Dijkstra: Laufzeit. Insgesamt: T Dijkstra = O m T decreasekey (n)+n (T deletemin (n)+t insert (n))

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1 Dijkstra: Laufzeit Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray NodeArray d = {,..., }; parent[s]:= s; d[s] := 0; Q.insert(s) // O(n) while Q 6= /0 do u := Q.deleteMin // apple n foreach edge e =(u,v) 2 E do // apple m if d[u]+c(e) < d[v] then // apple m d[v]:= d[u]+c(e) // apple m parent[v] := u // apple m if v 2 Q then Q.decreaseKey(v) // apple m else Q.insert(v) // apple n return (d, parent) Insgesamt: T Dijkstra = O m T decreasekey (n)+n (T deletemin (n)+t insert (n)) 372

2 Laufzeit Dijkstras ursprüngliche Implementierung: naiv I insert: O(1) d[v]:= d[u]+c(u, v) I decreasekey: O(1) d[v]:= d[u]+c(u, v) I deletemin: O(n) d komplett durchsuchen T Dijkstra = O m T decreasekey (n)+n (T deletemin (n)+t insert (n)) T Dijkstra59 = O(m 1 + n (n + 1)) = O m + n 2 373

3 Laufzeit Bessere Implementierung mit Binary-Heap-Prioritätslisten: I insert: O(log n) I decreasekey: O(log n) I deletemin: O(log n) T Dijkstra = O m T decreasekey (n)+n (T deletemin (n)+t insert (n)) T DijkstraBHp = O(m log n + n (log n + log n)) = O((m + n)log n) 374

4 Laufzeit (Noch) besser mit Fibonacci-Heapprioritätslisten: I insert: O(1) I decreasekey: O(1) (amortisiert) I deletemin: O(log n) (amortisiert) T Dijkstra = O m T decreasekey (n)+n (T deletemin (n)+t insert (n)) T DijkstraFib = O(m 1 + n (log n + 1)) = O(m + n log n) Aber: konstante Faktoren in O( ) sind hier größer! 375

5 Analyse im Mittel Modell: Kantengewichte sind zufällig auf die Kanten verteilt Dann gilt: E[T DijkstraBH(ea)p ]=O m + n log n log m n Beweis: In Algorithmen II 376

6 Monotone ganzzahlige Prioritätslisten Beobachtung: In Dijkstras Algorithmus steigt das Minimum in der Prioritätsliste monoton. Das kann man ausnutzen. schnellere Algorithmen u.u. bis herunter zu O(m + n). Details: in Algorithmen II 377

7 Negative Kosten Was machen wir, wenn es Kanten mit negativen Kosten gibt? Es kann Knoten geben mit d[v]= s p u C q v s p u C (2) q v... Wie finden wir heraus, welche das sind? Endlosschleifen vermeiden! 378

8 Zurück zu Basiskonzepten (Abschnitt 10.1 im Buch) Lemma: 9 kürzester s v-pfad P =) P ist OBdA einfach(eng. simple) Beweisidee: (Kontraposition) Fall: v über negativen Kreis erreichbar ) 9 kürzester s v-pfad (sondern beliebig viele immer kürzere) s p u C q v s p u C (2) q v... Sonst: betrachte beliebigen nicht-einfachen s v-pfad. Alle Kreise streichen einfacher, nicht längerer Pfad. 379

9 Mehr Basiskonzepte Übung, zeige: Teilpfade kürzester Pfade sind selbst kürzeste Pfade a b c d a b,b c,c d,a b c,b c d Übung: Kürzeste-Wege-Baum Alle kürzeste Pfade von s aus zusammen bilden einen Baum, falls es keine negativen Kreise gibt. s a b d e c f 380

