Thema: Optimierungsprobleme (Q1-GK-A1)

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1 Thema: Optimierungsprbleme (Q1-GK-A1) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: führen Extremalprbleme durch Kmbinatin mit Nebenbedingungen auf Funktinen einer Variablen zurück und lösen diese verwenden ntwendige Kriterien und Vrzeichenwechselkriterien [ ] zur Bestimmung vn Extremund Wendepunkten Przessbezgene Kmpetenzen (Schwerpunkte): Mdellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr.(strukturieren) übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) Prblemlösen Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Leitfrage: Wher kmmen die Funktinsgleichungen? Das Aufstellen der Funktinsgleichungen fördert Prblemlösestrategien. An Prblemen, die auf quadratische Zielfunktinen führen, sllten auch unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen werden. Hier bietet es sich außerdem an, Lösungsverfahren auch hne digitale Hilfsmittel einzuüben. An mindestens einem Prblem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Ntwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. verschiedene Varianten des Hühnerhfs ). Ein Verpackungsprblem (Dse der Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Mdellvalidierung/Mdellkritik untersucht. Abschließend empfiehlt es sich, ein Prblem zu behandeln, das die Schülerinnen und Schüler nur durch systematisches Prbieren der anhand des Funktinsgraphen lösen können: Aufgabe zum schnellsten Weg. Stellen extremaler Steigung eines Funktinsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kntexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden der Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erfrderlicher Persnaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktin verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erflgt zunächst über das Vrzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ableitung).

2 finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Prblemsituatin (Erkunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, infrmative Figur, Tabelle ) aus, um die Situatin zu erfassen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Prbieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprbleme, Verallgemeinern ) (Lösen) setzen ausgewählte Rutineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren)

3 Thema: Funktinen beschreiben Frmen - Mdellieren vn Sachsituatinen mit ganzratinalen Funktinen (Q1-GK-A2) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: bestimmen Parameter einer Funktin mithilfe vn Bedingungen, die sich aus dem Kntext ergeben ( Steckbriefaufgaben ) beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktin mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden ntwendige Kriterien und Vrzeichenwechselkriterien swie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung vn Extrem- und Wendepunkten beschreiben den Gauß-Algrithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algrithmus hne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Leitfrage: Wher kmmen die Funktinsgleichungen? Anknüpfend an die Einführungsphase werden an einem Beispiel in einem geeigneten Kntext (z. B. Fts vn Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter der Scheitelpunktfrm einer quadratischen Funktin angepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Nrmalfrm aufgestellt. Die Beschreibung vn Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer gemetrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktin als Krümmung des Graphen und zur Betrachtung vn Wendepunkten. Als Kntext hierzu können z. B. Trassierungsprbleme gewählt werden. Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktin mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vr- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend vn den Lernenden kritisch bewertet. Designbjekte der architektnische Frmen können zum Anlass genmmen werden, die Funktinsklassen zur Mdellierung auf ganzratinale Funktinen 3. der 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte, Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen zur Bestimmung der Parameter aufzustellen. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen der Mdellierung (Grad der Funktin, Symmetrie, Lage im

4 übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Mdelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung vn den getrffenen Annahmen (Validieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen vn Gleichungen und Gleichungssystemen zielgerichteten Variieren der Parameter vn Funktinen nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden, Berechnen und Darstellen Krdinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Veränderungen vrzunehmen.

5 Thema: Beschreibung vn Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q1-GK-G1) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: stellen Geraden und Strecken in Parameterfrm dar interpretieren den Parameter vn Geradengleichungen im Sachkntext Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Mdelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) Werkzeuge nutzen Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Lineare Bewegungen werden z. B. im Kntext vn Flugbahnen (Kndensstreifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektr beschrieben und dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sllten Mdellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugbjekte, Flugebenen) einbezgen werden. Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit zu variieren. In jedem Fall sll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmenge (z. B. die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als Funktin (vn der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet werden. Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein gemetrische Frage aufgewrfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Punktprben swie die Berechnung vn Schnittpunkten mit den Grundebenen sllen auch hilfsmittelfrei durchgeführt werden. Die Darstellung in räumlichen Krdinatensystemen sllte hinreichend geübt werden. Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe vn Gebäuden in Parallel- und Zentralprjektin auf eine der Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet hier die zusätzliche Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann. Inhaltlich schließt die Behandlung vn Schrägbildern an das Thema E-G1 an.

