strassen Dijkstra:.0 s nicht real-time n + m clock cycles: 1 ms viel schneller Core-i7 workstation (.66 GHz) Folie Mai 014
34 Ausnutzen von Moderner Hardware Daten Lokalität Eingabe: West Europa 18M Knoten, M Strassen Dijkstra:.0 s nicht real-time n + m clock cycles: 1 ms viel schneller BFS:.0 s Verlangsamung kommt nicht durch Priorityqueue allein Core-i7 workstation (.66 GHz) Folie Mai 014
35 Ausnutzen von Moderner Hardware Daten Lokalität Eingabe: West Europa 18M Knoten, M Strassen Dijkstra:.0 s nicht real-time n + m clock cycles: 1 ms viel schneller BFS:.0 s Verlangsamung kommt nicht durch Priorityqueue allein Core-i7 workstation (.66 GHz) Parallelisierung: Spekulation -stepping [MS0] mehr Operationen als Dijkstra keine grosse Beschleunigung auf dünnen Graphen Folie Mai 014
36 Ausnutzen von Moderner Hardware Daten Lokalität Eingabe: West Europa 18M Knoten, M Strassen Dijkstra:.0 s nicht real-time n + m clock cycles: 1 ms viel schneller BFS:.0 s Verlangsamung kommt nicht durch Priorityqueue allein Core-i7 workstation (.66 GHz) Parallelisierung: Spekulation -stepping [MS0] mehr Operationen als Dijkstra keine grosse Beschleunigung auf dünnen Graphen Berechnen von mehreren Bäumen ist einfach Folie Mai 014
37 Ansatz 1 Idee: Umordnen der Knoten im Graphen Folie Mai 014
38 Ansatz 1 Idee: Umordnen der Knoten im Graphen time per tree [ms] algorithm details random input DFS Dijkstra binary heap Dial smart queue BFS (Achtung: One-to-All & Älterer Rechner) Folie Mai 014
39 Ansatz 1 Idee: Umordnen der Knoten im Graphen time per tree [ms] algorithm details random input DFS Dijkstra binary heap Dial smart queue BFS (Achtung: One-to-All & Älterer Rechner) keine grosse Beschleunigung Folie Mai 014
40 Ansatz Dijkstra s Algorithmus: moderne Hardware nicht voll zu nutzen Hauptprobleme: Daten Lokalität Parallelisierung Folie Mai 014
41 Ansatz Dijkstra s Algorithmus: moderne Hardware nicht voll zu nutzen Hauptprobleme: Daten Lokalität Parallelisierung Fragen: hilft Vorberechnung? wie? Ansatzpunkt? Folie Mai 014
42 Ansatz Dijkstra s Algorithmus: moderne Hardware nicht voll zu nutzen Hauptprobleme: Daten Lokalität Parallelisierung Fragen: hilft Vorberechnung? wie? Ansatzpunkt? PHAST: Hardware-Accelerated Shortest path Trees Folie Mai 014
43 Contraction Hierarchies preprocessing: Folie Mai 014
44 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit Folie Mai 014
45 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
46 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
47 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
48 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
49 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
50 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
51 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Folie Mai 014
52 Contraction Hierarchies preprocessing: ordne Knoten nach Wichtigkeit bearbeite in der Reihenfolge füge Shortcuts hinzu Levelzuordnung (ca. 10 in Strassennetzwerken) level Folie Mai 014
53 Contraction Hierarchies Punkt-zu-Punkt Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra folge nur Kanten zu wichtigeren Knoten besucht nur 00 Knoten level Folie Mai 014
54 Contraction Hierarchies Punkt-zu-Punkt Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra folge nur Kanten zu wichtigeren Knoten besucht nur 00 Knoten level s t 1 6 Folie Mai 014
55 Contraction Hierarchies Punkt-zu-Punkt Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra folge nur Kanten zu wichtigeren Knoten besucht nur 00 Knoten level s t 1 6 Folie Mai 014
56 Contraction Hierarchies Punkt-zu-Punkt Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra folge nur Kanten zu wichtigeren Knoten besucht nur 00 Knoten level s t 1 6 Folie Mai 014
57 Contraction Hierarchies Punkt-zu-Punkt Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra folge nur Kanten zu wichtigeren Knoten besucht nur 00 Knoten level s t 1 6 Folie Mai 014
58 Contraction Hierarchies Punkt-zu-Punkt Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra folge nur Kanten zu wichtigeren Knoten besucht nur 00 Knoten Korrektheit: es gibt einen wichtigsten Knoten auf dem Pfad dieser wird von Vorwärts- und Rückwärtssuche gescannt level s t 1 6 Folie Mai 014