10 Allgemeines Korrektheitskriterium t 1 t 2 z } { z } { Sei R = h relax(e 1 ) relax(e 2 ) t k z } { relax(e k ) i eine Folge von Relaxationsoperationen und p = he 1,e 2,...,e k i = hs,v 1,v 2,...,v k i ein kürzester Weg. Dann gilt anschließend: d[v k ]=µ(v k ) Beweisskizze: (Eigentlich Induktion über k) d[s] =µ(s) bei Initialisierung d[v 1 ]=µ(v 1 ) nach Zeitpunkt t 1 d[v 2 ]=µ(v 2 ) nach Zeitpunkt t 2 d[v k ]=µ(v k ) nach Zeitpunkt t k 381

11 Algorithmen brutal Bellman-Ford-Algorithmus für beliebige Kantengewichte Wir relaxieren alle Kanten (in irgendeiner Reihenfolge) n 1mal. Alle kürzeste Pfade in G haben höchstens n 1Kanten. ) Jeder kürzeste Pfad ist eine Teilfolge dieser Relaxationen! s=v 1 v 2 v 3 v=v k 1. Runde 2. Runde 3. Runde (k 1). Runde 382

12 Negative Kreise finden Nach Ausführung von Bellman-Ford: 8 negativen Kreise C: 9(u,v) 2 C : d[u]+c(e) < d[v] Beweis: Übung v und alle von v erreichbaren Knoten x haben µ(x)= 383

13 Beispiel 384

14 Bellman-Ford Laufzeit O(nm), also viel langsamer als Dijkstra! Es gibt Algorithmenvarianten mit viel besserem best case. 385

15 Azyklische Graphen (10.2 im Buch) Beobachtungen: Keine (gerichteten) Kreise =) keine negativen Kreise! Für jeden (kürzesten) Pfad hv 1,...,v n i: Die Kanten sind aufsteigend bzgl. jeder topologischen Sortierung! initialize d, parent foreach v 2 V in topological order do scan(v) Laufzeit: O(m + n) s

16 Von überall nach überall Im Prinzip: n von s nach überall nichtnegative Kantengewichte: Zeit O(n(m + n log n)). (n Dijkstra) beliebige Kantengewichte: Zeit O n 2 m. (n Bellman-Ford) In Algorithmen II: Zeit O(n(m + n log n)). (1 Bellman-Ford + n Dijkstra) 387

17 Kürzeste Wege: Zusammenfassung I Einfache, effiziente Algorithmen für nichtnegative Kantengewichte und azyklische Graphen I Optimale Lösungen bei nicht (ganz) trivialen Korrektheitsbeweisen I Prioritätslisten sind wichtige Datenstruktur 388

18 Mehr zu kürzesten Wegen Viele Arbeiten zu besseren Prioritätslisten O(m + n loglog n) [Thorup 2004] I Mehrere Zielfunktionen abwägen I Mehrere Ziele in beliebiger Reihenfolge anfahren siehe auch Optimierungskapitel I Mehrere disjunkte Wege Fast alles schwierig (NP-schwer) 389

19 Exkurs: Routing in Straßennetzwerken Start: Beobachtungen zu Eigenschaften von Straßennetzwerken I groß, z.b. n = Knoten für Westeuropa I dünn besetzt, z.b., m = (n) Kanten I beinahe planar, d.h., wenige Kanten kreuzen sich (Brücken) I inhärente Hierarchie, schnellste Pfade benutzen wichtige Straßen 390

20 Straßennetzwerke Gängige Anwendungen: I Routenplanungssysteme im Internet, (z. B. I Fahrzeugnavigationssysteme I Logistik I Verkehrssimulationen 391

21 Distanz zu einem Zielknoten t Was machen wir, wenn wir nur die Distanz von s zu einem bestimmten Knoten t wissen wollen? Trick 0: Dijkstra hört auf, wenn t aus Q entfernt wird. Spart im Durchschnitt Hälfte der Scans. s t Frage: Wieviel spart es (meist) beim Europa-Navi? 392