6 nutzen Gedreiecke [ ] gemetrische Mdelle und Dynamische-Gemetrie-Sftware verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum grafischen Darstellen vn Ortsvektren, Vektrsummen und Geraden Darstellen vn Objekten im Raum

7 Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung vn gemetrischen Prblemen (Q1-GK-G2) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: stellen Ebenen in Parameterfrm dar untersuchen Lagebeziehungen [ ] zwischen Geraden und Ebenen berechnen Schnittpunkte vn Geraden swie Durchstßpunkte vn Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkntext stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektr- Schreibweise dar beschreiben den Gauß-Algrithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme interpretieren die Lösungsmenge vn linearen Gleichungssystemen Przessbezgene Kmpetenzen: Prblemlösen wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, infrmative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situatin zu erfassen (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Als Einstiegskntext für die Parametrisierung einer Ebene kann eine Dachknstruktin mit Sparren und Querlatten dienen. Diese bildet ein schiefwinkliges Krdinatensystem in der Ebene. In diesem Unterrichtsvrhaben werden Prblemlösekmpetenzen erwrben, indem sich heuristische Strategien bewusst gemacht werden (eine planerische Skizze anfertigen, die gegebenen gemetrischen Objekte abstrakt beschreiben, gemetrische Hilfsbjekte einführen, bekannte Verfahren zielgerichtet einsetzen und in kmplexeren Abläufen kmbinieren und unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt vergleichen). Punktprben swie die Berechnung vn Spurgeraden in den Grundebenen und vn Schnittpunkten mit den Krdinatenachsen führen zunächst nch zu einfachen Gleichungssystemen. Die Achsenabschnitte erlauben eine Darstellung in einem räumlichen Krdinatensystem. Die Untersuchung vn Schattenwürfen eines Mastes auf eine Dachfläche z. B. mtiviert eine Frtführung der systematischen Auseinandersetzung (Q-GK-A2) mit linearen Gleichungssystemen, mit der Matrix-Vektr-Schreibweise und mit dem Gauß-Verfahren. Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt, zentrale Werkzeugkmpetenz in diesem Unterrichtsvrhaben ist die Interpretatin des angezeigten Lösungsvektrs bzw. der reduzierten Matrix. Die Vernetzung der gemetrischen Vrstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen Frmalisierung sllte stets deutlich werden.

8 nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprbleme, Fallunterscheidungen, Vrwärts- und Rückwärtsarbeiten, [ ]) (Lösen) führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren) beurteilen und ptimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren) analysieren und reflektieren Ursachen vn Fehlern (Reflektieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen vn Gleichungen und Gleichungssystemen

9 Thema: Eine Sache der Lgik und der Begriffe: Untersuchung vn Lagebeziehungen (Q1-GK-G3) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden [ ] Przessbezgene Kmpetenzen: Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe vn Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der lgischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober- / Unterbegriff) (Begründen) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlgische Argumente für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt lgische Strukturen (ntwendige / hinreichende Bedingung, Flgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder-Verknüpfungen, Negatin, All- und Existenzaussagen) (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen) Kmmunizieren erläutern mathematische Begriffe in theretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Hinweis: Bei zweidimensinalen Abbildungen (z. B. Ftgrafien) räumlicher Situatinen geht in der Regel die Infrmatin über die Lagebeziehung vn Objekten verlren. Verfeinerte Darstellungsweisen (z. B. unterbrchene Linien, schraffierte Flächen, gedrehtes Krdinatensystem) helfen, dies zu vermeiden und Lagebeziehungen systematisch zu untersuchen. Der Fkus der Untersuchung vn Lagebeziehungen liegt auf dem lgischen Aspekt einer vllständigen Klassifizierung swie einer präzisen Begriffsbildung (z. B. Trennung der Begriffe parallel, echt parallel, identisch ). Als Kntext kann dazu die Mdellierung vn Flugbahnen (Kndensstreifen) aus Q-GK-G1 wieder aufgegriffen werden. Dabei wird evtl. die Frage des Abstandes zwischen Flugbjekten relevant. Begrifflich davn abgegrenzt wird der Abstand zwischen den Flugbahnen. Dies mtiviert die Beschäftigung mit rthgnalen Hilfsgeraden (Q-GK-G4).

10 verwenden die Fachsprache und fachspezifische Ntatin in angemessenem Umfang (Prduzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsfrmen (Prduzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Prduzieren) vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)

11 Thema: Räume vermessen mit dem Skalarprdukt Plygne und Plyeder untersuchen (Q1-GK-G4) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: deuten das Skalarprdukt gemetrisch und berechnen es untersuchen mit Hilfe des Skalarprdukts gemetrische Objekte und Situatinen im Raum (Orthgnalität, Winkel- und Längenberechnung) Przessbezgene Kmpetenzen: Prblemlösen erkennen und frmulieren einfache und kmplexe mathematische Prbleme (Erkunden) analysieren und strukturieren die Prblemsituatin (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [ ] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprbleme, Fallunterscheidungen, Vrwärts- und Rückwärtsarbeiten, [ ]) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prblemlösung aus (Lösen) beurteilen und ptimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Das Skalarprdukt wird zunächst als Indikatr für Orthgnalität aus einer Anwendung des Satzes vn Pythagras entwickelt. Durch eine Zerlegung in parallele und rthgnale Kmpnenten wird der gemetrische Aspekt der Prjektin betnt. Dies wird zur Einführung des Winkels über den Ksinus genutzt (alternativ zu einer Herleitung aus dem Ksinussatz). Eine weitere Bedeutung des Skalarprduktes kann mit den gleichen Überlegungen am Beispiel der physikalischen Arbeit erschlssen werden. Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfältige Anlässe für (im Sinne des Prblemlösens ffen angelegte) exemplarische gemetrische Untersuchungen und können auf reale Objekte (z. B. Gebäude) bezgen werden. Dabei kann z. B. der Nachweis vn Dreiecks- bzw. Viereckstypen (anknüpfend an das Thema E-G2) wieder aufgenmmen werden. W möglich, werden auch elementargemetrische Lösungswege als Alternative aufgezeigt.

12 Thema: Vn der Änderungsrate zum Bestand (Q1-GK-A3) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: interpretieren Prduktsummen im Kntext als Reknstruktin des Gesamtbestandes der Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte vn rientierten Flächen im Kntext skizzieren zu einer gegebenen Randfunktin die zugehörige Flächeninhaltsfunktin Przessbezgene Kmpetenzen: Kmmunizieren erfassen, strukturieren und frmalisieren Infrmatinen aus [ ] mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten swie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren) frmulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Prduzieren) wählen begründet eine geeignete Darstellungsfrm aus (Prduzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsfrmen (Prduzieren) dkumentieren Arbeitsschritte nachvllziehbar (Prduzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Prduzieren) Thema: Vn der Randfunktin zur Integralfunktin (Q1-GK-A4) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Das Thema ist kmplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sllten hier Kntexte, die schn drt genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Geschwindigkeit Weg, Zuflussrate vn Wasser Wassermenge). Außer der Schachtelung durch Ober- und Untersummen sllen mit den Schülerinnen und Schüler weitere unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickelt und verglichen werden. Die entstehenden Prduktsummen werden als Bilanz über rientierte Flächeninhalte interpretiert. Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler s den Graphen einer Flächeninhaltsfunktin als Bilanzgraphen zu einem vrgegebenen Randfunktinsgraphen skizzieren. Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrprzess auf die Funktinsgleichung der Bilanzfunktin hat, kann dies zur Überleitung in das flgende Unterrichtsvrhaben genutzt werden.

13 Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: erläutern und vllziehen an geeigneten Beispielen den Übergang vn der Prduktsumme zum Integral auf der Grundlage eines prpädeutischen Grenzwertbegriffs erläutern gemetrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktin (Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung) nutzen die Intervalladditivität und Linearität vn Integralen bestimmen Stammfunktinen ganzratinaler Funktinen bestimmen Integrale mithilfe vn gegebenen Stammfunktinen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge ermitteln den Gesamtbestand der Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrat bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe vn bestimmten Integralen Przessbezgene Kmpetenzen: Argumentieren stellen Vermutungen auf (Vermuten) unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten) präzisieren Vermutungen mithilfe vn Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der lgischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) Werkzeuge nutzen Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Schülerinnen und Schüler sllen hier (wieder-)entdecken, dass die Bestandsfunktin eine Stammfunktin der Änderungsrate ist. Dazu kann das im vrhergehenden Unterrichtsvrhaben (vgl. Thema Q-GK-A3) entwickelte numerische Näherungsverfahren auf den Fall angewendet werden, dass für die Änderungsrate ein Funktinsterm gegeben ist. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen. Da der Reknstruktinsprzess auch bei einer abstrakt gegebenen Randfunktin möglich ist, wird für Bestandsfunktinen der Fachbegriff Integralfunktin eingeführt und der Zusammenhang zwischen Randund Integralfunktin im Hauptsatz frmuliert (ggf. auch im Lehrervrtrag). Die Regeln zur Bildung vn Stammfunktinen können durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsregeln erarbeitet werden. In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung vn Gesamtbeständen zur Verfügung. Davn abgegrenzt wird die Berechnung vn Flächeninhalten, bei der auch Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung vn Flächen zwischen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt. Kmplexere Übungsaufgaben sllten am Ende des Unterrichtsvrhabens bearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kmpetenzen der bisherigen Unterrichtsvrhaben (Funktinsuntersuchungen, Aufstellen vn Funktinen aus Bedingungen) herzustellen.

