ZAHLENTHEORIE DR. HELMUT HASSE. von. 3. berichtigte Auflage. Mit 49 Abbildungen EM. O. PROFESSOR ANDER UNIVERSITÄT HAMBURG

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1 ZAHLENTHEORIE von DR. HELMUT HASSE EM. O. PROFESSOR ANDER UNIVERSITÄT HAMBURG 3. berichtigte Auflage Mit 49 Abbildungen AKADEMIE-VERLAG. BERLIN 1969

2 INHALTSVERZEICHNIS I. Die Grundlagen der Arithmetik im rationalen Zahlkörper 1 1. Primzahlzerlegung 2 Funktionenkörper 7 2. Teilbarkeit 8 Funktionenkörper Kongruenzen 23 Funktionenkörper 36 Theorie der endlichen Körper Die Struktur des Restklassenrings mod m und der primen Restklassengruppe mod m Allgemeines über direkte Produkte und direkte Summen Direkte Zerlegung des Restklassenrings mod m und der primen Restklassengruppe mod m Die Struktur der Additionsgruppe des Restklassenrings mod m Zur Struktur des Restklassenrings mod pf Die Struktur der primen Restklassengruppe mod p** 55 Funktionenkörper Quadratische Reste Theorie der Charaktere einer endlichen abelschen Gruppe Restklassencharaktere und Zahlcharaktere mod m Die Grundtatsachen über quadratische Reste Das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Legendresche Symbol Das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Jacobische Symbol Das quadratische Reziprozitätsgesetz als Produktformel für das Hilbertsche Symbol Unterfälle des Dirichletschen Satzes über Primzahlen in primen Restklassen 92 Funktionenkörper 95 IT. Theorie der bewerteten Körper Die Grundbegriffe über Bewertungen Definition des Bewertungsbegriffs, äquivalente Bewertungen Annäherungsunabhängigkeit und multiplikative Unabhängigkeit von Bewertungen Bewertung im Primkörper Wertgruppe und Restklassenkörper 115 Funktionenkörper Die Arithmetik in einem diskret bewerteten Körper 122 Die Divisoren vom idealtheoretischen Standpunkt Die vollständige Hülle eines bewerteten Körpers Die vollständige Hülle eines diskret bewerteten Körpers. Die p-adischen Zahlkörper 137 Funktionenkörper. 141

3 XIV Inhaltsverzeichnis 10. Die Typen diskret bewerteter vollständiger Körper mit vollkommenem Restklassenkörper Das multiplikationstreue Bestsystem bei Primzahlcharakteristik Der oharakteristikgleiche Fall mit Primzahlcharakteristik Das multiplikationstreue Restsystem im p-adischen Zahlkörper Die Wittsche Vektorrechnung Konstruktion des allgemeinen p-adischen Körpers Der charakteristikungleiche Fall Gleichungstreue Restsysteme bei Charakteristik Die gleichungstreuen Restsysteme für einen rationalen Funktionenkörper Der charakteristikgleiche Fall mit Charakteristik Fortsetzung einer diskreten Bewertung auf eine rein-transzendente Erweiterung Fortsetzung der Bewertung eines vollständigen Körpers auf eine endlichalgebraische Erweiterung Existenzbeweis Vollständigkeitsbeweis Eindeutigkeitsbeweis Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper Die Struktur einer endlich-algebraischen Erweiterung eines diskret bewerteten vollständigen Körpers Die Einbettung der Arithmetik Der rein-verzweigte Fall Der unverzweigte Fall mit vollkommenem Restklassenkörper Der allgemeine Fall mit vollkommenem Restklassenkörper Der allgemeine Fall mit endlichem Restklassenkörper Die Struktur der Multiplikationsgruppe eines diskret bewerteten vollständigen Körpers mit vollkommenem, insbesondere endlichem Restklassenkörper von Primzahlcharakteristik Zurückführung auf die Einseinheitengruppe und deren grundlegende Untergruppenkette Die Einseinheitengruppe als abelsche Operatorgruppe 207 Kurzer Überblick über die allgemeine Theorie der abelschen Operatorgruppen (Moduln bezüglich Integritätsbereich) Der Körper der n-ten Einheitswurzeln über einem p-adi sehen Zahlköiper Die Struktur der Einseinheitengruppe im charakteristikgleichen Falle mit endlichem Restklassenkörper Die Struktur der Einseinheitengruppe im p-adischen Falle Konstruktion eines Grundeinseinheitensystems im p-adischen Falle Die Einseinheitengruppe für spezielle p-adische Zahlkörper Gegenüberstellung der Basisdarstellung der Multiplikationsgruppe im p-adischen und im archimedischen Falle 238 (16. Die regulär-verzweigten Erweiterungstypen eines diskret bewerteten vollständigen Körpers mit endlichem Restklassenkörper der Charakteristik p Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion in einem nichtarchimedisch bewerteten vollständigen Körper der Charakteristik Ganze Potenzreihen in einer Unbestimmten über einem beliebigen Körper Ganze Potenzreihen in einer Veränderlichen in einem nicht-archimedisch bewerteten vollständigen Körper Konvergenz Funktionalgleichungen und gegenseitige Beziehungen 255