59 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: level 1 s Folie Mai 014
60 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) level 1 s Folie Mai 014
61 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten level 1 s Folie Mai 014
62 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 s Folie Mai 014
63 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 s Folie Mai 014
64 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 s Folie Mai 014
65 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 s Folie Mai 014
66 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 s Folie Mai 014
67 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 Folie Mai 014 s
68 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} level 1 1 Folie Mai 014 s
69 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} top-down Bearbeitung ohne Priority Queue (ca..0 s) level 1 1 Folie Mai 014 s
70 Neuer Anfragealgorithmus one-to-all Suche von s: level vorwärts CH Suche von s ( 0.0 ms) setze Distanzen d für alle erreichten Knoten bearbeite alle Knoten u in inverser Levelordnung: checke eingehende Kanten (v, u) mit lev(v) > lev(u) setze d(u) = min{d(u), d(v) + w(v, u)} top-down Bearbeitung ohne Priority Queue (ca..0 s) genauso schnell wie BFS. Warum das ganze? 1 1 Folie Mai 014 s
71 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals level Folie Mai 014
72 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level dist(u): Folie Mai 014
73 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level r w dist(u): Folie Mai 014
74 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level w r dist(u): Folie Mai 014
75 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level w r dist(u): Folie Mai 014
76 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level r w dist(u): Folie Mai 014
77 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level w r dist(u): Folie Mai 014
78 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient level w r dist(u): Folie Mai 014
79 Analyse Beobachtung: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s level r w dist(u): Folie Mai 014
80 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): Folie Mai 014
81 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): rw Folie Mai 014
82 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): rw Folie Mai 014
83 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): r w Folie Mai 014
84 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): r w Folie Mai 014
85 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): r w Folie Mai 014
86 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep level dist(u): r w Folie Mai 014
87 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep 17 ms pro Baum level dist(u): r w Folie Mai 014
88 Analyse Beobachtung: Idee: top-down Prozess ist der Flaschenhals Zugriff auf die Daten ist immer noch ineffizient Zugriffsmuster sind unabhängig von s speicher G und G separat Umordnung der Knoten, Kanten, und Distanzlabel nach Level lesen der Kanten und schreiben der Distanzen wird zu einem sequenziellen Sweep 17 ms pro Baum dist(u): level aber lesen der Distanzen immer noch ineffizient r w Folie Mai 014
89 Szenario: Multiple Startknoten level 1 s Folie 18. Mai 014
90 Szenario: Multiple Startknoten Idee: level 1 s s Folie 18. Mai 014
91 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen level 1 s s Folie 18. Mai 014
92 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen level 1 s s Folie 18. Mai 014
93 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen level 1 47 s s Folie 18. Mai 014
94 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level 1 47 s s Folie 18. Mai 014
95 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level s s Folie 18. Mai 014
96 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level s s Folie 18. Mai 014
97 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level s s Folie 18. Mai 014
