Formale Systeme. Peano-Arithmetik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK
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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 Peano-Arithmetik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Guiseppe (Ioseph) Peano Geboren 1858 in Spinetta Gestorben 1932 in Turin Beiträge zur Mathematik und Linguistik Eine zentrale Publikation: Arithmetices principia: nova methodo exposita erschienen 1889 im Verlag Augustae Taurinorum online Version http: // arithmeticespri00peangoog# page/n6/mode/2up Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 2/10
3 Signatur Σ PA Konstantensymbole 0, 1 für Null und Eins zweistelliges Funktionszeichen für + für Addition zweistelliges Funktionszeichen für für Multiplikation Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/10
4 Signatur Σ PA Konstantensymbole 0, 1 für Null und Eins zweistelliges Funktionszeichen für + für Addition zweistelliges Funktionszeichen für für Multiplikation Die Peano Axiome PA. 1. x(x + 1 = 0) 2. x y(x + 1. = y + 1 x. = y) 3. x(x + 0. = x) 4. x y(x + (y + 1). = (x + y) + 1) 5. x(x 0. = 0) 6. x y(x (y + 1). = (x y) + x) (prädikatenlogische Version) 7. Für jede Σ PA -Formel φ z((φ(0) x(φ(x) φ(x + 1))) x(φ)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 3/10
5 Induktionsaxiom Axiom 7 ist ein Axiomenschema. Beispiel Für die Formel φ = x + z. = z + x ergibt sich die Instanziierung des Induktionsschemas: z( 0 + z. = z + 0 x(x + z. = z + x (x + 1) + z. = z + (x + 1)) x(x + z. = z + x)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/10
6 Induktionsaxiom Axiom 7 ist ein Axiomenschema. Beispiel Für die Formel φ = x + z. = z + x ergibt sich die Instanziierung des Induktionsschemas: z( 0 + z. = z + 0 x(x + z. = z + x (x + 1) + z. = z + (x + 1)) x(x + z. = z + x)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/10
7 Induktionsaxiom Axiom 7 ist ein Axiomenschema. Beispiel Für die Formel φ = x + z. = z + x ergibt sich die Instanziierung des Induktionsschemas: z( 0 + z. = z + 0 x(x + z. = z + x (x + 1) + z. = z + (x + 1)) x(x + z. = z + x)) Induktionsvariable x Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/10
8 Induktionsaxiom Axiom 7 ist ein Axiomenschema. Beispiel Für die Formel φ = x + z. = z + x ergibt sich die Instanziierung des Induktionsschemas: z( 0 + z. = z + 0 x(x + z. = z + x (x + 1) + z. = z + (x + 1)) x(x + z. = z + x)) Induktionsvariable x Parameter z Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/10
9 Induktionsaxiom Axiom 7 ist ein Axiomenschema. Beispiel Für die Formel φ = x + z. = z + x ergibt sich die Instanziierung des Induktionsschemas: z( 0 + z. = z + 0 x(x + z. = z + x (x + 1) + z. = z + (x + 1)) x(x + z. = z + x)) Induktionsvariable x Parameter z Induktionsanfang x = 0 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/10
10 Induktionsaxiom Axiom 7 ist ein Axiomenschema. Beispiel Für die Formel φ = x + z. = z + x ergibt sich die Instanziierung des Induktionsschemas: z( 0 + z. = z + 0 x(x + z. = z + x (x + 1) + z. = z + (x + 1)) x(x + z. = z + x)) Induktionsvariable x Parameter z Induktionsanfang x = 0 Induktionsschritt x x + 1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 4/10
11 Erste Folgerungen aus PA Die folgenden beiden Formeln sind aus PA ableitbar: 1. w(w + 0. = 0 + w) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/10
12 Erste Folgerungen aus PA Die folgenden beiden Formeln sind aus PA ableitbar: 1. w(w + 0. = 0 + w) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/10
13 Erste Folgerungen aus PA Die folgenden beiden Formeln sind aus PA ableitbar: 1. w(w + 0. = 0 + w) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/10
14 Erste Folgerungen aus PA Die folgenden beiden Formeln sind aus PA ableitbar: 1. w(w + 0. = 0 + w) Folgerung von 2. aus 1. Aus Axiom 3 x(x + 0 =. x) 1 folgt für x 1 2 Teil 1 mit w 1. Axiom 1 x(x + 1 = 0) = =. 1 3 mit x aus 2 und 3 folgt 1 0 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 5/10
15 Ein erster Induktionsbeweis PA w(w + 0. = 0 + w) Induktionsanfang = Gleichheitsaxiom der Logik Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/10
16 Ein erster Induktionsbeweis PA w(w + 0. = 0 + w) Induktionsanfang = Gleichheitsaxiom der Logik Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/10
17 Ein erster Induktionsbeweis PA w(w + 0. = 0 + w) Induktionsanfang = Gleichheitsaxiom der Logik Induktionsschritt. (w + 1) + 0 = w + 1 Axiom 3 von links nach rechts mit x (w + 1). = (w + 0) + 1 Axiom 3 von rechts nach links mit x w. = (0 + w) + 1 Induktionsvoraussetzung. = 0 + (w + 1) Axiom 4 von rechts nach links mit x 0, y w Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 6/10
18 Assoziativität der Addition PA u v w((u + v) + w. = u + (v + w)) Induktion nach w Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/10
