Versuch 25 Fresnelsche Formeln und Polarisation

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1 Physikalisches Praktikum Versuch 25 Fresnelsche Formeln und Polarisation Praktikanten: Johannes Dörr Gruppe: 14 physik.johannesdoerr.de Datum: Katharina Rabe Assistent: Sebastian Geburt 1 Einleitung Dieser Versuch führt in die Polarisation von Licht ein und gibt uns Auskunft über das Verhalten von polarisiertem Licht bei der Reflexion bzw. Beugung an der Grenze zwischen zwei Medien. Ein Ziel ist es, aus diesem Phänomen, mit diesem Versuch den Brewsterwinkel zu bestimmen. 2 Theorie 2.1 Die elektromagnetische Welle Für das Verständnis von Polarisation muss man zunächst einmal wissen, dass Licht eine Transversalwelle ist, also dass elektrische und magnetische Feld stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dieses kann man sich 1

2 sehr gut an den Maxwellschen Gleichungen verdeutlichen: div( D) = ρ (1) div( B) = 0v (2) rot( E) = Ḃ (3) rot( H) = j ext + Ḋ (4) Das elektrische Feld E entspricht der dielektrischen Verschiebung D = ɛ 0 ɛ r E, mit Ausnahme von Vorfaktoren, dasselbe gilt für das magnetische Feld H und der magnetischen Flussdichte B = µ 0 µ r H. Die Stromdichte j ist genauso wie die Ladungsdichte ρ in einem ladungsfreien System null. Nimmt man nun den Wellenansatz für das elektrische Feld in x-richtung E = E 0 sin(ω(t x )) (5) υ sieht man, dass die Ableitung des elektrischen Felds nach x nicht verschwindet, was die Vorraussetzung für div(e) = 0 wäre. Somit kann das elektrische Feld in x-richtung keine Komponente haben und steht damit senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung x. Analog kann man dieses auch für das magnestische Feld machen. Also ist unsere elektromagnestische Welle eine Transversalwelle. 2.2 Polarisation Die Polarisation findet nur bei Transversalwellen statt, bei welchen der Feldvektor, in unserem Fall das elektrische Feld und der Wellenvektor k, senkrecht aufeinander stehen. In diesem Fall haben wir noch einen Freiheitsgrad übrig, welcher für die Rotation genutzt werden kann, somit kann der Vektor des elektrischen Feldes in alle diese Richtungen zeigen und verschiedene Amplituden annehmen. Dieser Vektor läuft bei normalem Licht chaotisch durch die Gegend, solches Licht nennt man ungeordnetes Licht. Ist der Amplitudenvektor A des Feldes in der Richtung bestimmt, spricht man von Polarisation. Wir unterscheiden drei Arten von Polarisation: die lineare Polarisation, bei welcher der Amplitudenvektor immer in eine feste Richtung zeigt und die Größe der Auslenkung bei Voranschreiten der Welle seinen Betrag und seine Orientierung periodisch mit einer vorgegebenen Amplitude ändert. Dann gibt es die elliptische Polarisation; hier rotiert der Amplitudenvektor um den Wellenvektor und ändert dabei periodisch den Betrag. Die Spitze des Feldvektors beschreibt dabei eine Ellipse, als Sonderfall dieser Bewegung kann man die zirkulare Polarisation ansehen, in diesem Fall dreht sich beim Ausbreiten der Welle der Amplitudenvektor mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und ändert seinen Betrag dabei nicht. 2.3 Die Brechung des Lichts (Der snelliusche Brechungssatz) Ein Lichtstrahl breitet sich in einem Medium 1 mit der Geschwindigkeit c n,1 aus. Damit mit diesen Geschwindigkeiten gut zu handhaben ist, hat man den Brechungsindex n eingeführt, welcher das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit angibt. n = c 0 c n (6) Trifft nun der Lichtstrahl auf ein neues Medium, ändert sich der Brechungsindex und somit die Geschwindigkeit des Lichtstrahls, sodass der Lichtstrahl gebrochen wird. Fällt ein paralleler Lichtstrahl mit der Geschwindigkeit c 1 wie in Abb. 2 auf eine Grenzfläche zu einem neuen Medium in dem er sich mit der Geschwindigkeit c 2 fortbewegt, trifft er zunächst auf den Punkt C und erst um die Zeit t = c1 e verschoben auf den Punkt B. In dieser verstrichenen Zeit ist jedoch das Licht vom Punkt C um die Strecke g = c 2 t weitergewandert. Diese Gegebenheiten kann man nun in die Dreiecksbeziehungen sin α = e f sin β = g f (7) (8) 2

