FUZZY-LOGIK - WAS IST DAS?

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1 LEHRERFORTBILDUNG TRAMIN 2003 FUZZY-LOGIK - WAS IST DAS? Michael Oberguggenberger Institut für Technische Mathematik, Geometrie und Bauinformatik Universität Innsbruck

2 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen. Unscharfe Mengen Einleitung: Das Wort fuzzy bedeutet unscharf, verschwommen, vage. Unter dem Titel Fuzzy - Methoden hat sich seit ca. 965, auf L. A. Zadeh zurückgehend, ein Zweig der angewandten Mathematik entwickelt, der sich mit Modellbildung unter Einbeziehung unscharfer oder nur vage bekannter Daten oder Strukturen befasst. Empirisch zu bestimende Parameter unterliegen verschiedenen Arten von Unschärfen. Wenn etwa vollständige Messbarkeit nicht gegeben ist, werden subjektive Beurteilungen zur Eingrenzung der Werte nötig sein. Es gibt aber auch Fälle, wo der Messwert prinzipiell nur im Rahmen einer Bandbreite angebbar ist (etwa der Benetzungsstreifen am Wasserstandspegel) und Fälle, in denen wegen der Kompleität des Systems oder der Randbedingungen keine präzisen Daten erhebbar sind. Parameter können schlecht definierte Größen sein (weil sie etwa Vereinfachungen und Modellfehler mitzutragen haben) oder begrifflich nur vage definiert. Alle diese Unschärfen bezeichnet man als epistemische Unsicherheit. Demgegenüber kennzeichnen zufällige Schwankungen von scharf messbaren Werten den Typus der aleatorischen Unsicherheit, welcher im Rahmen der Stochastik modelliert wird. Weitere Beispiele unscharfer Begriffe: - ausreichende Festigkeit eines Werkstoffes - gesundheitsschädliche Strahlendosis - günstiger Kurs - X und Y sind fast gleich - normale Betriebstemperatur Am Beispiel der gesundheitsschädlichen Strahlendosis sieht man, dass die Angabe einer scharfen Schranke, unterhalb derer keinerlei Schädigung und oberhalb derer sofort Schädigung auftritt, die Realität nicht gut beschreibt. Eine scharfe Eingrenzung des Übergangsbereiches wäre denkbar, wenn man sämtliche Auswirkungen auf die Gesundheit quanitifizieren und in Relation bringen könnte; dies scheitert jedoch an der Kompleität der Situation. Im Falle einer unscharfen Situation hat man drei Möglichkeiten: () Verzicht auf rationale Modellierung - dies ist unbefriedigend, (2) Verwendung von scharfen Modellen - dies wird die Situation nur unzureichend beschreiben,

3 2 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 (3) Einsatz von unscharfen Methoden, die die Unschärfe selbst zum Gegenstand der Modellierung machen, mit dem zusätzlichen Vorteil der Robustheit der Ergebnisse. Es sei hier vermerkt, dass der Mensch im Alltagsleben ständig aus unscharfen Daten mit unscharfen Schlussweisen mit größtem Erfolg zu richtigen Ergebnissen und Entscheidungen kommt. Als Beispiel einer unscharfen Schlussweise etwa die folgende Überlegung: - die meisten Schweden sind groß, - die meisten Schweden sind blond, - Nils ist ein Schwede; Schlussfolgerung: Nils ist wahrscheinlich groß und blond (niemand wird diese Behauptung bezweifeln!). Wollte man demgegenüber die Situation mit stochastischen Methoden behandeln, so könnte man etwa aus einer repräsentativen Stichprobe statistische Daten erheben: 90% der Schweden sind 75 cm 90% der Schweden sind blond Schlussfolgerung: P ( blond und 75 ) = 8%; Nils ist also mit 8% Wahrscheinlichkeit groß und blond. Man sieht hier schon die Problematik, dass einerseits die Merkmale groß bzw. blond scharf definiert werden müssen, andererseits statistische Zusatzannahmen eingehen, hier die Unabhängigkeit der Merkmale groß und blond (sonst dürfte man die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach miteinander multiplizieren). Als Beispiel einer Steuerung mit scharfen/unscharfen Angaben betrachten wir etwa die folgende Liste von Anweisungen, zunächst scharf: - Gehe 497 m geradeaus bis zur Straßenkreuzung mit 6.5 m Diagonale, - schwenke 87 gegen Uhrzeigersinn, - gehe weitere 6% der zurückgelegten Distanz, - bis zum Bauwerk, das Licht von 520 nm Wellenlänge ausstrahlt. Selbstverständlich könnte man einen Roboter mit diesen Daten programmieren (mit großem Aufwand); ein unscharf reagierender Roboter wie ein Mensch, würde jedoch mit den folgenden unscharfen Anweisungen besser ans Ziel gelangen (auch bei unvorhergesehenen Hindernissen):

