Proseminar Spieltheorie - Mehrstufige Spiele -

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1 Proseminar Spieltheorie - Mehrstufige Spiele - Thorsten Tasch 11. Mai 006 Zusammenfassung Wir haben bis jetzt fast ausschließlich Spiele betrachtet, die aus jeweils genau einem Spielzug zweier Spieler bestehen. In diesem Abschnitt soll nun auf Spielen mit mehreren Zügen näher eingegangen werden. Dazu werden wir als erstes den Begriff der Verhaltensstrategie einführen, der eine für solche Spiele bessere Beschreibung von Strategien zulässt. Danach sollen mit den Spielen bis zur Erschöpfung und den stochastischen Spielen exemplarisch zwei Beispiele solcher Spiele näher betrachtet werden. 1 Verhaltensstrategien Bis jetzt haben wir zur Beschreibung von Strategien auschließlich reine und gemischte Strategien benutzt. Diese Möglicheit der Beschreibung war sowohl für die betrachteten Zwei-Personen-Nullsummenspiele als auch für die schon weitergehenden unendlichen Spiele immer ausreichend und zwecmäßig. Wir wollen nun Spiele betrachten, die auch aus vielen einzelnen Spielzügen bestehen, was uns am Ende dieses Abschnittes zur Definition der mehrstufigen Spielen führen wird. Zunächst soll jedoch untersucht werden, ob die bisherigen Strategiebegriffe noch ausreichend und sinnvoll anwendbar sind. Betrachten wir als erstes das beannte Spiel Vier-Gewinnt. Das Konzept der reinen und gemischten Strategien impliziert, dass der Spieler am Anfang alle möglichen reinen Strategien, d. h. Zugfolgen, überbedent und seine Entscheidung dann für eine seiner reinen Strategien trifft. Niemand würde dieses Spiel aber so spielen. Stattdessen trifft man als Spieler nur eine Entscheidung Zug für Zug; dies führt dann auch dazu, dass er bei seiner Entscheidung die Züge seines Gegners mitberücsichtigen ann. Statt sich schon am Anfang für eine seiner 1 N reinen Strategien zu entscheiden würde sich der Spieler also in jeder seiner N Informationsmengen jeweils zwischen i Möglicheiten wählen. Ein solches Konzept wäre also näher an der Realität. Dies führt auch zu pratischen Erleichterungen, weil sonst die Anzahl der reinen Strategien bei langen Spielen äußerst groß werden ann. Betrachten wir dazu zur Vereinfachung ein vollständiges Spiel, sondern nur ein Spieler und seine Entscheidungsmöglicheiten. Seien dazu Parplätze und Autos gegeben. Der Spieler muss alle Autos auf die Parplätze verteilen (pro Parplatz natürlich nur ein Auto!). Die Reihenfolge der Wagen ist dabei fest vorgegeben und wir setzen weiterhin voraus, dass nach jedem Einparen die Parplätze unter Auslassung der schon belegten neu durchnummeriert werden, d. h. wir brauchen uns 1

2 um besetzte Parplätze eine Gedanen zu machen. Während er für Wagen 1 noch Möglicheiten hat, sind es für Wagen nur noch 1 Möglicheiten; insgesamt gibt es also! Möglicheiten, die Autos auf die Parplätze zu verteilen, und damit insgesamt! reine Strategien. Die Menge der gemischten Strategien hat damit die Dimension! 