Formale Systeme. Beweistheorie: Motivierendes Beispiel. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/
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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 Beweistheorie: Motivierendes Beispiel KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Wurzeln der Logik Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 2/8
3 Wurzeln der Logik Eine der Wurzeln der modernen Logik ist das Interesse an einer systematischen Analyse des menschlichen Denkens. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 2/8
4 Wurzeln der Logik Eine der Wurzeln der modernen Logik ist das Interesse an einer systematischen Analyse des menschlichen Denkens. Wir fokusieren in dieser Vorlesung auf den Teil des menschlichen Denkens, den man mit logischem Schließen enger eingrenzen kann. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 2/8
5 Wurzeln der Logik Eine der Wurzeln der modernen Logik ist das Interesse an einer systematischen Analyse des menschlichen Denkens. Wir fokusieren in dieser Vorlesung auf den Teil des menschlichen Denkens, den man mit logischem Schließen enger eingrenzen kann. Wir beginnen mit einem Beispiel aus der Alltagslogik. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 2/8
6 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
7 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
8 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Antwort Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
9 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Antwort 1. Nehmen wir mal an, mein Bruder wäre mein Schwager. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
10 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Antwort 1. Nehmen wir mal an, mein Bruder wäre mein Schwager. 2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der Bruder meiner Frau (die andere Schwager-Variante Mann der Schwester lassen wir außen vor). Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
11 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Antwort 1. Nehmen wir mal an, mein Bruder wäre mein Schwager. 2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der Bruder meiner Frau (die andere Schwager-Variante Mann der Schwester lassen wir außen vor). 3. Wenn aber mein Bruder auch der Bruder meiner Frau ist, dann ist meine Frau meine Schwester. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
12 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Antwort 1. Nehmen wir mal an, mein Bruder wäre mein Schwager. 2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der Bruder meiner Frau (die andere Schwager-Variante Mann der Schwester lassen wir außen vor). 3. Wenn aber mein Bruder auch der Bruder meiner Frau ist, dann ist meine Frau meine Schwester. 4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner Schwester verheiratet sein. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
13 Beispiel aus der Alltagslogik Frage Kann mein Bruder mein Schwager sein? Antwort 1. Nehmen wir mal an, mein Bruder wäre mein Schwager. 2. Nach allgemeinem Sprachgebrauch ist ein Schwager der Bruder meiner Frau (die andere Schwager-Variante Mann der Schwester lassen wir außen vor). 3. Wenn aber mein Bruder auch der Bruder meiner Frau ist, dann ist meine Frau meine Schwester. 4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner Schwester verheiratet sein. 5. Also kann mein Bruder nicht mein Schwager sein. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/8
14 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
15 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) 2. Bruno ist mein Schwager. schwager(bruno, i) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
16 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) 2. Bruno ist mein Schwager. schwager(bruno, i) 3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder meiner Frau. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
17 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) 2. Bruno ist mein Schwager. schwager(bruno, i) 3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder meiner Frau. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner Schwester verheiratet sein. x( schwester(fr(x), x)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
18 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) 2. Bruno ist mein Schwager. schwager(bruno, i) 3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder meiner Frau. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner Schwester verheiratet sein. x( schwester(fr(x), x)) 5. Bruno ist ein Bruder meiner Frau. bruder(bruno, fr(i)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
19 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) 2. Bruno ist mein Schwager. schwager(bruno, i) 3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder meiner Frau. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner Schwester verheiratet sein. x( schwester(fr(x), x)) 5. Bruno ist ein Bruder meiner Frau. bruder(bruno, fr(i)) 6. Meine Frau ist meine Schwester schwester(fr(i), i) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
20 Formalisierung Konstanten: Bruno und i (ich) 1. Bruno ist mein Bruder. bruder(bruno, i) 2. Bruno ist mein Schwager. schwager(bruno, i) 3. Wenn jemand mein Schwager ist, dann ist er ein Bruder meiner Frau. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. Nach deutschem Eherecht darf niemand mit seiner Schwester verheiratet sein. x( schwester(fr(x), x)) 5. Bruno ist ein Bruder meiner Frau. bruder(bruno, fr(i)) 6. Meine Frau ist meine Schwester schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/8
21 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
22 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch 1. ist ein Faktum, das im vorliegenden Kontext gilt. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
23 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch 2. ist eine Annahme für die augenblickliche Argumentation. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
24 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch 3. und 4. sind Fakten, die auch außerhalb des vorliegenden Kontexts gelten. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
25 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch 5. ist eine Folgerung aus 2 und 3. Genauer Analyse folgt gleich. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
26 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch 6. ist wieder eine Folgerung aus den vorangegangenen Aussagen. Das schauen wir uns danach genauer an. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
27 Erster Schritt zur Analyse 1. bruder(bruno, i) 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 4. x( schwester(fr(x), x)) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) 7. Widerspruch Zu 7. Aus 4. können wir schließen auf 4a. schwester(fr(i), i). Das ist ein Schluß vom Allgmeinen auf das Besondere. 4a. und 6. bilden jetzt einen elementaren Widerspruch. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/8
28 Analyse eines Beweisschritts Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.? 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 5. bruder(bruno, fr(i)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/8
29 Analyse eines Beweisschritts Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.? 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 5. bruder(bruno, fr(i)) vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/8
30 Analyse eines Beweisschritts Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.? 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 5. bruder(bruno, fr(i)) vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens x(schw(x, i) br(x, fr(i))) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/8
31 Analyse eines Beweisschritts Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.? 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 5. bruder(bruno, fr(i)) vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens x(schw(x, i) br(x, fr(i))) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) x(φ(x)) φ(t) für beliebigen Term t. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/8
32 Analyse eines Beweisschritts Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.? 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 5. bruder(bruno, fr(i)) vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens x(schw(x, i) br(x, fr(i))) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) x(φ(x)) φ(t) für beliebigen Term t. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/8
33 Analyse eines Beweisschritts Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.? 2. schwager(bruno, i) 3. x(schwager(x, i) bruder(x, fr(i))) 5. bruder(bruno, fr(i)) vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens x(schw(x, i) br(x, fr(i))) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) schw(bruno, i) br(bruno, fr(i)) x(φ(x)) φ(t) für beliebigen Term t. A B B A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/8
34 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/8
35 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in die Formalisierung mit aufzunehmen: Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/8
36 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in die Formalisierung mit aufzunehmen: 7. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder und der Bruder einer Frau ist, dann ist diese Frau meine Schwester x y z(bruder(x, y) bruder(x, z) w(z) schwester(z, y)) Dabei ist w() ein einstellige Prädikat für weiblich. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/8
37 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 6. schwester(fr(i), i) Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in die Formalisierung mit aufzunehmen: 7. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder und der Bruder einer Frau ist, dann ist diese Frau meine Schwester x y z(bruder(x, y) bruder(x, z) w(z) schwester(z, y)) Dabei ist w() ein einstellige Prädikat für weiblich. Außerdem: 8. x(w(fr(x))) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/8
38 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6. aus 1., 5. und 5a. herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 7. x y z(bruder(x, y) bruder(x, z) w(z) schwester(z, y)) 8. x(w(fr(x))) 6. schwester(fr(i), i) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/8
39 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6. aus 1., 5. und 5a. herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 7. x y z(bruder(x, y) bruder(x, z) w(z) schwester(z, y)) 8. x(w(fr(x))) 6. schwester(fr(i), i) Schluß vom Allgemeinen zum Besonderen: 7a. bruder(bruno, i) bruder(bruno, fr(i)) w(fr(i)) schwester(fr(i), i) 8a. w(fr(i)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/8
40 Analyse eines weiteren Beweisschritts Wie kann man 6. aus 1., 5. und 5a. herleiten? 1. bruder(bruno, i) 5. bruder(bruno, fr(i)) 7. x y z(bruder(x, y) bruder(x, z) w(z) schwester(z, y)) 8. x(w(fr(x))) 6. schwester(fr(i), i) Schluß vom Allgemeinen zum Besonderen: 7a. bruder(bruno, i) bruder(bruno, fr(i)) w(fr(i)) schwester(fr(i), i) 8a. w(fr(i)) Daraus folgt 6. mit modus ponens. Genau genommen zuerst Zwischenschritt: Aus Einzelformeln 1, 5, 8a auf Formel 1 5 8a schließen Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/8
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