Kapitel 3 Ereignisdiskrete Systeme (II)

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1 Modellierung und Simulation mechatronischer Systeme Kaitel Ereignisdisrete Systeme II Modellierung mit autonomen Automaten Deterministische Automaten Bei den bisher betrachteten Beisielen handelte es sich um deterministische Automaten, d.h. in jedem Zustand war eindeutig beschreibbar, welcher Zustand als nächstes eingenommen wird. Im Automatengrah führt von jedem Knoten genau eine Kante weg. In der Tabelle gibt es für jeden Zustand genau eine Zeile mit genau einem Folgezustand. In der Matrix steht in jeder Salte genau eine. Beisiel: z z z z z z z z+ Z Z Z F SoSe

2 Nichtdeterministische Automaten Bei realen Systemen ist oft nicht eindeutig angebbar, welcher Zustand als nächstes eingenommen wird. Solche Systeme lassen sich als nichtdeterministische Automaten beschreiben. Aus der Zustandsübergangsfuntion wird eine Relation. Im Automatengrah führt von mindestens einem Knoten mehr als eine Kante weg. In der Matrix steht in mind. einer Salte mehr als eine. Eine eindeutige Zustandsfolge ist nicht mehr angebbar. Beisiel: Z Z für z Z für Z für z Z z Z z Z Z Z Z F SoSe 6 Beisiel: Zustände eines Behälters Modellierung als Automatengrah Z Behälter ist voll geleert unter oberen Sensor befüllt über oberen Sensor Z Behälter ist teilgefüllt geleert unter unteren Sensor befüllt über unteren Sensor Z Behälter ist leer Von Zustand Z aus sind zwei Zustandsübergänge möglich nichtdeterministisch SoSe

3 Nichtdeterministische Automaten Nichtdeterminismus wird in ereignisdisreten technischen Systemen verursacht a durch Unenntnis über interne Abläufe: Beisiel: Werstücvorwärmung liner Ofen Ablaufdauer = xx s rechter Ofen Ablaufdauer = xx s beide Öfen belegt liner Ofen fertig, rechter belegt rechter Ofen fertig, liner belegt SoSe Nichtdeterministische Automaten Nichtdeterminismus wird in ereignisdisreten technischen Systemen verursacht b durch leine Schwanungen bei arallelen Abläufen: Beisiel: Werstücvorwärmung liner Ofen Ablaufdauer =, s Ablaufdauer =, s rechter Ofen Ablaufdauer =, s Ablaufdauer =, s beide Öfen belegt liner Ofen fertig, rechter belegt rechter Ofen fertig, liner belegt SoSe

4 Nichtdeterministische Automaten Nichtdeterminismus wird in ereignisdisreten technischen Systemen verursacht b durch Störungen: Beisiel: Werstücvorwärmung liner Ofen Ablaufdauer =, s Ablaufdauer =, s Ablaufdauer =, s Vorwärmung läuft Vorwärmung dauerte weniger als se SoSe Vorwärmung dauerte länger als se Nichtdeterministische Automaten Die Beschreibung eines nichtdeterministischen Automaten über die Zustandsfolge ist nicht hilfreich Für dieses Beisiel: z = Z z = Z z =? Verhaltensvorhersage: Man ann nur sagen, dass es für einen bestimmten endlichen Horizont von Schritten eine endliche Menge von möglichen Zustandsfolgen gibt. Überwachung von technischen Systemen: Man ann nur überwachen, ob die beobachtete Zustandsfolge zu dieser Menge möglicher Zustandsfolgen gehört, oder ob ein unvorhergesehener Fehler aufgetreten ist. SoSe

5 Beisiel Stanze erweitert Das Automatenmodell der Stanze wird ergänzt um die Modellierung von Fehlerfällen: Fehlendes Rohmaterial Fehlerhafte Ablage des fertig bearbeiteten Werstücs Änderung der Festlegung der Zustände: Zustand Beschreibung Die Stanze steht in der Ausgangsosition und es ist noch Blech vorhanden. Die Stanze steht in der Ausgangsosition, aber die Blechrolle ist aufgebraucht. Das Werstüc ist nicht ordnungsgemäß abgelegt. Aus Zustandsüberführungs-Funtion wird -Relation: z' z Beschreibung Stanze ehrt in die Ausgangsosition zurüc Ordnungsgemäßer Transort des Werstücs, aber Blechrolle ist leer Fehlerhafter Transort des Werstüces aus der Stanze in das Lager SoSe Beisiel Stanze erweitert Entsrechend erweiterter Automatengrah: Mögliche Zustandsfolgen in grahischer Darstellung: SoSe

6 6 SoSe Nichtdeterministische Automaten Werden Automaten verwendet zur Beschreibung nichtdeterministischer Systeme, so muss die Modellform modifiziert werden: Darstellung als Matrix: Die Zustandsübergangs-Matrix F enthält in mindestens einer Salte mehr als eine. Damit ann + mehr als eine Komonente i + = enthalten. Da F aber auch in einer Zeile mehr als eine enthalten ann, ann die Matrixmultiliation auf Ergebnisse > führen. Die Matrixoeration + = F wird daher um eine Abrundung auf ergänzt, so dass in + eine Komonente i + > auftritt. Die Folge,,...,, + ist eindeutig. Damit ann aus eindeutig ermittelt werden, welche Zustände das System im Schritt + einnehmen ann. SoSe Beisiel Stanze erweitert Automat der Stanze in Matrixdarstellung, Im Zustand z = Z oder z = Z ist z+ nicht definiert und damit die Gleichung ungültig. Daher werden Selbstschleifen eingefügt.

7 Aufgabe für die Nachbereitung Nichtdeterministischer Automat: Wie lautet F für diesen Automaten? Wie lautet die Folge der ersten Zustandsvetoren, wenn z = z? Ab welchem Schritt ann sich das System in jedem beliebigen Zustand aufhalten? SoSe 6 Nichtdeterministische Automaten Nichtdeterministische Automaten erlauben von einem Zustand ausgehend verschiedene Zustandsübergänge. Sie erlauben eine Aussage darüber, welcher Zustandsübergang als nächstes voraussichtlich vollzogen wird. In vielen technischen Systemen treten manche Zustandsübergänge häufiger auf als andere. Zum Beisiel treten Übergänge in Fehlerzustände i.a. seltener auf als Übergänge in erwünschte Zustände. Dies ann mit Hilfe von Ereignis-Auftritts-Wahrscheinlicheiten = Zustands-Übergangs-Wahrscheinlicheiten modelliert werden. Dies führt auf die stochastischen Automaten. SoSe

8 Stochastische Automaten Bei einem stochastischen Prozess ann aus der Kenntnis des Anfangszustands z nicht eindeutig der nachfolgende Zustand z vorhergesagt werden, weil der Zustandsübergang vom Zufall abhängt. Die Wahrscheinlicheit, dass auf den Zustand z der Zustand z folgt, wird beschrieben durch N z P z z z z, z z Die einzelnen Zustandsübergangs-Wahrscheinlicheiten summieren sich zu eins: N z z z Da sich das System immer in irgendeinem Zustand befindet, gilt: z für alle mit z als Wahrscheinlicheit, dass das System sich im Schritt im Zustand z befindet. SoSe Stochastische Automaten Der stochastische Automat ist beschrieben durch seine Zustandsmenge N z seine Zustandsübergangswahrscheinlicheitsverteilung F und die Wahrscheinlicheitsverteilung des Anfangs-zustandes F : N z N [,] : [, ] z N z F setzt sich aus den einzelnen Zustandsübergangswahrscheinlicheiten zusammen: F z z, P z z z z z z SoSe