4 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 3 - Gehe ca. einen halben Kilometer bis zur großen Kreuzung, - dann links, - dann noch eine kurze Distanz - bis zum grünen Haus. Unscharfe Steuerung erweist sich in unscharfen Situationen als wesentlich robuster und wird mittlerweile großtechnologisch eingesetzt. Anwendungsbeispiele sind etwa Fuzzy-Steuerungen bei Waschmaschinen, Klimaanlagen, Camcordern und Kameras, Staubsaugern. Ein berühmtes Beispiel ist die mittels Fuzzy-Logik automatisch gesteuerte U-Bahn in Sendai (Japan), die 987 in Betrieb genommen wurde. Wie wir gesehen haben, hat das Gebiet Fuzzy - Methoden zwei zentrale Bereiche: - Unscharfe Zustandsbeschreibung, Modellierung; - Unscharfe Logik, unscharfe Steuerung. Im Folgenden geht es zunächst um den ersten Bereich, für den wir den Begriff der unscharfen Mengen und unscharfen Zahlen sowie deren Verknüpfungen benötigen werden. Für den zweiten Bereich brauchen wir das Konzept der linguistischen Variable und der Fuzzy-Regelbasis. Drei Zitate zur Einstimmung: * Wie die Kompleität eines Systems anwächst, so nimmt unsere Fähigkeit, präzise und gleichzeitig signifikante Aussagen über sein Verhalten zu treffen, ab bis zu einer Schwelle, jenseits der Präzision und Signifikanz sich geradezu gegenseitig ausschließen (L. A. Zadeh, 973). * Ein Argument, das nur überzeugt, wenn es präzise ist, verliert alle Kraft, wenn die Annahmen, auf denen es beruht, leicht geändert werden; ein unpräzises aber überzeugendes Argument bleibt eher stabil unter Änderung der zugrundeliegenden Aiome (J. Schartz, 962). * Traditionelle Logik nimmt an, dass präzise Symbole benutzt werden. Sie ist daher auf das irdische Leben nicht anwendbar, sondern nur auf eine gedachte himmlische Eistenz (Betrand Russel, 923).

5 4 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung: Wir gehen von einer Grundmenge X von vorgegebenen Objekten aus. In der klassischen Mengenlehre ist eine Teilmenge A von X eine Ansammlung von gewissen Elementen von X, wobei von jedem Element eindeutig feststeht, ob es zu A gehört oder nicht (im ausschließenden Sinn). Dies kann durch eine Etikettierung oder auch Zugehörigkeitsfunktion m A beschrieben werden, die jedem Element von X den Wert 0 oder zuordnet: m A () =, wenn zu A gehört, m A () = 0, wenn nicht zu A gehört. Ist zum Beispiel X die Menge aller reellen Zahlen, so ergibt sich die folgende Darstellung der Menge A aller reellen Zahlen kleiner oder gleich 8: Demgegenüber ist es Ziel der unscharfen Mengenlehre, auch graduelle Zugehörigkeiten zuzulassen. Eine unscharfe Teilmenge A von X wird also durch eine Zugehörigkeitsfunktion m A () auf X zu beschreiben sein, die beliebige Werte annehmen kann. Es ist dabei günstig, aber nicht unbedingt notwendig, die Normierung 0 m A () vorzunehmen. Wir interpretieren m A () als Zugehörigkeitsgrad von zur Menge A. Nehmen wir als Beispiel die Situation, in der ein bestimmter Messwert die Sicherheitsgrenze von 8 nicht überschreiten soll. Es ist dann wenig sinnvoll, einen Messwert von 7.9 als völlig sicher, aber einen Messwert von 8. schon als völlig unsicher zu betrachten. Stattdessen könnte die Menge der Messwerte im sicheren Bereich als unscharfe Menge A etwa wie folgt dargestellt werden:

