Algebra 1 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 1

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1 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 1 Dieses Übungsblatt ist nicht unbedingt typisch für die Vorlesung. Es dient dazu, Stoff für die Übung am 28. Oktober zu liefern. Aufgabe 1: In dieser Aufgabe wollen wir sehen, ob der Begriff Primzahl ein bisschen verallgemeinert werden kann. a) Wann heißt eine Zahl n prim? Ist 2 eine Primzahl? b) Die übliche Definition von Primzahl (genauer: die Definition, die ich kenne) gilt nur für positive Zahlen. Wenn man aber bereit ist, auch negative Primzahlen wie z.b. 2 zuzulassen, kann man aber den Begriff Primzahl definieren, ohne die Ordnung auf Z zu benutzen. Finden Sie eine solche Definition, wobei 1 weiterhin keine Primzahl ist. Ist 1 dann eine Primzahl? Aufgabe 2: Die Teilmenge {a + bi a, b Z} von C ist ein Unterring von C. Dieser Ring heißt auch Ring der ganzen Gaußschen Zahlen, und wird mit Z[i] bezeichnet. a) Finden Sie alle u Z[i] \ {0}, für die u 1 Z[i] gilt. b) Versuchen Sie, eine Definition für den Begriff Primzahl zu finden, die für die Gaußschen Zahlen Sinn macht. Ist 2 eine Primzahl in Z[i]? Ist 3? Hinweise: Es gilt 2 = (1 + i)(1 i) = i(1 + i) 2. Gilt (a + bi)(c + di) = 3, so gilt (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = 9. Aufgabe 3: Sei X eine Menge und µ: X X X eine assoziative Verknüpfung, d.h. mit ab = µ(a, b) gilt (ab)c = a(bc) für alle a, b, c X. Zeigen Sie: gibt es Elemente p, q X derart, dass pa = aq = a für alle a X gilt, so gilt p = q. Folgern Sie: Jede Gruppe hat nur ein neutrales Element. Zeigen Sie analog: Auch die Inversen in einer Gruppe sind eindeutig festgelegt. Aufgabe 4: Finden Sie ganze Zahlen a, b mit 25a + 19b = 1. Finden Sie ganze Zahlen c, d, e mit 12c + 15b + 10c = 1. Literatur Mit einer Ausnahme beschränke ich mich auf Quellen, die ich selber benutze. M. Artin, Algebra. Birkhäuser. Mir unbekannt, soll aber sehr gut sein. B. Külshammer, Skript Algebra I+II. Auf verfügbar. S. Bosch, Algebra. Springer. N. Jacobson, Basic Algebra I+II. Freeman. eine Vorlesung. D. S. Dummit und R. M. Foote, Abstract Algebra. Wiley. Auf Englisch. Enthält viel mehr als nur diese Auf Englisch

2 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 2 Abgabe: Mi 2. November in der Vorlesung. Scheinkriterien: 40% der Punkte von den Übungsblättern und mindestens einmal in der Übungsstunde vorrechnen. Für unbepunktete Aufgaben können zusätzliche Punkte erworben werden. Aufgabe 1: (4 P.) Die Menge C = C \ {0} ist eine Gruppe bezüglich Multplikation, und C n C für alle n. Aufgabe 2: (4 P.) Finden Sie alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S 3. Welche sind Normalteiler? Aufgabe 3: (2 P.) Finden Sie eine Gruppe G, eine Untergruppe H G und zwei Elemente g, g von G, so dass g, g in der gleichen Linksnebenklasse von H in G liegen, aber nicht in der gleichen Rechtsnebenklasse. Evtl. hilft Ihnen Ihre Antwort zur vorherigen Aufgabe. Aufgabe 4: (6 P.) Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. a) In der Vorlesung wurde behauptet: durch gh Hg 1 wird eine Bijektion von G/H nach H\G erklärt. Beweisen Sie diese Aussage. b) Zeigen Sie: ist G : H = 2, so ist H ein Normalteiler in G. Aufgabe 5: Ist die additive Gruppe Q zyklisch?

