Formale Systeme Hilbert-Kalku l Prof. Dr. Peter H. Schmitt
|
|
|
- Johannes Keller
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Formale Systeme Hilbert-Kalku l Prof. Dr. Peter H. Schmitt KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 2/15
3 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül 2. Resolutionskalkül Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 2/15
4 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül 2. Resolutionskalkül 3. Tableaukalkül Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 2/15
5 Kalküle für die Aussagenlogik Übersicht 1. Hilbert-Kalkül 2. Resolutionskalkül 3. Tableaukalkül 4. Sequenzenkalkül Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 2/15
6 Beispiel einer Beweisregel Die Regel mit Schemavariablen α,β,γ α β, β γ, γ α α Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 3/15
7 Beispiel einer Beweisregel Die Regel mit Schemavariablen α,β,γ α β, β γ, γ α α Eine Instanz mit α = P 1 β = 0 γ = P 1 P 2 Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 3/15
8 Beispiel einer Beweisregel Die Regel mit Schemavariablen α,β,γ α β, β γ, γ α α Eine Instanz mit α = P 1 β = 0 γ = P 1 P 2 P 1 0, 0 (P 1 P 2 ), (P 1 P 2 ) P 1 P 1 Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 3/15
9 Beweisregeln, abstrakt Definition Für ein n IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare, n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 4/15
10 Beweisregeln, abstrakt Definition Für ein n IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare, n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln. Ist (u 1,..., u n, u n+1 ) R, so heißen Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 4/15
11 Beweisregeln, abstrakt Definition Für ein n IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare, n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln. Ist (u 1,..., u n, u n+1 ) R, so heißen (u 1,..., u n, u n+1 ) eine Instanz von R Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 4/15
12 Beweisregeln, abstrakt Definition Für ein n IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare, n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln. Ist (u 1,..., u n, u n+1 ) R, so heißen (u 1,..., u n, u n+1 ) eine Instanz von R u 1,..., u n die Prämissen dieser Instanz Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 4/15
13 Beweisregeln, abstrakt Definition Für ein n IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare, n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln. Ist (u 1,..., u n, u n+1 ) R, so heißen (u 1,..., u n, u n+1 ) eine Instanz von R u 1,..., u n die Prämissen dieser Instanz u n+1 die Conclusio dieser Instanz. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 4/15
14 Beweisregeln, abstrakt Definition Für ein n IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare, n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln. Ist (u 1,..., u n, u n+1 ) R, so heißen (u 1,..., u n, u n+1 ) eine Instanz von R u 1,..., u n die Prämissen dieser Instanz u n+1 die Conclusio dieser Instanz. Wir schreiben meist u 1,..., u n u n+1 Die Instanzen von nullstelligen Regeln heissen auch Axiome. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 4/15
15 Ableitungen, abstrakt Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen und eine Menge von Regeln festgelegt. Definition Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u 1,..., u m ) von Formeln in L, so dass für jedes i {1,..., m} gilt: u i ist Axiom; oder Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 5/15
16 Ableitungen, abstrakt Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen und eine Menge von Regeln festgelegt. Definition Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u 1,..., u m ) von Formeln in L, so dass für jedes i {1,..., m} gilt: u i ist Axiom; oder u i M; oder Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 5/15
17 Ableitungen, abstrakt Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen und eine Menge von Regeln festgelegt. Definition Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u 1,..., u m ) von Formeln in L, so dass für jedes i {1,..., m} gilt: u i ist Axiom; oder u i M; oder es gibt eine Instanz einer Regel mit j 1,..., j n < i u j1,..., u jn u i Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 5/15
18 Ableitungen, abstrakt Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen und eine Menge von Regeln festgelegt. Definition Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u 1,..., u m ) von Formeln in L, so dass für jedes i {1,..., m} gilt: u i ist Axiom; oder u i M; oder es gibt eine Instanz einer Regel mit j 1,..., j n < i u j1,..., u jn u i Man beachte, dass u 1 ein Axiom oder ein Element von M sein muss. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 5/15
19 Ableitbarkeit, abstrakt Eine Formel A heisst ableitbar aus M, kurz M A genau dann, wenn es eine Ableitung (u 1,..., u m ) gibt mit u m = A. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 6/15
20 Ableitbarkeit, abstrakt Eine Formel A heisst ableitbar aus M, kurz M A genau dann, wenn es eine Ableitung (u 1,..., u m ) gibt mit u m = A. Für u schreiben wir u, für {v} u schreiben wir v u. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 6/15
21 Ableitbarkeit, abstrakt Eine Formel A heisst ableitbar aus M, kurz M A genau dann, wenn es eine Ableitung (u 1,..., u m ) gibt mit u m = A. Für u schreiben wir u, für {v} u schreiben wir v u. Falls erforderlich wird der Kalkül in der Notation mit angezeigt, also M Kal u. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 6/15
22 David Hilbert Wesentlicher Begründer der axiomatischen Logik David Hilbert 1862, 1943 Einer der bedeutensten und einflußreichsten Mathematiker aller Zeiten Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 7/15
23 David Hilbert Wesentlicher Begründer der axiomatischen Logik David Hilbert 1862, 1943 Einer der bedeutensten und einflußreichsten Mathematiker aller Zeiten Professor in Königsberg und Göttingen Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 7/15
24 David Hilbert Wesentlicher Begründer der axiomatischen Logik David Hilbert 1862, 1943 Einer der bedeutensten und einflußreichsten Mathematiker aller Zeiten Professor in Königsberg und Göttingen Wichtige Beiträge zu Logik Funktionalanalysis Zahlentheorie Mathematische Grundlagen der Physik uvm. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 7/15
25 Die Regeln des Hilbertkalküls Definition Ax1: Ax2: α (β α) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) Ax3: Mp: ( α β) (β α) α, α β β (Modus ponens) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 8/15
26 Eine Ableitung für H0 A A 1. ( }{{} A α (( }{{} A α ((A} {{ A} ) }{{} A β γ (A A)) ( A }{{} β }{{} α )) }{{} A )) Ax2 γ Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 9/15
27 Eine Ableitung für H0 A A 1. ( }{{} A α (( }{{} A α ((A} {{ A} ) }{{} A β γ (A A)) ( A }{{} β }{{} α )) }{{} A )) Ax2 γ 2. A ((A A) A) Ax1 Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 9/15
28 Eine Ableitung für H0 A A 1. ( }{{} A α (( }{{} A α ((A} {{ A} ) }{{} A β γ (A A)) ( A }{{} β }{{} α )) }{{} A )) Ax2 γ 2. A ((A A) A) Ax1 3. (A (A A)) (A A) Mp auf (2),(1) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 9/15
29 Eine Ableitung für H0 A A 1. ( }{{} A α (( }{{} A α ((A} {{ A} ) }{{} A β γ (A A)) ( A }{{} β }{{} α )) }{{} A )) Ax2 γ 2. A ((A A) A) Ax1 3. (A (A A)) (A A) Mp auf (2),(1) 4. A (A A) Ax1 Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 9/15
30 Eine Ableitung für H0 A A 1. ( }{{} A α (( }{{} A α ((A} {{ A} ) }{{} A β γ (A A)) ( A }{{} β }{{} α )) }{{} A )) Ax2 γ 2. A ((A A) A) Ax1 3. (A (A A)) (A A) Mp auf (2),(1) 4. A (A A) Ax1 5. A A Mp auf (3),(4) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 9/15
31 Deduktionstheorem Theorem (Deduktionstheorem der Aussagenlogik) Für beliebige Formelmengen M und Formeln A, B gilt: M H0 A B M {A} H0 B Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 10/15
32 Deduktionstheorem Theorem (Deduktionstheorem der Aussagenlogik) Für beliebige Formelmengen M und Formeln A, B gilt: M H0 A B M {A} H0 B Proof. Es gelte M A B. Dann M {A} A B. (erst recht) M {A} A (trivialerweise) M {A} B (Mp) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 10/15
33 Deduktionstheorem (Forts.) Proof. Es gelte: M {A} B. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 11/15
34 Deduktionstheorem (Forts.) Proof. Es gelte: M {A} B. Sei (A 1,..., A m ) Ableitung von B aus M {A}. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 11/15
35 Deduktionstheorem (Forts.) Proof. Es gelte: M {A} B. Sei (A 1,..., A m ) Ableitung von B aus M {A}. Ziel: M A B, d. h. M A A m. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 11/15
36 Deduktionstheorem (Forts.) Proof. Es gelte: M {A} B. Sei (A 1,..., A m ) Ableitung von B aus M {A}. Ziel: M A B, d. h. M A A m. Wir zeigen für alle i {1,..., m} : durch Induktion über i. M A A i Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 11/15
37 Deduktionstheorem (Forts.) Proof. Es gelte: M {A} B. Sei (A 1,..., A m ) Ableitung von B aus M {A}. Ziel: M A B, d. h. M A A m. Wir zeigen für alle i {1,..., m} : durch Induktion über i. Sei i mit 1 i m gegeben. M A A i Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 11/15