6 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen Es ist zu betonen, dass die Wahl der Zugehörigkeitsfunktion zur Beschreibung eines unscharfen Begriffes Teil des Modellierungsvorganges ist; unter anderen Bedingungen könnte der Übergangsbereich in der Nähe von 8 wesentlich flacher oder steiler anzusetzen sein. Kriterien zur Auswahl der speziellen Zugehörigkeitsfunktion sind im Einzelfall festzulegen. Zu beachten ist, dass m A () in der Regel nicht als Häufigkeitsverteilung im Sinne der Stochastik zu interpretieren ist, sondern eben Unschärfen allgemeiner Natur darstellen kann. Klassische Mengen treten als jener Spezialfall unscharfer Mengen auf, in denen m A () nur die Werte 0 oder annimmt. Als wichtigste Mengenverknüpfung sollen nun die Durchschnitts - und Vereinigungsbildung beschrieben werden. Sind A, B unscharfe Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen m A (), m B (), so definieren wir den unscharfen Durchschnitt A B und die unscharfe Vereinigung A B durch Angabe der Zugehörigkeitsfunktionen gemäß m A B () = min (m A (), m B ()) m A B () = ma (m A (), m B ()). Im ersten Fall ergibt sich der Graph von m A B, indem man jeweils den kleineren der beiden Werte m A () bzw. m B () heranzieht, im zweiten Fall entsprechend den größeren. Ist zum Beispiel A wie oben die Menge der Messwerte im sicheren Bereich und B die Menge der Messwerte in der Nähe von 0, so ergeben sich für den unscharfen Durchschnitt ( Messwerte nahe 0 und im sicheren Bereich ) bzw. die unscharfe Vereinigung ( Messwerte nahe 0 oder im sicheren Bereich ) die folgenden Zugehörigkeitsfunktionen:

7 6 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 m A () m B () m A B () m A B () Es ist leicht zu überprüfen, dass diese Definition im Falle scharfer Mengen mit der üblichen Durchschnitts- bzw. Vereinigungsdefinition übereinstimmt; es handelt sich also um eine konsistente Erweiterung der klassischen Mengenlehre. Unscharfe Zahlen: Eine unscharfe Zahl a ist gemäß Definition eine spezielle unscharfe Menge von Zahlen mit einer Zugehörigkeitsfunktion m A (), die einen linken ansteigenden Bereich, einen eindeutigen zentralen Wert z mit m A = und einen rechten abfallenden Bereich hat. m A () 0 z Die Sprechweise eine Zahl ungefähr gleich z ist naheliegend. Im Prinzip sind den Modellierungsmöglichkeiten keine Grenzen gesetzt; die ansteigenden

8 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 7 bzw. abfallenden Teile können linear, quadratisch, eponentiell sein; begrenzt oder ins Unendliche reichend; symmetrisch oder unsymmetrisch. Aus Gründen rechnerischer Handhabbarkeit haben sich einige Standardversionen herausgebildet, von denen wir die für uns wichtigen unten anführen. Etwas allgemeiner könnte man anstelle des Zentralwertes z auch einen zentralen Plateaubereich zulassen. m A () 0 z Beispiel : Rechteckszahlen, die Zahlen der Intervallarithmetik: m A () 0 a L a R Entsprechend den beiden Begrenzungen könnte eine solche Zahl mit a = a L, a R bezeichnet werden. Hier geht also nur die Bandbreite a L, a R in die Modellierung ein und keine weitere Struktur. Beispiel 2: Dreieckszahlen, charakterisiert durch den zentralen Wert a M und linke Grenze a L, rechte Grenze a R, also entsprechend a = a L, a M, a R.

9 8 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 m A () 0 a L a M a R Diese Zahlen stellen den Prototyp unscharfer Zahlen dar und sind günstig zu verwenden, wenn keine besondere Information über die Art der Unschärfe vorliegt. Die Fälle a L = a M oder a M = a R sind zugelassen; bei a L = a M = a R ergibt sich eine scharfe Zahl als Spezialfall. 0 a L a M =a R 0 a L =a M =a R Beispiel 3: Trapezzahlen, analog Dreieckszahlen, jedoch mit zentralem Plateaubereich, also von der Form a = a L, a ML, a MR, a R. 0 a L a ML a MR a R Beispiel 4: Polygonale Zahlen, diese sind durch Niveaus 0 = α 0 < α < < α n = und Knickpunkte a L0 a L a Ln a Rn a R a R0 mit m(a Li ) = m(a Ri ) = α i charakterisiert (im Beispiel unten ist n = 4).

