Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik

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Hertha Ziegler
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1 Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik 1. Einleitung. Darstellung ultrakurzer Lichtimpulse.1 Prinzip der Modenkopplung. Komplexe Darstellung ultrakurzer Lichtimpulse..1 Fourier Transformation.. Zeitliche und spektrale Phase..3 Taylor Entwicklung der Phase..4 Nützliche Umrechnungen Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-1

2 . Darstellung ultrakurzer Lichtimpulse. Komplexe Darstellung ultrakurzer Lichtimpulse Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-

3 Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/ Fouriertransformation = = t i t i e t E dt E e E d t E ω ω ω ω ω π ( ( ( 1 ( Fouriertransformation: Zusammenhang zwischen zeitabhängiger und frequenzabhängiger Feldstärke. Beschreibung im Zeitbild und Frequenzbild sind äquivalent. Spektrale Amplitude E(ω läßt sich beschreiben durch eine spektrale Amplitude a(ω und eine spektrale Phase φ(ω: ( ( ( ω φ ω ω i e a E =

4 Frequenzbild - Zeitbild Beschreibung im Zeitbild: Beschreibung im Frequenzbild: - Halbwertsbreite Δt -ChirpΦ(t (Phasenmodulation der Trägerfrequenz - spektrale Breite Δν - spektrale Phase φ(ω Puls- Bandbreiteprodukt: Δν Δτ const. Konstante ist abhängig von der Pulsform! Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-4

5 Zeit-Bandbreite-Produkt ZBT ZBP etc. für verschiedene Pulsformen: Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-5

6 Sech Pulsform Wichtige Pulsform für passiv modengekoppelte Lasersysteme Lösung der nichtlinearen Wellengleichung Solitonen Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-6

7 Zeit-Bandbreite-Produkt ZBT Bedeutung des ZBT: Analogie zur Heisenbergschen Unschärferelation 1. Fall: Δτ Δν = c Puls heißt bandbreitenbegrenzt, d.h. alle enthaltenen Frequenzkomponenten tragen optimal zum kürztestmöglichen Puls bei. Ein Gaußscher Laserstrahl würde in Analogie als beugungsbegrenzt bezeichnet.. Fall: Δτ Δν > c Puls heißt phasenmoduliert (engl. chirped, d.h. ein Anteil der enthaltenen Frequenzkomponenten trägt zu einer Phasenmodulation des elektrischen Trägerfeldes bei. Der Puls ist also bzgl. seiner Bandbreite nicht optimal kurz! Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-7

8 .. Zeitliche und spektrale Phase Ein ultrakurzer Impuls hat eine zeitabhängige Intensität und Phase Komplexe Darstellung im Zeitbild: Vernachlässigung der räumlichen Abhängigkeit, ergibt für das elektrische Feld: Electric field E (t I( t Time [fs] X ( t = I(exp{[ t i ω t φ(]} t + cc.. Intensität 1 Trägerfrequenz Phase A sharply peaked function for the intensity yields an ultrashort pulse. Die Phase bestimmt die Farbentwicklung des Pulses als Funktion der Zeit. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-8

9 Reale und komplexe Pulsamplitude Vernachlässigung von ½, dem c.c. und dem Exponentialfaktor mit der Trägerfrequenz ergibt die komplexe Amplitude, E(t, des Pulses: Electric field E (t I( t Et ( = It (exp{ φ i (} t Damit entfällt der schnell oszillierende Term des elektrischen Feldes des Pulses. E(t ist eine komplexe Größe, mit der sich einfacher rechnen lässt. Time [fs] I (t wird oft die reale Amplitude, A(t, des Pulses genannt Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-9

10 Intensität und Phase im Zeitbild Zusammenhang zwischen elektrischem Feld, Intensität und Phase des elektrischen Pulses Intensität: Phase: I(t = E(t Im[ Et ( ] φ( t = arctan Re[ Et ( ] Analog, Im E(t i I(t i φ(t = Im{ ln[e(t ] } φ(t i Re Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-1

11 Frequenzbild Für die Beschreibung und Behandlung ultrakurzer Lichtimpulse ist die Fouriertransformation unerlässlich X% ( ω = X( t exp( iωt dt X 1 ( t = X% ( ω exp( i ω t d ω π Komplexe Fouriertransformationen werden hier immer nur auf den Real- oder Imaginärteil des elektrischen Pulsfeldes angewandt (wenn nicht anders angegeben. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-11

12 Elektrisches Feld im Frequenzbild The frequency-domain equivalents of the intensity and phase are the spectrum and spectral phase. Fourier-transforming the pulse electric field: X ( t = I(exp{[ t i ω t φ(]} t + cc.. 1 yields: Note that φ and ϕ are different! X% ( ω = S( ω ω exp{ i[ ϕ( ω ω ]} S( ω+ ω exp{ i[ ϕ( ω+ ω ]} The frequency-domain electric field has positive- and negative-frequency components. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-1

13 Elektrisches Feld im Frequenzbild Since the negative-frequency component contains the same information as the positive-frequency component, we usually neglect it. We also center the pulse on its actual frequency, not zero. Thus, the most commonly used complex frequency-domain pulse field is: X% ( ω S( ω exp{ iϕ( ω} Thus, the frequency-domain electric field also has an intensity and phase. S is the spectrum, and ϕ is the spectral phase. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-13

14 Die Fourier Transformierte von cos(ω t cos(ω t t F { } cos( ωt = cos( ωt exp( iωt dt 1 = [ + ] exp( iω t exp( iω t exp( iωt dt 1 1 exp( i[ ω ω] t dt exp( i[ ω ω] t dt = + + F {cos( ω t} ω +ω ω = π δω ( ω + πδω ( + ω Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-14

15 The Fourier Transformierte von E(tcos(ω t F { } Et ( cos( ωt = Et ( cos( ωt exp( iωt dt 1 = Et ( exp( iωt + exp( iωt exp( iωt dt 1 1 Et ( exp( i[ ω ω] t dt Et ( exp( i[ ω ω] t dt = + + F 1 1 Et (cos( ωt = E% ( ω ω + E% ( ω+ ω { } Beispiel: Et (cos( ω t F { Et (cos( ω t } E(t = exp(-t t -ω ω ω Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-15

16 Elektrisches Feld im Frequenzbild Achtung: Zeitbild: mitbewegtes Koordinatensystem, Pulsmaximum: t = Schnell oszillierende Terme unterdrückt! Fourier Transformation der spektralen Amplitude E (t oder des Gesamtfeldes ergibt unterschiedliche Funktionen. ~ E ( t ~ ~ E ( ω E( ω E( ω ω Frequenzbild: Spektrum zentriert um ω, Nullpunkt unterdrückt! Üblicherweise genutzte Komponente. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-16

17 Elektrisches Feld im Frequenzbild Spektrum und spektrale Phase: The spectrum and spectral phase are obtained from the frequency-domain field the same way as the intensity and phase are from the time-domain electric field. S( ω = X% ( ω Im[ X% ( ω] ϕω ( = arctan Re[ X% ( ω ] oder { X ω } ϕω ( = Im ln[ %( ] Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-17

Beispiel: Gauß-Puls For almost all calculations, a good first approximation for any ultrashort pulse is the Gaussian pulse (with zero phase. Intensität: [ ] [ ] I(t = E exp 4ln(t / τ FWHM = E exp.

18 Beispiel: Gauß-Puls For almost all calculations, a good first approximation for any ultrashort pulse is the Gaussian pulse (with zero phase. Intensität: [ ] [ ] I(t = E exp 4ln(t / τ FWHM = E exp.76(t / τ FWHM where τ FWHM is the intensity full-width-half-maximum. Amplitude: Et ( = Eexp ( t/ τ HW1/ e = E exp ln ( t/ τ FWHM = E exp 1.38( t/ τ FWHM Für t = τ FWHM ist E E( t = τ = FWHM Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-18

19 Beispiel: Gauß-Puls Halbwertsbreiten für Intensität und elektrisches Feld The phase of this pulse is constant, φ(t =, and is not plotted. The intensity of a Gaussian pulse is shorter than its real amplitude. This factor varies from pulse shape to pulse shape. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-19

20 Beispiel: Gauß-Puls Intensität und Phase eines Gauß- Pulses: The Gaussian is real, so its phase is zero. Time domain: Fouriertransformation eines Gauß-Pulses ist wieder ein Gauß-Puls Frequency domain: So the spectral phase is zero, too. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-

21 Instantane Frequenz The temporal phase, φ(t, contains frequency-vs.-time information. The pulse instantaneous angular frequency, ω inst (t, is defined as: Instantane Frequenz: ω inst ( t ω dφ dt This is easy to see. At some time, t, consider the total phase of the wave. Call this quantity φ : φ ω φ = t ( t Exactly one period, T, later, the total phase will (by definition increase to φ + π: φ + π = ω [ t+ T] φ( t+ T where φ(t+t is the slowly varying phase at the time, t+t. Subtracting these two equations: π = ω T [ φ( t+ T φ( t] Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-1

22 Instantane Frequenz Dividing by T and recognizing that π/t is a frequency, call it ω inst (t: ω inst (t = π/t = ω [φ(t+t φ(t] / T But T is small, so [φ(t+t φ(t] /T is the derivative, dφ /dt. So we re done! Usually, however, we ll think in terms of the instantaneous frequency, ν inst (t, so we ll need to divide by π: ν inst (t = ν [dφ /dt] / π While the instantaneous frequency isn t always a rigorous quantity, it s fine for ultrashort pulses, which have broad bandwidths. Ultrakurze Lichtimpulse und THz Physik, WS7/8 3-

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