3 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 3 Abgabe: Mi 9. November in der Vorlesung. Scheinkriterien: 40% der Punkte von den Übungsblättern und mindestens einmal in der Übungsstunde vorrechnen. Für unbepunktete Aufgaben können zusätzliche Punkte erworben werden. Aufgabe 1: (4 P.) Finden Sie alle Automorphismen (d.h. Selbstisomorphismen) der Gruppe G in den folgenden Fällen: a) G = Z/4 b) G = Z/2 Z/2 Für Teil b) haben Sie die Wahl: entweder Sie listen alle Automorphismen auf, oder Sie geben eine Beschreibung der Automorphismengruppe. Aufgabe 2: (3 P.) Zeigen Sie, dass die Gruppen Z/6 und Z/2 Z/3 isomorph sind. Evtl. hilft Ihnen der Homomorphiesatz. Aufgabe 3: (3 P.) Beweisen Sie die folgende universelle Eigenschaft der Quotientengruppe: Sei N G, und sei π : G G/N, g gn die kanonische Projektion. Dann: für jede Gruppe Γ induziert Verknüpfung mit π eine Bijektion {Homomorphismen G/N φ Γ} {Homomorphismen G f Γ mit N Kern(f)}. φ φ π Aufgabe 4: (6 P.) Eine Untergruppe K G heißt eine charakteristische Untergruppe, wenn φ(k) = K gilt für jeden Automorphismus φ von G. a) Zeigen Sie: Jede charakteristische Untergruppe ist ein Normalteiler. b) Finden Sie alle charakteristische Untergruppen von Z/4 und von Z/2 Z/2. Ist jeder Normalteiler charakteristisch? c) Das Zentrum Z(G) von G wird durch Z(G) = {g G gh = hg für alle h G} erklärt. Zeigen Sie, dass Z(G) eine charakteristische Untergruppe von G ist. Aufgabe 5: Zeigen Sie: Ist N G und K eine charakteristische Untergruppe von N, so ist K G. Gilt das Ergebnis selbst dann, wenn K lediglich ein Normalteiler von N ist? Betrachten Sie hierfür den Fall G = D 4.

4 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 4 Abgabe: Mi 16. November in der Vorlesung. Aufgaben oder Aufgabenteile, die mit einem Stern gekennzeichnet sind, sind etwas anspruchsvoller. Sie müssen nicht bearbeitet werden, um die volle Punktzahl zu bekommen. Aufgabe 1: (4 P.) Sei R ein kommutativer Ring. Eine Einheit u R heißt eine Torsionseinheit, wenn es ein n 1 gibt mit u n = 1. a) Zeigen Sie: Ist R C ein Unterring, so ist jede Torsionseinheit vom Betrag 1. b) Betrachten Sie jetzt den Fall R = Z[ 3] = {a + b 3 a, b Z}. Bestimmen Sie alle Torsionseinheiten und finden Sie eine Einheit, die keine Torsionseinheit ist. *c) Finden Sie Erzeuger für die Gruppe R im Fall R = Z[ 3]. Aufgabe 2: (3 P.) Benutzen sie den chinesischen Restsatz, um zu zeigen, dass das System von Kongruenzen x 57 (mod 101) x 43 (mod 102) x 5 (mod 103) lösbar ist. Wie eindeutig ist die Lösung? (Die Lösung müssen Sie nicht finden.) Aufgabe 3: (3 P.) Benutzen Sie den Euklidischen Algorithmus, um den größten gemeinsamen Teiler d Q[X] der Polynome f = 2X X 3 + 6X 2 + 4X 5 und g = X 3 + 3X 2 + 3X + 2 zu berechnen. Finden Sie außerdem Polynome a, b Q[X], die af + bg = d erfüllen. Aufgabe 4: (6 P.) Sei I R ein Intervall 1 und R = C 0 (I) die Menge der stetigen Funktionen von I nach R, ein Ring bezüglich punktweise Addition und Multiplikation. Zeigen Sie: a) Ist c I, so ist M c := {f R f(c) = 0} ein maximales Ideal in R. Für b c ist M c M b. b) M c (f), wobei f die Funktion f(x) = x c ist. c) Das Ideal L = {f C 0 (R) ε > 0 mit f(x) = 0 x < ε} ist nicht endlich erzeugt. *d) Ist J C 0 ([0, 1]) ein echtes Ideal, so ist J in mindestens einem M c enthalten. 1 Für mich hat jedes Intervall positive Länge.