10 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 9 α 4 = α 0 = 0 a L0 a L a L2 a L3 a L4 a R4 a R3 a R2 a R a R0 Beispiel 5: Quadratische Zahlen, dabei sind die Begrenzungen durch Parabelbögen gegeben. 0 a L a M a R Zur Diskussion verschiedener Interpretationsweisen für unscharfe Zahlen betrachten wir das Beispiel der unscharfen Zahl unten: m A ()

11 0 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 α A α> Als Interpretationen des dargestellten Graphen m A bieten sich an: (a) m A () ist der Zugehörigkeitsgrad des Wertes zur unscharfen Zahl A, wie oben ausgeführt; (b) m A () ist der Möglichkeitsgrad, dass die modellierte Variable den Wert annimmt; (c) dargestellt wird eine bewertete Bandbreite, im Beispiel das Intervall von A α>, wobei α eine Bewertung der Eintrittsmöglichkeit bedeutet. Jedenfalls ist hervorzuheben, dass es sich dabei um keine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, sondern um eine Möglichkeitsaussage. Literaturhinweise: H. Bandemer: Ratschläge zum mathematischen Umgang mit Ungewißheit - Reasonable Computing. Teubner, Leipzig 997. H. Bandemer, S. Gottwald: Einführung in Fuzzy-Methoden. 4. Aufl., Akademie Verlag, Berlin 993. D. Dubois, H. Prade: Possibility Theory. An Approach to Computerized Processing of Uncertainty. Plenum Press, New York 988. G. J. Klir, M. J. Wierman: Uncertainty-Based Information. Elements of Generalized Information Theory. Physica-Verlag, Heidelberg 998. D. H. Traeger: Einführung in die Fuzzy-Logik. B. G. Teubner, Stuttgart 994.

12 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 2. Unscharfe Logik und Steuerung Bei einem Fuzzy-Steuerungssystem werden zunächst die scharfen Eingangsgrößen in linguistische Variable umgewandelt ( klein, mittel, groß ). Diese gehen als Prämissen in einen Regelsatz ein, der daraus Zugehörigkeitsgrade für wiederum linguistisch beschriebene Ausgangsgrößen erzeugt. Letztere werden dann in scharfe Steuerungswerte umgewandelt. Vorteil: Die Regelsätze sind einfach und robust, subjektive Erfahrungswerte können einbezogen werden, ein physikalisch-technisches Modell des Steuerungsvorganges wird nicht benötigt. Die Struktur eines Fuzzy-Steuerungssystemes ist demnach: Input Fuzzifizierung Inferenz Defuzzifizierung Output Als Beispiel ziehen wir etwa die Steuerung (Abbremsung) eines Fahrzeuges in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit und dem Abstand zum vorausfahrenden Fahrzeug heran. Die Eingangsgrößen sind: Geschwindigkeit (km/h) und Abstand (m), die Ausgangsgröße ist der Bremsdruck (bar).. Fuzzifizierung: Wir unterteilen die Geschwindigkeitsskale 0 60 km/h in die unscharfen Bereiche klein - mittel - groß, etwa wie in den nachfolgenden Abbildungen. Jede (scharf) gemessene Geschwindigkeit hat demnach einen gewissen Zugehörigkeitsgrad zu den Typen klein - mittel - groß. Im Beispiel unten gilt für V = 90 km/h: m V mittel (90) = 3/4, m V groß (90) = /4. Analog gilt für den Abstand von 00 m: 2. Inferenz: m Aklein (00) = 2/3, m Amittel (00) = /3 Bei mehr als einer Eingangsvariable, wie im Beispiel unten, muss deren Kombination ( Aggregation ) festgelegt werden, also der Zugehörigkeitsgrad der Verknüpfungen und bzw. oder. Wir nehmen das Minimum der Zugehörigkeitsgrade für und, das Maimum für oder. Das Kernstück der Fuzzy-Steuerung ist die Liste der Schlussregeln. Eine typische Schlussregel im Beispiel könnte etwa sein: Wenn die Geschwindigkeit klein und der Abstand klein ist, dann ist der Bremsdruck klein.

13 2 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 Analog werden die Steuerungsregeln für die anderen Kombinationen der Variablen festgelegt. Eine vollständige Tabelle könnte etwa wie folgt aussehen: Abstand klein mittel groß Geschwindigkeit P klein und/dann Bremsdruck klein P2 P3 mittel und/dann und/dann Bremsdruck mittel Bremsdruck klein P4 P5 P6 groß und/dann und/dann und/dann Bremsdruck groß Bremsdruck mittel Bremsdruck klein Die Schlussfolgerung erhält denselben Zugehörigkeitsgrad wie die durch Aggregation gewonnene Prämisse. Tritt dieselbe Schlussfolgerung mehrmals auf, so nehmen wir das Maimum der entsprechenden Zugehörigkeitsgrade (andere Vorschriften, wie etwa das arithmetische Mittel, sind möglich). Im angegebenen Beispiel erhalten wir für die auftretenden Prämissen: m P 2 (90, 00) = min(3/4, 2/3) = 2/3, m P 3 (90, 00) = min(3/4, /3) = /3, m P 4 (90, 00) = min(/4, 2/3) = /4, m P 5 (90, 00) = min(/4, /3) = /4. Für den Bremsdruck ergibt dies: m Bklein = /3 (aus P3) m Bmittel = ma(2/3, /4) = 2/3 (aus P2 und P5) m Bgroß = /4 (aus P4) Diese Zugehörigkeitsgrade sind nun zu einer unscharfen Menge Bremsdruck zu kombinieren. Eine oft gebrauchte Vorschrift ist dabei, die Zugehörigkeitsgrade zu den Typen der Ergebnisvariable klein - mittel - groß beim jeweils errechneten Zugehörigkeitsgrad abzuschneiden und die Vereinigungsmenge darüber zu bilden (Skizze unten). 3. Defuzzifizierung: An das Steuerinstrument ist eine scharfe Anweisung zurückzugeben. Dies geschieht durch Defuzzifizierung des unscharfen Ergebnisses. Eine häufig