22 Ideen für Routenplanung mehr in Algorithmen II, Algorithm Engineering s t I Vorwärts- + Rückwärtssuche I Zielgerichtete Suche s t s t I Hierarchien ausnutzen s z I Teilabschnitte tabellieren Meist zentrale Idee: Vorberechnung amortisiert über viele Anfragen 393

23 Straßennetzwerke Wir konzentrieren uns auf Straßennetzwerke. I mehrere nützliche Eigenschaften, diesich ausnutzen lassen I viele reale Anwendungen I einige Techniken: anwendbar für öffentliche Verkehrsmittel I die meisten Techniken: unklar, wie nützlich sie für weitere Graphtypen sind 394

24 Approach: Transit-Node Routing [Bast, Funke, Matijevic, Sanders, Schultes] s t 395

25 Beispiel Karlsruhe! Copenhagen 396

26 Beispiel Karlsruhe! Berlin 397

27 Beispiel Karlsruhe! Vienna 398

28 Beispiel Karlsruhe! Munich 399

29 Beispiel Karlsruhe! Rome 400

30 Beispiel Karlsruhe! Paris 401

31 Beispiel Karlsruhe! London 402

32 Beispiel Karlsruhe! Brussels 403

33 Beispiel Karlsruhe! Copenhagen 404

34 Beispiel Karlsruhe! Berlin 405

35 Beispiel Karlsruhe! Vienna 406

36 Beispiel Karlsruhe! Munich 407

37 Beispiel Karlsruhe! Rome 408

38 Beispiel Karlsruhe! Paris 409

39 Beispiel Karlsruhe! London 410

40 Beispiel Karlsruhe! Brussels 411

41 Erste Beobachtung Lange Strecken benutzen nur wenige wichtige Zugänge zum Fernverkehrsnetzwerk, sog. access points ( wir können alle Zugangspunkte vorberechnen) [in Europa: etwa 10 Zugangspunkte pro Knoten im Mittel] 412

42 Beispiel Karlsruhe! Berlin 413

43 Beispiel Karlsruhe! Berlin 414

44 Beispiel Karlsruhe! Berlin 415

45 Zweite Beobachtung Jeder Zugangspunkt ist für mehrere Knoten relevant. Gesamtmenge aller Zugangspunkte ist klein, Transitknotenmenge ( wir können alle Abstände zwischen allen Transitknoten speichern) [in Europa: Transitknoten] 416

46 Transit-Node Routing Preprocessing: I Identifiziere Transitknoten T V I Berechne T T Abstandstabelle I Für jeden Knoten: identifiziere Zugangsknoten (Abbildung A : V! 2 T ), speichere Abstände Query (geg. Start s und Ziel t): berechne d top (s,t):=min{d(s,u)+d(u,v)+d(v,t) : u 2 A(s),v 2 A(t)} 417

47 Transit-Node Routing Lokalitätsfilter: lokale Fälle ausfiltern ( L : V V! {true,false} Spezialbehandlung) L(s,t) impliziert d(s,t)=d top (s,t) 418

48 Beispiel: Transitknoten 419

49 Experimente I sehr schnelle Anfragen (queries) (4 µs, > mal schneller als Dijkstra) I Gewinner der 9. DIMACS Implementation Challenge I erträglich: Vorberechnungszeiten (1:15 h) und Speicherbedarf (247 bytes/knoten) s t 420

50 Experimente I sehr schnelle Anfragen (queries) (4 µs, > mal schneller als Dijkstra) I Gewinner der 9. DIMACS Implementation Challenge I erträglich: Vorberechnungszeiten (1:15 h) und Speicherbedarf (247 bytes/knoten) I Neuere Werte: < 2µs, 5 Minuten PP, 150 Bytes/Knoten s t 420

51 Offene Fragen I Wie bestimmt man die Transitknoten? I Wie bestimmt man die Zugangsknoten effizient? I Wie bestimmt man die Lokalitätsfilter? I Wie handhabt man lokale Anfragen? Antwort: I Andere Routenplanungstechniken benutzen! 421