3 Figure 1: Die Verschiedene Arten der Polarisation (Quelle: Wikipedia) Figure 2: Brechung an einer Grenzfläche 3

4 Figure 3: Elektrisches Feld an einer Grenzfläche einsetzen und erhält dann mit Gl. 6 sin α sin β = e g = c 1 c 2 = n 2 (9) Somit erhalten wir das Snelliusche Brechungsgesetz sin α = n 2 sin β (10) Praktisch sieht es so aus, dass das Licht für n 2 > vom Lot der Grenzfläche weg gebrochen wird und für > n 2 das Gegenteilige passiert. 2.4 Fresnelsche Formeln Das snelliusche Brechungsgesetz gibt uns an, in welche Richtung das Licht gebrochen wird, nun wollen wir uns um die Intensität des Lichtes kümmern. Dazu zerlegen wir zunächst einmal das elektrische Feld E in einen Anteil tangential zur Grenzfläche E t und einen Anteil normal zur Fläche E n, sodass gilt: E = E t + E n (11) Beim Übergang von einem Medium in ein anderes muss die tangentiale Komponente stetig sein, sodass sich nur die normal Komponente ändern kann. Diese Änderung hängt mit der dielektrischen Feldkonstante ɛ r zusammen. Wie aus der Elektrostatik bekannt ist, verringert sie das elekrische Feld um einen Wert vo ɛ r im Vergleich zum Vakuum. Mit n ɛ r gilt nun E n,1 E n,2 = ɛ 2 ɛ 1 = n2 2 n 2 1 (12) Aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente kann man nun mit der Annahme, dass die Intensität durch I ɛr E 2 beschrieben wird (senkenfreie Energiestromdichte) das folgende Gesetz bestimmen. ɛ1 (E 2 e E 2 r ) cos α = ɛ 2 E 2 g cos β (13) Das einfallende elektrische Feld wird durch E e, das refelektierte durch E r und das gebrochene durch E g beschrieben. Beginnen wir damit, dass wir nur eine Energiekomponente senkrecht zur Einfallsebene haben, somit ist dann die Parallelkomponente von E stetig und es gilt E e + E r = E g (14) 4

5 Teilt man nun die Gl. 13 durch die obige Gleichung, erhält man ɛ1 (E e E r ) cos α = ɛ 2 E g cos β (15) Setzt man nun die Beziehungen aus Formel 12 und 10 ein uns eliminiert über die Formel?? jeweils eine Komponente des neuen Elektrischen Felds, erhält man: sin β cos α sin α cos β E r = E e sin β cos α + sin α cos β sin(α β = E e sin(α + β 2 sin β cos α E g = E e sin(α + β) (16) (17) (18) So können wir das Reflexionsverhältnis ρ = Er E e Licht bestimmen. ρ = σ = und die Durchlässigkeit σ = Eg E e sin(α β) sin(α + β) 2 sin β cos α sin(α + β) für das senkrecht polarisierte Dieses ist der erste Teil der Fresnelschen Formeln. Nun können wir das ganze auch noch für parallel zur Einfallsebene polarisiertes Licht machen. Dabei ist die parallele Komponenete des elekrischen Feldes stetig, sodass gilt E e E r = E g. Mit Ausnahme der Änderung des Vorzeichens läuft der Beweis dazu analog und wir erhalten für den zweiten Teil der Fresnelschen Formeln ρ = σ = tan(α β) tan(α + β) 2 sin β cos α sin(α + β) cos(α β) (19) (20) (21) (22) Änderung der Polarisationsrichtung beim schrägen Aufprall Die Richtung der linearen Polarisation ändert sich über die Gleichung: Da für die Reflexion gilt tan γ r = E r,s cos(α β) = E r,p cos(α + β) tan γ e (23) cos(α β) cos(α + β) γ r γ e, wird die Polarisationsrichtung von der Einfallsebene weggedreht. In unserem Versuch haben wir die einfallende Polarisationsrichtung mit 45 festgelegt, sodass tan 45 = 1 gilt. Der von uns gemessene Drehwinkel der Polarisation γ gem. ist nur die Änderung des wirklichen Drehwinkels, da wir zu Anfang auf einen Wert von null Grad geeicht haben. Somit vereinfacht sich die obige Gleichung zu tan(γ gem. + π cos(α β) ) = 4 cos(α + β) Nun können wir noch β durch das snelliussche Brechungsgesetz und = 1 ausdrücken, sodass wir die folgende Formel erhalten. tan(γ gem. + π cos(α arcsin(sin α/n)) ) = (24) 4 cos(α + arcsin(sin α/n)) 5

