Modellierung und Simulation mechatronischer Systeme

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1 Name: Vorname: Prüfungsklausur im Fach Modellierung und Simulation mechatronischer Systeme 08. August 014 Aufgabe 1 Nachfolgend sind vier technische Systeme skizziert. Stellen Sie die jeweils geforderte Bilanz für die eingezeichnete Bilanzhülle auf. Vereinfachen Sie die Bilanzgleichung anschließend, soweit dies möglich ist. Die verwendeten Formelzeichen haben folgende Bedeutungen: c: Federsteifigkeit R: elektr. Widerstand : Dichte m: Masse L: elektr. Induktivität p: Druck F: Kraft C: elektr. Kapazität h: Füllhöhe x, z: Koordinate q V : Volumenstrom d: Dämpfungskonstante i: elektr. Strom T: Temperatur a) Translatorisch mechanisches System: Stellen Sie die Energiebilanz auf und leiten Sie hieraus die Bewegungsgleichung der Masse m bezüglich der Schwerpunktskoordinate x her. (Hinweis: Die potentielle Energie der Feder beträgt ½ cx. Vernachlässigen Sie die Erdanziehungskraft.) Wand c Bilanzhülle m F Matrikelnummer: x (ruhendes Koordinatensystem) Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, Schreib- und Zeichenwerkzeug (kein roter Stift, kein Bleistift) Das Mitbringen nicht zugelassener Hilfsmittel wie Schriftstücke oder lose Blätter gilt als Täuschung und führt zur Nichtanerkennung der Klausur. Telefone, PDAs und andere Kommunikationsmittel sind auszuschalten! b) Elektrisches System: Stellen Sie die Ladungsbilanz auf. Bitte beachten: 1. Schreiben Sie auf dieses Deckblatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer.. Alle Lösungen samt Lösungsweg (Begründungen) sind in eindeutiger Weise an den gekennzeichneten Stellen einzutragen. Viel Erfolg! 1 / 19 / 19

2 c) Thermisches System: Stellen Sie zunächst die Massenbilanz für den rechten Behälter (siehe Bilanzhülle) auf (reibungsfreie inkompressible Flüssigkeit mit konstanter Dichte, Wärmekapazität c). Für den Volumenstrom in der Rohrleitung soll gelten: q k p mit Annahme: 1 k 0,01m³/(s Pa) p1 px V p x Formulieren Sie anschließend die Energiebilanz für den rechten Behälter (siehe Bilanzhülle), die das Verhalten der Mischungstemperatur T x definiert. Rechtfertigen Sie gegebenenfalls kurz die Vernachlässigung einzelner Energieformen. d) Translatorisch mechanisches System: Stellen Sie die Impulsbilanz (für m) auf. Zum Zeitpunkt t = 0 sei das System in Ruhe. x(t) sei die Auslenkung von m zum Zeitpunkt t bezogen auf die Position x 0 = x(t = 0). z(t) entsprechend die Auslenkung des unteren Angriffspunkts bezogen auf z 0 = z(t = 0). Setzen Sie im Verlauf die Massenbilanz in die Energiebilanz ein. Ersetzen Sie q V, p 1 und p x durch entsprechende Zusammenhänge. q V,1, T 1 q V,, T Bilanzhülle h 1 T 1 Rohrleitung T x 1 p 1 p x h x q V q V,3, T x 3 / 19 4 / 19

3 Aufgabe a) Gegeben ist ein System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t), das durch folgende Gleichung beschrieben wird: 3 1 d y 1 d y dy 1 l y u. 3 k dt m dt dt n Zeichnen Sie ein Signalfluss-orientiertes Blockschaltbild, das die obige Gleichung in der Art eines Simulink -Modells implementiert. Schreiben Sie die einzustellenden Parameter in Abhängigkeit der Koeffizienten k, l, m und n zu den entsprechenden Blöcken. Führen Sie die Eingangsgröße auf der linken Seite und die Ausgangsgröße auf der rechten Seite heraus. Verwenden Sie keinen Differenzierblock! b) Gegeben ist ein System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t), das durch folgende Gleichung beschrieben wird: 1 d y dy 1 q y u p dt dt r Zur Implementierung mithilfe des Simulink -Blocks State-Space soll das System in eine Zustandsraumdarstellung überführt werden: x A x B u ; y C x D u. Geben Sie die Matrizen A, B, C und D vollständig an. c) Geben Sie zum folgenden Simulink -Blockschaltbild die zugehörige (integralfreie) Differentialgleichung der Ausgangsgröße y(t) in Abhängigkeit von der Eingangsgröße u(t) an. 5 / 19 6 / 19