38 Deduktionstheorem (Forts.) Proof. Es gelte: M {A} B. Sei (A 1,..., A m ) Ableitung von B aus M {A}. Ziel: M A B, d. h. M A A m. Wir zeigen für alle i {1,..., m} : M A A i durch Induktion über i. Sei i mit 1 i m gegeben. Nehmen wir also an, dass für alle j < i schon gezeigt ist: M A A j. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 11/15
39 Deduktionstheorem (2. Forts.) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 12/15
40 Deduktionstheorem (2. Forts.) 1.Fall: A i M Ax1 Ax2 Ax3. Dann gilt: M A i (trivial) M A i (A A i ) (Ax1) M A A i (Mp) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 12/15
41 Deduktionstheorem (2. Forts.) 1.Fall: A i M Ax1 Ax2 Ax3. Dann gilt: M A i (trivial) M A i (A A i ) (Ax1) M A A i (Mp) 2.Fall: A i = A. Wir haben M A A schon gezeigt. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 12/15
42 Deduktionstheorem (3. Forts.) Proof. 3.Fall: Es gibt j < i und k < i mit A k = A j A i. Nach obiger Annahme (Induktionsvoraussetzung) wissen wir: M A A j M A (A j A i ) Man hat ferner M (A (A j A i )) (A A j ) (A A i )) (Ax2) also M A A i (2mal Mp). Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 13/15
43 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
44 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
45 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) {A B, B C, A} B (MP) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
46 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) {A B, B C, A} B (MP) {A B, B C, A} B C (triv.) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
47 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) {A B, B C, A} B (MP) {A B, B C, A} B C (triv.) {A B, B C, A} C (MP) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
48 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) {A B, B C, A} B (MP) {A B, B C, A} B C (triv.) {A B, B C, A} C (MP) {A B, B C} A C (DT) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
49 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) {A B, B C, A} B (MP) {A B, B C, A} B C (triv.) {A B, B C, A} C (MP) {A B, B C} A C (DT) {A B} (B C) (A C) (DT) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
50 Beispiel einer Ableitung mit Deduktionstheorem {A B, B C, A} A (triv.) {A B, B C, A} A B (triv.) {A B, B C, A} B (MP) {A B, B C, A} B C (triv.) {A B, B C, A} C (MP) {A B, B C} A C (DT) {A B} (B C) (A C) (DT) (A B) ((B C) (A C)) (DT) Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 14/15
51 Metatheoreme zu H0 Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik) Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln, A eine aussagenlogische Formel. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 15/15
52 Metatheoreme zu H0 Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik) Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln, A eine aussagenlogische Formel. 1. M H0 A M = A Korrektheit von H0 Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 15/15
53 Metatheoreme zu H0 Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik) Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln, A eine aussagenlogische Formel. 1. M H0 A M = A Korrektheit von H0 2. M = A M H0 A. Vollständigkeit von H0 Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 15/15
54 Metatheoreme zu H0 Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik) Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln, A eine aussagenlogische Formel. 1. M H0 A M = A Korrektheit von H0 2. M = A M H0 A. Vollständigkeit von H0 3. Aus M = A folgt schon E = A für eine endliche Teilmenge E von M. Prof. Dr. Peter H. Schmitt Formale Systeme 15/15
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Aussagenlogik: Tableaukalku l KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
Hilbert-Kalkül (Einführung)
Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert. Winter 2008/2009. Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe (TH)
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe (TH) Winter 2008/2009 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme Winter 2008/2009 1 / 22 Kalküle für die Aussagenlogik
2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik
2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit einem axiomatischen Aufbau der Aussagenlogik mittels eines Deduktiven Systems oder eines Kalküls. Eine syntaktisch korrekte
Aussagenlogische Kalküle
Aussagenlogische Kalküle Ziel: mit Hilfe von schematischen Regeln sollen alle aus einer Formel logisch folgerbaren Formeln durch (prinzipiell syntaktische) Umformungen abgeleitet werden können. Derartige
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016.