6 Figure 4: Änderung der Polarisationsrichtung Figure 5: Aufbau den Nicolschen Prismas 2.5 Speziallfälle Der Brewsterwinkel Wie man aus Gl.21 sehen kann, wird das reflektierende Elektrische Feld null für α + β = 90, somit ist das Licht vollständig senkrecht zur Einfallsebende polarisiert. Aus der Winkelbedingung und dem snelliuschen Brechungsgesetz wird folgendes bestimmt: sin α B cos α B = n 2 tan α B = n 2 (25) Mit dieser Formel kann man nun sehr schön den Brewsterwinkel für jedes beliebige Problem bekommen Totalereflexion Nach dem Snelliuschen Gesetz gilt sin α = n2 sin β, da sin β maximal einen Wert vo haben kann, muss sin α n2 gelten. Falls dies nicht der Fall ist, kann der Lichtstrahl nicht in das Medium eintreten und er wird vollständig reflektiert. 2.6 Polarisatoren Um polarisiertes Licht herzustellen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, es können zum Beispiel Polarisationsfolien aus Dichroismuskristallen vom Licht durchleuchtet werden. Wir benutzen jedoch ein Nicol-Prismaals Polarisator, welches aus einem Kalkspatkristall besteht. Kalkspat ist wie die meisten Kristalle anisotrop. Dass heißt, die Amplitude unseres Feldes läuft in verschiedenen Richtungen durch den Kristall mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Wir haben hier ein Kristall, der eine rhomboederne Kristallstrucktur hat und somit eine kristallographische Hauptachse hat (Achse mit sehr hoher Symmetrie). Diese Achse nennt man auch optische 6