14 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 3 gebrauchte Möglichkeit ist dabei, einfach den Schwerpunkt der Fläche unter dem Zugehörigkeitsgrad zu verwenden. Andere Möglichkeiten bestehen etwa in der Skalierung der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktion um den entsprechenden Grad oder auch der Berechnung des Schwerpunktes der Teilschwerpunkte. In unserem Beispiel ergibt sich für den Schwerpunkt.9 bar. Dies wäre demnach die Anweisung an die Fahrzeugsteuerung. klein mittel groß 0.75 Geschwindigkeit km/h klein mittel groß 0.67 Abstand m

15 4 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 klein mittel groß Bremsdruck bar

16 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 5 3. Unscharfe Arithmetik Verknüpfung unscharfer Zahlen: Bevor wir auf die Addition und Subtraktion unscharfer Zahlen eingehen, sei als allgemeiner mathematischer Rahmen das Erweiterungsprinzip von L. A. Zadeh vorangestellt. Das Prinzip ermöglicht die Auswertung von Funktionen, wenn als Argumente unscharfe Zahlen eingesetzt werden. Ist etwa F (y, z) eine Funktion von zwei Variablen y, z und sind a, b unscharfe Zahlen, so ist der Funktionswert F (a, b) als unscharfe Zahl definiert mit Zugehörigkeitsfunktion m F (a,b) () = sup min (m a (y), m b (z)). =F (y,z) Die Addition und Subtraktion ergeben sich als Spezialfälle mittels F (y, z) = y ± z m a+b () = sup min (m a (y), m b (z)) =y+z m a b () = sup =y z min (m a (y), m b (z)). Damit sind in mathematisch rigoroser Weise die Addition und Subtraktion unscharfer Zahlen als Spezialfall eines Erweiterungsprinzips angegeben. Als rechnerisch leicht handhabbar stellt sich diese Festsetzung im Falle von Rechtecks-, Dreieicks-, Trapez- und Polygonalzahlen dar. Die Herleitung der entsprechenden Formeln kann über den Zwischenschritt der Niveaubereiche erfolgen. Als kurze Erläuterung dazu seien zwei unscharfe Zahlen a, b betrachtet. Ist α ein Wert zwischen 0 und, so wird der Bereich oberhalb Niveau α festgelegt mittels a α> = (Menge aller mit m a () > α). Dieser Bereich ist dann durch ein Intervall mit Endpunkten a α L, aα R gegeben; ebenso für die unscharfe Zahl b.

17 6 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 α 0 a α L a α> a α R Es gilt dann, dass (a+b) α> das Intervall mit den Endpunkten a α L +bα L, aα R +bα R ist, während (a b) α> die Endpunkte a α L bα R, aα R bα L besitzt. Aus Kenntnis der Niveaubereiche lässt sich aber eine unscharfe Zahl leicht rekonstruieren; das ergibt eine effektive Berechnungsmöglichkeit für Summe bzw. Differenz a ± b beliebiger unscharfer Zahlen. Auf diese Weise erhält man die folgenden Endergebnisse für die Berechnung von Summe und Differenz bei den für uns wichtigen Zahlentypen. a) Rechteckszahlen: Summe und Differenz zweier Rechteckszahlen a = a L, a R, b = b L, b R ist wieder eine Rechteckszahl, und zwar a L, a R + b L, b R = a L + b L, a R + b R a L, a R b L, b R = a L b R, a R b L Es sind also einfach die Endpunkte zu addieren, wobei bei Subtraktion der Grenzentausch zu beachten ist: dies entspricht dem Auftreten der ungünstigen Fälle y = a L, z = b R bzw. y = a R, z = b L in = y z. Die Bandbreite von a ± b ergibt sich als Summe der Brandbreiten von a und b. Dazu ein Zahlenbeispiel: b a

18 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 7 a b a+b b) Dreieckszahlen: Summe und Differenz zweier Dreieckszahlen a = a L, a M, ar, b = b L, b M, b R ist wieder eine Dreieckszahl, und zwar a L, a M, a R + b L, b M, b R = a L + b L, a M + b M, a R + b R a L, a M, a R b L, b M, b R = a L b R, a M b M, a R b L b a a b a+b Die Zentralwerte werden wie gewöhnlich addiert bzw. subtrahiert; ebenso die äußeren Grenzen, wobei bei der Subtraktion die Grenzen vertauscht einzusetzen sind. Wie bei Rechteckszahlen ergibt sich die Bandbreite a ± b durch Summieren der Bandbreiten von a und b.