14 nutzen [ ] digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Messen vn Flächeninhalten zwischen Funktinsgraph und Abszisse Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals

15 Thema: Vn stchastischen Mdellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q2-GK-S1) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: untersuchen Lage- und Streumaße vn Stichprben erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ vn Zufallsgrößen und treffen damit prgnstische Aussagen Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Anhand verschiedener Glücksspiele wird zunächst der Begriff der Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung (als Zurdnung vn Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten, die die Zufallsgröße annimmt) zur Beschreibung vn Zufallsexperimenten eingeführt. Analg zur Betrachtung des Mittelwertes bei empirischen Häufigkeitsverteilungen wird der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert. Das Grundverständnis vn Streumaßen sllte erzielt werden. Über eingängige Beispiele vn Verteilungen mit gleichem Mittelwert aber unterschiedlicher Streuung wird die Definitin der Standardabweichung als mittlere quadratische Abweichung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen mtiviert; anhand gezielter Veränderungen der Verteilung werden die Auswirkungen auf deren Kenngrößen untersucht und interpretiert. Anschließend werden diese Größen zum Vergleich vn Wahrscheinlichkeitsverteilungen und zu einfachen Risikabschätzungen genutzt.

16 Thema: Treffer der nicht? Bernulli-Experimente und Binmialverteilungen (Q2-GK-S2) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: verwenden Bernulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente erklären die Binmialverteilung im Kntext und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binmialverteilungen und ihre graphische Darstellung bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ vn Zufallsgrößen [ ] Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) Werkzeuge nutzen Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Der Schwerpunkt bei der Betrachtung vn Binmialverteilungen sll auf der Mdellierung stchastischer Situatinen liegen. Dabei werden zunächst Bernulliketten in realen Kntexten der in Spielsituatinen betrachtet. Durch Vergleich mit dem Ziehen hne Zurücklegen wird geklärt, dass die Anwendung des Mdells Bernullikette eine bestimmte Realsituatin vraussetzt, d. h. dass die Treffer vn Stufe zu Stufe unabhängig vneinander mit knstanter Wahrscheinlichkeit erflgen. Zur frmalen Herleitung der Binmialverteilung bieten sich das Galtnbrett bzw. seine Simulatin und die Betrachtung vn Multiple- Chice-Tests an. Eine Visualisierung der Verteilung swie des Einflusses vn Stichprbenumfang n und Trefferwahrscheinlichkeit p erflgt dabei durch die graphische Darstellung der Verteilung als Histgramm unter Nutzung des GTR. Während sich die Berechnung des Erwartungswertes erschließt, kann die Frmel für die Standardabweichung für ein zweistufiges Bernulliexperiment plausibel gemacht werden. Auf eine allgemeingültige Herleitung wird verzichtet. Durch Erkunden wird festgestellt, dass unabhängig vn n und p ca. 68% der Ergebnisse in der 1σ -Umgebung des Erwartungswertes liegen. Hinweis: Der Einsatz des GTR zur Berechnung singulärer swie kumulierter Wahrscheinlichkeiten ermöglicht den Verzicht auf stchastische Tabellen und eröffnet aus der numerischen Perspektive

17 nutzen grafikfähige Taschenrechner und Tabellenkalkulatinen [ ] verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren vn Zufallszahlen Berechnen vn Wahrscheinlichkeiten bei binmialverteilten Zufallsgrößen Erstellen der Histgramme vn Binmialverteilungen Variieren der Parameter vn Binmialverteilungen Berechnen der Kennzahlen vn Binmialverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung) den Einsatz vn Aufgaben in realitätsnahen Kntexten.

18 Thema: Mdellieren mit Binmialverteilungen (Q2-GK-S3) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: nutzen Binmialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung vn Prblemstellungen schließen anhand einer vrgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprbenergebnis auf die Grundgesamtheit Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter [ ] Mdelle für die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung vn den getrffenen Annahmen (Validieren) Argumentieren Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen In verschiedenen Sachkntexten wird zunächst die Möglichkeit einer Mdellierung der Realsituatin mithilfe der Binmialverteilung überprüft. Die Grenzen des Mdellierungsprzesses werden aufgezeigt und begründet. In diesem Zusammenhang werden geklärt: - die Beschreibung des Sachkntextes durch ein Zufallsexperiment - die Interpretatin des Zufallsexperiments als Bernullikette - die Definitin der zu betrachtenden Zufallsgröße - die Unabhängigkeit der Ergebnisse - die Benennung vn Stichprbenumfang n und Trefferwahrscheinlichkeit p Dies erflgt in unterschiedlichsten Realkntexten. Auch Beispiele der Mdellumkehrung werden betrachtet ( Vn der Verteilung zur Realsituatin ). Prüfverfahren mit vrgegebenen Entscheidungsregeln bieten einen besnderen Anlass, um vn einer (ein- der mehrstufigen) Stichprbenentnahme aus einer Lieferung auf nicht bekannte Parameter in der Grundgesamtheit zu schließen.

