Modellierung und Simulation mechatronischer Systeme

Transkript

1 Name: Vorname: Prüfungsklausur im Fach Modellierung und Simulation mechatronischer Systeme 8. August 2011 Aufgabe 1 In der nachfolgenden Tabelle sind zehn physikalische Größen aufgelistet. Kennzeichnen Sie jeweils durch Ankreuzen, ob es sich um eine mengenartige oder um eine nicht-mengenartige Größe handelt. Größe mengenartig nicht-mengenartig Dichte Geschwindigkeit Wärmeleitfähigkeit Impuls Entropie Stoffkonzentration Elektrische Ladung Temperatur Matrikelnummer: Spezifisches Volumen (= reziproke Dichte) Potentielle Energie Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, Schreib- und Zeichenwerkzeug (kein roter Stift) Das Mitbringen nicht zugelassener Hilfsmittel wie Schriftstücke oder lose Blätter gilt als Täuschung und führt zur Nichtanerkennung der Klausur. Notebooks, Telefone und andere Kommunikationsmittel bitte ausschalten! Bitte beachten: 1. Schreiben Sie auf dieses Deckblatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. 2. Alle Lösungen samt Lösungsweg (Begründungen) sind in eindeutiger Weise an den gekennzeichneten Stellen einzutragen. Viel Erfolg! 1 / 15 2 / 15

2 C 1 C 3 Aufgabe 2 Nachfolgend sind verschiedene kontinuierliche Systeme skizziert. Stellen Sie die jeweils geforderte Bilanz für die eingezeichnete Bilanzhülle auf. Vereinfachen Sie die Bilanzgleichung anschließend, soweit dies möglich ist. Die verwendeten Formelzeichen haben folgende Bedeutungen: i: Elektrischer Strom C: Elektrische Kapazität Q: Elektrische Ladung c: Federsteifigkeit F: Kraft I: Impulskomponente E: Energie g: Erdbeschleunigung D: Drall T: Temperatur q V : Volumenstrom a) Elektrisches System: Stellen Sie eine Ladungsbilanz auf. i 4 Bilanzhülle c) Mechanisches System (2): Stellen Sie eine Energiebilanz auf und leiten Sie hieraus die Bewegungsgleichung der Masse m bezüglich der Schwerpunktskoordinate x her. (Hinweis: Die potentielle Energie der Feder beträgt ½ cx 2.) Wand c Bilanzhülle m x (ruhendes Koordinatensystem) F i 1 i 3 C 2 b) Mechanisches System (1): i 2 Stellen Sie eine Impulsbilanz auf und leiten Sie hieraus die Bewegungsgleichung der Masse m bezüglich der Schwerpunktskoordinate x her. (Hinweis: Betrachten Sie alle auf das bilanzierte System wirkenden Kräfte.) Wand Bilanzhülle d) Mechanisches System (3): Die gezeigte Hantel besteht aus zwei Punktmassen m 1 und m 2, die über eine starre, masselose Stange verbunden sind. Die Hantel ist im Punkt G gelenkig aufgehängt und befindet sich unter dem Einfluss der vertikal nach unten wirkenden Schwerkraft. Stellen Sie eine auf den Gelenkpunkt G bezogene Drallbilanz auf. Bilanzhülle L/2 m 2 c m F m 1 L/2 Gelenk G x (ruhendes Koordinatensystem) g 3 / 15 4 / 15