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
Der Hilbert-Kalkül für die Aussagenlogik (Notizen zur Vorlesung Logik im Wintersemester 2003/04 an der Universität Stuttgart)
Der Hilbert-Kalkül für die Aussagenlogik (Notizen zur Vorlesung Logik im Wintersemester 2003/04 an der Universität Stuttgart) Javier Esparza und Barbara König 4. Dezember 2003 Für eine gegebene aussagenlogische
Kapitel 1.5 und 1.6. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik
Kapitel 1.5 und 1.6 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 1 /
Formale Systeme. Wiederholung. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Wiederholung KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Themen Aussagenlogik
Formale Systeme. Peano-Arithmetik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 Peano-Arithmetik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum in
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER
SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER FORMALE SPRACHEN Wie jede natürliche Sprache, hat auch auch jede formale Sprache Syntax/Grammatik Semantik GRAMMATIK / SYNTAX Die Grammatik / Syntax einer formalen
Formale Systeme, WS 2015/2016. Lösungen zu Übungsblatt 7
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Bernhard Beckert Dr. Thorsten Bormer, Dr. Vladimir Klebanov, Dr. Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2015/2016 Lösungen
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.8 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 99. Sequenzen
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.8 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 99 Sequenzen Zum Abschluss des Kapitels über Aussagenlogik behandeln wir noch Gentzens Sequenzenkalkül.
Kapitel 1.5. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik. Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls
Kapitel 1.5 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 1/30 Syntaktischer
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Pra dikatenlogik: Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Pra dikatenlogik: Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der
Formale Systeme. Tableaukalku l (ohne Gleichheit) Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/ KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
Aussagenlogischer Kalkül, Vollständigkeitssatz
Aussagenlogischer Kalkül, Vollständigkeitssatz Salome Vogelsang 22. Februar 2012 Eine Motivation für den Regelkalkül des Gentzen-Typus ist formuliert von Gentzen selbst: "Mein erster Gesichtspunkt war
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
Formale Systeme. Prädikatenlogik 2. Stufe. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
Formale Systeme. Beweistheorie: Motivierendes Beispiel. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 Beweistheorie: Motivierendes Beispiel KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales
Rhetorik und Argumentationstheorie.
Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
Einführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Einführung in die mathematische Logik Arbeitsblatt 3 Übungsaufgaben Aufgabe 3.1. Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.
Einführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 4 Die Ableitungsbeziehung Definition 4.1. Es sei Γ L V eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer
1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre
Jeder Aussage p kann ein Wahrheitswert W(p) {0, 1} zugeordnet werden. Beispiele: W(Es regnet.) =? (je nach Lage der Dinge) W(Die Straße ist naß.) =?
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl.
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
Einführung in die Logik
Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 1. Einführung Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen
Formale Systeme. Das Erfu llbarkeitsproblem. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Das Erfu llbarkeitsproblem KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
- SMT und DPLL(T ) Entscheidungsverfahren mit Anwendungen in der Softwareverifikation.
