Die kosmologische Konstantet

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1 Die kosmologische Konstantet von Philip Rothfos 8. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einstein und die kosmologische Konstante Λ 1 2 Λ und die Friedmann Gleichungen 2 Das Schicksal des Universums abhängig von Λ 4 Der Physik Nobelpreis Die Probleme der kosmologischen Konstante 7 1 Einstein und die kosmologische Konstante Λ Zum ersten Mal benutzte Albert Einstein die kosmologische Konstante Λ in seinen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie. In einem Brief an P. Ehrenfest am 4. Februar 1917 schrieb er: Ich habe wieder etwas verbrochen in der Gravitationstheorie, was mich ein wenig in Gefahr bringt, in ein Tollhaus interniert zu werden. Einstein führte die Konstante ein, da er zu dieser Zeit davon ausging, dass das Universum statisch wäre. Da nun aber das materieerfüllte Universum in seiner Formel entweder expandiert oder kollabiert, führte Einstein die kosmologische Konstante ein, um dem entgegen zu wirken. Einstein entdeckte, dass es keinen Grund gab Λ = 0 zu setzen und den Term verschwinden zu lassen. Das einzige Argument dagegen wäre, dass die Feldgleichung nicht einfacher würde. R µν 1 2 g µνr = 8πGT µν + Λg µν (1) Diese Annahme der nicht verschwindenden kosmologischen Konstante bezeichnete Einstein später als die gröÿte Eselei seines Lebens, denn Edwin Hubble entdeckte die Ausbreitung des Universums und somit war die kosmologische Konstante mit Einsteins Motiven, um ein konstantes Universum zu ermöglichen, überüssig. 1

2 Mit der kosmologischen Konstante auf der rechten Seite, kann es als Beitrag zum Energie-impuls-Tensor interpretiert werden (mit g µν = η µν ) von der Form: Tµν Λ = ρ Λ ρ Λ ρ Λ ρ Λ mit ρ Λ = Λ. 8πG Seit der Beobachtung einer expandierenden Ausbreitung des Universums 1998 wurde wieder viel Interesse an dieser Konstante gewecken. Vor allem auch weil der Wert von Λ eine wichtige Rolle spielt für das frühen Universum. 2 Λ und die Friedmann Gleichungen Alexander Alexandrowisch Friedmann und Georges Lemaitre fanden eine kosmologische expandierende Lösung der Feldgleichung. Die daraus entstandenen Friedmann- Gleichungen beschreiben theoretisch die Entwicklung des Universums. Nach den Annahmen eines räumlich homogenen und isotropen Universums erhält man diese Gleichungen aus der allgemeinen Relativitätstheorie. 1.Gleichung: 2.Gleichung: (ȧ ) 2 + k a a = 8πG 2 ρ tot (2) ä a = 4πG (ρ tot + p tot ) () Die Dichte in diesen Gleichungen ist die Totale Dichte, welche sich zusammensetzt aus der Dichte der Materie, der Dichte der Strahlung und der Dichte der Vakuumenergie im Universum. und equivalent für den totalen Druck: ρ tot = ρ m + ρ rad + ρ vac mit ρ vac = ρ Λ = Λ 8πG p tot = p rad + p vac mit p vac = ρ vac und p rad = ρ rad /. Wie schon in den vorherigen Vorträgen dargestellt hängt in einem strahlungsdominierten Universum die Dichte von 1 ab, während für ein Massendominantes Universum a 4 die Dichte von 1 abhängt. Betrachtet man aber die Form für die Vakuum Energie Dichte, so erkennt man keine Abhängigkeit von a. Für ein Vakuumenergie dominierendes a Universum wäre die Dichte also konstant. 2