3 e) Thermisches System (reibungsfreie Flüssigkeit konstanter Dichte und Wärmekapazität c W ): Stellen Sie zunächst eine Massenbilanz auf. Formulieren Sie anschließend eine Energiebilanz, die das Verhalten der Mischungstemperatur T definiert; setzten Sie hierbei die Massenbilanz in die Energiebilanz ein. q V,1, T 1 Bilanzhülle Mischungstemperatur T Aufgabe 3 Gegeben ist ein System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t), das durch folgende Gleichung beschrieben wird: a y by u ; a, b = const. a) Zeichnen Sie ein Signalfluss-orientiertes Blockschaltbild, das die obige Gleichung in der Art eines Simulink -Blockdiagramms implementiert. Verwenden Sie dabei keine Differenzierer und möglichst wenige Integratoren. Schreiben Sie die einzustellenden Parameter in Abhängigkeit der Koeffizienten a und b zu den entsprechenden Blöcken. Führen Sie die Eingangsgröße auf der linken Seite und die Ausgangsgröße auf der rechten Seite heraus. q V,2, T b) Zur Implementierung mittels des Simulink -Blocks State-Space soll das System in eine Zustandsraumdarstellung überführt werden: x A x B u ; y C x D u. Geben Sie die Matrizen A, B, C und D vollständig an. 5 / 15 6 / 15

4 Aufgabe 4 Mit Hilfe der Modellierungssprache Modelica können objektorientierte Modelle dynamischer Systeme erstellt werden, beispielweise Modelle elektrischer Schaltungen mit Widerständen und Kondensatoren etc. (wie zum Beispiel in Bild 4.1). resistor_1 resistor_2 c) Welche Aufgabe hat die Modellklasse, die der im Bild gezeigten Komponente ground zugrunde liegt? Ergänzen Sie auch hier den Modelica -Text. Aufgabe der Komponente ground : + - sinevoltage R=1 C=0.001 capacitor_1 R=1 C=0.001 capacitor_2 Bild 4.1: Beispiel eines elektrischen Netzwerkmodells in Modelica a) Ergänzen Sie die erforderlichen Variablendeklarationen im Modelica -Text der verwendeten Schnittstellen-Klasse Pin. ground connector Pin (hier Deklarationen ergänzen) Modelica -Implementierung: model Ground end Pin; b) Vervollständigen Sie die Modellklasse Capacitor so, dass diese das Strom- und Spannungsverhalten von Kondensatoren in Schaltungen wie der obigen beschreibt. Geben Sie neben den erforderlichen Gleichungen auch an, welche zusätzlichen Variablen und/oder Parameter deklariert werden müssen. (Hinweis: Verzichten Sie auf Vererbung.) equation (hier Gleichung[en] ergänzen) end Ground; model Capacitor (hier Deklarationen ergänzen) equation (hier Gleichungen ergänzen) end Capacitor; 7 / 15 8 / 15

5 Aufgabe 5 Im Folgenden ist ein E/A Automat als Tabelle vorgegeben. Die Menge der Eingaben ist E = {u1, u2}, die Menge der Ausgaben A = {y1, y2}. Der Anfangszustand ist z1. z(k+1), y(k) bei u(k) z(k) u1 u2 z1 z2, y1 z4, y1 z2 z3, y2 - z3 z4, y2 z1, y1 z4 - z3, y2 a) Geben Sie den Automatengraphen an. Handelt es sich um einen Mealy-Automaten oder um einen Moore-Automaten? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 6 Gegeben ist ein zyklisches Fertigungssystem mit folgenden Eigenschaften: Ein Fertigungszyklus besteht aus 3 aufeinanderfolgenden Zuständen. Von jedem dieser Zustände kann das System in einen eigenen Fehlerzustand wechseln und aus dem jeweiligen Fehlerzustand wieder zurück in den Fertigungszustand, in dem sich das System vor Auftreten des Fehlers befand. Die Wahrscheinlichkeit, dass von einem der 3 Fertigungszustände korrekt zum nächsten gewechselt wird, beträgt 95 %. Die Rückkehrwahrscheinlichkeit von einem Fehlerzustand in den vorangegangen Fertigungszustand beträgt 85 % (Reparaturquote). a) Geben Sie den Automatengraphen an. b) Ist der Automat vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort. 9 / / 15