SMT und DPLL(T ) Entscheidungsverfahren mit Anwendungen in der Softwareverifikation STEPHAN FALKE INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK (ITI) 0 KIT 6. Universität Mai 2013 des S. Landes Falke Baden-Württemberg
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik Teil 1 Der Shoenfield-Kalkül für PL: Axiome und Regeln, Korrektheit, Zulässige Regeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 1 / 45 Der Shoenfield-Kalkül
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül
2.6 Natürliches Schließen in AL
2.6 Natürliches Schließen in AL Bisher wurde bei der Überprüfung der Gültigkeit von Schlüssen oder Schlussschemata insofern ein semantisches Herangehen verfolgt, als wir auf die Bewertung von Formeln mit
Was bisher geschah Modellierung in Logiken: klassische Prädikatenlogik FOL(Σ, X) Spezialfall klassische Aussagenlogik AL(P)
Was bisher geschah Modellierung in Logiken: klassische Prädikatenlogik FOL(Σ, X) Spezialfall klassische Aussagenlogik AL(P) Syntax Semantik Signatur, Variablen Terme (induktive Definition, Baumform) Atome
Einführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 3 Tautologien In der letzten Vorlesung haben wir erklärt, wie man ausgehend von einer Wahrheitsbelegung λ der Aussagevariablen
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
Theoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 6: Formale Logik Einführung schulz@eprover.org Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens Rational richtige Ableitung von
Logische Äquivalenz. Definition Beispiel 2.23
Logische Äquivalenz Definition 2.22 Zwei aussagenlogische Formeln α, β A heißen logisch äquivalent, falls für jede Belegung I von α und β gilt: Schreibweise: α β. Beispiel 2.23 Aus Folgerung 2.6 ergibt
Logik. Prof. Dr. Madlener SS TU Kaiserslautern. Prof. Dr. Madlener: Logik 1
Logik Prof. Dr. Madlener TU Kaiserslautern SS 2011 Prof. Dr. Madlener: Logik 1 Logik Studiengang Informatik, Ang. Informatik und WiWi/Inf SS 11 Prof. Dr. Madlener TU - Kaiserslautern Vorlesung: Mi 11.45-13.15
Formale Systeme. Prädikatenlogik: Tableaukalkül (ohne Gleichheit) Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
Das SAT Problem oder Erfüllbarkeitsproblem. Formale Systeme. Teilklassen. Satz von Cook. SAT Instanz: Eine aussagenlogische Formel F For 0
Das SAT Problem oder Erfüllbarkeitsproblem Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe TH SAT Instanz: Eine aussagenlogische Formel F For 0 Frage: Ist F erfüllbar?
Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 7. Alexander Bors. 6. & 27. April A. Bors Logik
Prädikatenlogiken Mathematische Logik Vorlesung 7 Alexander Bors 6. & 27. April 2017 1 Prädikatenlogiken Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3 24) (Abgeleitete) Axiome
Vollständige Induktion
Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass
Frank Heitmann 2/48. 2 Substitutionen, um formal auszudrücken wie in Formelmengen. auf!