3 Wie aus den vergangenen Vorträgen schon bekannt, können wir die kritische Dichte des Universums schreiben als: ρ crit H2 (4) 8πG Dann können wir die 1. Friedmanngleichung (2) schreiben als k H 2 a = ρ H 2 8πG Die totale Energiedichte ist mit der kritischen Dichte deniert als: oder mit der 1.Friedmanngleichung Ω t = Ω t (5) ρ ρ crit (6) k H 2 a 2 = Ω t 1. (7) In dieser Gleichung können wir leicht den Eekt von Omega auf die Gestalt des Universums sehen: ˆ Ist Ω > 1, so ist k positiv. Was bedeutet, dass das Universum geschlossen ist. a kann daraufhin als Radius des Universums betrachtet werden. ˆ Ist Ω < 1, so ist k negativ und das Universum ist negativ gekrümmt, oen und kann unendlich ausgedehnt werden. ˆ Ist Ω = 1, ist k = 0 und das wäre ein aches Universum. Zu beachten ist, dass Ω von der Zeit abhängt. Bei t 0 sieht man, dassdie rechte Seiten der Gleichung schnell gegen 0 geht. Das bedeutet, egal welche Form wir für das Universum annehmen, für das frühe Universum verringert sich die Auswirkung einer Krümmung. Da wir heute ein sehr aches Universum messen, muss das frühe Universum wesentlich acher gewesen sein. Das Schicksal des Universums abhängig von Λ Benutzen wir verschiedene Annahmen für Λ in den Friedmann-Gleichungen, bekommen wir verschiedene Endszenarien bei t. Da die Strahlung schon heute eine geringe Rolle spielt und sie durch die Rotverschiebung immer weiter abnimmt, brauchen wir nur den Massenanteil (ρ m ) und die Vakuumenergie (ρ vac ) in die Gleichungen einieÿen lassen. Betrachten wir also verschiedene Lösungen der Friedmann-Gleichung mit unterschiedlichen Werten für die Kosmologische Konstante Λ. Hierbei benutzen wir ρ m = ρ 0 a 0/a(t) mit den Bezeichnungen ρ 0 bzw. a 0 für die heutige Massendichte bzw. die heutige Ausbreitung des Universums. In diesem Fall ist für die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Universums folgende Gleichung zu lösen:

4 ȧ(t) 2 = 8πGρ 0a 0 k + Λa(t)2 a(t) Was sofort zu sehen ist, ist dass der Term mit Λ auf lange Sicht, das heiÿt für groÿe a(t) die rechte Seite der Gleichung dominiert. Betrachten wir zuerst die Annahme Λ < 0. Da ȧ(t) ein reellen Wert annehmen muss ist die maximale Ausbreitung a crit. Diese ist erreicht, wenn die rechte Seite von Gleichung (8) zu Null wird: 8πGρ 0a 0 = k + Λa(t)2 wenn Λ < 0. Aus der 2. Friedmanngleichung a(t) können wir eine Gleichung für die Beschleunigung formen. Auch hier können wir sehen, dass die Beschleunigung negativ wird und wir unabhängig von k, also der Form des Universums eine Oszillation bekommen: ä(t) = 4πGρ 0a 0 a(t) 2 + Λa(t) Interessanter wird es bei Λ > 0 wo wir sofort sehen, dass bei k = 1 und k = 0 wir keinen negativen Term mehr in der Gleichung (8) haben und eine exponentielle Ausbreitung die Folge ist. Sehr gut zu sehen ist dies wenn man die 1. Freidmann-Gleichung mit k = 0 sowie ρ Λ ρ rest betrachten: (ȧ H 2 (t) = = a)2 Λ (10) Mit einem einfachen Exponentionalansatz kommt man schnell auf die Lösung dieser Gleichung: a(t) = e Ht mit H = (8) (9) Λ/ (11) Man bemerke für genügend groÿe t ist eine Ausbreitung des Raumes mit Überlichgeschwindigkeit möglich. Eine Folge wäre, dass das Licht ferner Galaxien uns nicht mehr erreichen könnte, da sich der Raum schneller Ausbreitet als sich das Licht darin ausbreiten kann. Mit zunehmender Zeit wird unsere Sichtweite also immer kürzer. Bei k = +1 können wir bei der Betrachtung der Formel ins Feintuning gehen. Man könnte Λ so wählen, dass die Beschleunigung und die Geschwindigkeit der Ausbreitung des Universums verschwindet. Wir hätten also den Wert für Λ den Albert Einstein in seiner Motivation für die Kosmologische Konstante beabsichtig hat. Natürlich bedeutet diese Annahme auch, dass wir keine Rotverschiebung besitzen, welches im Gegensatz zu den Beobachtungen steht. Erhöhen wir den Wert für Λ etwas, sehen wir, dass die Kosmologische Konstante gröÿer wird als die Anziehungskraft der Massen und sich das Universum endlos ausbreiten wird. Wäre Λ etwas kleiner als beim statischen Fall, gäbe es einen Abschnitt von möglichen Werten für Λ in denen ein Big Bang nicht möglich gewesen wäre. Unter diesem Abschnitt kann das Universum sich entweder endlos ausbreiten oder wieder in sich zusammen fallen. 4