6 b) Formulieren Sie die entsprechende Matrixdarstellung des Automaten. Aufgabe 7 Ein autonomer Automat ist gegeben: Z 1 Z 2 Z 4 Z 3 a) Definieren Sie die Zustandsübergangsmatrix F. Wie kann man anhand der Zustandsübergangsmatrix F entscheiden, ob dieser Automat deterministisch oder nichtdeterministisch ist? c) Wie kann man bei gegebenem Anfangszustand berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das System nach 5 Fertigungszyklen nicht in einem Fehlerzustand befindet? b) Ab welchem Schritt kann sich das System in jedem beliebigen Zustand aufhalten? Begründen Sie Ihre Antwort durch einen vollständigen Rechenweg. 11 / / 15

7 Aufgabe 8 Es soll die Steuerung eines Abpumpsystems entworfen werden, das einer Autobahnüberflutung entgegenwirkt. Aufgabe 9 Eine Masse der Größe m kann sich unter dem Einfluss einer gegebenen Kraft F(t) und einer Reibungskraft F R in positiver und negativer x 1 -Richtung bewegen (Bild 9.1a). Das System kann durch das Ereignis Schalter an aktiviert werden und durch das Ereignis Schalter aus deaktiviert werden. Im aktivierten Zustand soll bei Wasserhöhen zwischen 2 cm und 5 cm eine Pumpe laufen, bei Wasserhöhen ab 5 cm sollen zwei Pumpen arbeiten, sonst keine Pumpe. x 1 H max F R Modellieren Sie die Steuerung als hierarchisches Statechart. Orientieren Sie sich an der Simulink /Stateflow -Notation. Das Statechart soll auf seiner obersten Hierarchieebene 2 exklusive Zustände Aktiv und Inaktiv haben. Das Eingangssignal sei die Wasserhöhe ( Höhe ). Das Ausgangssignal ( N ) gibt die Anzahl der laufenden Pumpen an. Bei der Initialisierung seien beide Pumpen aus. m F(t) = u(t) Bild 9.1: Masse mit Reibung H max a. Masse mit Haft-/Gleitreibung b. Kennlinie der Reibungskraft Befindet sich die Masse im Ruhezustand, so kann sich zwischen ihr und dem Untergrund eine Haftreibungskraft zwischen H max und +H max aufbauen. Übersteigt der Betrag der Haftreibungskraft den Wert H max, so setzt sich die Masse in Bewegung und unterliegt von nun an der Gleitreibungskraft G0 sgn( x 1) d x 1 (Bild 9.1b). Umgekehrt bleibt die sich bewegende Masse haften, wenn der Betrag ihrer Geschwindigkeit einen Wert ε 0 ( ε 0 ) unterschreitet. G 0 G 0 x 1 a) Ein hybrider Automat soll das oben beschriebene Verhalten der Masse erzeugen. Die kontinuierliche Eingangsgröße sei stets die Kraft F. Die interessierenden kontinuierlichen Ausgangsgrößen y 1, y 2 sollen die Position und Geschwindigkeit der Masse in x 1 - Richtung sein. Die kontinuierlichen Anfangsbedingung seien x 1(0) 1m und x 1(0) 1m/s. Geben Sie den Automatengraphen an. Notieren Sie in jedem diskreten Zustand die jeweiligen kontinuierlichen Zustandsgleichungen und an jedem diskreten Zustandsübergang die zugehörige Übergangsbedingung sowie den Anfangszustand des neu aktivierten kontinuierlichen Systems. b) Skizzieren Sie qualitativ die Verläufe der unter a) genannten kontinuierlichen Ausgangsgrößen sowie der Größe z, die den aktiven diskreten Automatenzustand angibt. Die kontinuierlichen Anfangsbedingungen seien wieder x1 (0) 1m und x 1(0) 1m/s, die Eingangsgröße F / / 15

8 Lösung zu a): Lösung zu b): x 1 t x 1 t z 15 / 15 t