Motivation ormale der Informatik 1 Kapitel 17 und rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Der Sinn von : Aufgrund syntaktischer Eigenschaften von ormeln/ormelmengen auf semantische Eigenschaften
Logik und Beweisbarkeit
Logik und Beweisbarkeit Folien zur Vorlesung im Sommersemester 2016 Teil 1 Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 12. April 2016 Vorlesung Logik und Beweisbarkeit (Sommer 2016) 1. Aussagenlogik
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 7.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik
Deduktionssysteme der Aussagenlogik, Kap. 3: Tableaukalküle 38 3 Tableaukalküle 3.1 Klassische Aussagenlogik 3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Ein zweites Entscheidungsverfahren
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
SS Juli Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 11
SS 2011 06. Juli 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 11 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 13. Juli 2011 10:00 Uhr 1. Aufgabe: [Axiomatisierung, Übung] 1. Definieren Sie eine Formel A n der Prädikatenlogik
Kurseinheit 1 Einführung und mathematische Grundlagen Aussagenlogik
Kurseinheit 1 Einführung und mathematische Grundlagen Aussagenlogik Fragen Seite Punkte 1. Was ist die Mathematische Logik? 3 2 2. Was sind die Aussagenlogik und die Prädikatenlogik? 5 4 3. Was sind Formeln,
Formale Systeme. Endliche Automaten. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/ KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Endliche Automaten KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
FO-Klauselmengen Abschnitt 5.1. Logik-Kalküle. Klauselmengen und universell-pränexe Sätze. Übersetzungs-Beispiel
Teil 2: FO Beweiskalküle Logik-Kalküle syntaktische Beweiskalküle Beweise der Unerfüllbarkeit Resolution vergleiche Kalküle für AL Resolution bzw. der Widerlegungskalkül: Unerfüllbarkeitsbeweise wir behandeln:
Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 9. Alexander Bors. 11. & 18. Mai A. Bors Logik
Mathematische Logik Vorlesung 9 Alexander Bors 11. & 18. Mai 2017 1 Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Un-)sresultate (Quellen heute: http://homepages.abdn.ac.uk/k.vdeemter/pages/ teaching/cs3518/abdn.only/monadicfopl.pdf
Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 18.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 18. Januar 2017 Kalküle (1) Kalküle (m) sind Regelsysteme, mit denen sich allgemeingültige
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
5 Kalküle des Natürlichen Schliessens. 5.1 Klassische Aussagenlogik Einleitung
Deduktionssysteme der Aussagenlogik, Kap. 5: Kalküle des Natürlichen Schliessens 134 5 Kalküle des Natürlichen Schliessens 5.1 Klassische Aussagenlogik 5.1.1 Einleitung Bei den beiden bisher betrachteten
Motivation und Geschichte. Geschichte der Logik Logik und Informatik
Motivation und Geschichte Geschichte der Logik Logik und Informatik Logik für Informatiker, M. Lange, IFI/LMU: Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 12 Aufgaben der Logik Logik (aus Griechischem)
Klauselmengen. Definition Sei
Klauselmengen Definition 2.38 Sei α = (p 11... p 1k1 )... (p n1... p nkn ) eine in aussagenlogische Formel in KNF. Dann heißen die Mengen {p i1,..., p iki }, 1 i n, der jeweils disjunktiv verknüpften Literale
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 18: Logik Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/35 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und
Theoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 18. Januar 2018 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 18.01.2018 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität
Formale Techniken der Software-Entwicklung
Formale Techniken der Software-Entwicklung Matthias Hölzl, Christian Kroiß 15. April 2014 Sequenzenkalkül Kann man mit den Schlussregeln falsche Aussagen ableiten? Gibt es wahre Aussagen, die man nicht
Schlussregeln aus anderen Kalkülen
Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,
Formale Systeme. LTL und Büchi-Automaten. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16. Resolution. Motivation. Beispiel
rundlagen und Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 31. Mai 2016 Motivation Wir benötigen einen (Un-)Erfüllbarkeitstest für aussagenlogische
Einführung in die Logik. Klaus Madlener
Einführung in die Logik Klaus Madlener 2002 Vorwort Dieses Skript entstand aus dem alten Vorlesungsskript Einführung in die Logik und Korrektheit von Programmen, das sich über viele Jahre bewährte. Es
Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Der Sequenzenkalkül 138 Der Sequenzenkalkül Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül
5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation
Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung
Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 7.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 7. Dezember 2016 Ein klassischer Mathematikerwitz Ein Soziologe, ein Physiker
Deduktion in der Aussagenlogik. Semantische Folgerungsbeziehung. Zusammenhang zwischen semantischer und syntaktischer Folgerung
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik
TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 5.12.2016 1 / 32 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds
Deduktion in der Aussagenlogik
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
Gentzen-Kalküle. bestehen aus mehreren, recht komplexen Axiomen, und wenigen Schlußregel (für Aussagenlogik: nur einer, für Prädikatenlogik drei).