19 8 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 c) Trapezzahlen: Das Ergebnis ist wieder eine Trapezzahl, wobei nunmehr vier Bestimmungspunkte in die Rechnung eingehen. a L, a ML, a MR, a R + b L, b ML, b MR, b R = a L + b L, a ML + b ML, a MR + b MR, a R + b R a L, a ML, a MR, a R b L, b ML, b MR, b R = a L b R, a ML b MR, a MR b ML, a R b L b a a b a+b Die Addition erfolgt also wieder durch Addition der bestimmenden Knickbzw. Eckpunkte; bei der Subtraktion ist die kreuzweise Vertauschung der entsprechenden Bestimmungspunkte zu beachten. Die Addition und Subtraktion von polygonalen Zahlen ergibt sich in völlig analoger Weise durch Addition bzw. kreuzweise Subtraktion der Knickpunkte. Abschließend sei vermerkt, dass im Allgemeinen (a b) + b a ist. Die unscharfe Addition und Subtraktion haben also nicht alle gewohnten algebraischen Eigenschaften; sie sind vielmehr als Superposition der Unschärfen zu verstehen.

20 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 9 Größenvergleich unscharfer Zahlen: Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Zahlen gibt es auf den unscharfen Zahlen keine natürliche Anordnung. Es ist zum Beispiel nicht klar, welche der beiden Dreieckszahlen im Bild unten als größer zu betrachten ist. a b Eine Möglichkeit, das Maimum zweier unscharfer Zahlen zu definieren, bietet wieder das Zadehsche Erweiterungsprinzip. Demnach wäre zu setzen: m ma(a,b) () = sup min (m a (y), m b (z)). =ma(y,z) Diese Definition hat jedoch den Nachteil, aus dem Bereich der Dreieckszahlen herauszuführen. Im Beispiel oben erhält man eine Polygonalzahl als ma(a, b): a b Es treten zwei neue Niveaus und Knickstellen auf. In vielen Situationen, etwa in der Netzplantechnik, ist die Maimabildung häufig mehrfach hintereinander auszuführen. Dadurch würde die Zahl der in die Rechnung einzubeziehenden Niveaus sehr rasch ansteigen und überdies zu einer praktisch nicht mehr deutbaren komplizierten polygonalen Unschärfestruktur führen. Es ist daher eine Definition des Größenvergleiches vozuziehen, die den einmal gewählten Zahlenbereich, etwa den der Dreieckszahlen, nicht mehr verlässt. Eine solche

21 20 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 alternative Definition wollen wir nun anhand des Dreieckszahltypus ausarbeiten. Es seien a = a L, a M, a R, b = b L, b M, b R zwei Dreieckszahlen. Wir bezeichnen a als kleiner oder gleich b, in üblicher Schreibweise falls gilt: a b, a L b L, a M b M, a R b R also falls alle drei Bestimmungspunkte in entsprechender Kleiner-gleich-Relation stehen. Zu beachten ist, dass es in dieser Festsetzung unvergleichbare Zahlen gibt, für die weder a b noch b a gilt: a b a b a b a b, b a Unsere Definition ergibt also keine vollständige Anordnungsbeziehung, sondern nur eine sogenannte Halbordnung, was für unsere Zwecke aber völlig ausreichend ist. Wir benötigen nämlich in der Regel nur den Begriff des Supremums (kleinste obere Schranke) bzw. des Infimums (größte untere Schranke) zweier unscharfer Zahlen, und diese Begriffe sind bei Vorliegen einer Halbordnung wohl definiert. Seien etwa a und b Dreieckszahlen. Eine Dreieckszahl c heißt Supremum von a und b, c = sup(a, b) falls gilt: (i) (ii) a c und b c c ist die kleinste Dreieckszahl mit dieser Eigenschaft. Führt man mit dieser Definition die leichte Rechnung durch, so ergibt sich die einfache Formel sup(a, b) = ma (a L, b L ), ma (a M, b M ), ma (a R, b R )

