Algorithmen für Routenplanung 13. Sitzung, Sommersemester 2011 Reinhard Bauer, Thomas Pajor 9. Juni 2011

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1 Algorithmen für Routenplanung 13. Sitzung, Sommersemester 2011 Reinhard Bauer, Thomas Paor 9. Juni 2011 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK I PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Zeitabhängige Routenplanung Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

3 Zeitabhängiges Szenario Szenario: Historische Daten für Verkehrssituation verfügbar Verkehrssituation vorhersagbar Berechne schnellsten Weg bezüglich der erwarteten Verkehrssituation (zu einem gegebenen Startzeitpunkt) Beobachtung: Kein konzeptioneller Unterschied zu Public Transport Somit (eventuell) Techniken übertragbar Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

4 Herausforderung Hauptproblem: Kürzester Weg hängt von Abfahrtszeitpunkt ab Eingabegröße steigt massiv an Vorgehen: Modellierung Anpassung Dikstra Anpassung der Basismodule für Beschleunigungstechniken Heute: Modellierung und Dikstra Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

7 Zeitabhängige Straßennetzwerke Eingabe: Durchschnittliche Reisezeit zu bestimmten Zeitpunkten Jeden Wochentag verschieden Sonderfälle: Urlaubszeit Somit an eder Kante: Periodische stückweise lineare Funktion Definiert durch Stützpunkte Interpoliere linear zwischen Stützpunkten travel time departure Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

8 Eisenbahn-Netzwerke Z 1, Z 2 Z 1, Z 2, Z 3 Z 1, Z 2 S 1 S 2 Z 3 Z 3 Teile Züge Z i in Routen ein Für alle Routen, die eine Station bedienen: Ein extra Knoten Modelliert Umstiege zwischen Zügen Mindesttransferzeit für ede Station: an Stations-Kanten Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

9 Eisenbahn-Netzwerke Z 1, Z 2 Z 1, Z 2, Z 3 Z 1, Z 2 S 1 S 2 Z 1, Z 2 S 1 S 2 Z 3 Z 3 Z 3 Teile Züge Z i in Routen ein Für alle Routen, die eine Station bedienen: Ein extra Knoten Modelliert Umstiege zwischen Zügen Mindesttransferzeit für ede Station: an Stations-Kanten Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

10 Flugnetzwerke Nutzung des Eisenbahnansatzes nicht sinnvoll Graphen werden zu groß. Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

11 Flugnetzwerke Modellierung: Check-in, Check-out, Transfer, zwischen Allianzen. s s o o s s o o s s o o Zwei Knoten pro Allianz (Abflug und Ankunftsknoten) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

12 Flugnetzwerke Modellierung: Check-in, Check-out, Transfer, zwischen Allianzen. s s o o s s o o s s o o Zwei Knoten pro Allianz (Abflug und Ankunftsknoten) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

13 Public Transport Funktionen Eingabe: Reisezeit zu bestimmten Zeitpunkten (Fahrzeiten der Züge) Jeden Tag verschieden Somit: Periodische stückweise lineare Funktionen Definiert durch Stützpunkte Wartezeit zur nächsten Verbindung + Reisezeit travel time departure Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

14 FIFO-Eigenschaft Definition Sei f : R + 0 R+ 0 eine Funktion. f erfüllt die FIFO-Eigenschaft, wenn für edes ε > 0 und alle τ R + 0 gilt, dass f (τ) ε + f (τ + ε). Diskussion Interpretation: Warten lohnt sich nie Kürzeste Wege auf Graphen mit non-fifo Funktionen zu finden ist NP-schwer. (wenn warten an Knoten nicht erlaubt ist) Sicherstellen, dass Funktionen FIFO-Eigenschaft erfüllen. Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

15 Diskussion Eigenschaften: Topologie ändert sich nicht Kanten gemischt zeitabhängig und konstant variable (!) Anzahl Interpolationspunkte pro Kante Beobachtungen: FIFO gilt auf allen Kanten später wichtig Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

16 Diskussion Eigenschaften: Topologie ändert sich nicht Kanten gemischt zeitabhängig und konstant variable (!) Anzahl Interpolationspunkte pro Kante Beobachtungen: FIFO gilt auf allen Kanten später wichtig Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