5 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 5 Abgabe: Mi 23. November in der Vorlesung. Aufgabe 1: (6 P.) Sei R = Z[i] mit der Norm N(z) = z 2. a) Zeigen Sie: gilt a b, dann N(a) N(b). Ist N(a) eine Primzahl, so ist a irreduzibel. b) Berechnen Sie kgv(5 5i, 6). c) Zerlegen Sie 174 = 6 29 erstens als ein Produkt von Primelementen, zweitens als eine Einheiten mal Potenzen von nichtassoziierten Irreduziblen. Aufgabe 2: (6 P.) Sei R der Integritätsbereich R = Z[ 5] = {a + b 5 a, b Z}. Beachten Sie: mit N(z) = z 2 gilt der erste Teil der letzten Aufgabe auch für dieses R. Sei I = (2, 1 + 5), J = (3, 2 + 5) und K = (3, 2 5). Zeigen Sie: a) Weder I noch J noch K ist ein Hauptideal in R. b) I 2 = (2), IJ = (1 5) und IK = (1 + 5) sind Hauptideale. Ferner gilt (6) = I 2 JK. Aufgabe 3: (4 P.) Der Körper Z/p für p eine Primzahl wird häufig auch F p genannt. a) Zeigen Sie: Das Polynom f = t 2 + t + 1 im Polynomring F 2 [t] ist irreduzibel, und der Quotientenring R := F 2 [t]/(f) ist ein Körper. b) Ist das Polynom X 2 + X + 1 im Polynomring R[X] irreduzibel? (Beweis oder Faktorisierung) Aufgabe 4: Sei R der Quotientenring R = Z[X]/I für I = (2X 2 2). Zeigen Sie: a) Der Reduktionshomomorphismus Z[X] Z/2[X] induziert einen Homomorphismus R Z/2[X]. Jede Einheit u R ist eine Restklasse der Art 1+2f +I mit f Z[X]. b) Es gibt r, s Z mit u = 1 + 2r + 2sX + I (Induktion über grad(f)). c) Es gibt keine Einheit u R mit (2 + I)u = 2X + I. d) Es ist R = {±1}. Betrachten Sie hierfür die Einsetzungshomomorphismen R Z gegeben durch f + I f(1) und f + I f( 1).

6 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 6 Abgabe: Mi 30. November in der Vorlesung. Aufgabe 1: (4 P.) Bestimmen sie alle irreduziblen Polynome vom Grad höchstens vier über den Körper F 2 = Z/2. Aufgabe 2: (4 P.) Sei R ein Hauptidealring und a R ein irreduzibles Element. Zeigen Sie, dass das Ideal (a) maximal ist. Folgern Sie, dass es in einem Hauptidealring keine Kette p 0 p 1 p 2 von Primidealen geben kann. Finden sie dagegen eine solche Kette in in C[X, Y ]. Aufgabe 3: Zeigen sie, dass das Polynom f R[X] irreduzibel ist. a) (2 P.) R = Z, f = X X 3 9X 21 b) (2 P.) R = Q, f = X 3 36, R = Q c) R = Z[i], f = X 7 2X i d) R = Z, f = X Aufgabe 4: (4 P.) Vervollständigen Sie den Beweis von Lemma 2.12 aus der Vorlesung. Zur Erinnerung: R ist ein faktorieller Ring, und a 1,..., a n sind Elemente aus R \{0}. Wir wollen zeigen, dass ggt(a 1,..., a n ) existiert. Seien x 1,..., x m die paarweise nichtassoziierten Irreduziblen, die in den Faktorisierungen der a i vorkommen. Dann gibt es Einheiten u i und Zahlen e ij 0 derart, dass a i = u i x e i1 1 x e i2 2 x e im m für jedes i. Wir setzen e j := min{e ij 1 i n}. Dann ist b := x e 1 1 x e 2 2 x em m offensichtlich ein gemeinsamer Teiler der a i. Zeigen Sie, dass b tatsächlich der ggt ist.