52 Kap. 11: Minimale Spannbäume a 7 9 b c 4 d 422

53 Minimale Spannbäume (MST) Eingabe: I ungerichteter (zusammenhängender) Graph G =(V, E). I Knoten V, n = V, z.b.v = {1,...,n} I Kanten e 2 E V V, m = E I Kantengewichte c(e) 2 R

54 Minimale Spannbäume (MST) Eingabe: I ungerichteter (zusammenhängender) Graph G =(V, E). I Knoten V, n = V, z.b.v = {1,...,n} I Kanten e 2 E V V, m = E I Kantengewichte c(e) 2 R Aufgabe: Finde Baum (V,T ) mit minimalem Gewicht  e2t c(e), der alle Knoten verbindet. 423

55 Minimale spannende Wälder (MSF) Falls G nicht zusammenhängend ist, finde minimalen spannenden Wald T,der alle Zusammenhangskomponenten von G aufspannt. MST-Algorithmen lassen sich leicht zu MSF-Algorithmen verallgemeinern. 424

56 Anwendungen I Netzwerk-Entwurf I Bottleneck-Shortest-Paths: Suche s t-pfad, dessen max. Kantengewicht minimal ist. Dies ist der Pfad im MST!

57 Anwendungen I Netzwerk-Entwurf I Bottleneck-Shortest-Paths: Suche s t-pfad, dessen max. Kantengewicht minimal ist. Dies ist der Pfad im MST! I Clustering: Lass schwere MST-Kanten weg. Teilbäume definieren Cluster. Konkret z. B. Bildsegmentierung I Näherungslösungen für schwere Probleme, z. B. Handlungsreisenden-, Steinerbaumproblem. Siehe Buch, VL G. theoretischer Informatik, Algorithmen II

58 Anwendungen I Netzwerk-Entwurf I Bottleneck-Shortest-Paths: Suche s t-pfad, dessen max. Kantengewicht minimal ist. Dies ist der Pfad im MST! I Clustering: Lass schwere MST-Kanten weg. Teilbäume definieren Cluster. Konkret z. B. Bildsegmentierung I Näherungslösungen für schwere Probleme, z. B. Handlungsreisenden-, Steinerbaumproblem. Siehe Buch, VL G. theoretischer Informatik, Algorithmen II I Irrgärten (Beispiel von Wikipedia) 425

59 MST-Kanten auswählen und verwerfen Die Schnitteigenschaft (Cut Property) Für beliebige Teilmenge S V betrachte die Schnittkanten C = {{u,v} 2 E : u 2 S,v 2 V \ S} Die leichteste Kante in C kann in einem MST verwendet werden

60 MST-Kanten auswählen und verwerfen Die Schnitteigenschaft (Cut Property) Für beliebige Teilmenge S V betrachte die Schnittkanten C = {{u,v} 2 E : u 2 S,v 2 V \ S} e Die leichteste Kante in C kann in einem MST verwendet werden. S (u,v) V\S Beweis: Betrachte MST T 0. Fall e 2 T 0 : Beweis fertig. Sonst: T 0 [ {e} enthält Kreis K. Betrachte eine Kante {u,v} 2 C \ K 6= e. Dann ist T = T 0 \ {{u,v}} [ {e} ein Spannbaum, der nicht schwerer ist. Denn: c(e) apple c({u,v}) S e (u,v) V\S 426

61 MST-Kanten auswählen und verwerfen Die Kreiseigenschaft (Cycle Property) Die schwerste Kante auf einem Kreis wird nicht für einen MST benötigt

62 MST-Kanten auswählen und verwerfen Die Kreiseigenschaft (Cycle Property) Die schwerste Kante auf einem Kreis wird nicht für einen MST benötigt. Beweis. Angenommen, MST T 0 benutzt die schwerste Kante e 0 auf Kreis C. Wähle e 2 C mit e 62 T 0. Es gilt c(e) apple c(e 0 ). Dann ist T = T 0 \ {e 0 } [ {e} auch ein MST