19 stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlgische Argumente für Begründungen (Begründen) verknüpfen Argumente zu Argumentatinsketten (Begründen)

20 Thema: Vn Übergängen und Przessen (Q2-GK-S4) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: beschreiben stchastische Przesse mithilfe vn Zustandsvektren und stchastischen Übergangsmatrizen verwenden die Matrizenmultiplikatin zur Untersuchung stchastischer Przesse (Vrhersage nachflgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände) Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe vn Fachbegriffen und unter Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Hinweis: Die Behandlung stchastischer Przesse sllte genutzt werden, um zentrale Begriffe aus Stchastik (Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit) und Analysis (Grenzwert) mit Begriffen und Methden der Linearen Algebra (Vektr, Matrix, lineare Gleichungssysteme) zu vernetzen. Schülerinnen und Schüler mdellieren dabei in der Realität kmplexe Przesse, deren langfristige zeitliche Entwicklung untersucht und als Grundlage für Entscheidungen und Maßnahmen genutzt werden kann. Der Auftrag an Schülerinnen und Schüler, einen stchastischen Przess graphisch darzustellen, führt in der Regel zur Erstellung eines Baumdiagramms, dessen erste Stufe den Ausgangszustand beschreibt. Im Zusammenhang mit der Interpretatin der Pfadregeln als Gleichungssystem können sie daraus die Matrix-Vektr-Darstellung des Przesses entwickeln. Untersuchungen in unterschiedlichen realen Kntexten führen zur Entwicklung vn Begriffen zur Beschreibung vn Eigenschaften stchastischer Przesse (Ptenzen der Übergangsmatrix, Grenzmatrix, stabile Verteilung). Hier bietet sich eine Vernetzung mit der Linearen Algebra hinsichtlich der Betrachtung linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungsmengen an.

21 Berücksichtigung der lgischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlgische Argumente für Begründungen (Begründen) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

22 Thema: Natürlich: Expnentialfunktinen (Q2-GK-A5) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: beschreiben die Eigenschaften vn Expnentialfunktinen und die besndere Eigenschaft der natürlichen Expnentialfunktin untersuchen Wachstums- und Zerfallsvrgänge mithilfe funktinaler Ansätze interpretieren Parameter vn Funktinen im Anwendungszusammenhang bilden die Ableitungen weiterer Funktinen: natürliche Funktinen Przessbezgene Kmpetenzen: Prblemlösen erkennen und frmulieren einfache und kmplexe mathematische Prbleme (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Prbieren, Darstellungswechsel, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprbleme) (Lösen) führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Zu Beginn des Unterrichtsvrhabens sllte eine Auffrischung der bereits in der Einführungsphase erwrbenen Kmpetenzen stehen (Wachstum und Zerfall). Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Expnentialfunktin zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung der Bedeutung der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durch Transfrmatinen. Die Frage nach der Ableitung an einer Stelle führt zu einer vertiefenden Betrachtung des Übergangs vn der durchschnittlichen zur mmentanen Änderungsrate. Umgekehrt suchen die Lernenden zu einem gegebenen Ableitungswert die zugehörige Stelle. Abschließend wird nch die Basis variiert. Dabei ergibt sich quasi autmatisch die Frage, für welche Basis Funktin und Ableitungsfunktin übereinstimmen.

23 (Reflektieren). Werkzeuge nutzen Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter vn Funktinen grafischen Messen vn Steigungen entscheiden situatinsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus nutzen [ ] digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen

24 Thema: Mdellieren (nicht nur) mit Expnentialfunktinen (Q2-GK-A6) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: untersuchen Wachstums- und Zerfallsvrgänge mithilfe funktinaler Ansätze interpretieren Parameter vn Funktinen im Kntext bilden die Ableitungen weiterer Funktinen: Ptenzfunktinen mit ganzzahligen Expnenten bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktinen (Summe, Prdukt, Verkettung) wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Expnentialfunktin mit linearen Funktinen an wenden die Prduktregel auf Verknüpfungen vn ganzratinalen Funktinen und Expnentialfunktinen an bestimmen Integrale mithilfe vn gegebenen Stammfunktinen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge ermitteln den Gesamtbestand der Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Im Zusammenhang mit der Mdellierung vn Wachstumsprzessen durch natürliche Expnentialfunktinen mit linearen Expnenten wird die Kettenregel eingeführt, um auch (hilfsmittelfrei) Ableitungen für die entsprechenden Funktinsterme bilden zu können. Als Beispiel für eine Summenfunktin wird eine Kettenlinie mdelliert. An mindestens einem Beispiel sllte auch ein beschränktes Wachstum untersucht werden. An Beispielen vn Przessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dann wieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen), wird eine Mdellierung durch Prdukte vn ganzratinalen Funktinen und Expnentialfunktinen erarbeitet. In diesem Zusammenhang wird die Prduktregel zum Ableiten eingeführt. In diesen Kntexten ergeben sich ebenfalls Fragen, die erfrdern, dass aus der Wachstumsgeschwindigkeit auf den Gesamteffekt geschlssen wird. Parameter werden nur in knkreten Kntexten und nur exemplarisch variiert (keine systematische Untersuchung vn Funktinenscharen). Dabei werden z. B. zahlenmäßige Änderungen des Funktinsterms bezüglich ihrer Auswirkung untersucht und im Hinblick auf den Kntext interpretiert.

25 übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) rdnen einem mathematischen Mdell verschiedene passende Sachsituatinen zu (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Mdelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung vn den getrffenen Annahmen (Validieren)

26 Thema: Optimierungsprbleme (Q1-LK-A1) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: führen Extremalprbleme durch Kmbinatin mit Nebenbedingungen auf Funktinen einer Variablen zurück und lösen diese verwenden ntwendige Kriterien und Vrzeichenwechselkriterien [ ] zur Bestimmung vn Extremund Wendepunkten bilden die Ableitungen weiterer Funktinen Ptenzfunktinen mit ratinalen Expnenten führen Eigenschaften vn zusammengesetzten Funktinen (Summe, Prdukt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurück wenden die Prdukt- und Kettenregel zum Ableiten vn Funktinen an Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Leitfrage: Wher kmmen die Funktinsgleichungen? An mindestens einem Prblem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Ntwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. Glasscheibe der verschiedene Varianten des Hühnerhfs ). Ein Verpackungsprblem (Dse der Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Mdellvalidierung/Mdellkritik und Mdellvariatin untersucht. Stellen extremaler Steigung eines Funktinsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kntexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden der Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erfrderlicher Persnaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktin verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erflgt zunächst über das Vrzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ableitung). Im Zusammenhang mit gemetrischen und öknmischen Kntexten entwickeln die Schülerinnen und Schüler die Ableitungen vn Wurzelfunktinen swie die Prdukt- und Kettenregel und wenden sie an.

27 erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Mdelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung vn den getrffenen Annahmen (Validieren) Prblemlösen finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Prblemsituatin (Erkunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, infrmative Figur, Tabelle ) aus, um die Situatin zu erfassen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Prbieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprbleme, Fallunterscheidungen, Verallgemeinern ) (Lösen) setzen ausgewählte Rutineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren)

28 Thema: Funktinen beschreiben Frmen - Mdellieren vn Sachsituatinen mit Funktinen (Q1-LK-A2) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: interpretieren Parameter vn Funktinen im Kntext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften vn Funktinenscharen bestimmen Parameter einer Funktin mithilfe vn Bedingungen, die sich aus dem Kntext ergeben ( Steckbriefaufgaben ) beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktin mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden ntwendige Kriterien und Vrzeichenwechselkriterien swie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung vn Extrem- und Wendepunkten beschreiben den Gauß-Algrithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algrithmus hne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Leitfrage: Wher kmmen die Funktinsgleichungen? Anknüpfend an die Einführungsphase (vgl. Thema E-A1) werden in unterschiedlichen Kntexten (z. B. Fts vn Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter der Scheitelpunktfrm einer quadratischen Funktin angepasst. Die Beschreibung vn Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer gemetrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktin als Krümmung des Graphen und zur Betrachtung vn Wendepunkten. Als Kntext hierzu können z. B. Trassierungsprbleme gewählt werden. Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktin mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vr- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend vn den Lernenden kritisch bewertet. Im Zusammenhang mit unterschiedlichen Kntexten werden aus gegebenen Eigenschaften (Punkten, Symmetrieüberlegungen, Bedingungen an die 1. und 2. Ableitung) Gleichungssysteme für die Parameter ganzratinaler Funktinen entwickelt. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen der Mdellierung (Grad der Funktin, Symmetrie, Lage im Krdinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Veränderungen vrzunehmen. Über freie Parameter (aus unterbestimmten Gleichungssystemen) werden Lösungsscharen erzeugt und deren Elemente hinsichtlich ihrer