98 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level 10 1 Folie 18. Mai s s
99 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level 10 1 Folie 18. Mai s s
100 Szenario: Multiple Startknoten Idee: k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten level Folie 18. Mai s s
101 Szenario: Multiple Startknoten Idee: level k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten 96.8 ms pro Baum (k = 16) Folie 18. Mai s s
102 Szenario: Multiple Startknoten Idee: level k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten 96.8 ms pro Baum (k = 16) Folie 18. Mai 014 SSE: 18-bit Register Basisoperationen (min, add) für vier -bit Integer parallel scanne 4 Distanzlabel auf einmal 47 s s
103 Szenario: Multiple Startknoten Idee: level k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten 96.8 ms pro Baum (k = 16) Folie 18. Mai 014 SSE: 18-bit Register Basisoperationen (min, add) für vier -bit Integer parallel scanne 4 Distanzlabel auf einmal 7.1 ms pro Baum (k = 16) 47 s s
104 Szenario: Multiple Startknoten Idee: level k Vorwärtssuchen ein sweep (update aller k Werte) speicher Distanzlabel pro Knoten 96.8 ms pro Baum (k = 16) Folie 18. Mai 014 SSE: 18-bit Register Basisoperationen (min, add) für vier -bit Integer parallel scanne 4 Distanzlabel auf einmal 7.1 ms pro Baum (k = 16) Neuere Rechner: 6-bit Register 47 s s
105 Parallelisierung nach Startknoten dist(s 1,u): dist(s,u): dist(s,u): dist(s 4,u): r w r r r w w w Folie 18. Mai 014
106 Parallelisierung nach Startknoten r w dist(s 1,u): r w dist(s,u): r w dist(s,u): r w Ergebnisse: dist(s 4,u): 16 Startenknoten pro Sweep (updates via SSE) multi-core nach Startknoten 64 Startknoten parallel (4 cores) 18.8 ms per Baum Folie 18. Mai 014
107 Parallelisierung nach Startknoten r w dist(s 1,u): r w dist(s,u): r w dist(s,u): r w Ergebnisse: dist(s 4,u): 16 Startenknoten pro Sweep (updates via SSE) multi-core nach Startknoten 64 Startknoten parallel (4 cores) 18.8 ms per Baum Warum kein perfekter Speedup? Folie 18. Mai 014
108 Parallelisierung nach Startknoten r w dist(s 1,u): r w dist(s,u): r w dist(s,u): r w Ergebnisse: dist(s 4,u): 16 Startenknoten pro Sweep (updates via SSE) multi-core nach Startknoten 64 Startknoten parallel (4 cores) 18.8 ms per Baum Warum kein perfekter Speedup? lower bound tests zeigen: nah an Speicherbandbreite Folie 18. Mai 014
109 Parallelisierung nach Startknoten r w dist(s 1,u): r w dist(s,u): r w dist(s,u): r w Ergebnisse: dist(s 4,u): 16 Startenknoten pro Sweep (updates via SSE) multi-core nach Startknoten 64 Startknoten parallel (4 cores) 18.8 ms per Baum Warum kein perfekter Speedup? lower bound tests zeigen: nah an Speicherbandbreite kann eine GPU helfen? Folie 18. Mai 014
110 GPU Architektur Intel Xeon X680:. GHz, oft 10 GB RAM GB/s Speicherbandbreite 6 Kerne SIMD/SSE mit 4 floats/ints per Vektor NVIDIA GTX 80: 77 MHz, 1. GB RAM 19 GB/s Speicherbandbreite 16 Kerne, parallele Threads pro Kern 1 parallele Threads eingeschränkte Berechnungen Folie Mai 014
111 1 Threads? Gemeinsamer Codezeiger: GPU Threads innerhalb eines Kerns haben einen gemeinsamen Codezeiger. If-Bedinung wahr für ein Thread Alle Threads durchlaufen den Wahr-Block. Aber für die falsch-threads werden die Anweisungen ausmaskiert. Schleifen dauern immer so lange wie der längste Thread braucht. Stichwort: Single Instruction Multiple Threads Verwandt mit SIMD: Jede Vektorkomponent ist ein "Thread". Beim komponentenweisen if-else wird auch eine Seite ausmaskiert. Folie 18. Mai 014
112 1 Threads? Gemeinsamer Codezeiger: GPU Threads innerhalb eines Kerns haben einen gemeinsamen Codezeiger. If-Bedinung wahr für ein Thread Alle Threads durchlaufen den Wahr-Block. Aber für die falsch-threads werden die Anweisungen ausmaskiert. Schleifen dauern immer so lange wie der längste Thread braucht. Stichwort: Single Instruction Multiple Threads Verwandt mit SIMD: Jede Vektorkomponent ist ein "Thread". Beim komponentenweisen if-else wird auch eine Seite ausmaskiert. Fairerer Vergleich: 77 MHz 16 Kerne "Threads"= 964. GHz 6 Kerne 4 SIMD-Vektor = 7999 In optimalen Bedinungen bis zu -mal mehr Berechnungen Folie 18. Mai 014
