Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl.

Transkript

1 Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Wintersemester 2011/ Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Wichtige Hinweise: Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl. In jeder der Aufgaben sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Machen Sie bei Ihren Antworten von allen Zahlenangaben Gebrauch (keine allgemeinen Lösungen oder Zwischenschritte!). Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Die Bearbeitungszeit beträgt für die Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen 90 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. 1

2 Aufgabe 1: Sparen Geld kann zum festen Zins von r = 4% pro Jahr angelegt werden. Formulieren Sie die DGL, die den Zusammenhang zwischen den Vermögensniveaus x t 1 und x t in aufeinander folgenden Jahren angibt. Leiten Sie die allgemeine Lösung der DGL aus Aufgabenteil mittels des Versuchs mit x t = Aλ t her. Leiten Sie die Lösung für gegebenes x 0 her. Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren bei einem Anfangsvermögen von x 0 = 832,90? Wie viele Jahre muss man warten, bis aus einem Anfangsvermögen von x 0 = 912,77 Vermögen von x t = geworden ist? 2

3 Aufgabe 2: Staatshaushalt Bezeichne D t den Schuldenstand des Staats ( D 0 = 100 ist gegeben), r = 4% den (konstanten) Zinssatz und P den (konstanten) Primärüberschuss (Steuereinnahmen abzüglich Ausgaben ohne Zinsen). Wie lautet die DGL 1. Ordnung, die die Entwicklung des Schuldenstands D t im Zeitablauf angibt? Welcher konstante Wert D erfüllt die DGL in Aufgabenteil? Eliminieren Sie die Konstante aus der DGL in Aufgabenteil. Wie lautet die Lösung D t der DGL ohne Konstante aus Aufgabenteil (in Abhängigkeit von t)? (Keine Herleitung notwendig) Wie muss der Primärüberschuss P (gegeben D 0 = 100!) gewählt werden, um Instabilität des Staatshaushalts zu vermeiden? Wie hoch sind D t und D t, wenn der Primärüberschuss wie in Aufgabenteil berechnet gewählt wird? 3

4 Aufgabe 3: Nichtlineare DGLs 1. Ordnung Betrachten Sie die DGL Berechnen Sie f(0). x t = f(x t 1 ) = 1 2 Berechnen Sie f (x t 1 ) und f (0). ( ) 1 1, x t 1 > 1. x t Wie lautet gemäß Ihren Antworten zu den Aufgabenteilen und die (um x t 1 = 0) linearisierte Version der DGL? Konvergiert oder divergiert die Lösung dieser linearisierten DGL? Für welches negative x gilt x = f(x)? Veranschaulichen Sie x t = f(x t 1 ) für x t 1 > 1 in einer Grafik. Illustrieren Sie in der Grafik auch, wie sich x t (lokal) auf den Steady state bei null zubewegt bzw. von dem Steady state aus Aufgabenteil wegbewegt. 4

5 Aufgabe 4: Logistische Gleichung Betrachten Sie die logistische Gleichung: x t = ax t 1 (1 x t 1 ), 0 < a < 4. Bei welchem Wert erreicht die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung ein Maximum? Überprüfen Sie die Bedingung zweiter Ordnung. Wie hoch ist der Funktionswert beim Maximum? Welche Ober- und Untergrenzen für x t ergeben bei gegebenem Startwert x 0 mit 0 < x 0 < 1 aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil? Warum? Sei a = 3,5. Wie hoch ist die Steigung der Funktion auf der rechten Seite der logistischen Gleichung im Ursprung? Bei welchem positiven x-wert schneidet die Funktion für a = 3,5 die 45-Grad-Linie? Wie hoch ist die Steigung in diesem Punkt? Illustrieren Sie den Verlauf der Funktion für a = 3,5 anhand der üblichen Grafik mit x t 1 und x t auf den Achsen. Illustrieren Sie, dass x t nicht gegen den Schnittpunkt aus Aufgabenteil konvergiert, wenn es in der Nähe davon startet. (Hinweis: Achten Sie darauf, dass Sie die Funktion hinreichend flach bzw. steil gemäß Aufgabenteil einzeichnen.) 5

6 Aufgabe 5: Stochastische lineare DGL 1. Ordnung Betrachten Sie die stochastische lineare DGL 1. Ordnung x t = ax t 1 + ε t. Ermitteln Sie x 1, x 2 und x 3 durch iteratives Einsetzen. Welche Lösung der DGL lässt sich anhand Ihrer Antwort zu Aufgabenteil erkennen? Beweisen Sie die Richtigkeit der Formel aus Aufgabenteil durch vollständige Induktion. 6

7 Aufgabe 6: Taylor-Prinzip Wie lautet die Lösung der Erwartungs-DGL x t = a 1 E t x t+1 + ε t für a > 1? (Keine Herleitung notwendig.) Zeigen Sie, dass x t+1 = a(x t ε t ) + η t+1 im Fall a 1 für beliebige x 0 und beliebige Prozesse η t mit E t η t+1 = 0 die Erwartungs-DGL erfüllt. Geben Sie die IS-Kurve und Taylor-Regel aus der Vorlesung an. Leiten Sie aus dem Modell aus Aufgabenteil eine Erwartungs-DGL für die Inflationsrate π t her. Welche Eigenschaft muss die Taylor-Regel erfüllen, damit die Inflationsrate determiniert ist? Warum? 7

8 Aufgabe 7: Dynamische Programmierung Betrachten Sie das Maximierungsproblem max {c t+i,x t+1+i } i=0 i=0 [ ] u(xt+i, c t+i ) E t (1 + ρ) i u.d.n.: x t+1 = f(x t, c t, ε t ). Definieren Sie (in Worten) die Wertfunktion v(x t ). Wie lautet die Bellman-Gleichung für das Maximierungsproblem? Wie lautet die notwendige Bedingung für die optimale Wahl von c t? Leiten Sie die Bellman-Gleichung nach x t ab. Leiten Sie mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil die Enveloppen-Bedingung für das Problem her. 8

9 Aufgabe 8: Cake eating Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem (ohne Diskontierung): mit gegebenem x 0. max {c t+i,x t+i } 11 i=0 11 i=0 ln c t+i u.d.n.: x t+1 = x t c t Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf. Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Leiten Sie aus den notwendigen Bedingungen aus Aufgabenteil eine DGL in c t her. Wie hoch ist c t für t = 0,..., 11? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil. Interpretieren Sie das Problem als Cake-eating -Problem. Was besagt in dieser Interpretation die Lösung aus Aufgabenteil? 9