4 Aufgabe 3 Mit Hilfe der Modellierungssprache Modelica können objektorientierte Modelle dynamischer Systeme erstellt werden, beispielweise Modelle translatorisch mechanischer Netzwerke mit Massen, Federn und Dämpfern, etc. (vgl. Bild 3.1). model Mass Flange a linker/oberer Flange ; Flange b rechter/unterer Flange ; (hier Deklarationen ergänzen) equation (hier Gleichungen ergänzen) end Mass; Bild 3.1: Beispiel eines translatorisch mechanischen Netzwerkmodells in Modelica Hinweis: Verwenden Sie im Folgenden stets den Datentyp real bei Variablendeklarationen. c) Welche Aufgabe hat die Modellklasse, die der in Bild 3.1 gezeigten Komponente fixed zugrunde liegt? Ergänzen Sie auch hier den Modelica -Text. a) Ergänzen Sie die erforderlichen Variablendeklarationen im Modelica -Text der verwendeten Schnittstellen-Klasse Flange für translatorisch mechanische Netzwerke. Fügen Sie zur Erklärung der definierten Variablen geeignete Kommentare ein. connector Flange (hier Deklarationen ergänzen) Modelica -Implementierung: end Flange; b) Vervollständigen Sie den Modelica -Text zur Modell-Klasse Mass so, dass diese das Kraft- und Positionsverhalten einer punktförmigen Masse in translatorisch mechanischen Netzwerken beschreibt. Achten Sie bei der Variablendeklaration auch darauf, ob die jeweilige Variable vom Nutzer zugreifbar sein sollte oder nicht. (Hinweis: Verzichten Sie auf Vererbung.) model Fixed Flange b (rechter) Flange ; parameter Real s0=0 Bezugsposition ; equation (hier Gleichung[en] ergänzen) end Fixed; 7 / 19 8 / 19

5 Aufgabe 4 Gegeben ist ein mit Luft gefülltes Rohr der Länge 4L, das an der Stelle z = 4L luftdicht verschlossen ist, siehe Bild 4.1. Die Luftsäule im Rohr wird durch eine schwingende Piezo- Platte, die sich an der Stelle z = 0 befindet, in longitudinale Schwingungen (d.h. nur Auslenkungen in z-richtung) versetzt. a) Verteilen Sie auf der Rohrlänge 4L inklusive Rand fünf äquidistante Punkte z 0 bis z 4 und tragen Sie diese in Bild 4.1 ein. Stellen Sie für jeden Punkt im inneren Bereich des Rohres die partielle Differentialgleichung auf. Schwingende Piezo-Platte Rohr Luft z 0 4L Bild 4.1: Rohr der Länge 4L b) Approximieren Sie die örtlichen Differentialquotienten in den partiellen Differentialgleichungen aus Aufgabenteil a) durch zentrale Differenzenquotienten. Die Piezo-Platte schwingt dabei mit der gegebenen Elongation e 0 (t) um ihre Ruhelage in z- Richtung. Die Elongation e(t, z) der Luft im Rohr wird durch die Differentialgleichung ² e( t, z) e( t, z) C z² t beschrieben. Hierbei ist C eine Konstante. Anfangsbedingungen: ( ) e ( t,z) e t,z 0 0 t 0 t Randbedingungen: e ( t, 0) e 0 ( t ) e ( t, 4L) 0 t 0 Gesucht ist ein lineares Zustandsraummodell für die Elongation. Die Ausgangsgleichung soll y(t) = e(t, L) sein. 9 / / 19

6 c) Setzen Sie die Randbedingungen ein und stellen Sie das lineare Zustandsraummodell in folgender Form auf: x A x b u T y c x d u Aufgabe 5 Im Folgenden ist ein E/A Automat als Tabelle vorgegeben. Die Menge der Eingaben ist E = {u1, u}, die Menge der Ausgaben A = {y1, y}. Der Anfangszustand ist z1. z(k+1) bei u(k) z(k), y(k) u1 u z1, y z z4 z, y1 z3 - z3, y1 z4 z1 z4, y - z3 a) Geben Sie den Automatengraphen an. b) Handelt es sich um einen Mealy-Automaten oder um einen Moore-Automaten? Begründen Sie Ihre Antwort. 11 / 19 1 / 19

7 c) Ist der Automat vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 6 Gegeben ist ein zyklisches Fertigungssystem mit folgenden Eigenschaften: Ein Fertigungszyklus besteht aus 4 aufeinanderfolgenden Zuständen Z1, Z, Z3, Z4. Anfangszustand ist Z1. Tritt ein Fehler in Z1 oder Z auf, wechselt das System in den Fehlerzustand F1. Aus dem Fehlerzustand F1 wechselt das System in Z1. (Die hier notwendige Initialisierung wird vernachlässigt.) Tritt ein Fehler in Z3 oder Z4 auf, wechselt das System in den Fehlerzustand F34. Aus dem Fehlerzustand F34 wechselt das System in Z3. (Die hier notwendige Initialisierung wird vernachlässigt.) Die Wahrscheinlichkeit, dass von einem der 4 Fertigungszustände korrekt zum nächsten gewechselt wird, beträgt 98 %. Die Rückkehrwahrscheinlichkeit vom Fehlerzustand F1 in den Zustand Z1 beträgt 70 % (Reparaturquote). Die Rückkehrwahrscheinlichkeit vom Fehlerzustand F34 in den Zustand Z3 beträgt 80 % (Reparaturquote). a) Geben Sie den Automatengraphen des stochastischen Automaten an. 13 / / 19