29 realen Situatin vr (Strukturieren) übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituatin (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Mdelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung vn den getrffenen Annahmen (Validieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen vn Gleichungen und Gleichungssystemen zielgerichteten Variieren der Parameter vn Funktinen nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden [ ], Berechnen und Darstellen Eignung für das Mdellierungsprblem untersucht und beurteilt. An innermathematischen Steckbriefen werden Fragen der Eindeutigkeit der Mdellierung und der Einfluss vn Parametern auf den Funktinsgraphen untersucht.

30 Thema: Beschreibung vn Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q1-LK-G1) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: stellen Geraden in Parameterfrm dar interpretieren den Parameter vn Geradengleichungen im Sachkntext stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterfrm dar Przessbezgene Kmpetenzen: Mdellieren erfassen und strukturieren zunehmend kmplexe Sachsituatinen mit Blick auf eine knkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situatin vr (Strukturieren) übersetzen zunehmend kmplexe Sachsituatinen in mathematische Mdelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Mdells (Mathematisieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. knkurrierender) Mdelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Mdelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Lineare Bewegungen werden z. B. im Kntext vn Flugbahnen (Kndensstreifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektr beschrieben und dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sllten Mdellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugbjekte, Flugebenen) einbezgen werden. Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit mittels einer Funktin zu variieren, z. B. zur Beschreibung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. In jedem Fall sll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmenge (hier die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als Funktin (vn der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet werden. Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein gemetrische Frage aufgewrfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Durch Einschränkung des Definitinsbereichs werden Strahlen und Strecken einbezgen. Punktprben swie die Berechnung vn Schnittpunkten mit den Grundebenen erlauben die Darstellung in räumlichen Krdinatensystemen. Slche Darstellungen sllten geübt werden. Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe vn Gebäuden in Parallel- und Zentralprjektin auf eine der Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet die zusätzliche Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden

31 Werkzeuge nutzen nutzen Gedreiecke, gemetrische Mdelle und Dynamische- Gemetrie-Sftware verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum grafischen Darstellen vn Ortsvektren, Vektrsummen und Geraden Darstellen vn Objekten im Raum kann.

32 Thema: Die Welt vermessen das Skalarprdukt und seine ersten Anwendungen (Q1-LK-G2) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: deuten das Skalarprdukt gemetrisch und berechnen es untersuchen mit Hilfe des Skalarprdukts gemetrische Objekte und Situatinen im Raum (Orthgnalität, Winkel- und Längenberechnung) bestimmen Abstände zwischen Punkten und Geraden [...] Przessbezgene Kmpetenzen: Prblemlösen erkennen und frmulieren einfache und kmplexe mathematische Prbleme (Erkunden) analysieren und strukturieren die Prblemsituatin (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren) Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Das Skalarprdukt wird zunächst als Indikatr für Orthgnalität aus einer Anwendung des Satzes vn Pythagras entwickelt. Durch eine Zerlegung in parallele und rthgnale Kmpnenten wird der gemetrische Aspekt der Prjektin betnt. Dies wird zur Einführung des Winkels über den Ksinus genutzt. Eine weitere Bedeutung des Skalarprduktes kann mit den gleichen Überlegungen am Beispiel der physikalischen Arbeit erschlssen werden. Die frmale Frage nach der Bedeutung eines Prduktes vn zwei Vektren swie den dabei gültigen Rechengesetzen wird im Zusammenhang mit der Analyse vn typischen Fehlern (z. B. Divisin durch einen Vektr) gestellt. Anknüpfend an das Thema E-G2 werden Eigenschaften vn Dreiecken und Vierecken auch mithilfe des Skalarprduktes untersucht. Dabei bieten sich vrrangig Prblemlöseaufgaben (z. B. Nachweis vn Viereckstypen) an. Ein Vergleich vn Lösungswegen mit und hne Skalarprdukt kann im Einzelfall dahinterliegende Sätze transparent machen wie z. B. die Äquivalenz der zum Nachweis einer Raute benutzten Bedingungen (a + b ) (a b ) = 0 und (a ) 2 = (b ) 2 für die Seitenvektren a und b eines Parallelgramms. In Anwendungskntexten (z. B. Vrbeiflug eines Flugzeugs an einem Hindernis unter Einhaltung eines Sicherheitsabstandes) wird entdeckt, wie der Abstand eines Punktes vn einer Geraden u. a. über die Bestimmung eines Ltfußpunktes ermittelt werden kann. Hierbei

33 werden unterschiedliche Lösungswege zugelassen und verglichen. Eine Vernetzung mit Verfahren der Analysis zur Abstandsminimierung bietet sich an.