7 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 7 Abgabe: Mi 7. Dezember in der Vorlesung. Aufgabe 1: (7 P.) (Verspätete Übungen mit Idealen) a) Sei R ein kommutativer Ring; a 1,..., a n, b, r Elemente aus R; e R eine Einheit; und 1 i n. Zeigen Sie: (a 1,..., a n, b) = (a 1,..., a n, b ra i ) (a 1,..., a n, b) = (a 1,..., a n, eb) Zeigen Sie ferner: liegt c (a 1,..., a n ), dann (a 1,..., a n, c) = (a 1,..., a n ). b) Zeigen Sie: Es ist (X 2, Y 2 X Y 3, Y 4 ) = (X 2, Y 2 X Y 3 ) in C[X, Y ]. Außerdem ist (2X, X 3 3X 2, X 2 + 4) = (4, 2X, X 2 ) in Z[X]. Nun sei R ein Integritätsbereich und p R ein Element. c) Zeigen Sie: p ist genau dann ein Primelement, wenn das Ideal p := (p) R ein Primideal ist. Was ist die einzige Ausnahme zu dieser Regel? d) Wir setzen jetzt voraus, dass p ein Primelement von R ist. Zeigen Sie: das durch p erzeugte Ideal in R[X] ist p[x], d.h. {f R[X] Jeder Koeffizient von f ist durch p teilbar} ist das kleinste Ideal in R[X], das p enthält. Aufgabe 2: (2 P.) Die Körpererweiterung K/k habe den Grad [K : k] = 28. Ferner sei k L K ein Zwischenkörper. Kann [L : k] = 21 sein? Welche Werte für [L : k] sind denkbar, d.h. können nicht durch einfache Überlegungen ausgeschlossen werden? Aufgabe 3: bestimmen. (7 P.) Sei α = Wir wollen das Minimalpolynom m α von α über Q a) Zeigen Sie, dass [Q( 2, 3) : Q] entweder 2 oder 4 sein muss. b) Folgern Sie, dass der Grad von m α eins aus 1, 2, 4 sein muss. c) Finden Sie in Q[X] ein normiertes Polynom vom Grad 4, das eine Nullstelle in α hat. Berechnen Sie hierfür α r für r 4. d) Zeigen Sie, dass Ihr Polynom irreduzibel ist. Folgern Sie, dass es m α ist. Aufgabe 4*: Zeigen Sie, dass der Polynomring Z[X 1, X 2, X 3,...] in abzählbar vielen Unbestimmten ein faktorieller Ring ist.

8 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 8 Abgabe: Mi 14. Dezember in der Vorlesung. Aufgabe 1: (4 P.) Sei θ eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms X 3 4X + 2 Q[X]. Drucken Sie die Elemente α = (1 θ)(3 + θ 2θ 2 ) und β = θ2 +1 des Körpers Q(θ) als θ 2 +θ+1 Q-lineare Kombinationen der Basis 1, θ, θ 2 aus. Aufgabe 2: (3 P.) Sei f R[X] ein Polynom. Wie benutzt man Analysis, um zu erkennen, ob f eine mehrfache Nullstelle hat? Sei k ein Körper mit Q k C. Sei f k[x] ein irreduzibles Polynom. Zeigen Sie: f hat keine mehrfachen Nullstellen. Aufgabe 3: (4 P.) Sei K ein Zerfällungskörper des Polynoms f = X 3 + 4X + 6 Q[X]. Zeigen Sie, dass [K : Q] = 6 ist. Nun sei f ein beliebiges irreduzibles kubisches Polynom in Q[X], das genau eine reelle Nullstelle hat. Zeigen Sie, dass der Zerfällungskörper vom Grad 6 ist. Aufgabe 4: (5 P.) Finden sie ein Zerfällungskörper K für f = (X 3 5)(X 2 7)(X 2 +3) Q[X]. Berechnen Sie den Erweiterungsgrad [K : Q] und finden Sie eine Q-Basis für K. Aufgabe 5: Sei f k[x] ein irreduzibles Polynom, K/k eine Körpererweiterung und α K eine Nullstelle von f. Sei g k(α)[x] das Polynom g = f. Geben Sie ein X α Beispiel, wo g reduzibel ist, und ein Beispiel, wo g irreduzibel vom Grad 2 ist. Hängt für festes f und k die Irreduzibilität von g von der Wahl von K, α ab? Begründen Sie Ihre Antwort.