8 b) Formulieren Sie die entsprechende Matrixdarstellung des Automaten. Aufgabe 7 Es soll die Steuerung von Beleuchtung und Heizung im Rahmen einer Gebäudeautomation in Form eines hierarchischen Statecharts mit drei Hierarchieebenen entworfen werden. Eingangsseitig verarbeitet die Steuerung die beiden Events On_Off und PartyMode. Außerdem das Datensignal Presence: 0 entspricht abwesend, 1 entspricht anwesend. (Das Event Clock dient lediglich als periodisches Triggersignal aus Simulink und muss im Folgenden nicht beachtet werden.) Ausgangsseitig werden einerseits die beiden binären Datensignale LightsA (=Schaltzustand Beleuchtungsgruppe A) und LightsB (=Schaltzustand Beleuchtungsgruppe B) beschaltet: 0 entspricht ausgeschaltet, 1 entspricht eingeschaltet. Andererseits wird das Datensignal Heating beschaltet: Zugewiesen wird der Sollwert der Raumtemperatur als integer-wert (vgl. Bild 7.1). c) Wie kann man bei gegebenem Anfangszustand berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das System nach 30 Fertigungszyklen nicht in einem Fehlerzustand befindet? Bild 7.1: Simulink -Modell mit Statechart House Die Gebäudeautomation wird durch das Event On_Off ein- bzw. ausgeschaltet. Im ausgeschalteten Zustand sind die Datenausgänge LightsA und LightsB gleich 0; Heating gleich 18. Im eingeschalteten Zustand sind bei Abwesenheit LightsA und LightsB gleich 0, der Heizungssollwert gleich 18. Bei Anwesenheit ist LightsA gleich 1, LightsB gleich 0, der Heizungssollwert gleich 1. Durch das Event PartyMode erfolgt der Wechsel zwischen Anwesenheit und Party-Modus. Im Party-Modus sind LightsA und LightsB gleich 1, Heating gleich / / 19

9 Modellieren Sie die Steuerung des Gebäudes als hierarchisches Statechart. Orientieren Sie sich an der Simulink /Stateflow -Notation. Auf der obersten Hierarchieebene soll das Statechart die beiden exklusiven Zustände Off und On haben. Auf der mittleren Hierarchieebene soll das Statechart die beiden parallelen Zustände Lighting und Heating zur parallelen Steuerung von Beleuchtung und Heizung haben. Auf der unteren Hierarchieebene unterscheidet die Steuerung jeweils die Zustände Away, AtHome und Party. Wählen Sie Initialzustände, falls nötig. Aufgabe 8 Eine Masse der Größe m kann sich unter dem Einfluss einer gegebenen Kraft F(t) und einer Reibungskraft F R in positiver und negativer z-richtung bewegen (Bild 8.1a). z H max F R m F(t) = u(t) G 0 z G 0 H max a. Masse mit Haft-/Gleitreibung b. Kennlinie der Reibungskraft Bild 8.1: Masse mit Reibung Befindet sich die Masse im Ruhezustand, so kann sich zwischen ihr und dem Untergrund eine Haftreibungskraft zwischen H max und +H max aufbauen. Übersteigt der Betrag der Kraft F(t) den Wert der maximalen Haftreibungskraft H max, so setzt sich die Masse in Bewegung und unterliegt von nun an der Gleitreibungskraft G0 sgn( z ) d z (Bild 8.1b). Umgekehrt bleibt die sich bewegende Masse haften, wenn der Betrag ihrer Geschwindigkeit einen Wert ε 0 ( ε 0 ) unterschreitet. a) Ein hybrider Automat soll das oben beschriebene Verhalten der Masse erzeugen. Die kontinuierliche Eingangsgröße u sei stets die Kraft F. Die interessierenden kontinuierlichen Ausgangsgrößen y 1, y sollen die Position und Geschwindigkeit der Masse in z- Richtung sein. Die kontinuierlichen Anfangsbedingung seien z ( 0) 1m und z ( 0) 1m/s. Geben Sie den Automatengraphen an. Notieren Sie in jedem diskreten Zustand die jeweiligen kontinuierlichen Zustandsgleichungen und Ausgangsgleichungen, sowie an jedem diskreten Zustandsübergang die zugehörige Übergangsbedingung und den Anfangszustand des neu aktivierten kontinuierlichen Systems. b) Skizzieren Sie qualitativ die Verläufe der unter a) genannten kontinuierlichen Ausgangsgrößen sowie der Größe q, die den aktiven diskreten Automatenzustand angibt. Die kontinuierlichen Anfangsbedingungen seien wieder z ( 0) 1m und z ( 0) 1m/s, die Eingangsgröße F sei in diesem Fall gleich / / 19

10 Lösung zu a): z Lösung zu b): t z t q t 19 / 19