17 Datenstruktur 8:00-2 9: : :00-3 8: : : : : : :00-1 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

18 Datenstruktur 8:00-2 9: : firstedge targetnode firstpoint :00-3 8: : : : : : :00-1 time weight Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

19 Datenstruktur sourcenode lowerbound :00-2 9: : firstinedge firstoutedge targetnode firstpoint :00-3 8: : : : : : :00-1 time weight Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

20 Anfrageszenarien Zeit-Anfrage: finde kürzesten Weg für Abfahrtszeit τ analog zu Dikstra? Profil-Anfrage: finde kürzesten Weg für alle Abfahrtszeitpunkte analog zu Dikstra? Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

21 Anfrageszenarien Zeit-Anfrage: finde kürzesten Weg für Abfahrtszeit τ analog zu Dikstra? Profil-Anfrage: finde kürzesten Weg für alle Abfahrtszeitpunkte analog zu Dikstra? Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

22 Zeit-Anfragen Time-Dikstra(G = (V, E),s,τ) d τ [s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() for all edges e = (u, v) E do if d τ [u] + len(e, τ + d τ [u]) < d τ [v] then d τ [v] d τ [u] + len(e, τ + d τ [u]) p τ [v] u if v Q then Q.decreaseKey(v, d τ [v]) else Q.insert(v, d τ [v]) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

23 Diskussion Zeit-Anfragen Beobachtung: Nur ein Unterschied zu Dikstra Auswertung der Kanten non-fifo Netzwerke: Im Kreis fahren kann sich lohnen NP-schwer (wenn warten an Knoten nicht erlaubt ist) Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

24 Diskussion Zeit-Anfragen Beobachtung: Nur ein Unterschied zu Dikstra Auswertung der Kanten non-fifo Netzwerke: Im Kreis fahren kann sich lohnen NP-schwer (wenn warten an Knoten nicht erlaubt ist) Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

25 Profil-Anfragen Profile-Search(G = (V, E),s) d [s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() for all edges e = (u, v) E do if d [u] len(e) d [v] then d [v] min(d [u] len(e), d [v]) if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]) else Q.insert(v, d[v]) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

26 Diskussion Profile-Anfragen Beobachtungen: Operationen auf Funktionen Priorität im Prinzip frei wählbar (d[u] ist das Minimum der Funktion d [u]) Knoten können mehrfach besucht werden label-correcting Herausforderungen: Wie effizient berechnen (Linken)? Wie effizient Minimum bilden? Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

27 Operationen Funktion gegeben durch: Menge von Interpolationspunkten I f := {(t1 f, w 1 f ),..., (t k f, w k f )} 3 Operationen notwendig: Auswertung Linken Minimumsbildung Beobachtung: Unterschiedlich für Straße und Schiene Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

28 Straße: Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i+1 τ dann Evaluation durch travel time f (τ) = w i + (τ t i ) wi+1 w i t i+1 t i departure Problem: Finden von t i und t i+1 Theoretisch: Lineare Suche: O( I ) Binäre Suche: O(log 2 I ) Praktisch: I < 30 lineare Suche Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt τ Π I wobei Π die Periodendauer ist Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

29 Straße: Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i+1 τ dann Evaluation durch travel time f (τ) = w i + (τ t i ) wi+1 w i t i+1 t i departure Problem: Finden von t i und t i+1 Theoretisch: Lineare Suche: O( I ) Binäre Suche: O(log 2 I ) Praktisch: I < 30 lineare Suche Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt τ Π I wobei Π die Periodendauer ist Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

30 Linken Definition Seien f : R + 0 R+ 0 und g : R+ 0 zwei Funktionen die die FIFO-Eigenschaft erfüllen. Die Linkoperation f g ist dann definiert durch f g := f + g (id +f ) Oder (f g)(τ) := f (τ) + g(τ + f (τ)) Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

31 Straße: Link Linken zweier Funktionen f und g f g enthält auf eden Fall { ( t1 f, w 1 f + g(t 1 f + w 1 f )),..., ( tl f, w l f + g(tl f + wl f )) } Zusätzliche Interpolationspunkte an t 1 mit f (t 1 ) + t 1 = t g Füge (t 1, f (t 1 ) + w g ) für alle Punkte von g zu f g Durch linearen Sweeping- Algorithmus implementierbar u 32 7:00 8:00 v w :00 8: :00 8:00 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