1. Wie im obigen Beispiel liegt es also nahe, die durch die gemischte Strategien beschriebenen Wahrscheinlicheitsverteilungen statt wie vorher global jetzt loal zu realisieren. Dazu wollen wir jetzt einen neuen Begriff einführen: 1.1 Definition (Verhaltensstrategie). Eine Menge von Wahrscheinlicheitsverteilungen, die jeweils auf einer Informationsmenge definiert sind, heißt Verhaltensstrategie. Wenden wir dies nun auf unser Beispiel an: Wie oben haben wir für den ersten Wagen Möglicheiten, die Menge der zugehörigen Wahrscheinlicheitsverteilungen hat also die Dimension 1, und wir erhalten als Dimension der Menge der Verhaltensstrategien ( i) = i=1 ( 1) (1.1) Diese Zahl ist offensichtlich wesentlich geringer als die Dimension der Menge der gemischten Strategien. Wir önnen sogar zu jeder Verhaltensstrategie eine in Bezug auf die erwartete Auszahlung äquivalente gemischte Strategie bestimmen. Dazu betrachtet man jede reine Strategie einzeln; die Wahrscheinlicheit für das Spielen dieser Strategie ist dann gerade das Produt der zugehörigen loalen Wahrscheinlicheiten. Umgeehrt gilt dies jedoch i. A. nicht, was folgendes Beispiel verdeutlicht: 1. Beispiel. Betrachten wir aus dem Buch das Beispiel II.5.9, das durch folgende Grafi beschrieben wird: Die optimale Strategie von Spieler in diesem Spiel ist

3 (0, 5 7,, 0) (1.) 7 Angenommen, diese Strategie wäre durch eine Verhaltensstrategie (y 1, y ) darstellbar (Anmerung: Dies ist eine im Buch verwendete Kurzschreibweise; die Wahrscheinlicheitsverteilung in der ersten Informationsmenge ist dann (y 1, 1 y 1 ) und in der zweiten (y, 1 y )). Offensichtlich wäre damit die gemischte Strategie (y 1 y, y 1 (1 y ), (1 y 1 )y, (1 y 1 )(1 y )) (1.3) Man sieht aber sofort, dass damit die schon beannte optimale gemischte Strategie nicht darstellbar ist. Somit ist das Spiel mit Hilfe von Verhaltensstrategien nicht lösbar. Das Problem resultiert daher, dass der Spieler bei seinem zweiten Zug die Folgen seines ersten Zuges nicht beachtet bzw. sich gar nicht mehr an seine damalige Entscheidung erinnern ann. Man spricht daher von Spielen mit unvollommenen Erinnerungsvermögen; die Definition dafür wollen wir nun urz festhalten: 1.3 Definition (Perfetes Erinnerungsvermögen). Ein Spiel heißt Spiel mit perfetem Erinnerungsvermögen, wenn jedem Spieler alle Informationen, die ihm schon zu einem früheren Zeitpunt beannt waren, auch zu jedem späteren Zeitpunt beannt sind. Auf diese Problemati soll im Folgenden nicht weiter eingegangen werden. Stattdessen werden unsere Spiele vom Grundsatz her immer folgenden Aufbau haben: Vor jedem Spielzug besitzen beide Spieler volle Information. Spieler 1 spielt eine seiner reinen Strategien. Daraufhin spielt auch Spieler eine seiner reinen Strategien, ohne über den Zug von Spieler 1 Kenntnis zu haben. Die Runde wird durch einen möglichen Zufallszug abgeschlossen. Abschließend erhalten beide Spieler wieder gleichzeitig volle Information. Es versteht sich von selbst, dass dies nicht bei jedem Spiel exat gleich sein muss. Die Grundidee, ein Spiel in einzelne Spielrunden, sog. Stufen, einzuteilen, zu deren Beginn beide Spieler volle Information besitzen, wird aber bei den im Folgenden exemplarischen vorgestellten Spieltypen immer dieselbe sein. Außerdem gleichen die einzelnen Stufen den schon beannten