5 4 Der Physik Nobelpreis 2011 Die beiden Forschungsgruppen um Saul Perlmutter und Brian P. Schmidt schaten es, durch die Beobachtungen von Typ Ia Supernovae eine beschleunigte Ausbreitung des Universums zu beweisen. Bei den Ia Supernovae handelt es sich um sogenannte Standartkerzen. Dies sind Lichtquellen bei denen man ganz genau weiÿ wie viel Energie bzw. Helligkeit ausgestrahlt wird. Deshalb sind si für die Entfernungsbestimmung so wertvoll. Durch die Rotverschiebung des ankommenden Lichts kann man bestimmen wie schnell sich die Quelle von uns weg bewegt. Bei den Ia Supernovae handelt es sich um explodierende weiÿe Zwerge. Das sind Sterne, die eine ähnliche Masse wie unsere Sonne haben, jedoch so klein sind wie unsere Erde. In einem Doppelsternsystem zieht die hohe Anziehungskraft des weiÿen Zwerges Materie von seinem Sternpartner. Erreicht der weiÿe Zwerg dadurch irgendwann eine Masse von 1,4 Sonnenmassen, explodiert er. Da ein weiÿer Zwerg immer bei 1,4 Sonnenmassen explodiert ist auch die dabei produzierte Helligkeit bei der Explosion gleich. Allerdings hält diese Helligkeit nicht lange an. Schon nach einer Woche nimmt die Strahlung rapide ab, und nach einigen Monaten ist von der Supernova nichts mehr zu sehen. Um dennoch früh genug, nämlich beim Intensitätsmaximum die Supernova zu beobachten entwickelten die Forschungsgruppen ein neues CCD Beobachtungssystem. Verglichen wurden dann 2 Aufnahmen eines Himmelsstücks, eine Aufnahme mit Supernova, die andere ein paar Wochen zuvor aufgenommen ohne Supernova. Bei diesen Messungen kann man zwei wichtige Informationen bekommen, abgesehen natürlich von der Richtung zur Quelle. Einmal die Entfernung zu Supernova durch die scheinbare Helligkeit und die Geschwindigkeit mit der sich die Lichtquelle von uns wegbewegt duch die Rotverschiebung. Die Entfernung zur Supernova kann mit Hilfe der scheinbaren Helligkeit, also mit der Helligkeit wie wir die Lichtquelle auf der Erde sehen (m) und der tatschlichen Helligkeit der Supernova M bestimmt werden: m = M + 5 log d L + 25 mit d L der Leuchtkraftentfernung gemessen in Mpc d L = 10 m M 5 5. (12) Durch das Verhältnis der Wellenlänge zwischen λ 1 der emitierten Wellenlänge und λ 0 der beobachteten kann das Verhältnis der kosmischen Ausbreitung zum Zeitpunkt t 1 bei der Emission und t 0 der Zeitpnkt der Beobachtung bestimmt werden: λ 0 = a(t 0) λ 1 a(t 1 ) daraus folgt der Ausdruck für den Rotverschiebungsparameter z: z = λ 0 λ 1 λ 1 = a(t 0) a(t 1 ) 1 (1) 5

6 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt ab von der Massendichte, der kosmologischen Konstante und der geometrie des Universums. Da wir eine sehr geringe Krümmung des Raumes messen und wir deshalb annehmen, dass der Raum ach ist, ist k = 0 und die Abhängigkeit von der Raumkrümmung verschwindet. Wir wissen, dass die Massendichte mit a(t) skaliert. Somit können wir die Expansionsrate des Universums schreiben als H 2 = H 2 0[Ω M (1 + z) + Ω Λ ] (14) Für ein Event in der Vergangenheit das bei einer Rotverschiebung von z heute beobeachtet wird, gilt über die Denition des Hubbleparameters: H = d ( ) a(t) dt log = d ( ) 1 a 0 dt ln = 1 dz 1 + z 1 + z dt Mit (15) und (16) kombiniert können wir die Gleichung umformen zu dt dz = (1 + z) 1 H 0 [Ω M (1 + z) + Ω Λ ] 1 2 Die Gröÿen a, r und t hängen zusammen in der Gleichung für die radiale, nicht geodätische FLRW Metrik dr = 1. Multipliziert mit a dt a(t) 0 erhalten wir die Gleichung: a 0 dr dt = a 0 a(t) Mit dem Ausdruck für die Rotverschiebung (1) können wir (17) umformen zu: (15) (16) (17) a 0 dr = (1 + z)dt (18) In verbindung mit Gleichung (16) und der Integration bis zur Rotverschiebung der Supernova z 1, bzw. bis zum Abstand der Supernova r 1 folgt: r1 a 0 dr = 0 z1 0 dz (19) H 0 Ω M (1 + z) + Ω Λ Mit einem weiteren Ausdruck für die Leuchtkraftentfernung, d L = a 0 (1 + z)r 1 können wir (19) umschreiben, sodass die Leuchtkraftentfernung einer Ia Supernova in einem achen Universum k = 0 ist neben der Rotverschiebung nur noch abhängig von Ω M und Ω Λ : d L (z, H 0, Ω M, Ω Λ ) = 1 + z H 0 z o dz Ω M (1 + z ) + Ω Λ (20) Durch eine genaue Messung der Leuchtkraftentfernung kann mit dieser Formel die Energiekomponenten des Universums, besonders Ω Λ bestimmt werden. Als Ergebnis dieser Forschung wurde mit hoher Wahrscheinlichkeit entdeckt, dass die kosmologische Konstante Λ gröÿer null ist P (Λ > 0) 99%, und dass die momentane Verteilung von Masse und Vakuumenergie Ω m 0, und Ω Λ 0, 7 ist. 6