32 Straße: Link Linken zweier Funktionen f und g f g enthält auf eden Fall { ( t1 f, w 1 f + g(t 1 f + w 1 f )),..., ( tl f, w l f + g(tl f + wl f )) } Zusätzliche Interpolationspunkte an t 1 mit f (t 1 ) + t 1 = t g Füge (t 1, f (t 1 ) + w g ) für alle Punkte von g zu f g Durch linearen Sweeping- Algorithmus implementierbar u 32 7:00 8:00 v w :00 8: :00 8:00 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

33 Straße: Link Linken zweier Funktionen f und g f g enthält auf eden Fall { ( t1 f, w 1 f + g(t 1 f + w 1 f )),..., ( tl f, w l f + g(tl f + wl f )) } Zusätzliche Interpolationspunkte an t 1 mit f (t 1 ) + t 1 = t g Füge (t 1, f (t 1 ) + w g ) für alle Punkte von g zu f g Durch linearen Sweeping- Algorithmus implementierbar u :00 8:00 v w :00 8: :00 7:12 8:00 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

36 Straße: Link Linken zweier Funktionen f und g f g enthält auf eden Fall { ( t1 f, w 1 f + g(t 1 f + w 1 f )),..., ( tl f, w l f + g(tl f + wl f )) } Zusätzliche Interpolationspunkte an t 1 mit f (t 1 ) + t 1 = t g Füge (t 1, f (t 1 ) + w g ) für alle Punkte von g zu f g Durch linearen Sweeping- Algorithmus implementierbar u :00 7:45 8:00 v w :00 7:45 8: :00 8:00 8:16 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

37 Straße: Link Linken zweier Funktionen f und g f g enthält auf eden Fall { ( t1 f, w 1 f + g(t 1 f + w 1 f )),..., ( tl f, w l f + g(tl f + wl f )) } Zusätzliche Interpolationspunkte an t 1 mit f (t 1 ) + t 1 = t g Füge (t 1, f (t 1 ) + w g ) für alle Punkte von g zu f g Durch linearen Sweeping- Algorithmus implementierbar u :00 7:45 8:00 v w :00 8: :00 8:00 8:16 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

40 Straße: Diskussion Link Laufzeit Sweep Algorithmus O( I f + I g ) Zum vergleich: Zeitunabhängig O(1) Speicherverbrauch Gelinkte Funktion hat I f + I g Interpolationspunkte Problem: Während Profilsuche kann ein Pfad mehreren Tausend Kanten entsprechen... Shortcuts... es kommt noch schlimmer... Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

43 Straße: Merge Minimum zweier Funktionen f und g Für alle (ti f, w i f f ): behalte Punkt, wenn wi < g(ti f ) Für alle (t g, w g ): behalte Punkt, wenn w g < f (t g ) Schnittpunkte müssen ebenfalls eingefügt werden Vorgehen: Linearer sweep Evaluiere, welcher Abschnitt obentravel time Checke ob Schnittpunkt existiert departure time Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

44 Straße: Merge Minimum zweier Funktionen f und g Für alle (ti f, w i f f ): behalte Punkt, wenn wi < g(ti f ) Für alle (t g, w g ): behalte Punkt, wenn w g < f (t g ) Schnittpunkte müssen ebenfalls eingefügt werden Vorgehen: Linearer sweep Evaluiere, welcher Abschnitt obentravel time Checke ob Schnittpunkt existiert departure time Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

45 Straße: Diskussion Merge Laufzeit Sweep Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Minimum-Funktion kann mehr als I f + I g Interpolationspunkte enthalten Problem: Während Profilsuche werden Funktionen gemergt Laufzeit der Profilsuchen wird durch diese Operationen dominiert Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

48 Public Transport: Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i τ minimal dann Evaluation durch f (τ) = w i + (t i τ) Problem: travel time Finden von t i und t i+1 Theoretisch: Lineare Suche: O( I ) Binäre Suche: O(log 2 I ) praktisch: I < 30: Lineare Suche Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt τ Π I departure Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

49 Public Transport: Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i τ minimal dann Evaluation durch f (τ) = w i + (t i τ) Problem: travel time Finden von t i und t i+1 Theoretisch: Lineare Suche: O( I ) Binäre Suche: O(log 2 I ) praktisch: I < 30: Lineare Suche Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt τ Π I departure Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