Zwei-Personen-Nullsummenspielen, die nur um einige neue Elemente für mehrstufige Spiele erweitert werden. Spiele bis zur Erschöpfung Der Leitgedane der Spiele bis zur Erschöpfung ist, dass jeder Spieler mit einer endlichen Reserve beginnt. In jeder Stufe des Spiels wird dann die Reserve (mindestens) eines Spielers gemindert. Zusätzlich sind auch gemeinsame Reserven, z. B. zur Repräsentation eines zeitlichen Fators, denbar. Aus der Endlicheit der Reserven folgt damit gezwungermaßen die Endlicheit des Spiels. Sieger ist derjenige Spieler, der am Ende des Spiels seine Reserve noch nicht aufgebraucht hat. Alternativ ann man sich ein solches Spiel auch so vorstellen, dass in jeder Runde ein Spieler Punte gutgeschrieben riegt und der Spieler gewinnt, der zuerst eine vorgegebene Puntzahl erreicht. 3

4 Wie angeündigt sollen zur Beschreibung dieser Spiele die von den Zwei- Personen-Nullsummenspiele beannten Matrizen verwendet werden. Neben einer Auszahlung önnen diese jetzt aber alternativ auch als Eintrag die Anweisung für das Spielen der nächsten Stufe enthalten. Da nach Definition das Spiel endlich ist, existiert mindestens eine Matrix, die nur Auszahlungen als Einträge enthält. Offensichtlich ist es also möglich, solche Spiele rücwärts zu lösen. Genau dieser Sachverhalt soll im folgenden Beispiel gezeigt werden:.1 Beispiel. In diesem Spiel existieren zwei Spieler, die in jeder Runde die Wahl zwischen zwei Möglicheiten haben, sagen wir Kopf oder Zahl. Wählen beide Spieler dieselbe Auswahlmöglicheit, so erhält Spieler 1 einen Punt, im anderen Fall Spieler. Das Spiel ist zu Ende, sobald ein Spieler zwei Punte hat; damit ist das Spiel auf maximal drei Runden begrenzt. Die Auszahlung soll die Differenz der Puntzahlen beider Spieler sein. Das Spiel lässt sich durch folgende vier Matrizen beschreiben: Γa Γ Γ 1 = b (.1) Γ b Γ a Γ3 Γ a = (.) Γ 3 Γ3 Γ b = (.3) Γ Γ 3 = (.4) 1 1 In den Matrizen bedeutet dabei der Eintrag Γ, dass bei Wahl dieser Möglicheit das Spiel Γ gespielt werden soll. Da wir nur mit Erwartungswerten rechnen, dürfen wir diesen Eintrag gegen den Wert des Spiels Γ ersetzen. Deshalb lassen sich der Werte der Spiele und die optimalen Strategien der Spieler dadurch bestimmen, indem man suzessive die Werte der einzelnen Matrizen berechnet und passend einsetzt. Dazu önnen wir das im Kapitel über Zwei-Personen-Nullsummenspiele erworbene Wissen nutzen, u. a. also folgende Formeln für Spiele ohne Sattelpunt: det(γ) v = (1, 1) adj(γ)(1, 1) T (.5) (1, 1) adj(γ) x = (1, 1) adj(γ)(1, 1) T (.6) y = adj(γ)(1, 1) T (1, 1) adj(γ)(1, 1) T (.7) Im Beispiel erhält man für die Spiele folgenden Werte: v 1 = 0 (.8) v a = 1 (.9) v b = 1 (.10) v 3 = 0 (.11) 4