19 Assoziativität der Addition PA u v w((u + v) + w. = u + (v + w)) Induktionsanfang: (u + v) + 0. = u + (v + 0) (u + v) + 0 v + 0. = u + v Ax 3 x (u + v). = v Ax 3 x v Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/10
20 Assoziativität der Addition PA u v w((u + v) + w. = u + (v + w)) Induktionshypothese (u + v) + w. = u + (v + w) Induktionsbehauptung (u + v) + (w + 1). = u + (v + (w + 1)) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/10
21 Assoziativität der Addition PA u v w((u + v) + w. = u + (v + w)) Induktionshypothese (u + v) + w. = u + (v + w) Induktionsbehauptung (u + v) + (w + 1). = u + (v + (w + 1)) (u + v) + (w + 1). = ((u + v) + w) + 1 Ax 4 x, y (u + v), w. = (u + (v + w)) + 1 IndHyp. = (u + ((v + w) + 1) Ax 4 x, y u, v + w. = u + (v + (w + 1)) Ax 4 x, y v, w Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 7/10
22 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
23 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Notation: Th(N ) = {φ Fml ΣPA N = φ} Cn(PA) = {φ Fml ΣPA PA φ} Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
24 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Notation: Fakten: 1. Cn(PA) Th(N ) Th(N ) = {φ Fml ΣPA N = φ} Cn(PA) = {φ Fml ΣPA PA φ} Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
25 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Notation: Fakten: 1. Cn(PA) Th(N ) Th(N ) = {φ Fml ΣPA N = φ} Cn(PA) = {φ Fml ΣPA PA φ} 2. Cn(PA) ist rekursiv aufzählbar Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
26 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Notation: Fakten: 1. Cn(PA) Th(N ) Th(N ) = {φ Fml ΣPA N = φ} Cn(PA) = {φ Fml ΣPA PA φ} 2. Cn(PA) ist rekursiv aufzählbar Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
27 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Notation: Fakten: 1. Cn(PA) Th(N ) Th(N ) = {φ Fml ΣPA N = φ} Cn(PA) = {φ Fml ΣPA PA φ} 2. Cn(PA) ist rekursiv aufzählbar Frage: Cn(PA) = Th(N ) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
28 Vollständigkeit von PA? Kann man alle wahren Aussagen über die Struktur N = N, +,, 0, 1 aus den Axiomen PA herleiten? Notation: Fakten: 1. Cn(PA) Th(N ) Th(N ) = {φ Fml ΣPA N = φ} Cn(PA) = {φ Fml ΣPA PA φ} 2. Cn(PA) ist rekursiv aufzählbar Frage: Cn(PA) = Th(N ) Anwort: Nein. Denn: Th(N ) ist nicht rekursiv aufzählbar (nicht axiomatisierbar) 1. Gödelscher Unvollständigkeitssatz Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 8/10
29 Unentscheidbarkeit Bemerkung Für alle φ Fml ΣPA gilt: φ Th(N ) oder φ Th(N ) Darum: Wäre Th( N, +, 0, 1 ) rekursiv aufzählbar, dann wäre Th( N, +, 0, 1 ) auch entscheidbar. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 9/10
30 Unentscheidbarkeit Bemerkung Für alle φ Fml ΣPA gilt: φ Th(N ) oder φ Th(N ) Darum: Wäre Th( N, +, 0, 1 ) rekursiv aufzählbar, dann wäre Th( N, +, 0, 1 ) auch entscheidbar. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 9/10
31 Unentscheidbarkeit Bemerkung Für alle φ Fml ΣPA gilt: φ Th(N ) oder φ Th(N ) Darum: Wäre Th( N, +, 0, 1 ) rekursiv aufzählbar, dann wäre Th( N, +, 0, 1 ) auch entscheidbar. Presburger Arithmetik Th( N, +, 0, 1 ) (ohne Multiplikation) ist rekursiv aufzählbar und entscheidbar Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/2015 9/10
32 Nichtaxiomatisierbarkeit von Th(N ) Cn(PA) Th(N ) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ /10
33 Nichtaxiomatisierbarkeit von Th(N ) Cn(PA) Th(N ) Bedeutung der Lücke zwischen Cn(PA) und Th(N ) für die Praxis? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ /10
34 Nichtaxiomatisierbarkeit von Th(N ) Cn(PA) Th(N ) Bedeutung der Lücke zwischen Cn(PA) und Th(N ) für die Praxis? Gering! Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ /10
35 Nichtaxiomatisierbarkeit von Th(N ) Cn(PA) Th(N ) Bedeutung der Lücke zwischen Cn(PA) und Th(N ) für die Praxis? Gering! Wenig relevante/verständliche Beispiele für φ mit φ Th(N ) und φ Cn(PA) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ /10
36 Nichtaxiomatisierbarkeit von Th(N ) Cn(PA) Th(N ) Bedeutung der Lücke zwischen Cn(PA) und Th(N ) für die Praxis? Gering! Wenig relevante/verständliche Beispiele für φ mit φ Th(N ) und φ Cn(PA) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ /10
37 Nichtaxiomatisierbarkeit von Th(N ) Cn(PA) Th(N ) Bedeutung der Lücke zwischen Cn(PA) und Th(N ) für die Praxis? Gering! Wenig relevante/verständliche Beispiele für φ mit φ Th(N ) und φ Cn(PA) Nichtstandardmodelle von PA sind alle seltsam (Modelle, die nicht isomorph zu N sind) Satz von Tennenbaum: In allen Nichtstandardmodellen von PA sind Addition und Multiplikation nicht-berechenbare Funktionen. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2014/ /10
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