Nichtlineare Regression. Nichtlineare Regression. Linearisierbare Funktionen. Nicht linearisierbare Funktionen. Methode der kleinsten Quadrate

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN-WEIHENSTEPHAN MATHEMATIK UND STATISTIK INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM R. Bioetrische und Öonoetrische Methoden I WS 99/ Linearisierbare Funtionen Polynoe Exponentialfuntionen Potenzfuntionen Logarithusfuntionen Nicht linearisierbare Funtionen Sättigungsfuntion (Mitscherlich-Funtion) Sigoide Funtion (Logistische Funtion) Weibull Funtion Kreisfuntionen (Periodische Funtionen) Methode der leinsten Quadrate in SPSS in

2 Linearisierbare Funtionen Nicht linearisierbare Funtionen Polynoe y' j b i x i y' j b i X i (,2,ÿ,; i ú) log a y'log a y %@x Potenzfuntionen y'y logy'logy 1 %@logx Sättigungsfuntion (Mitscherlich-Funtion) y')y@ 1&e %y '(y ax &y )@ 1&e %y Sigoide Funtion (Logistische Funtion) y' y ax &y v 1%a@e %y v Weibull-Funtion y')y@(1&e & y')y@e & x&x x&x it y ' y ax %a@y v 1%a )%y '(y ax &y )@(1&e & %y '(y ax &y )@e & x&x Kreisfuntionen (Periodische Funtionen) %y x&x )%y Logarithusfuntionen y'y %@logx y'y ))%y V y'y )%y V y'y %@X (X'logx)

3 Methode der leinsten Quadrate Usatz - Arbeitszeitbedarf n Wertepaare (x i,y i) SQ Rest ' j n y i &ŷ i 2 ' j n ŷ i 'f $,$ 1,$ 2,ÿ,$ ;x i y i &f(x i ) 2 6 in Vorgabe von Startwerten für Koeffizienten: b () ' b,b 1,b 2,ÿ,b Iterative Veränderung der Koeffizienten, so dass in jede Iterationsschritt SQ Rest b () %@) <SQ Rest b () Ende, wenn SQ Rest nicht ehr leiner wird ) differiert je nach Methode: Gauss(-Newton)-Verfahren Marquardt-Verfahren Newton-Verfahren Gradientenverfahren Seantenverfahren Levenberg-Marquardt-Verfahren Sequential Quadratic Prograing SPSS SPSS DM AKH

4 Modellspezifiation in SPSS Usatz - Arbeitszeitbedarf - Iteration Non-linear Regression All derivatives will be calculated nuerically. Iteration Residual SS DM_MAX K Paraeterspezifiation und -initialisierung ,8 4,, ,43, , ,492, , ,492, ,4 3554,7927, , ,71916, , ,71916, , ,74322, , ,74322, , ,99918, , ,99918, , ,6333, , ,6333, , ,3292, , ,3292, , ,31545, , ,31545, , ,31497, Run stopped after 18 odel evaluations and 8 derivative evaluations. Iterations have been stopped because the relative reduction between successive residual sus of squares is at ost SSCON = 1,E-8

5 Usatz - Arbeitszeitbedarf - Suary Usatz - Arbeitszeitbedarf - Grafi Nonlinear Regression Suary Statistics Source DF SS MS 5 Regression Residual Uncorrected Total (Corrected Total) R-sq = 1 - Residual SS / Corrected SS =, Asypt.95% Asypt. Conf. Int. Paraeter Estiate Std.Err. Lower Upper DM_MAX K,127,4,936, AKh Asyptotic Correlation Matrix of Estiates 1&e DM_MAX K DM_MAX 1, -,7314 K -,7314 1,

6 in DATA tts; INFILE 'tts.dat'; INPUT t 1-2 ts 4-6; RUN; PROC PRINT DATA=tts; RUN; PROC NLIN METHOD=GAUSS; PARAMETERS ax = 19 TO 21 BY 2 a = 5 TO 15 BY 1 =.5 TO.15 BY.1; MODEL ts = ax/(1+a*exp(-*t)); DER.ax = 1/(1+a*EXP(-*t)); DER.a = -ax*exp(-*t)/(1+a*exp(-*t))**2; DER. = ax*a*t*exp(-*t)/(1+a*exp(-*t))**2; RUN; The Syste 11:29 Thursday, February 12, 1998 OBS T TS Pflanzenwachstu - Iteration Non-Linear Least Squares Iterative Phase Dependent Variable TS, Method: Gauss-Newton Iter MAX A K SS NOTE: Convergence criterion et. Non-Linear Least Squares Suary Statistics Source DF SS MS Regression Residual Uncorrected Total (Corrected Total) Paraeter Estiate Asypt. Asypt.95% Std.Err. Conf. Int. Lower Upper MAX A K Asyptotic Correlation Matrix Corr MAX A K MAX A K

7 Pflanzenwachstu - Grafi t [d] g TS' 1% 9.8@e