5 Im letzten Schritt bestimmen wir noch die optimale Strategien beider Spieler für die einzelnen Spiele: x 1 =, 1 ) y 1 =, 1 ) (.1) x a =, 1 ) y a =, 1 ) (.13) x b =, 1 ) y b =, 1 ) (.14) x 3 =, 1 ) y 3 =, 1 ) (.15) Der Wert v 1 = 0 und die optimalen Strategien zeigen, dass dieses Spiel wirlich ein faires Zufallsspiel ist und nicht ein Spieler bevorzugt wird. Wie man sich leicht vorstellen ann, ist es zu aufwändig, längere Spiele nach diesem Verfahren von Hand zu lösen. Häufig lassen sich jedoch reursive Beziehungen zwischen den einzelnen beschreibenden Matrizen finden, die zu einer allgemeinen Lösung führen önnen. Allerdings önnen dabei auch äußerst omplizierte Differentialgleichungen entstehen, die aum lösbar sind. Einen einfachen Fall zeigt folgendes Beispiel:. Beispiel. Beide Spieler besitzen jeweils N Karten, davon je eine Trumpfarte. Offensichtlich dauert dieses Spiel also höchstens N Runden. Spielen Spieler 1 und Spieler ihre Trumpfarten, so erhält Spieler 1 einen Punt; spielt nur Spieler seine Trumpfarte, so erhält Spieler einen Punt. Wenn Spieler 1 seine Trumpfarte spielt, Spieler dagegen nur eine normale Karte, so erhält niemand einen Punt. In allen drei Fällen ist das Spiel damit auch beendet. Im letzten Fall, d. h. wenn ein Spieler seine Trumpfarte spielt, geht das Spiel in seine nächste Runde. Dieses Spiel lässt sich für N > 1 reursiv durch folgende Matrix beschreiben: 1 0 Γ N = (.16) 1 Γ N 1 Zusätzlich gilt für den Wert des Spiels folgende Anfangsbedingung: v 1 = 1 (.17) Zuerst ist zu überprüfen, ob Γ N einen Sattelpunt besitzt. Dies ist für N = offensichtlich nicht der Fall. Für unsere weiteren Betrachtungen wollen wir den Wert des Spiels explizit angeben; es gilt Mittels Indution folgt dann v N = v N 1 + v N 1 (.18) 1 v N = N 1 (.19) Damit gilt v N > 0 für alle N N und somit hat Γ N einen Sattelpunt. Daher beschreibt das so bestimmte v N den Wert jedes Spielelements. Zur Berechnung der optimalen Strategien dürfen wir jetzt v N 1 in Γ N einsetzen: 5

6 1 0 Γ N = 1 1 N 1 1 Unter der Benutzung der beannten Formeln folgt dann x N N 1 = N 1 ; N 1 1 N 1 1 y N = N 1 ; N N 1 (.0) (.1) (.) Dass die Berechnung nicht immer so einfach ist, zeigt folgendes Beispiel, das nur eine erweiterte Version des vorherigen Beispiels darstellt:.3 Beispiel. Sei das Spiel wie oben gegeben, jedoch mit folgender Abweichung: Spielen Spieler 1 und Spieler ihre Trumpfarten, so erhält Spieler 1 N Punte; spielt nur Spieler seine Trumpfarte, so erhält Spieler N Punte. Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel hängen also die zu vergebenen Punte von der Spielstufe ab, in dem sich das Spiel jeweils befindet. Dieses Spiel lässt sich für N > 1 reursiv durch folgende Matrix beschreiben: N 0 Γ N = (.3) N Γ N 1 Zusätzlich gilt für den Wert des Spiels folgende Anfangsbedingung: v 1 = 1 (.4) Für N = 1 hat das Spiel einen Sattelpunt und für N > 1 folgt dies wegen v N = Nv N 1 v N 1 + N (.5) durch Anwendung von Indution. Mittels obiger Gleichung lassen sich für bestimmte N auch Werte und optimale Strategien berechnen. Die Bestimmung einer allgemeinen, nicht reursiven Formel ist jedoch schwieriger als im vorherigen Beispiel. Daher bleibt die Berechnung dem geneigten Leser überlassen. 3 Stochastische Spiele Die stochastischen Spiele gleichen den im vorherigen Abschnitt vorgestellten Spielen bis zur Erschöpfung. Auch sie bestehen aus einzelnen Spielelementen, die wiederum den aus den Zwei-Personen-Nullsummenspiele beannten Matrizen gleichen. Es bestehen jedoch einige bedeutende Unterschiede: Nach jedem Spielelement findet eine Auszahlung statt. Das danach zu spielende Spielelement ist nicht durch die Wahl der reinen Strategien beider Spieler strit festgelegt, sondern es besteht ein Zufallsmechanismus; dazu enthält die Matrix die notwendigen Wahrscheinlicheiten. Selbiges gilt zum Beenden des Spiels. Es ann wieder zu vorherigen Spielelementen zurücgeehrt werden. 6