7 Achse. In Richtung dieser Achse läuft das Licht immer mit der Geschwindigkeit c 0, unabhängig von der Polarisation. Senkrecht zur optischen Achse läuft polarisiertes Licht auch mit c 0, wenn sein magnetischer Vektor in Richtung der optischen Achse läuft, dieses Licht nennt man ordentliches Licht. Licht mit anderen Polarisationen, außerordentliches Licht, läuft im Kalkspat schneller (c a,0 = 1, 116 c 0 ). Aus diesem Grund haben die Arten des Lichtes auch verschiedene Brechnungsindizes. Das ordentliche Licht hat einen Wert von n 0 = 1, 66 und für das außerordentliche Licht gilt n ao = 1, 49. Somit ist Kalkspat ein einachsig-negativer Kristall, da die Geschwindigkeit des außerordentlichen Lichtes schneller ist als des ordendlichen Lichtes. Beim umgekehrten Fall hätten wir einen einachsigen-positiven Kristall (bei Kristallen mit mehreren optischen Hauptachsen ändert sich die Bezeichung natürlich auch). Wird nun unser ungeordnetes Licht senkrecht auf einen Kalkspatkristall gelenkt, wird das außerordentliche Licht abgelenkt, während das ordentliche Licht grade hindurch geht, so wird das Licht in zwei verschiedene Strahlen getrennt, auf diese Art und Weise kommt auch die Erscheinung zustande, dass alles doppelt gesehen wird, was man durch einen solchen Kristall hindurch anschaut. Mit dem Nicol-Prisma wird jedoch einer der beiden Lichtstrahlen aus dem System entfernt. In unserem Fall handelt es sich um den ordentlichen Lichtstrahl. Dabei wird das ungeordnete Licht auf einen schief angeordneten Kalkspat gelenkt, sodass das Licht gebrochen wird. Dieser Kristall ist jedoch in der Diagonalen einmal zerschnitten worden und mit einem Kitt wieder zusammengeklebt worden, der Kitt sollte ein Brechungsindex besitzen, der etwas kleiner ist als der vom ordentlichen Licht im Kalkspat. Auf diese Schnittfläche fällt jetzt das ordentliche, gebrochene Licht mit einem sehr großen Winkel ein, sodass eine Totalreflexion zustande kommt, und unser ordentliches Licht an der Außenstelle unseres Kristalls durch Schwarzfärbung des Randes absorbiert werden kann. Das außerordentliche Licht wird nicht so stark durch den Kalkspat gebrochen, sodass der Einfallswinkel auf dem Kidd klein genug ist, um das Licht durch den Kidd mit einer Doppelbrechung gehen zu lassen, sodass fast keine Reflexion auftritt. Wichtig ist dabei, dass der Brechnungsindex des Kiddes in etwa so groß ist wie der des außerordentlichen Strahles im Kalkspat. In unserem Versuch haben wir Kanadabalsam verwendet, der einen Brechnungsindex von n = 1, 54 hat. So haben wir am Ende unseres Nicol-Prisma nur unser außerordentliches Licht über, welches nun in Richtung der optischen Achse linear Polarisiert ist. Es gibt noch weitere Polarisatoren, wie zum Beispiel das Glan-Thompson-Prisma, bei welchem die Lichtstrahlen senkrecht auf die Kristalloberfläche auftretten, demnach aber die optische Achse anders verläuft. 3 Durchführung 3.1 Justierung des Strahlengangs Das Glasprisma wird aus dem Strahlengang entfernt und der Glanzwinkel wird auf 0 gestellt. Dann werden die Linsen so justiert, dass das Lichtbündel als eine scharfe Linie im Okular abbildet. 3.2 Justierung der Polarisationsrichtung ein kleines Nicol-Prisma wird nun auf den Drehteller gestellt, sodass die Polarisationsebene vertikal zur Einfallsebene liegt. Nun wird der Polarisator so verdreht, dass im Okular Dunkelheit herrscht (ohne Analysator). Nun wird der Polarisator um weitere 45 verdreht. 3.3 Justierung des Glasprisma Dieses muss sehr genau geschehen und man kann verschiedene Methoden anwenden. (siehe Praktikumsbuch) 3.4 Messungen 1. Reflexionskoeffizient: Der Analysator wird in die Apperatur eingebaut und die Drehung der der Polarisation gemessen. Dazu messen wir den Drehwinkel γ durch Zudrehen des Analysators bis zur Dunkelheit für Winkel α beginnent bei 90 in 2,5 Schritten. 7

8 2. Brewsterwinkel des Prismas: Die Polarisation ist parallel zur Einfallsrichtung zu justieren. Nun wird der Einfallswinkel gesucht an dem der reflektierende Strahl nicht mehr im Okular zu sehen ist, da das gesamte Licht gebrochen wird. 4 Auswertung 4.1 Drehung der Schwingungsebene (1.) Um von den an dem Analysator gemessenen Werten auf den Winkel der Schwingungsebene zu schließen, bestimmten wir zunächst den Wert, der bei einem Einfallswinkel α von 90, also Passieren des Lichtsstrahls ohne Reflexion am Prisma (also φ = 0), einzustellen ist, damit kein Licht mehr auftritt. In diesem Fall steht der Analysator orthogonal zur Einfallsebene. Diese Position ist nun der Referenzpunkt für keine Drehungsänderung, also Drehwinkel γ = 0. Die Werte der nun folgenden Messungen gehen von diesem Referenzpunkt aus, von dem wirklich abgelesenen Wert wird deshalb der Referenzwert subtrahiert. Für die Berechnung des Einfallswinkels α gilt entsprechend des Aufbaus: α = φ. Figure 6: Drehwinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel Die lineare Regression liefert die folgende Formel zur Berechnung des Drehwinkels γ in Abhängigkeit des Einfallswinkels α: γ(α) = 1,472(15)α + 134,1(1,1) 8