9 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 9 Abgabe: Mi 4. Januar in der Vorlesung. Aufgabe 1: (3 P.) Faktorisieren Sie das Polynom X 4 +1 als ein Produkt von irreduziblen Polynomen in Q[X] und dann in Q( 2)[X]. Aufgabe 2: (3 P.) Sei α C eine Nullstelle von X 5 3X + 6 und β C eine Nullstelle von X 7 4X Berechnen Sie [Q(α, β) : Q] und zeigen Sie, dass X 7 4X auch das Minimalpolynom von β über Q(α) ist. Aufgabe 3: (4 P.) Finden Sie alle Selbstisomorphismen des Körpers K. a) Für K = Q( 2, i), den Zerfällungskörper von (X 2 2)(X 2 + 1). b) Für K = Q( 3 2, 3), den Zerfällungskörper von X 3 2. Hinweis: Ein Selbstautomorphismus f von Q(α, β) wird eindeutig durch die Werte von f(α) und f(β) festgelegt. Der Wert von f(α) muss eine Nullstelle des Minimalpolynoms von α sein. Aufgabe 4: (3 P.) Sei K/k eine algebraische Körpererweiterung. Ein Element α K heißt separabel über k, falls das Minimalpolynom von α über k keine wiederholten Nullstellen hat, auch nicht in einem Erweiterungskörper von K. Zeigen Sie: ist α K separabel über k, und ist k L K ein Zwischenkörper, dann ist α auch über L separabel. Aufgabe 5: (3 P.) Eine endliche Körpererweiterung K/k heißt normal 1, wenn jedes irreduzible Polynom f k[x], dass mindestens eine Nullstelle in K hat, in K[X] als ein Produkt von linearen Faktoren zerfällt. Zeigen Sie: Ist K/k eine normale endliche Erweiterung und k L K ein Zwischenkörper, so ist auch K/L normal. Aufgabe 6: Faktorisieren Sie das Polynom X 7 1 F 2 [X] als ein Produkt von Irreduziblen. Konstruieren Sie dann den Zerfällungskörper. Wieviel Elemente hat er? 1 Später werden wir zeigen: Jede normale Erweiterung ist ein Zerfällungskörper, und umgekehrt.

10 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 10 Abgabe: Mi 11. Januar in der Vorlesung. Aufgabe 1: (4 P.) Sei k ein Körper, f k[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad 4, und K ein Zerfällungskörper von f über k. Welche Werte für den Erweiterungsgrad [K : k] sind denkbar, d.h. können nicht durch einfache Überlegungen ausgeschlossen werden? Aufgabe 2: (4 P.) Keiner endlicher Körper ist algebraisch abgeschlossen. Aufgabe 3: (4 P.) Sei k = Q(i) und K = Q(i, 4 2, 5). Finden Sie alle Homomorphismen φ: K C derart, dass φ(x) = x ist für alle x k. Aufgabe 4: (1 P.) Ist C ein algebraischer Abschluss von Q? Aufgabe 5: (3 P.) Ist [K : k] = 2, so ist die Körpererweiterung K/k normal. Aufgabe 6*: In wie vielen der denkbaren Fällen in Aufgabe 1 können Sie k und f finden, die dieses Erweiterungsgrad tatsächlich realisieren?