113 Weitere GPU Einschränkungen Der Transfer CPU-Speicher GPU-Speicher ist langsam. GPU-Threads zwischen Kernen syncronisieren ist sehr teuer. Die CPU muss warten bis der erste Job fertig ist und dann einen neuen starten. Dauert schon mal ein paar Mikrosekunden. Keine Cache-coherency zwischen Cores: 1 Core A schreibt einen neuen Wert and die Adresse 4. Core B ließt die Adresse 4 aus, aber erhält den alten Wert. Erklärung: Der neue Wert steckt noch im Cache von A fest. Langsam, wenn GPU-Threads durcheinander auf den Speicher zugreifen. Folie Mai 014
114 GPHAST - Ideen Beobachtungen: Aufwärtsuche ist schnell Flaschenhals ist der lineare Sweep Speicherbandbreite das Problem Folie Mai 014
115 GPHAST - Ideen Beobachtungen: Aufwärtsuche ist schnell Flaschenhals ist der lineare Sweep Speicherbandbreite das Problem Idee: speicher CH und Distanzarray auf der GPU Aufwärtssuche auf der CPU kopiere Suchraum zur GPU (weniger als kb) linearen Sweep auf der GPU Folie Mai 014
116 GPHAST - Ideen Beobachtungen: Aufwärtsuche ist schnell Flaschenhals ist der lineare Sweep Speicherbandbreite das Problem Idee: speicher CH und Distanzarray auf der GPU Aufwärtssuche auf der CPU kopiere Suchraum zur GPU (weniger als kb) linearen Sweep auf der GPU Problem: nicht genug Speicher auf GPU um tausende von Bäumen parallel zu bearbeiten wir müssen eine einzelne Baumberechnung parallelisieren Folie Mai 014
117 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten dist(u): w Folie Mai 014
118 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten r w dist(u): Folie Mai 014
119 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten r w dist(u): Folie Mai 014
120 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten r w dist(u): Folie Mai 014
121 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten Idee: scanne alle Knoten auf Level i parallel Synchronization nach jedem Level ein Thread pro Knoten dist(u): r 4 r 1 r r w 1 w w w 4 Folie Mai 014
122 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten Idee: scanne alle Knoten auf Level i parallel Synchronization nach jedem Level ein Thread pro Knoten dist(u): r r 1 r 4 r w w 1 w w 4 Folie Mai 014
123 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten Idee: scanne alle Knoten auf Level i parallel Synchronization nach jedem Level ein Thread pro Knoten results:. ms auf NVIDIA GTX 80 Beschleunigung von 11 gegenüber Dijkstra dist(u): r 1 r r 4 r w w 1 w w 4 Folie Mai 014
124 Paralleler Linearer Sweep Beobachtung: beim Scannen von Level i: nur eingehende Kanten von level > i wichtig schreiben von Distanzlabeln in Level i, lesen von Level > i Distanzlabel für Level > i sind korrekt scannen eines Level-i Knoten ist unabhängig von anderen Level-i Knoten Idee: scanne alle Knoten auf Level i parallel Synchronization nach jedem Level ein Thread pro Knoten results:. ms auf NVIDIA GTX 80 Beschleunigung von 11 gegenüber Dijkstra (mehrere Bäume:. ms) dist(u): r 1 r r 4 r w w 1 w w 4 Folie Mai 014
125 PHAST PHAST auf 4-Kern Workstation (Core-i7 90) sources/ time per tree [ms] sweep 1 core cores 4 cores (67.6) 61. (.). (4.4) (1.). (8.0) 8. (0.8) (7.1) 49.4 (.1).9 (18.8) Werte in Klammern mit SSE aktiviert Folie Mai 014
126 GPHAST PHAST auf Nvidia GTX 80 trees / memory time sweep [MB] [ms] Folie Mai 014
127 weitere Eingaben Europe USA algorithm device time distance time distance Dijkstra 4-core workstation core server core server PHAST 4-core workstation core server core server GPHAST GTX Beobachtung: Beschleunigung für Distanzmetrik geringer Folie Mai 014
128 All-Pairs Shortest Paths Eingabe: Europa mit Reisezeiten algorithm device time energy [MJ] Dijkstra 4-core workstation 197d 1-core server 60d 48-core server d PHAST 4-core workstation 94h 1-core server 6h 48-core server 0h GPHAST GTX 80 Folie 18. Mai 014
129 All-Pairs Shortest Paths Eingabe: Europa mit Reisezeiten algorithm device time energy [MJ] Dijkstra 4-core workstation 197d 1-core server 60d 48-core server d PHAST 4-core workstation 94h 1-core server 6h 48-core server 0h GPHAST GTX 80 11h Folie 18. Mai 014