4 Inhaltsverzeichnis XV 5. Der diskrete Fall Der oharakteristikgleiche Fall mit Charakteristik Fortsetzung der Bewertung eines nicht-vollständigen Körpers auf eine endlich-algebraische Erweiterung Darstellungen einer endlich-algebraischen separablen Erweiterung über einer beliebigen Grandkörpererweiterung Die Ringerweiterung einer endlich-algebraischen separablen Erweiterung auf eine beliebige Grundkörpererweiterung bzw. das Ringprodukt der beiden Erweiterungen Das charakteristische Polynom Ergänzungen für inseparable Erweiterungen Bewertungsfortsetzung Der diskrete Fall Der archimedische Fall 294 III. Die Grundlagen der Arithmetik in algebraischen Zahlkörpern Beziehungen zwischen vollem Bewertungssystem und Arithmetik im rationalen Zahlkörper Endlichkeitseigenschaften Kennzeichnungen in der Teilbarkeitslehre Die Produktformel für die Bewertungen Die Summenformel für die Hauptteile 300 Funktionenkörper 303 Die Automorphismen eines rationalen Funktionenkörpers Fortsetzung des vollen Bewertungssystems auf eine endlich-algebraische Erweiterung " 313 Funktionenkörper 316 Schlußbemerkungen Die Primstellen eines algebraischen Zahlkörpers und ihre vollständigen Hüllen 324 Funktionenkörper Primdivisorzerlegung, Ganzheit, Teilbarkeit Der kanonische Homomorphismus der Multiplikationsgruppe in die Divisorengruppe Einbettung der Teilbarkeitslehre bei endlich-algebraischer Erweiterung Algebraische Kennzeichnung der ganzalgebraischen Zahlen Quotientendarstellung 342 Funktionenkörper 343 Konstantenkörper, Konstantenerweiterung Kongruenzen Die gewöhnliche Kongruenz Die multiplikative Kongruenz 358 Funktionenkörper Die Vielfachen eines Divisors Körperbasen Idealeigenschaft, Idealbasen Kongruenzen für ganze Elemente Die Divisoren vom idealtheoretischen Standpunkt Weiteres über Divisoren und Ideale 378 Funktionenkörper 382 Konstantenkörper für p. Kennzeichnung der Primdivisoren durch Homomorphismen. Zerlegungsgesetz bei algebraischer. Konstantenerweiterung 391 Der Rang des Moduls der Vielfachen eines Divisors 407

5 XVI Inhaltsverzeichnis 25. Differente und-diskriminante Schachtelungsformeln für Spur und Norm. Die Divisorspur Definition von Differente und Diskriminante Sätze über Differente und Diskriminante im Kleinen Zusammenhang zwischen Differente und Diskriminante im Kleinen und Differente und Diskriminante im Großen Sätze über Differente. und Diskriminante im Großen Gemeinsame außerwesentliche Diskriminantenteiler Beispiele 443 Funktionenkörper 448 Die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades bei endlichem Konstantenkörper 450 Differentiale 453 Der Biemann-Bochsche Satz nebst Folgerungen 459 Aufgeschlossene algebraische Funktionenkörper Quadratische Zahlkörper Erzeugung im Großen und im Kleinen Zerlegungsgesetz Diskriminante, Ganzheitsbasis Quadratische Bestcharaktere der Diskriminante beliebiger algebraischer Zahlkörper Die quadratischen Zahlkörper als Klassenkörper Das Hilbertsche Symbol als Normensymbol Der Normensatz Notwendige Bedingung für Hauptdivisoren. Geschlechter Einheitswurzelkörper Erzeugung Zerlegungsgesetz Diskriminante, Ganzheitsbasis Die quadratischen Zahlkörper als Teilkörper von Einheitswurzelkörpern Einheiten Vorbereitungen Beweise Erweiterung Beispiele und Anwendungen: Quadratische Zahlkörper. Einheitswurzelkörper Klassenzahl Endlichkeit der Klassenzahl Folgerungen Beispiele und Anwendungen: Quadratische Zahlkörper, Einheitswurzelkörper 544 Funktionenkörper Annäherungssätze und Diskriminantenabschätzungen Die allgemeinsten Annäherungsforderungen an Null Der Minkowskische Gitterpunktsatz Anwendung auf konvexe Körper innerhalb der Normeinsfläche Folgerungen aus der Diskriminantenabschätzung 592 Funktionenkörper 600 Namenverzeichnis 602 Begriffsverzeichnis 603