Involutive Basen Werner M. Seiler
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- Daniel Morgenstern
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1 Involutive Basen Werner M. Seiler Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Universität Heidelberg ( Werner M. Seiler: Involutive Basen p.1
2 Überblick Spezielle Art nicht reduzierter Gröbner-Basen Definiert bezüglich einer Termordnung und einer involutiven Division Bereits im monomialen Fall nicht trivial Idee: Generatoren nur mit Polynomen in ihren multiplikativen ariablen multiplizieren Nützliche Alternative zum klassischen Buchberger-Algorithmus Zusätzliche kombinatorische Eigenschaften Strukturanalyse polynomialer Module mit Pommaret-Basen Werner M. Seiler: Involutive Basen p.2
3 Pommaret-Basen Pommaret-Division Exponentenvektor (Klasse) Multiplikative ariablen für : Globale Division (Definition unabhängig von gegebenen Termen) Besondere Beziehung zu degrevlex: einzige klassenrespektierende Ordnung Pommaret-Division nicht Noethersch! Basen existieren nur in -regulären ariablen (generische Koordinaten sind -regulär) Werner M. Seiler: Involutive Basen p.3
4 % & % / Stanley-Zerlegungen Zerlegung von (homogenem) polynomialem Modul in direkte Summe freier polynomialer Module ektorraumisomorphismus (gradiert) Liefert sofort Hilbert-Reihe ')( *+-, & $%!#" 0 01, $. Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
5 Stanley-Zerlegungen Zerlegung von (homogenem) polynomialem Modul in direkte Summe freier polynomialer Module Jede involutive Basis gibt Zerlegung für Untermodul eines freien Moduls :;: 9 :;< Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
6 Stanley-Zerlegungen Zerlegung von (homogenem) polynomialem Modul in direkte Summe freier polynomialer Module Jede involutive Basis gibt Zerlegung für Untermodul eines freien Moduls :;: 9 :;< :;: 9 :;< Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
7 Stanley-Zerlegungen Zerlegung von (homogenem) polynomialem Modul in direkte Summe freier polynomialer Module Jede involutive Basis gibt Zerlegung für Untermodul eines freien Moduls :;: 9 :;< :;: 9 :;< :< 9: Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
8 Stanley-Zerlegungen Zerlegung von (homogenem) polynomialem Modul in direkte Summe freier polynomialer Module Jede involutive Basis gibt Zerlegung für Untermodul eines freien Moduls Schwieriger: komplementäre Zerlegung Zerlegung des Faktormoduls Rekursiver Algorithmus für Gröbner-Basen Direkter Algorithmus für Janet-Basen Elementar für => Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
9 H A O N I Stanley-Zerlegungen Zerlegung von (homogenem) polynomialem Modul in direkte Summe freier polynomialer Module Jede involutive Basis gibt Zerlegung für Untermodul eines freien Moduls Schwieriger: komplementäre Zerlegung Pommaret-Basis liefert Rees-Zerlegung B F)G+, ED BC Auch komplementäre Rees-Zerlegung Hironaka-Kriterium für Cohen-Macaulay-Module: JLKM Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
10 P Q $ P T Dimension und Tiefe Hilbert-Reihe Krull-Dimension Berechenbar mit jeder Stanley-Zerlegung Pommaret-Basis vom Grad ` & _ ^ _ B] \[ XZY SUW B RSUT Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
11 d d Dimension und Tiefe Hilbert-Reihe Krull-Dimension Alternativer Zugang via unabhängigen Mengen (Gröbner, Kredel/Weispfenning) (Stark) unabhängige Menge von ariablen modulo Ideal acb a H A bzw. egf a H A Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
12 h a[ [ i jk T Dimension und Tiefe Hilbert-Reihe Krull-Dimension Alternativer Zugang via unabhängigen Mengen (Gröbner, Kredel/Weispfenning) (Stark) unabhängige Menge von ariablen modulo Ideal Krull-Dimension maximale Kardinalität (stark) unabhängiger Menge acb RS T Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
13 h H A a Dimension und Tiefe Hilbert-Reihe Krull-Dimension Alternativer Zugang via unabhängigen Mengen (Gröbner, Kredel/Weispfenning) (Stark) unabhängige Menge von ariablen modulo Ideal Krull-Dimension maximale Kardinalität (stark) unabhängiger Menge In -regulären ariablen: maximale stark unabhängige Menge acb ml Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
14 ^ n n P I ^P \ & $ I. I $ / Dimension und Tiefe Hilbert-Reihe Krull-Dimension Alternativer Zugang via unabhängigen Mengen (Gröbner, Kredel/Weispfenning) Anderes Maß für Größe: Tiefe -reguläre Folge kein Nullteiler in Tiefe: maximale Länge -regulärer Folge minimale Klasse in Pommaret-Basis maximale -reguläre Folge Untermodul: Faktormodul: s B t &rq np $on w e Ruv w e Ruv? \n & P ^$\ > & P ^?\ Werner M. Seiler: Involutive Basen p.
15 x Schreyer-Theorem Klassisches Schreyer-Theorem Standarddarstellung der -Polynome Spezielle Termordnung induziert durch Basis Gröbner-Basis des Syzygienmoduls Werner M. Seiler: Involutive Basen p.6
16 Schreyer-Theorem Klassisches Schreyer-Theorem Allgemeine involutive Basen Involutive Standarddarstellung der nichtmultiplikativen ielfachen Gleiche Termordnung wie klassisch Gröbner-Basis des Syzygienmoduls Korollar zu Buchbergers zweitem Kriterium Werner M. Seiler: Involutive Basen p.6
17 Schreyer-Theorem Klassisches Schreyer-Theorem Allgemeine involutive Basen Involutives Schreyer-Theorem Nur für Pommaret-Basen Pommaret-Basis des Syzygienmoduls Wesentlich: Kontrolle der Leitterme Werner M. Seiler: Involutive Basen p.6
18 h Schreyer-Theorem Klassisches Schreyer-Theorem Allgemeine involutive Basen Involutives Schreyer-Theorem Syzygienauflösung aus Pommaret-Basis Iteration liefert freie Auflösung Länge der Auflösung und Ränge der enthaltenen Module ohne weitere Rechnungen erschärfung von Hilberts Syzygientheorem Im allgemeinen keine minimale Auflösung Minimale Länge projektive Dimension (Auslander-Buchsbaum-Theorem) Werner M. Seiler: Involutive Basen p.6
19 Schreyer-Theorem Klassisches Schreyer-Theorem Allgemeine involutive Basen Involutives Schreyer-Theorem Syzygienauflösung aus Pommaret-Basis Spezialfall: monomialer Modul Minimale Auflösung für stabile Module (Eliahou-Kervaire) Explizite Formel für Differential Komplex ist Differentialalgebra Explizite Formel für Betti-Zahlen Konstruktiver Beweis des Auslander-Buchsbaum-Theorems Werner M. Seiler: Involutive Basen p.6
20 Q y Q & $ y Q z t n n n n n t n n Regularität -Regularität wird erzeugt in Grad Syz wird erzeugt in Grad { Auflösung freie lineare besitzt ~} _ so daß & $ n ^ _ ƒ \ _ n ^ ƒ \ & _ $ ^ _ \ Werner M. Seiler: Involutive Basen p.7
21 Q H Q [ Q A T P Regularität -Regularität Castelnuovo-Mumford-Regularität -regulär Kohomologisches Konzept Wichtiges Maß für Komplexität: für jede Gröbner-Basis (in generischen ariablen) Pommaret-Basis für degrevlex ˆ u S W ˆ u Š ˆ Ru ˆ u P ˆ R u Werner M. Seiler: Involutive Basen p.7
22 Q Œ / ˆ u Š & $ ˆ u Regularität -Regularität Castelnuovo-Mumford-Regularität Alternative (homologische) Charakterisierung: Multiplikation mit ]s s > ^ ]? \ C s > > ^ ]? \ s > ]s ist injektiv für alle Serre Ž von Grad verschwindet jenseits Werner M. Seiler: Involutive Basen p.7
23 =. & = $ & $ s & $ $ & $ Q Auflösbare Polynomalgebren Definition: auflösbare Polynomalgebra über Koeffizientenring, wenn: (a) Ring mit Einheit B (b) (c) e~f e f nullteilerfrei e f e f & Beispiele: Polynome, lineare Differential- oder Differenzenoperatoren, Weyl-Algebra, Ore-Algebren, universelle Einhüllende von Lie-Algebren (nur Totalgradordnungen), -Algebren,... Werner M. Seiler: Involutive Basen p.8
24 = = = Auflösbare Polynomalgebren Noethersch nullteilerfrei Noethersch nullteilerfrei Ore-Bereich (links und rechts), d.h. Quotientenschiefkörper existieren Normalformberechnung wie kommutativ Gröbner- und involutive Basen existieren und können mit bekannten Algorithmen berechnet werden -Regularität größeres Problem Syzygientheorie nicht mehr unbedingt gültig Werner M. Seiler: Involutive Basen p.8
25 Sonstige erallgemeinerungen Zwei Erweiterungen besonders interessant: Halbgruppenordnungen (lokale Ordnungen) Involutive Basen über Koeffizientenringen Benötigen Abschwächung des Begriffs einer involutiven Basis: schwache involutive Basen Liefern keine Stanley-Zerlegung mehr Involutiven Standarddarstellung nicht mehr eindeutig Involutiver ervollständigungsalgorithmus weiterhin anwendbar Werner M. Seiler: Involutive Basen p.9
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