130 All-Pairs Shortest Paths Eingabe: Europa mit Reisezeiten algorithm device time energy [MJ] Dijkstra 4-core workstation 197d 1-core server 60d 48-core server d PHAST 4-core workstation 94h 1-core server 6h 48-core server 0h GPHAST GTX 80 11h 4-core workstation without GPU: 16 watts 4-core workstation with GPU: 7 watts 1-core server: watts 48-core server: 747 watts Folie 18. Mai 014
131 All-Pairs Shortest Paths Eingabe: Europa mit Reisezeiten algorithm device time energy [MJ] Dijkstra 4-core workstation 197d core server 60d core server d 6. PHAST 4-core workstation 94h. 1-core server 6h core server 0h 4. GPHAST GTX 80 11h core workstation without GPU: 16 watts 4-core workstation with GPU: 7 watts 1-core server: watts 48-core server: 747 watts Folie 18. Mai 014
132 Baumrekonstruktion bis jetzt: nur Distanzen berechnet, nicht Bäume Folie 18. Mai 014
133 Baumrekonstruktion bis jetzt: nur Distanzen berechnet, nicht Bäume Idee: iteration über alle Kanten (1 Thread pro Kante) Wenn d(v) + len(v, u) = d(u) dann ist v der Vorgänger von u (sofern kürzeste Wege eindeutig sind) Folie 18. Mai 014
134 Arc-Flags Idee: benutze GPHAST zum Berechnen der Bäume von den Randknoten aus Folie Mai 014
135 Arc-Flags Idee: benutze GPHAST zum Berechnen der Bäume von den Randknoten aus setze Flaggen durch zusätzlichen Sweep auf GPU Wichtig, weil alle Bäume auf CPU kopieren teuer ist Folie Mai 014
136 Arc-Flags Idee: benutze GPHAST zum Berechnen der Bäume von den Randknoten aus setze Flaggen durch zusätzlichen Sweep auf GPU Wichtig, weil alle Bäume auf CPU kopieren teuer ist Vorberechnung sinkt von 17 Stunden auf Minuten Folie Mai 014
137 Hybrid GPHAST Beobachtung: Idee: Synchronization des Level kostet Zeit auf der GPU ( µs pro Level) obere Level sind klein beginne linearen Sweep auf CPU (bis level k) kopiere Suchraum und alle Distanzlabel für Knoten oberhalb k zur GPU restlicher Scan auf der GPU Folie 18. Mai 014
138 Hybrid GPHAST: Ergebnisse Reisezeiten vs. Reisedistanzen query time [ms] query time [ms] levels done on CPU levels done on CPU Es lohnt sich, ein Paar Level auf der CPU zu berechnen. Folie Mai 014
139 Zusammenfassung neuer Algorithmus für kürzeste Wege Bäume skaliert auf Modern Architektur ein Baum auf GPU:. ms (ungefähr 0.1 ns pro Eintrag) real-time Berechnung von kompletten Bäumen 16 Bäume auf einer GPU auf einmal:. ms pro Baum (ungefähr 0.1 ns pro Eintrag) APSP in 11 Stunden (auf workstation mit einer GPU), anstellen von 6 Monaten (auf 4 Kernen) erlaubt APSP-basierte Berechnungen 10 mal Energie-effizienter als Dijkstras Algorithmus funktioniert nur, wenn CH funktioniert Folie Mai 014
140 Übungsfragen Wie kann man folgende Anwendungen mit PHAST beschleunigen? Welche sind auf der GPU schneller? Stau-Updates APSP-Matrix berechnen Diameter berechnen ALT Reach Folie Mai 014
141 Übungsfragen Wie kann man folgende Anwendungen mit PHAST beschleunigen? Welche sind auf der GPU schneller? Stau-Updates Geht nicht, da 11h Reaktionszeit zu langsam sind APSP-Matrix berechnen Geht nicht, da es nicht genug RAM gibt um die Ergebnisse im Speicher zu halten. Diameter berechnen Geht. CPU: Straight-Forward GPU: Geht, aber man darf nur eine parallele Maximumbildung über alle n Einträge machen. Sonst ist es langsamer als auf der CPU. ALT Geht auf der CPU, GPU -> CPU Transfer zu teuer Reach Geht. CPU: Straight-Forward GPU: Baumhöhenberechnung dominiert. Auf der CPU ist es oft schneller. Folie Mai 014
142 Literatur I Edsger W. Dijkstra. A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik, 1:69 71, 199. Michael L. Fredman and Robert Tarjan. Fibonacci heaps and their uses in improved network optimization algorithms. Journal of the ACM, Andrew V. Goldberg. A simple shortest path algorithm with linear average time. In Proceedings of the 9th Annual European Symposium on Algorithms (ESA 01), volume 161 of Lecture Notes in Computer Science, pages 0 41, 001. Ulrich Meyer and Peter Sanders. δ-stepping: A parallelizable shortest path algorithm. Journal of Algorithms, 49(1):114 1, 00. Folie Mai 014
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