22 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 2 wobei an den Bestimmungspunkten a L, b L ; a M, b M ; a R, b R die gewöhnliche Maimabildung vorzunehmen ist, also die jeweils größere der beiden Zahlen a L, b L ; a M, b M ; a R, b R einzusetzen ist. Analog erhält man für das Infimum zweier Dreieckszahlen inf(a, b) = min(a L, b L ), min(a M, b M ), min(a R, b R ). Beispiel: a = 3, 5, 8, b = 2, 6, 7 ; sup(a, b) = 3, 6, 8 b a sup(a,b) Um etwa die Anwendung in der Neztplantechnik zu erläutern, betrachten wir ein einfaches Element eines CPM-Netzplanes. Es seien zwei Knoten, 2 über zwei Vorgänge der Dauern a, b verbunden. Dann ist sup(a, b) als unscharfe Mindestdauer für den Abschluss beider Vorgänge und damit den Eintritt des Knotenereignisses 2 zu interpretieren. a 2 b

23 22 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 Der hier verwendete Begriff des Supremums hat in Kombination mit der Addition der Dreieckszahlen die rechnerisch günstige Austauscheigenschaft sup(a + c, a + d, b + c, b + d) = sup(a, b) + sup(c, d) () und analog bei beliebiger Zahl von Termen. Dies entspricht beim Netzplanelement a c 2 3 b d der Aussage, dass sich bei pfadweiser Vorwärtsrechnung (linke Seite in ()) und knotenweiser Vorwärtsrechnung (rechte Seite in ()) derselbe kritische Weg ergibt. Unsere Festsetzung von Supremum und Infimum kann unschwer auf Rechteckszahlen, Trapez- und Polygonalzahlen übertragen werden, wobei an den Bestimmungspunkten jeweils die übliche Größenanordnung vorzunehmen ist. Ein Netzplanbeispiel: Ein Netzplan besteht aus Knoten, in unserem Fall den Vorgängen zugeordnet, und Pfeilen, welche die Abhängigkeiten darstellen. Jeder Vorgang kann erst beginnen, wenn seine Vorgänger abgeschlossen sind. Den Vorgängen sind Dauern D zugeordnet. In der Vorwärtsrechnung werden durch Addition (und Maimabildung beim Einmünden mehrer Vorgänger) die frühesten Anfangszeitpunkte (FAZ) und frühesten Endzeitpunkte (FEZ) berechnet. In der Rückwärtsrechnung erhält man durch Subtraktion (und Minimabildung beim Einmünden mehrer Nachfolger) die spätesten Anfangs- und Endzeitpunkte (SAZ und SEZ). Die Differenz von spätester zu frühester Lage ist der Puffer P = SAZ - FAZ = SEZ - FEZ. Längs des oder der kritischen Wege ist der Puffer gleich 0. Soweit die deterministische Rechnung. Sind die Dauern unscharf, so wird die Fuzzy-Berechnung des Netzplanes genauso vorgenommen. Man erhält die Gesamtdauer als unscharfe Zahl. In der Rückwärtsrechnung geht man in der

24 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 23 Regel von einem scharfen Zielwert aus und verwendet die Fuzzy-Subtraktion. Anstelle des Puffers erhält man die Unschärfezahl U. Negative Werte von U sind ein Ausdruck für das Risiko einer Verzögerung am entsprechenden Knoten, welche zu einer Überschreitung des Zielzeitpunktes führen kann. An der Unschärfezahl U kann der Möglichkeitsgrad der Verzögerung abgelesen werden. Ein Beispiel: Es soll ein Rohbau eines zweiteiligen Hauses errichtet werden. Die Liste der Vorgänge mit deterministischen Dauern (in Wochen) und Fuzzy- Dauern (Dreieckszahlen) ist in der folgenden Tabelle zu finden. Natürlich müsste zuvor eine Risikoanalyse durchgeführt werden, um diese Fuzzy-Dauern abzuschätzen. Tätigkeit Dauer Dauer (deterministisch) (fuzzy) Aushub 5 3, 5, 7 Fundamente 3 2, 3, 6 Keller, Teil 5 5, 5, 7 Erdgeschoß, Teil 5 4, 5, 5 Obergeschoß, Teil 4 4, 4, 4 Keller, Teil 2 3 2, 3, 4 Erdgeschoß, Teil 2 7 4, 7, 9 Obergeschoß, Teil 2 2 2, 2, 7 Decke 5, 5, 6 Die Berechnung wurde in den anliegenden Tabellen vorgenommen. Die deterministische Gesamtdauer ergibt sich zu GD = 27. In der Fuzzy-Rechnung ergibt sich die Gesamtdauer als Dreieckszahl GD = 9, 27, 4 Für die unscharfe Rückwärtsrechnung wurde von einer Zieldauer von 30 Wochen ausgegangen. In der Abbildung unten ist die Gesamtdauer sowie die Unschärfezahl am Knoten Keller 2 dargestellt.