11 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 11 Abgabe: Mi 18. Januar in der Vorlesung. Aufgabe 1: Sei k ein Körper, f k[x] ein irreduzibles Polynom und K ein Zerfällungskörper von f über k. Sei n die Anzahl der paarweise verschiedenen Nullstellen von f in K. Wir wollen ziegen, dass Aut(K/k) durch n teilbar ist. a) (3 P.) Seien α 1,..., α n diese Nullstellen. Zeigen Sie, dass es zu jedem 1 i n ein σ i Aut(K/k) gibt mit σ i (α 1 ) = α i. b) (2 P.) Finden Sie eine Untergruppe H Aut(K/k) derart, dass die σ i ein Vertretersystem für die Linksnebenklassen bilden. Also nach dem Satz von Lagrange ist n = Aut(K/k) : H ein Teiler von Aut(K/k). Aufgabe 2: Sei f Q[X] das Polynom f = X 5 20X Zeigen Sie: a) (1 P.) f ist irreduzibel. Hinweis: Es geht doch mit Eisenstein. b) (1 P.) f hat fünf verschiedene Nullstellen in C: drei reelle und zwei nichtreelle. c) (1 P.) Sei K C der Zerfällungskörper von f. Die Erweiterung K/Q ist Galois. d) (2 P.) Die komplexe Konjugation z z liegt in Gal(K/Q). Die Ordnung von Gal(K/Q) ist durch 10 teilbar. Hinweis: Aufgabe 1 benutzen. Später werden wir zeigen, dass die Galoisgruppe die symmetrische Gruppe S 5 ist, und dass dieses Polynom nicht durch Radikale lösbar ist. Aufgabe 3: Sei p eine Primzahl, und k ein Körper der Charakteristik p. Sei F : k k die sog. Frobenius-Abbildung x x p. Zeigen Sie: a) (1 P.) F ist ein Körperhomomorphismus. b) (2 P.) Es ist F (x) = x genau dann, wenn x im Primkörper P k liegt. Zur Erinnerung: P = F p. Der Einfachheit halber identifizieren wir ab jetzt P mit F p. c) (1 P.) Ist, wie wir von nun an voraussetzen, k endlich, so ist F ein Isomorphismus, d.h. F Aut(k/F p ). d) (2 P.) Sei C die von F erzeugte Untergruppe von Aut(k/F p ), und sei n 1 die kleinste Zahl mit F n = Id k. Dann [k : F p ] = n. Somit hat k genau p n Elemente. e) Jedes α k ist eine Nullstelle von X pn X. Die Erweiterung k/f p ist normal. f) Die Erweiterung k/f p ist Galois, und Gal(k/F p ) ist C, zyklisch der Ordnung n. g) Haben zwei endliche Körper die gleiche Anzahl von Elementen, so sind sie isomorph.

12 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 12 Abgabe: Mi 25. Januar in der Vorlesung. Aufgabe 1: Für die Galoiserweiterung K/k bestimmen Sie alle Zwischenkörper k L K und stellen Sie die Galois-Korrespondenz zwischen diesen Zwischenkörpern und den Untergruppen von Gal(K/k) auf. Welche Zwischenkörper L sind Galoiserweiterungen von k? a) (2 P.) Für K/k die Erweiterung Q( 7, 6)/Q. b) (4 P.) Für K/k die Erweiterung Q( 2, 3, i). c) (4 P.) Für k = Q und K der Zerfällungskörper von X 4 2. d) (4 P.) Für k = F 2 und K = k(α). Hier ist α eine Nullstelle von X 4 + X + 1 = (X α)(x α 2 )(X α 4 )(X α 8 ). e) Für k = Q und K = Q( 2 + 2). Zeigen Sie zuerst, dass eine Galoiserweiterung hier vorliegt. Aufgabe 2: Berechnen Sie Fix Aut(K/k). a) (2 P.) Im Fall k = Q, K = Q( 7, 3 5). b) Wenn k der Funktionenkörper k = F 3 (t) ist, und K der Zerfällungskörper von X 9 tx 6 + t(t 1) ist.

13 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 13 Abgabe: Mi 1. Februar in der Vorlesung. Aufgabe 1: Q ist. Zeigen Sie, dass α ein primitives Element für den Erweiterungskörper K von a) (2 P.) K = Q( 2, i), α = 2 + i; b) (3 P.) K = Q(i, 5, 7), α = i; c) K = Q(i, 3 2), α = i. Hinweis: Eine Strategie wäre, einen Polynom in Q[X] vom richtigen Grad zu finden, das in α eine Nullstelle hat. Dann zeigt man, dass dieses Polynom irreduzibel ist. Versuchen Sie aber, auch andere Strategien zu finden: können Sie einen Weg finden, die Galois- Korrespondenz zu benutzen? Im ersten Teil kann man sogar die Beweismethode des Satzes vom primitiven Element verwenden. Aufgabe 2: (2 P.) Sei p eine Primzahl. Für jedes n 1 gibt es mindestens ein irreduzibles Polynom vom Grad n in F p [X]. Aufgabe 3: von F 2? (3 P.) Wie viele primitiven Elemente enthält F 64 als Erweiterungskörper Aufgabe 4: Sei K/k eine Galoiserweiterung. Die Norm N K/k (α) und die Spur T K/k (α) eines Elements α K werden so definiert: wobei G = Gal(K/k). N(α) = σ G σ(α) T (α) = σ G σ(α), a) (2 P.) N(α) und T (α) liegen in k. Es ist N(αβ) = N(α)N(β) und T (α + β) = T (α) + T (β). b) (2 P.) Berechnen Sie N C/R (a + ib) und T C/R (a + ib) für a, b R. c) (2 P.) Sei k = Q und K = Q( 3, 3 2). Berechnen Sie N( 3) und T ( 3 2). Aufgabe 5: Sei G eine endliche Gruppe und H G eine Untergruppe. Eine Untergruppe K G heißt eine Konjugierte von H, wenn es ein g G gibt, mit K = ghg 1. Das heißt, K = {ghg 1 h H}. Fassen Sie die Menge der Konjugierten von H als Bahn einer Gruppenoperation auf und zeigen Sie, dass die Anzahl der Konjugierten von H ein Teiler von G ist.