9 Stochastische Automaten Der Automat ann jede Zustandsfolge durchlaufen, die in einem Zustand z beginnt, den der Automat mit einer nicht verschwindenden Wahrscheinlicheit annimmt, und bei der aufeinander folgende Zustände z, z+ eine nicht verschwindende Übergangswahrscheinlicheit haben: z P z z z z z, z SoSe Stochastische Automaten Mit welcher Wahrscheinlicheit befindet sich der Automat im Schritt + im Zustand z? P z z Dies ann iterativ bestimmt werden: Der Automat ann mit einer gewissen Wahrscheinlicheit im Schritt im Zustand z gewesen sein: Pz z Aus z ann er mit einer gewissen Wahrscheinlicheit nach z übergehen: Pz z z z Die Wahrscheinlicheit, dass der Automat im Schritt in Zustand z gewesen ist und dann nach z übergeht, ermittelt sich aus dem Produt der Wahrscheinlicheiten: Pz z z z Pz z Da es mehrere Zustände z geben ann, von denen aus der Automat nach z übergegangen sein önnte, wird aufsummiert: n P z z Pz z z z Pz z In Kurzform: z SoSe z N zz z z

10 Stochastische Automaten Matrixdarstellung Der Vetor enthält die Zustandswahrscheinlicheiten z. Für Komonenten i gilt: i Pz i Die Matrix F enthält die Zustandsübergangs-wahrscheinlicheiten z z. Für Komonenten f ij gilt: Pz i z j Damit lässt sich + iterativ berechnen: f ij F,,,,... Ist der Vetor der Anfangs-Zustandswahrscheinlicheiten = beannt, lässt sich + auch diret berechnen: F SoSe Beisiel Stanze erweitert Die nichtdeterministische Beschreibung der Zustandsübergänge z' z Beschreibung Stanze ehrt in die Ausgangsosition zurüc Ordnungsgemäßer Transort des Werstücs, aber Blechrolle ist leer Fehlerhafter Transort des Werstüces aus der Stanze in das Lager wird ergänzt um Zustandsübergangswahrscheinlicheiten: =, d.h. eine Blechrolle reicht für durchschnittlich Teile; =, d.h. bei durchschnittlich von Zylen wird ein Werstüc fehlerhaft transortiert. Daraus ergibt sich = - - =, SoSe

11 SoSe Beisiel Stanze erweitert Daraus ergibt sich die Zustandsübergangsmatrix F,,,, SoSe Beisiel Stanze erweitert In welchen Zuständen ann sich die Stanze im Schritt befinden, und wie wahrscheinlich sind diese Zustände? F Zum Beisiel = : =F =,,,6 T. Das heißt, die Wahrscheinlicheit, dass die Stanze nach Schritten in einem fehlerhaften Zustand steht, liegt bei %. Die folgende Darstellung zeigt die Fehlerwahrscheinlicheiten und aufgetragen über den Schritten :

12 Zusammenfassung Nicht-deterministische Automaten Gründe für Nichtdeterminismus Deterministische vs. nicht-deterministische Automaten Darstellung nicht-deterministischer Automat Beisiele Stochastische Automaten Gründe für stochastische Modellierung Übergang vom nicht-deterministischen zum stochastischen Automaten Darstellung stochastischer Automat Beisiele SoSe 6 Aufgabe für die Nachbereitung Wie lautet die Matrixdarstellung für den Automaten auf der Folie Behälter? Beschreiben Sie diesen Automaten mit Hilfe seiner Zustandsübergangsrelation. SoSe

13 Aufgabe für die Nachbereitung Wie sieht der Automatengrah des Roboters Folie aus, wenn nicht festgelegt ist, welches Werstüc als nächstes gegriffen werden soll? Woran ann man im Automatengrahen diesen Nichtdeterminismus erennen? SoSe Aufgabe für die Nachbereitung Modellieren Sie folgendes System als stochastischen Automaten: Ein Fertigungszylus bestehe aus aufeinanderfolgenden Zuständen, die zylisch durchlaufen werden. Aus jedem dieser Zustände wird beim Auftreten eines Fehlers in den allgemeinen Fehlerzustand gewechselt. Aus dem allgemeinen Fehlerzustand ann in einen anderen Zustand als den Anfangszustand übergegangen werden. Die Wahrscheinlicheit, dass von einem Zustand im Fertigungszylus orret zum nächsten gewechselt wird, betrage %. Die Wahrscheinlicheit des Übergangs vom Fehlerzustand in den Anfangszustand betrage % Rearaturquote. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass sich das System nach Schritten im Fehlerzustand befindet? A mit Rearaturrate B mit Rearaturrate % SoSe