25 24 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 Gesamtdauer Wochen Unschärfezahl Keller Teil

26 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 25 Deterministischer Netzplan Hausbau Aushub Fundamente D 5 D 3 FAZ 0 FAZ 5 FEZ 5 FEZ 8 P 0 P 0 SAZ 0 SAZ 5 SEZ 5 SEZ 8 Keller Keller 2 D 5 D 3 FAZ 8 FAZ 8 FEZ 3 FEZ P 0 P 2 SAZ 8 SAZ 0 SEZ 3 SEZ 3 E-Geschoß E-Geschoß 2 D 5 D 7 FAZ 3 FAZ FEZ 8 FEZ 8 P 0 P 2 SAZ 3 SAZ 3 SEZ 8 SEZ 20 O-Geschoß O-Geschoß 2 D 4 D 2 FAZ 8 FAZ 8 FEZ 22 FEZ 20 P 0 P 2 SAZ 8 SAZ 20 SEZ 22 SEZ 22 Decke D 5 FAZ 22 FEZ 27 P 0 SAZ 22 SEZ 27

27 26 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 Fuzzy-Netzplan Hausbau Aushub Fundamente D D FAZ FAZ FEZ FEZ U - 3 U - 3 SAZ - 3 SAZ SEZ SEZ 4 6 Keller Keller 2 D D FAZ FAZ FEZ FEZ 7 9 U -7 3 U SAZ 8 6 SAZ SEZ SEZ E-Geschoß E-Geschoß 2 D D FAZ FAZ 7 9 FEZ FEZ 8 28 U -7 3 U SAZ SAZ SEZ SEZ O-Geschoß O-Geschoß 2 D D FAZ FAZ 8 28 FEZ FEZ U -7 3 U SAZ SAZ SEZ SEZ Decke D 5 6 FAZ FEZ U - 3 SAZ SEZ

28 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 27 ANHANG: Modellierung der Unschärfe - einige Ansätze Zur Notation: Der Zugehörigkeitsgrad wird in diesem Abschnitt mit π A an der Stelle von m A bezeichnet. Der Buchstabe m ist hier für die Wahrscheinlichkeitsgewichte der Herdmengen zufälliger Mengen in Verwendung.. Deterministische Beschreibung: A = a... educated guess a A Möglich: Taylorentwicklung, Sensitivitätsanalyse. 2. Intervalle: A [a, a]... worst/best case a L a R A Totale Sensitivität, kein detailliertes Bild der Unschärfe. 3. Scharfe Wahrscheinlichkeiten P (A S) = p λ (a) da S

29 28 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung 2003 S A Detaillierteste Beschreibung der Unschärfe: Benötigt wird: Verteilungstyp p ( ) ; Parameter λ des Verteilungstyps. 4. Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen: M = { p λ : λ Λ } Untere/obere Wahrscheinlichkeiten: P (S) = inf{p (S) : P M} P (S) = sup{p (S) : P M}. Spezialfall: Zufällige Mengen - random sets: (A 3, m 3 ) (A 2, m 2 ) (A, m ) A Herdmengen A i mit Wahrscheinlichkeitsgewichten m(a i ), m(a i ) =. P (S) = A i S m(a i )... belief ;

30 Fuzzy-Logik und unscharfe Mengen 29 P (S) = m(a i )... possibility. A i S 5. Unscharfe Mengen - Fuzzy Sets: Definiert als Funktionen auf einer Grundmenge X mit Werten in [0, ]: π A (a) = Zugehörigkeitsgrad von a zur unscharfen Menge A - oder - Möglichkeitsgrad, dass der Parameter A den Wert a annimmt. Niveaumengen: A α> = {a X : π A (a) > α} m A (a) a α A α> Möglichkeitsmaße von Mengen: π A (S) = sup{π A (a) : a S} Konstruktion von unscharfen Mengen aus Schwankungsintervallen mit benutzerdefinierten Risikoniveaus: Hier: Risiko umgangssprachlich, auch Möglichkeitsgrad = - Überraschungsgrad.

31 30 M. Oberguggenberger, Lehrerfortbildung /3 /3 0 Standardwert Risiko hoch Risiko mittel Risiko nieder Unscharfe Mengen als Konturfunktionen zufälliger Mengen: (A 3, m 3 ) (A, m ) (A 2, m 2 ) A _ P(a) a