9 4.2 Brechungsindex des Prismas anhand des Drehwinkels (2.) Auf Grund der anfänglichen Eichung des Polarisators, die bewirkt, dass der Winkel zwischen Einfalls- und Schwingungsebene des elektrischen Felds 45 beträgt, gilt bei dem Drehwinkel von γ = 45, dass keine Parallelkomponente (zur Einfallsebene) des Feldes nach der Refexion am Prisma mehr vorhanden ist. Der Einfallswinkel, bei dem dies der Fall ist, ist, wie Theorie beschrieben, der Brewsterwinkel, bei dem die folgende Relation gilt: tan α B = n 2, (26) wobei und n 2 die Brechungsindizes der beiden Medien ist, an dessen Trennschicht die Brechung stattfindet. In unserem Fall ist = 1, da es sich hier um Luft handelt. Den Wert für α B bestimmen wir aus der Gleichung, die sich durch die lineare Regression ergab (siehe oben): α B = γ 134,1 1,472 (27) Dies ergibt: α B = 60,53(97). Daraus folgt dann für n 2 : n 2 = 1,7696(2, 948) Der Fehler errechnet sich dabei mit Hilfe der Fehlerfortpflanzung: σ n = (1 + tan 2 (α)) σ α. (28) 4.3 Theoretische Berechnung der Drehung der Schwingungsebene (3.) Figure 7: Drehwinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel, sowohl für Messung als auch für Berechnung. 9

10 Wie in der Theorie hergeleitet gilt für den Drehwinkel γ: ( tan γ + π ) 4 cos(α arcsin(sin(α/n))) = cos(α + arcsin(sin(α/n))). (29) Diese Gleichung wird nach γ umgestellt und leifert somit den Drehwinkel in Abhängigkeit von Einfallswinkel α und dem Brechungsindex. Tabelle 1 zeigt die Werte für den Drehwinkel sowohl aus der Messung als auch aus der theoretischen Berechnung, Abb.??? stellt die Werte grafisch dar. Es fällt auf, dass die Werte der theoretischen Berechnung unterhalbt der gemessen liegen. Dies deutet in erster Linie auf einen Fehler der Angabe des Brechungsindex hin. Außerdem führen Fehler bei der Einstellung des Winkels α zu einem fehlerhaften Messwert (siehe auch Diskussion). Einfallswinkel Drehwinkel Messung Berechnung (n=1,51, lt. Skript) ,5 5,8 1, ,8 3,34 82,5 13,1 5, ,6 7,57 77,5 19,4 10, ,6 12,82 72,5 26,4 15, ,2 19,14 67, , ,53 62,5 43,7 30, ,3 34,78 57,5 49,7 39, ,7 43,50 52,5 57,5 47, ,1 52,14 47,5 63,6 56, ,3 60,20 Table 1: Vergleich der Drehwinkel aus Messung und theoretischer Berechnung 4.4 Brechnungsindex des Prismas anhand des Brewsterwinkels (4.) Wie in Aufgabenteil 2 verwenden wir hier die Formel: tan α B = n 2, (30) wobei wir jedoch diesmal unseren gemessenen Wert für den Brewsterwinkel α B einsetzen. Der Mittelwert unserer 5 Werte berechnet sich zu 58,95(30). Somit folgt für den Brechnungsindex n 2 des Prismas: n 2 = 1,6609(1, 12) Der Fehler ergibt sich auch hier aus der Fehlerfortpflanzung wie bereits oben beschrieben. 10

11 5 Diskussion Die Durchführung des Versuchs gestaltete sich recht leicht, wobei nicht immer komplette Auslöschung zu beobachten war, sodass wir teilweise das Minimum an Helligkeit abschätzen mussten. Die Justierung des Prismas im dritten Versuchsteil erwies sich als etwas langwierig, da im Skript kein Hinweis zu finden ist, wie diese am besten durchgeführt wird. Es ist nur erwähnt, woran sich eine richtige Justierung erkennen lässt. Schließlich gaben wird uns mit einer halbwegs akzeptablen Einstellung zufrieden. Die von uns bestimmten Werte des Brechungsindex des Prismas liegen beide oberhalb der im Skript befindlichen Angabe, untereinander jedoch nahe beieinander. Somit liegt die Vermutung Nahe, dass das von uns verwendete Prisma nicht den Daten des Skripts entspricht. Unsere Werte für den Drehwinkel liegen allesamt oberhalb der berechneten Werte, was diese Vermutung ebenfalls unterstützt, da in die Berechnung der im Skript angegebene Wert für den Brechungsindex verwendet wurde. 11