Formale Systeme. LTL und Büchi-Automaten. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

2 Omega-Strukturen (Wiederholung) Definition Eine omega-struktur R = (N, <, ξ) für eine aussagenlogische Signatur P besteht aus der geordneten Menge der natürlichen Zahlen (N, <) interpretiert als Menge abstrakter Zeitpunkte und einer Funktion mit der Intention ξ : N 2 P p ξ(n) in R ist p zum Zeitpunkt n wahr Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 2/14

3 Für einen Automaten B = (S, V, s 0, δ, F ) mit V = 2 Σ, wobei Σ = Menge aussagenlogischer Atome, können wir Omega-Strukturen ξ über Σ und unendliche Wörter w V ω über V identifizieren. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 3/14

4 Notation Für die folgenden drei Beispiele vereinbaren wir die folgende Notation eine aussagenlogische Signatur Σ mit p, q Σ V = 2 Σ P = {b V p b} Q = {b V q b} Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/14

5 Notation Für die folgenden drei Beispiele vereinbaren wir die folgende Notation eine aussagenlogische Signatur Σ mit p, q Σ V = 2 Σ P = {b V p b} Q = {b V q b} Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/14

6 Notation Für die folgenden drei Beispiele vereinbaren wir die folgende Notation eine aussagenlogische Signatur Σ mit p, q Σ V = 2 Σ P = {b V p b} Q = {b V q b} Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/14

7 Notation Für die folgenden drei Beispiele vereinbaren wir die folgende Notation eine aussagenlogische Signatur Σ mit p, q Σ V = 2 Σ P = {b V p b} Q = {b V q b} Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/14

8 Automat für p Für den Automaten A dbp V P P gilt ξ L ω (A dbp ) ξ = p Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/14

9 Automat für p U q Für den Automaten A puntilq P Q V gilt ξ L ω (A puntilq ) ξ = p U q Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 6/14

10 Automat für q Für den Automaten A infq V Q 0 1 V gilt ξ L ω (A infq ) ξ = q Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 7/14

11 Lemma Seien Büchi-Automaten, C 1, C 2 LTL-Formeln mit A 1 = (S 1, V, s 0 1, δ 1, F 1 ), A 2 = (S 2, V, s 0 2, δ 2, F 2 ) A 1 = C 1 A 2 = C 2 Dann gibt es einen Büchi-Automaten C mit C = C 1 C 2 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 8/14

12 Direktes Produkt A infpq von A infp und A infq V V \ {p} 01 q 00 q p 11 p V \ {q} 10 A infpq = p q? Nein! L ω = Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 9/14

13 Direktes Produkt A infpq von A infp und A infq V V \ {p} 01 q 00 q p 11 p V \ {q} 10 A infpq = p q? Nein! L ω = Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 9/14

14 Automat für p q 01 1 V V p q p V p q V q V p q V 10 2 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

15 Allgemeine Konstruktion für Konjunktionsautomaten Gegeben A i = (S i, s 0 i, δ i, F i ) Gesucht C = (S, s 0, δ, F) mit L ω (C) = L ω (A 1 ) L ω (A 2 ). S = S 1 S 2 {1, 2} s 0 = (s1 0, s0 2, 1) F = F 1 S 2 {1} falls s 1 F 1 und i = 1 (t 1, t 2, 2) δ((s 1, s 2, i), a) t 1 δ 1 (s 1, a) und t 2 δ 2 (s 2, a) falls s 2 F 2 und i = 2 (t 1, t 2, 1) δ((s 1, s 2, i), a) t 1 δ 1 (s 1, a) und t 2 δ 2 (s 2, a) sonst (t 1, t 2, i) δ((s 1, s 2, i), a) i {1, 2}, t 1 δ 1 (s 1, a) und t 2 δ 2 (s 2, a) Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

16 Theorem Zu jeder LTL-Formel gibt es einen effektiv konstruierbaren Büchi-Automaten B A B mit L ω (A B ) = {ξ V ω ξ = B} Beweis: Siehe Skriptum Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

17 Korollar Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit von LTL Formeln ist entscheidbar. Beweis: Man konstruiert die Büchi-Automaten A B und A B. Es gilt B ist erfüllbar L ω (A B ) B ist allgemeingültig L ω (A B ) = Für jeden Büchi-Automaten C ist die Frage L ω (C) =? entscheidbar. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

18 Korollar Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit von LTL Formeln ist entscheidbar. Beweis: Man konstruiert die Büchi-Automaten A B und A B. Es gilt B ist erfüllbar L ω (A B ) B ist allgemeingültig L ω (A B ) = Für jeden Büchi-Automaten C ist die Frage L ω (C) =? entscheidbar. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

19 Korollar Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit von LTL Formeln ist entscheidbar. Beweis: Man konstruiert die Büchi-Automaten A B und A B. Es gilt B ist erfüllbar L ω (A B ) B ist allgemeingültig L ω (A B ) = Für jeden Büchi-Automaten C ist die Frage L ω (C) =? entscheidbar. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

20 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

21 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

22 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

23 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

24 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

25 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

26 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

27 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

28 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14

29 Vergleich der Ausdrucksstärke Zur Beschreibung von Mengen von Omega-Strukturen sind äquivalent: Büchi-Automaten ω-reguläre Mengen Monadische Logik zweiter Stufe Die LTL-beschreibbaren Mengen sind eine echte Teilklasse der durch Büchi-Automaten bescheibbaren. Äquivalent sind: LTL Prädikatenlogik erster Stufe stern-freie ω-reguläre Mengen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /14