Fuzzy Logik Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004

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1 Fuzzy Logik Franka Zander, Dezember 2004

2 Franka Zander, Dezember /43 Inhaltsverzeichnis 1. Unscharfe Mengen 1.1 Einleitung 1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung 1.3 Unscharfe Zahlen 2. Unscharfe Logik und Steuerung 2.1 Fuzzifizierung 2.2 Inferenz 2.3 Defuzzifizierung 3. Unscharfe Arithmetik 3.1 Verknüpfung unscharfer Zahlen 3.2 Größenvergleich unscharfer Zahlen

3 1.1 Einleitung Fuzzy unscharf, verschwommen, vage Seit ca entwickelte sich Zweig der Angewandten Mathematik ( Fuzzy-Methoden, L. A. Zadeh) Vollständige Messbarkeit nicht möglich subjektive Beurteilung nötig Franka Zander, Dezember /43

4 Beispiele unscharfer Begriffe: Ausreichende Festigkeit eines Werkstoffes Gesundheitsschädliche Strahlendosis Günstiger Kurs X und Y sind fast gleich Normale Betriebstemperatur Franka Zander, Dezember /43

5 Möglichkeiten im Falle einer unscharfen Situation: 1) Verzicht auf rationale Modellierung 2) Verwendung von scharfen Modellen 3) Einsatz von unscharfen Methoden, die die Unschärfe zum Gegenstand der Modellierung machen Robustheit der Ergebnisse Franka Zander, Dezember /43

6 Beispiel einer unscharfen Schlussweise: Die meisten Schweden sind groß Die meisten Schweden sind blond Nils ist Schwede Nils ist wahrscheinlich groß und blond Franka Zander, Dezember /43

7 Mit stochastischen Methoden behandelt: 90 % der Schweden sind 175 cm 90 % der Schweden sind blond P( blond und 175 ) = 81 % Nils ist mit 81 % Wahrscheinlichkeit groß und blond Merkmale groß und blond müssen scharf definiert werden Es gehen statistische Zusatzannahmen ein (hier: Unabhängigkeit der Merkmale groß und blond ) Franka Zander, Dezember /43

8 Beispiel einer Steuerung mit scharfen Angaben: Gehe 497 m geradeaus bis zur Straßenkreuzung mit 16,5 m Diagonale Schwenke 87 gegen Uhrzeigersinn Gehe weitere 6% der zurückgelegten Distanz Bis zum Bauwerk, das Licht von 520 nm Wellenlänge ausstrahlt Franka Zander, Dezember /43

9 Beispiel der Steuerung mit unscharfen Angaben: Gehe ca. einen halben Kilometer bis zur Kreuzung Dann links Dann noch eine kurze Distanz Bis zum grünen Haus Franka Zander, Dezember /43

10 Unscharfe Steuerung ist in unscharfen Situationen robuster wird großtechnologisch eingesetzt Anwendungsbeispiele sind Fuzzy-Steuerungen bei: Waschmaschinen Klimaanlagen Camcordern und Kameras Staubsaugern U-Bahn in Sendai (Japan), seit 1987 in Betrieb Franka Zander, Dezember /43

11 Franka Zander, Dezember / Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung Ein Argument, das nur überzeugt, wenn es präzise ist, verliert alle Kraft, wenn die Annahmen, auf denen es beruht, leicht geändert werden; ein unpräzises aber überzeugendes Argument bleibt eher stabil unter Änderung der zugrundeliegenden Axiome (J. Schartz, 1962)

12 Klassische Mengenlehre: Teilmenge A von X ist eine Ansammlung von gewissen Elementen von X Von jedem Element steht fest, ob es zu A gehört oder nicht Zugehörigkeitsfunktion: m A (x) = 1, wenn x zu A gehört m A (x) = 0, wenn x nicht zu A gehört Franka Zander, Dezember /43

13 Beispiel: X ist Menge der reellen Zahlen Menge A alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 8 Franka Zander, Dezember /43

14 Unscharfe Mengenlehre: Auch graduelle Zugehörigkeitsfunktionen zulassen Unscharfe Teilmenge A von X wird durch Zugehörigkeitsfunktion m A (x) auf X zu beschreiben sein, die beliebige Werte annehmen kann Normierung: 0 m A (x) 1 m A (x) wird als Zugehörigkeitsgrad von x zur Menge A interpretiert Franka Zander, Dezember /43

15 Beispiel: Bestimmter Messwert soll die Sicherheitsgrenze von 8 nicht überschreiten Menge der Messwerte im sicheren Bereich: Franka Zander, Dezember /43

16 A, B seien unscharfe Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen m A (x), m B (x) Unscharfer Durchschnitt A B: m A B (x) = min (m A (x), m B (x)) Unscharfe Vereinigung A B: m A B (x) = max (m A (x), m B (x)) Franka Zander, Dezember /43

17 A Menge der Messwerte im sicheren Bereich B Menge der Messwerte in der Nähe von 10 Zugehörigkeitsfunktion m A B (x): Zugehörigkeitsfunktion m A B (x): Franka Zander, Dezember /43

18 1.3 Unscharfe Zahlen Unscharfe Zahl a: Spezielle unscharfe Menge von Zahlen mit einer Zugehörigkeitsfunktion m A (x) Funktion hat linken ansteigenden Bereich, einen eindeutigen zentralen Wert z mit m A (x) = 1 und einen rechten abfallenden Bereich Funktion ist oberhalbstetig Franka Zander, Dezember /43

19 Sprechweise: eine Zahl ungefähr gleich z Die ansteigenden bzw. abfallenden Teile können linear, quadratisch, exponentiell sein; begrenzt oder ins Unendliche reichend; symmetrisch oder unsymmetrisch Zentraler Plateaubereich: Franka Zander, Dezember /43

20 Franka Zander, Dezember /43 Rechteckszahlen: a = a L,a R Dreieckszahlen: a = a L,a M,a R

21 Günstig, wenn keine besondere Information über die Art der Unschärfe vorliegt Fälle a L = a M oder a M = a R sind zugelassen a L = a M = a R scharfe Zahl als Spezialfall Franka Zander, Dezember /43

22 Trapezzahlen: analog Dreieckszahlen, jedoch mit zentralem Plateaubereich, also von der Form a = a L,a ML,a MR,a R Franka Zander, Dezember /43

23 Polygone Zahlen: sind durch Niveaus 0 = α 0 < α 1 <... < α n und Knickpunkte a L0 a L1... a Ln a Rn... a R1 a R0 mit m(a Li ) = m(a Ri ) = α i charakterisiert Franka Zander, Dezember /43

24 Quadratische Zahlen: Begrenzungen durch Parabelbögen gegeben Franka Zander, Dezember /43

25 2. Unscharfe Logik und Steuerung 2.1 Fuzzifizierung Für V = 90 km/h gilt: m Vmittel (90) = 3/4, m Vgroß (90) = 1/4 Franka Zander, Dezember /43

26 Für den Abstand von 100 m gilt: m Aklein (100) = 2/3, m Amittel (100) = 1/3 Franka Zander, Dezember /43

27 Franka Zander, Dezember / Inferenz Mehr als eine Eingangsvariable deren Kombination ( Aggregation ) muss festgelegt werden (Zugehörigkeitsgrad der Verknüpfungen und und oder )

28 Kernstück der Fuzzysteuerung Liste der Schlussregeln Franka Zander, Dezember /43

29 Schlussfolgerung erhält denselben Zugehörigkeitsgrad wie die Prämisse Prämissen: m P2 (90, 100) = min(3/4, 2/3) = 2/3 (mittel) m P3 (90, 100) = min(3/4, 1/3) = 1/3 (klein) m P4 (90, 100) = min(1/4, 2/3) = 1/4 (groß) m P5 (90, 100) = min(1/4, 1/3) = 1/4 (mittel) Tritt dieselbe Schlussfolgerung mehrmals auf Maximum der Zugehörigkeitsgrade Franka Zander, Dezember /43

30 Bremsdruck: m Bklein = 1/3 (aus P3) m Bmittel = max(2/3, 1/4) = 2/3 (aus P2 und P5) m Bgroß = 1/4 (aus P4) Franka Zander, Dezember /43

31 2.3 Defuzzifizierung Steuerinstrument verlangt scharfe Anweisung Schwerpunkt der Fläche unter dem Zugehörigkeitsgrad verwenden 1,9 bar Franka Zander, Dezember /43

32 3. Unscharfe Arithmetik 3.1 Verknüpfung unscharfer Zahlen a) Rechteckszahlen Summe und Differenz zweier Rechteckszahlen a = a L, a R, b = b L, b R ist wieder eine Rechteckszahl Summe: a L, a R + b L, b R = a L + b L, a R + b R Differenz: a L, a R b L, b R = a L b R, a R b L Franka Zander, Dezember /43

33 Zahlenbeispiel: Franka Zander, Dezember /43

34 b) Dreieckszahlen Summe und Differenz zweier Dreieckszahlen a = a L, a M, a R, b = b L, b M, b R ist wieder eine Dreieckszahl Summe: a L, a M, a R + b L, b M, b R = a L + b L, a M + b M, a R + b R Differenz: a L, a M, a R b L, b M, b R = a L b R, a M b M, a R b L Franka Zander, Dezember /43

35 Zahlenbeispiel: Franka Zander, Dezember /43

36 c) Trapezzahlen Summe und Differenz zweier Trapezzahlen a = a L, a ML, a MR, a R, b = b L, b ML, b MR, b R ist wieder eine Trapezzahl Summe: a L, a ML, a MR, a R + b L, b ML, b MR, b R = a L + b L, a ML + b ML, a MR + b MR, a R + b R Differenz: a L, a ML, a MR, a R b L, b ML, b MR, b R = a L b R, a ML b MR, a MR b ML, a R b L Franka Zander, Dezember /43

37 Zahlenbeispiel: Franka Zander, Dezember /43

38 Addition und Subtraktion von polygonen Zahlen erfolgt analog Im Allgemeinen ist (a b) + b a unscharfe Addition und Subtraktion haben nicht alle gewohnten algebraischen Eigenschaften Franka Zander, Dezember /43

39 Franka Zander, Dezember / Größenvergleich unscharfer Zahlen Keine natürliche Anordnung m max(a,b) (x) = sup min(m a (y), m b (z)) x=max(y,z)

40 Franka Zander, Dezember /43 Seien a = a L, a M, a R, b = b L, b M, b R zwei Dreieckszahlen und a b falls gilt: a L b L, a M b M, a R b R es gibt unvergleichbare Zahlen, für die weder a b noch b a gilt

41 Dreieckszahl c heißt Supremum von a und b, c = sup(a,b) falls gilt: i) a c und b c ii) c ist die kleinste Dreieckszahl mit dieser Eigenschaft sup(a,b) = max(a L,b L ), max(a M,b M ), max(a R,b R ) Franka Zander, Dezember /43

42 Beispiel: a = 3,5,8, b = 2,6,7 ; sup(a,b) = 3,6,8 Franka Zander, Dezember /43

43 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Franka Zander, Dezember /43