Gentzen-Kalküle Axiomatische Systeme ( Hilbert Kalküle ): bestehen aus mehreren, recht komplexen Axiomen, und wenigen Schlußregel (für Aussagenlogik: nur einer, für Prädikatenlogik drei). Probleme mit
Formale Prädikatenlogik. Michael Meyling
Formale Prädikatenlogik Michael Meyling 24. Mai 2013 2 Die Quelle für dieses Dokument ist hier zu finden: http://www.qedeq.org/0_04_07/doc/math/qedeq_formal_logic_v1.xml Die vorliegende Publikation ist
Vorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik PD Dr. K. Halupczok / Dr. Frank Wübbeling Denkanstoß: Was ist wissenschaftliches Denken? Denkanstoß: Was ist wissenschaftliches
Grundbegriffe für dreiwertige Logik
Grundbegriffe für dreiwertige Logik Hans Kleine Büning Universität Paderborn 1.11.2011 1 Syntax und Semantik Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren
Teil (A): Was wir mit Beweisen nicht meinen. (aus: Armin P. Barth, Logik? Logisch! Teil 2, in VSMP Bulletin, Nr. 112, Febr. 2010, pp.
Beweisen ohne Sorgen Teil (A): Was wir mit Beweisen nicht meinen (aus: Armin P. Barth, Logik? Logisch! Teil, in VSMP Bulletin, Nr. 11, Febr. 010, pp. 1 31) Abraham Lincoln sagte einmal: It is true that
Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 27/28 Binary Decision Diagrams KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Shannon-Formeln
Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F
Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 8. Alexander Bors. 27. April., 4. & 11. Mai A. Bors Logik
Mathematische Logik Vorlesung 8 Alexander Bors 27. April., 4. & 11. Mai 2017 1 Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3 24) Der Gödelsche und Folgerungen 2 Erinnerung
Wie wird eine AF semantisch interpretiert? Mit einer Belegung und einer Auswertung (Def ); Unterscheidung von Objekt- und Metasprache
Gedä chtnisprotokoll Kurs: 01825 Logik für Informatiker Prüfer: Prof. Heinemann Datum: März 2017 Aussagenlogik Wir haben ein Alphabet in der Aussagenlogik und Wörter über diesem Alphabet. Wie sieht die
Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015
Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 1. Aussagenlogik Alphabet und AS gegeben, wie sind die Aussagenlogischen
Modelltheorie (Einige Impulse)
Modelltheorie (Einige Impulse) Formale Systeme werden oft entworfen, um mathematische Strukturen zu beschreiben. In der Modelltheorie geht es um das Studium der Beziehungen zwischen formalen Systemen und
Resolutionsalgorithmus
112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:
Kapitel 1.1. Aussagenlogik: Syntax. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1
Kapitel 1.1 Aussagenlogik: Syntax Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1 Übersicht 1.1.1 Die Sprache der Aussagenlogik 1.1.2 Explizite vs. implizite Definitionen 1.1.3
Einführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 23 Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz Wir haben gesehen, dass die Unentscheidbarkeit des Halteproblems über
Brückenkurs Mathematik
Beweise und Beweisstrategien andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind
Universität Heidelberg 12. April 2018 Institut für Informatik Klaus Ambos-Spies Nadine Losert. 2. Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik
Universität Heidelberg 12. April 2018 Institut für Informatik Klaus Ambos-Spies Nadine Losert 2. Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Es können maximal 48 Punkte erworben werden. Die Klausur ist bestanden,
Aufgabe 1: MC (10 Punkte) wahr 1P, falsch 0P, keine Ahnung 0.5P. Jede Struktur hat mindestens eine Substruktur
Aufgabe 1: MC (10 Punkte) wahr 1P, falsch 0P, keine Ahnung 0.5P Jede Struktur hat mindestens eine Substruktur JA Jeder Isomorphismus ist ein Homomorphismus JEIN? jeder bijektive Homomorphismus ist ein