7 Theoretisch ann deshalb das Spiel unendlich lang andauern und es önnen unendliche Auszahlungen erzielt werden; durch die Wahl der Wahrscheinlicheiten beim Zufallsmechanismus wird jedoch die Endlicheit garantiert. Dies führt uns zu folgender Definition: 3.1 Definition (Stochastisches Spiel). Eine Menge von p Spielelementen bzw. Positionen Γ heißt stochastisches Spiel, wenn jedes Spielelement durch m n - Matrizen (b ij ) mit Elementen der Form beschrieben wird. b ij = a ij + ij Γ l (3.1) ij 0 (3.) ij < 1 (3.3) Jedes Spielelement Γ des stochastischen Spiels wird also wie gewöhnlich durch eine Matrix (b ij ) beschrieben. Spielt Spieler 1 seine i-te und Spieler seine j-te Strategie, so ist a ij die Auszahlung in dieser Spielstufe. Die Zahlen qij l beschreiben die Wahrscheinlicheit dafür, dass als nächstes Spielelement Γ l gespielt wird. Offensichtlich ist qij 0 = 1 qij l die Wahrscheinlicheit dafür, dass das Spiel nach dem Spielen des -ten Spielelements beendet ist. Da nach Definition qij 0 > 0 für alle = 1,..., p gilt, ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass ein stochastisches Spiel unendlich ist, gleich Null. Das Konzept zur Beschreibung von Strategien gleicht dem der Verhaltensstrategien, die am Anfang schon vorgestellt wurden. Auch hier werden Wahrscheinlicheitsverteilungen für jede Informationsmenge angegeben, d. h. der Zufallsmechanismus wirt loal, im Gegensatz zu den gemischten Strategien. Dabei sind zwei verschiedene Aspete zu unterscheiden: Erstens ann (und wird) eine Strategie davon abhängen, welches Spielelement gerade gespielt wird. Dies war schon bei den Spielen bis zur Erschöpfung der Fall. Zweitens ist auf Grund der Konzeption der stochastischen Spiele auch ein zeitlicher Aspet zu berücsichtigen. Es wäre nämlich durchaus denbar, wenn ein Spielelement in der 10. Stufe gespielt wird, eine andere Stra- tegie zu wählen, als wenn es früher gespielt wird. Dies ist umso wichtiger, da ein Spielelement ja durchaus mehrmals gespielt werden ann. Hierauf werden wir jedoch nicht näher eingehen. Dazu folgende Definition: 3. Definition (Strategie). Sei ein stochastisches Spiel mit p Spielelementen gegeben. Eine Menge von m -Vetoren x t mit = 1,..., p und t N heißt 7

8 Strategie des Spielers 1, wenn gilt: m x t i = 1 (3.4) i=1 Eine Strategie heißt stationär, wenn gilt: x t i 0 (3.5) x s = x t s, t N (3.6) Entsprechend ist die Strategie von Spieler eine Menge von n -Vetoren y t. Befindet sich also Spieler 1 in der t-ten Stufe des Spiels im Spielelement Γ, ist x t i die Wahrscheinlicheit dafür, dass er seine i-te Strategie anwendet. Ist die Wahrscheinlicheit, genauer der ganze Vetor x t, unabhängig davon, in welcher Stufe t sich der Spieler befindet, spricht man von einer stationären Strategie. Nun wollen wir uns mit der tatsächlichen Berechnung