7 Weiter wurde entdeckt, dass die kosmologische Konstante, also die beschleunigte Ausdehnung erst seit 5 Billionen Jahren die Ausbreitung des Universums nennenswert beschleunigt. In der Zeit davor hat die Masse im Universum die vom Big Bang kommende Ausbreitungsgeschwindigkeit verringert. Wie wir in unseren Betrachtungen oben gesehen haben wächst jedoch der Einuss der kosmologischen Konstante mit der Gröÿe des Universums und damit auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Als Vakuumenergie wird angenommen, dass es sich hierbei um die dunkle Energie handelt, über die man jedoch noch recht wenig weiÿ. 5 Die Probleme der kosmologischen Konstante Es gibt zwei Probleme, mit denen sich die Wissenschaft bei der kosmologischen Konstante konfrontiert sieht. Die erste und ältere der beiden Probleme geschäftigt sich mit dem Problem der Gröÿe von Λ. Warum hat die kosmologische Konstante so einen kleinen Wert, der aber trotzdem ungleich Null ist. Ein Erklärungsansatz ist die Nullpunktsfluktuation. In relativistischer Quantenphysik ist das Vakuum nicht leer sondern gefüllt mit Quantenuktuationen. Das sind Teilchen-Antiteilchen-Paare, die in der Quantenfeldtheorie aus dem Vakuum entstehen und wieder zerfallen. Die Erlaubten Zustände eines harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik sind somit: E n = ( n + 1 ) hω 0 (21) 2 Die Vakuumenergie ist also nicht geringer als die Energie E 0 = 1 2 hω 0 bei n = 0. Um zur Energiedichte zu gelangen, betrachten wir die Energie über den gesamten Raum und über alle Frequenzen: < ρ > vac = 8π ωmax ω (2π) 0 2 ω2 dω = ω4 max (22) 8π 2 man sieht, dass bei sehr groÿen Frequenzen die Inergiedichte divergiert. Betrachten wir das Integral bis zur Planckfrequenz ω P = 1 t P = 1 erhalten wir eine Vakuumenergiedichte von ρ vac GeV/cm. Mit t P der Planckzeit (t P = l P /c s), l P der G Plancklänge (l P = hg/c 10 cm) und c der Lichtgeschwindigkeit. Dieser Wert ist zu vergleichen mit dem heute gemessenen Wert für die kritische Dichte: ρ crit = H 0 8πG 0, GeV/cm. (2) Das Ergebnis zeigt einen Unterschied von ca. 80 Gröÿenordnungen, obwohl wir noch nicht über die Nullpunktenergien aller freien Teilchen summiert haben. Das neuere der zwei Probleme ist die Frage warum geht Ω Λ mit der gleichen Gröÿenordnung wie Ω M in die Ausbreitungsgeschwinsigkeit ein. Warum sollte in der ganzen Geschichte des Universums gerade dann Ω Λ und Ω M einen gleichstarken Einuss haben, wenn wir unsere Beobachtungen machen. 7

8 Quellen L. Bergström und A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics, Springer Raphael Bousso, TASI Lectures on the Cosmological Constant, The Royal Swedish Academy of sciences, The Accelerating Universe, The Royal Swedish Academy of sciences, Written in the stars, Riess, A., et al., Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant, Astronomical Journal, 116, , Perlmutter, S., et al., Measurment of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae, Astrophysical Journal, 517, , Norbert Straumann, The history of the cosmological constant problem, Steven Weinberg, The Cosmological Constant Problems, Wikipedia, Planck-Einheiten, Version 25. November 2011, 18:09 Zusatzinformationen Was ist die Planck-Welt? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-centauri. 8