14 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 14 Abgabe: Mi 8. Februar in der Vorlesung. Aufgabe 1: (2 P.) Sei G eine endliche Gruppe, sei N G ein Normalteiler, und sei Q eine Untergruppe der Quotientengruppe G/N. Sei H = {g G gn Q}. Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G ist, und dass H = Q N. Aufgabe 2: (3 P.) Sei K/k eine Galoiserweiterung mit der folgenden Eigenschaft: für jeden Zwischenkörper k L K ist [L : k] durch 5 teilbar. Zeigen Sie: Es gibt ein d mit [K : k] = 5 d. Hinweis: Hauptsatz der Galoistheorie zzgl. Satz von Sylow. Aufgabe 3: Sei G eine Gruppe mit 12 Elementen. Zeigen Sie: a) (1 P.) Die Anzahl der 3-Sylowgruppen von G ist entweder 1 oder 4. Von nun an setzen wir voraus, dass G genau vier 3-Sylowgruppen hat: P 1, P 2, P 3, P 4. Sei φ: G S 4 der Gruppenhomomorphismus, der der Konjugationsoperation von G auf die Menge der 3-Sylowgruppen entspricht: das heißt, φ(g): i j genau dann, wenn gp i g 1 = P j. b) (1 P.) G enthält genau 8 Elemente der Ordnung 3. c) (3 P.) Hat g G die Ordnung 3, so ist φ(g) ein 3-Zykel. d) (2 P.) Sind g, h G zwei verschiedene Elemente der Ordnung 3, so ist φ(g) φ(h). e) φ ist injektiv. f) Bild(φ) = A 4. Somit ist G = A 4. Wir haben also gezeigt: ist G eine Gruppe der Ordnung 12, dann entweder hat G einen Normalteiler der Ordnung 3, oder G ist zu A 4 isomorph. Der Vollständigkeit halber sollten wir jetzt nachrechnen, dass A 4 tatsächlich vier 3-Sylowgruppen hat. Aufgabe 4: a) (2 P.) Finden Sie ein π S 7 mit π( )(4 6)π 1 = (1 5)( ). b) (2 P.) Finden Sie ein π A 7 mit π( )π 1 = ( ). c) Finden Sie ein π A 6 mit π(1 2 3)(4 5 6)π 1 = (1 3 2)(4 5 6).

15 Zusätzliche Aufgaben (je 2 Punkte Wert) Ihre Antworten (zu A C) sollten Sie als Produkte von disjunkten Zykeln angeben. Aufgabe A: Berechnen Sie (4 6)( )(1 3 7). Aufgabe B: Es ist σ = ( ). Berechnen Sie σ 2, σ 3 und σ 4. Aufgabe C: Es ist σ = (1 2)(3 5 4) und π = ( ). Berechnen Sie πσπ 1. Aufgabe D: Ist σ 2 = ( ) lösbar für σ S 20? 15