des Wertes eines stochastischen Spiels beschäftigen. Auf Grund der Ähnlicheiten zu den Spielen bis zur Erschöpfung önnte man meinen, dass dies genauso (einfach) geht wie zuvor. Der erste Schritt ist nämlich sogar der gleiche, da wir wieder die Anweisung, das nächste Spielelement zu spielen, gegen den Wert des Spieles austauschen dürfen. Dies führt aber nur zu einer impliziten Definition, da z. B. das gleiche Spielelement mehrmals hintereinander gespielt werden darf und dann der Wert von sich selbst abhängt. Wir müssen also die Existenz und Eindeutigeit des Wertevetors zeigen, zuerst wollen wir den Sachverhalt aber formal festhalten: 3.3 Satz. Sei ein stochastisches Spiel mit p Spielelementen B = (b ij ) gegeben. Dann existiert ein Vetor v = (v 1,..., v p ) mit den Eigenschaften b ij = a ij + Dieser Vetor ist eindeutig bestimmt. ij v l (3.7) v = val(b ) (3.8) Zum Beweis wollen wir erst folgendes Lemma zeigen: 3.4 Lemma. Seien A = (a ij ) und B = (b ij ) m n-matrizen mit für ein. Dann gilt a ij < b ij + i = 1,..., m; j = 1,..., n (3.9) val(a) < val(b) + (3.10) Beweis (Lemma). Sei y eine optimale Strategie von Spieler in B. Dann gilt für alle i: n n n a ij y j < b ij y j + y j val(b) + (3.11) j=1 j=1 da y j = 1 und b ij y j val(b) wegen y optimal in B gelten. Sei nun außerdem x eine optimale Strategie von Spieler 1 in A. Dann gilt: m n m val(a) x i a ij y j < x i (val(b) + ) = val(b) + (3.1) i=1 j=1 i=1 da x i = 1 und x i a ij val(a) für alle j wegen x optimal in A gelten. j=1 8

9 Beweis (Satz). Als erstes wollen wir die Eindeutigeit zeigen. Seien also v und w zwei verschiedene Vetoren, die die in der Behauptung geforderten Eigenschaften erfüllen. Wähle nun so, dass v w maximal ist. Sei außerdem c = v w und o. B. d. A. c > 0. Definiere nun die zugehörigen Matrizen B und B durch Damit folgt sofort b ij = a ij + b ij = a ij + b ij b ij = und somit nach vorherigem Lemma ij v l (3.13) ij w l (3.14) ij (v l w l ) < c (3.15) v = val(b ) < val(b ) + c = w + c (3.16) Nach Voraussetzung gilt aber v w = c. Aus diesem Widerspruch folgt die Eindeutigeit des gesuchten Vetors. Jetzt ist noch die Existenz des gewünschten Vetors zu zeigen. Dafür definieren wir eine Folge, die gegen diesen Vetor onvergiert. Sei also (v r ) r=0 eine Folge von Vetoren mit Sei nun v 0 = (0,..., 0) (3.17) b r ij = a ij + qij l vl r (3.18) v r+1 s = max i,j, = val((b r ij )) (3.19) { Sei außerdem r N beliebig, mit v r+1 maximal. Dann gilt: a ij + ij v r l ij v r l v r 1 qij l v r 1 l l ij } qij l v r 1 l s vn r vn r 1 a ij + < 1 (3.0) v r maximal und n mit vr n v r 1 n ij s (3.1) s v r n v r 1 n (3.) s v r n v r 1 n (3.3) a ij + ij v r l (3.4) qij l v r 1 l + s vn r vn r 1 9