34 Thema: Ebenen als Lösungsmengen vn linearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q1-LK-G3) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektr- Schreibweise dar stellen Ebenen in Krdinaten- und in Parameterfrm dar deuten das Skalarprdukt gemetrisch und berechnen es stellen Ebenen in Nrmalenfrm dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Przessbezgene Kmpetenzen: Argumentieren stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober- /Unterbegriff) (Begründen) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlgische Argumente für Begründungen (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen) Kmmunizieren erläutern mathematische Begriffe in theretischen und in Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Die unterschiedlichen Darstellungsfrmen vn Ebenengleichungrn und ihre jeweilige gemetrische Deutung (Krdinatenfrm, Achsenabschnittsfrm, Hesse-Nrmalenfrm als Snderfrmen der Nrmalenfrm) werden gegenübergestellt, verglichen und in Beziehung gesetzt. Vertiefend (und über den Kernlehrplan hinausgehend) kann bei genügend zur Verfügung stehender Zeit die Lösungsmenge eines Systems vn Krdinatengleichungen als Schnittmenge vn Ebenen gemetrisch gedeutet werden. Dabei wird die Matrix-Vektr- Schreibweise genutzt. Dies bietet weitere Möglichkeiten, bekannte mathematische Sachverhalte zu vernetzen. Die Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra wird in Q-LK-G4 weiter vertieft. Als weitere Darstellungsfrm wird nun die Parameterfrm der Ebenengleichung entwickelt. Als Einstiegskntext dient eine Dachknstruktin mit Sparren und Querlatten. Diese bildet ein schiefwinkliges Krdinatensystem in der Ebene. Damit wird die Idee der Krdinatisierung aus dem Thema E-G2 wieder aufgegriffen. Durch Einschränkung des Definitinsbereichs werden Parallelgramme und Dreiecke beschrieben. S können auch anspruchsvllere Mdellierungsaufgaben gestellt werden. Ein Wechsel zwischen Krdinatenfrm und Parameterfrm der Ebene ist über die drei Achsenabschnitte möglich. Alternativ wird ein Nrmalenvektr mit Hilfe eines Gleichungssystems bestimmt.

35 Sachzusammenhängen (Rezipieren) frmulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Prduzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsfrmen (Prduzieren)

36 Thema: Lagebeziehungen und Abstandsprbleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q1-LK-G4) Zu entwickelnde Kmpetenzen Inhaltsbezgene Kmpetenzen: interpretieren den Parameter vn Geradengleichungen im Sachkntext untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden [ ] berechnen Schnittpunkte vn Geraden swie Durchstßpunkte vn Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkntext bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Przessbezgene Kmpetenzen: Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe vn Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der lgischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober- /Unterbegriff) (Begründen) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlgische Argumente für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt lgische Strukturen (ntwendige/hinreichende Bedingung, Flgerungen/Äquivalenz, Und-/Oder- Verknüpfungen, Negatin, All- und Existenzaussagen) (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln Vrhabenbezgene Absprachen und Empfehlungen Die Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden ist eingebettet in die Untersuchung vn Lagebeziehungen. Die Existenzfrage führt zur Unterscheidung der vier möglichen Lagebeziehungen. Als ein Kntext kann die Mdellierung vn Flugbahnen (Kndensstreifen) aus Thema Q-LK-G1 wieder aufgenmmen werden, insbesndere mit dem Ziel, die Frage des Abstandes zwischen Flugbjekten im Unterschied zur Abstandsberechnung zwischen den Flugbahnen zu vertiefen. Hier bietet sich wiederum eine Vernetzung mit den Verfahren der Analysis zur Abstandsminimierung an. Die Berechnung des Abstandes zweier Flugbahnen kann für den Vergleich unterschiedlicher Lösungsvarianten genutzt werden. Dabei wird unterschieden, b die Ltfußpunkte der kürzesten Verbindungsstrecke mitberechnet werden der nachträglich aus dem Abstand bestimmt werden müssen. In der Rückschau sllte nun ein Algrithmus entwickelt werden, um über die Lagebeziehung zweier Geraden zu entscheiden.

37 verallgemeinert werden können (Beurteilen) Kmmunizieren erläutern mathematische Begriffe in theretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren) verwenden die Fachsprache und fachspezifische Ntatin in angemessenem Umfang (Prduzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsfrmen (Prduzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Prduzieren) vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)