16 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 15 Abgabe: Mi 15. Februar in der Vorlesung. Aufgabe 1: (4 P.) Finden Sie eine Kompositionsreihe für die Diedergruppe D 4, die Bewegungsgruppe des Quadrats. Sind alle Gruppen in Ihrer Kompositionsreihe Normalteiler von D 4? Zeigen Sie, dass das direkte Produkt D 4 S 3 auflösbar ist. Zwei Zusatzpunkte, wenn Sie zwei Kompositionsreihen für D 4 finden, und zwar so, dass alle Gruppen in der einen Kompositionsreihe Normalteiler von D 4 sind, aber mindestens eine Gruppe in der anderen Kompositionsreihe kein Normalteiler ist. Aufgabe 2: (3 P.) Beweisen oder widerlegen Sie: Ist G eine auflösbare Gruppe und H G eine Untergruppe derart, dass der Index G : H eine Primzahl ist, dann muss H ein Normalteiler von G sein. Aufgabe 3: (4 P.) In S 6 sei σ der 6-Zykel σ = ( ), und sei τ die Transposition τ = (1 4). Wieviel Elemente hat die von σ, τ erzeugte Untergruppe von S 6? Folgern Sie, dass S 6 nicht von einem beliebigen 6-Zykel und einer beliebigen Transposition erzeugt wird. Aufgabe 4: (2 P.) Die Galoisgruppe des Polynoms f Q[X] hat Ordnung 81. Zeigen Sie, dass f durch Radikale lösbar ist. Aufgabe 5: (3 P.) Sei K der Zerfällungskörper des irreduziblen Polynoms f = X 3 3X + 1 Q[X]. Sei θ K eine Nullstelle von f. Wir sahen in der Vorlesung, dass auch θ 2 2 eine Nullstelle von f ist. Hieraus folgte: es ist K = k(θ) und [K : Q] = 3. Zeigen Sie, dass K nicht der Gestalt K = Q( 3 a) ist, d.h. es gibt kein α K mit K = Q(α) und α 3 Q. Hinweis: Sie könnten zwar argumentieren, dass 1, α, α 2 dann eine Q-Basis für K sein muss. Dann gibt es x, y, z Q mit θ = x + yα + zα 2, was man dann in der Gleichung θ 3 3θ + 1 = 0 einsetzt. Durch einen Koeffizientenvergleich bekommt man dann ein Gleichungssystem für x, y, z, das hoffentlich nicht in Q lösbar ist. Wie gesagt, Sie könnten so argumentieren aber Sie wären besser dran, einen anderen Weg zu suchen.

17 Wintersemester 2005/06 Übungsblatt 16 Dieses Übungsblatt ist freiwillig und wird nicht bewertet obwohl ich Ihre Lösungen gerne durchsehe werde, sollten Sie welche einreichen. Dem freiwilligen Charakter entsprechend werden einige Aufgaben noch etwas anspruchsvoller sein als die auf den bisherigen Blättern. Aufgabe 1: Sei K der Zerfällungskörper des Polynoms f = X 3 3X + 1 Q[X]. Wir haben gesehen, dass f irreduzibel ist, dass [K : Q] = 3 ist, und dass K kein primitives Element α mit α 3 Q enthält. Das zeigt nicht sofort, dass es kein primitives Element mit z.b. α 102 Q gibt: freilich wäre X 102 α 102 nicht das Minimalpolynom von α, das stört aber nicht. Zeigen Sie jetzt, dass es kein primitives Element α K gibt, das α n Q für irgendein n 1 erfüllt. Hinweis: Mein Argument führt dazu, dass K drei verschiedene n-ten Einheitswurzel enthalten muss. Das geht aber nicht: wissen Sie, warum? Aufgabe 2: Ist f Q[X] ein reduzibles Polynom von Grad 5, dann ist f durch Radikale lösbar. So ist etwa X 5 + X 1 durch Radikale lösbar. Aufgabe 3: X 5 6X + 3 ist nicht durch Radikale lösbar (über Q). Aufgabe 4: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 0. Sei T R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge (d.h. 1 T ; aus t, t T folgt tt T ; und 0 T ). Zeigen Sie: Es gibt ein Ideal p R, das maximal bezüglich der Bedingung p T = ist. Zeigen Sie, dass jedes solche Ideal p ein Primideal ist. Beispiel: R = C[X, Y ] und T = {X r r 0}. Dann ist (X 1, Y ) ein solches p. Aufgabe 5: Wenn Sie es noch nicht gehabt haben: Benutzen Sie das Zornsche Lemma, um zu zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Zeigen Sie allgemeiner den Basiserweiterungssatz für nicht unbedingt endlich erzeugte Vektorräume.