50 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g ) bestimme den Verbindungspunkt (t g, w g Für eden Punkt (ti f, w i f t g ti f wi f 0 minimal Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann Füge (ti f, t g + w g ti f ) hinzu Wenn zwei Punkte den gleichen Verbindungspunkt haben, behalte nur den mit größerem ti f u Wieder Sweep-Algorithmus 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min v ) mit w 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

51 Public Transport: Link Linken zweier Funktionen f und g ) bestimme den Verbindungspunkt (t g, w g Für eden Punkt (ti f, w i f t g ti f wi f 0 minimal Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann Füge (ti f, t g + w g ti f ) hinzu Wenn zwei Punkte den gleichen Verbindungspunkt haben, behalte nur den mit größerem ti f u Wieder Sweep-Algorithmus 7:00-55 min 8:00-55 min 9:00-55 min 8: min 9: min v ) mit w 09:00-60 min 12:00-60 min 16:00-60 min Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

56 Public Transport: Diskussion Link Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Gelinkte Funktion hat min{ I f, I g } Interpolationspunkte Somit: Deutlich gutmütiger als Straßengraph-Funktionen Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

59 Public Transport: Merge Minimum zweier Funktionen f und g Für alle (ti f, w i f f ): behalte Punkt, wenn wi < g(ti f ) Für alle (t g, w g ): behalte Punkt, wenn w g < f (t g ) Keine Schnittepunkte möglich(!) Vorgehen: Linearer Sweep travel time departure time Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

62 Public Transport: Diskussion Merge Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Keine Schnittpunkte Minimum-Funktion kann maximal I f + I g Interpolationspunkte enthalten Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

63 Public Transport: Diskussion Merge Laufzeit Sweep-Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Keine Schnittpunkte Minimum-Funktion kann maximal I f + I g Interpolationspunkte enthalten Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

64 Schiene vs. Straße Laufzeit Operationen gleich für beide O(log I ) für Auswertung O( I f + I g ) für Linken und Minimum Speicherverbrauch Public Transport deutlich geringer Link: Merge: I f g min{ I f, I g } vs. I f g I f + I g I min{f,g} I f + I g vs. eventuell I min{f,g} > ( I f + I g ) Profilsuchen Somit in Public Transport Netzen wahrscheinlich schneller Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

67 Eingabe Straße: Netzwerk Deutschland V 4.7 Mio., E 10.8 Mio. 5 Verkehrszenarien: Montag: 8% Kanten zeitabhängig Dienstag - Donnerstag: 8% Freitag: 7% Samstag: 5% Sonntag: 3% Schiene: Europa Fernverbindungen Stationen, 1.8 Millionen Verbindungen V = 0.4 Mio., E = 1.4 Mio. Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

68 Grad der Zeitabhängigkeit #delete mins slow-down time [ms] slow-down kein 2,239, % % Montag 2,377, % % DiDo 2,305, % % Freitag 2,340, % % Samstag 2,329, % % Sonntag 2,348, % % Beobachtung: kaum Veränderung in Suchraum Anfragen etwas langsamer durch Auswertung Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

69 Profilsuchen Straße Beobachtung: Nicht durchführbar durch zu großen Speicherbedarf (> 32 GiB RAM) Interpoliert: Suchraum steigt um ca. 10% Suchzeiten um einen Faktor von bis zu inpraktikabel Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

70 Profilsuchen Schiene #delete mins time [ms] Zeit-Anfragen Profil-Anfragen Beobachtung: Deletemins steigen an (ungefähr Faktor 8) Queryzeit steigt an um Faktor 42 Verlust für Operationen ist ca. 5 Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

71 Zusammenfassung Zeitabhängige Netzwerke (Basics) Funktionen statt Konstanten an Kanten Operationen werden teurer O(log I ) für Auswertung O( I f + I g ) für Linken und Minimum Straßennetzwerke: Speicherverbrauch explodiert Eisenbahn: gutartiger Zeitanfragen: Normaler Dikstra Kaum langsamer (lediglich Auswertung) Profilanfragen In Public Transportation gut nutzbar Straßennetzwerke nicht zu handhaben Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011

72 Ende Literatur (Zeitabhängige Routenplanung): Daniel Delling: Enginering and Augmenting Route Planning Algorithms Ph.D. Thesis, Universität Karlsruhe (TH), Reinhard Bauer, Thomas Paor Algorithmen für Routenplanung 9. Juni 2011