10 Durch Anwendung des Lemmas folgt: v r s vn r vn r 1 v r+1 v r + s vn r vn r 1 (3.5) v r+1 v r s v r n v r 1 n (3.6) Mittels Dreiecsungleichung und Abschätzung durch die geometrische Reihe sieht man sofort, dass die Folge (t r ) mit t r = max v r+1 v r eine Cauchy- Folge ist und onvergiert. Damit onvergiert auch die Folge der Vetoren (v r ) gegen einen Grenzvetor v. Sei nun b ij = a ij + ij v l (3.7) w = val((b ij)) (3.8) Es ist zu zeigen, dass v = w für alle = 1,..., p gilt. Sei ɛ > 0. Für alle und schließlich alle r N gilt dann wegen Konvergenz: v r v < ɛ (3.9) Damit gilt a ij + ij v l ɛ < ij v l ɛ < a ij + ij v r l v l < ɛ ij v r l < ij v r l < a ij + ij v l + ɛ ij v l + ɛ (3.30) (3.31) (3.3) und mittels Lemma folgt w ɛ < vr+1 < w + ɛ v r+1 w < ɛ (3.33) (3.34) Dann gilt und da ɛ beliebig folgt v = w. v w v v r+1 + v r+1 w < ɛ (3.35) Der Existenzbeweis ann zur Approximation des Wertevetors verwendet werden. Dazu nutzt man die in den Gleichungen (3.17)-(3.19) definierte Folge v r, die wie gezeigt gegen den Wertevetor des stochastischen Spiels onvergiert. Wie bei den Spielen bis zur Erschöpfung ann man dann in den Matrizen die Anweisung, das -te Spielelement zu spielen, gegen den Wert des -ten Spielelements ersetzen. Mittels den beannten Formeln lässt sich dann die optimale (stationäre) Strategie bestimmen. Die dadurch enstehenden Folgen x r und y r onvergieren offensichtlich gegen die optimalen (stationären) Strategien beider Spieler. Diese Methode soll an den folgenden Beispielen gezeigt werden: 10

11 3.5 Beispiel. Zwei Spieler haben in jeder Runde die Wahl zwischen zwei Möglicheiten. Wählen beide dieselbe, so erhält Spieler 1 einen Punt, sonst Spieler. Durch Münzwurf wird entschieden, ob das Spiel weitergespielt wird. Dieses Spiel lässt sich durch folgende Matrix beschreiben: ( Γ = Γ Γ ) Γ Γ (3.36) Wie oben beschrieben berechnen wir die ersten drei Glieder der Folge von Werten: v 0 = 0 (3.37) v 1 = 0 (3.38) v = 0 (3.39) Offensichtlich ist dies eine onstante Nullfolge. Wir setzen dann v in die Matrix ein 1 1 Γ = (3.40) 1 1 und erhalten optimale Strategien x 1 =, 1 ) y 1 =, 1 ) (3.41) 3.6 Beispiel. Seien zwei Spieler mit jeweils zwei Einheiten gegeben. In jeder Runde haben die Spieler die Wahl zwischen zwei Möglicheiten, sagen wir Kopf oder Zahl. Wählen beide Kopf, so erhält Spieler 1 von Spieler zwei Einheiten. Wählen beide Zahl, so erhält Spieler 1 von Spieler eine Einheit. Wählt Spieler 1 Kopf und Spieler Zahl, so erhält Spieler von Spieler 1 zwei Einheiten. Wählt Spieler 1 Zahl und Spieler Kopf, so erhält Spieler von Spieler 1 eine Einheit. Die Möglicheiten fasst folgende Matrix zusammen: (3.4) 1 1 Das Spiel ist beendet, falls ein Spieler eine Einheiten mehr hat; natürlich ann jeder Spieler dem anderen Spieler nur so viele Einheiten geben, wie er selbst noch hat. Sonst wird mit einer Wahrscheinlicheit von 0,9 weitergespielt. Dieses stochastische Spiel wird durch folgende Matrizen beschrieben, wobei das Spiel mit Spielelement Γ beginnt: + 0, 9Γ3 1 Γ 1 = (3.43) , 9Γ ( ) Γ = (3.44) 1 + 0, 9Γ , 9Γ 3 ( Γ 3 = 1 + 0, 9Γ , 9Γ 1 ) (3.45) 11

12 Nun berechnen wir wieder zur Approximation des Wertevetors die ersten drei Folgenglieder: v 0 = (0; 0; 0) (3.46) v 1 = (0, ; 0; 0, ) (3.47) v = (0, 17; 0; 0, 17) (3.48) Durch Einsetzen von v in die Matrizen erhalten wir mittels den üblichen Formeln eine Approximation der optimalen (stationären) Strategien beider Spieler für alle Spielelemente: x 1 = (0, 41; 0, 59) y 1 = (0, 41; 0, 59) (3.49) x = (0, 3; 0, 7) y = (0, 5; 0, 5) (3.50) x 3 = (0, 41; 0, 59) y 3 = (0, 59; 0, 41) (3.51) 1