Dipl. Vw. Matthias Kirbach Sommersemester Übung IX. Dynamische Modelle

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1 Dipl. Vw. Matthias Kirbach Sommersemester 2005 Abteilung Wirtschaftspolitik Helmholtzstr. 20, Raum E 02 Tel UNIVERSITÄT DOCENDO CURANDO ULM SCIENDO Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Universität Ulm matthias.kirbach@mathematik.uni-ulm.de Übung IX Dynamische Modelle 1 Statisches Modell und Differenzenbildung Im Rahmen der empirischen Wirtschaftsforschung hat eine Variable x aufgrund der ökonomischen Theorie einen systematischen Einfluß auf eine andere Variable y. ökonomisches Modell: y t = β 0 + β 1 x t empirisches Modell: y t = β 0 + β 1 x t + ε t ökonometrisches Modell: y t = ˆβ 0 + ˆβ 1 x t + ˆε t bzw. ŷ t = ˆβ 0 + ˆβ 1 x t Im Rahmen empirischer Modelle werden kurz- und/oder langfristige Effekte untersucht. 1

2 Statisches Modell und Differenzenbildung: statisch: y t / x t = β 1 : Differenzen: y t / x t = α 1 : y t = β 0 + β 1 x t + ε t langfristiger Effekt, y t = α 0 + α 1 x t + ε t kurzfristiger Effekt, ε t ε t, Stichwort: Autokorrelation Bei allen bisherigen Fallbeispielen galt die Annahme, dass eine Veränderung der exogenen Variablen x zu einem Zeitpunkt t 0 auch vollständig mit β 1 auf y wirkt. y x Änderung um 1%(log) bzw. eine Einheit x y Änderung um β 1 t 0 t Eine Erhöhung des verfügbaren Einkommens um ein Prozent bedeutet eine sofortige Erhöhung des Konsums um 0.99 Prozent (Beispiel Konsumfunktion). Eine Erhöhung des Produktes von Kapitalstock und Auslastungsgrad (K Q) um ein Prozent bedeutet eine sofortige Erhöhung des Outputs um 0.61 Prozent (Beispiel Produktionsfunktion). Eine Erhöhung des Wertpapierzinssatzes um einen Prozentpunkt bedeutet einen sofortigen Rückgang der Geldnachfrage um 0.56 Prozent. 2

3 2 Ökonomische Relevanz dynamischer Modelle Die Annahme einer sofortigen Anpassung führt jedoch in vielen Fällen zu einer Fehlspezifikation des Modells. Aus verschiedenen Gründen ist von einer langsamen Anpassung der Variablen auszugehen: Institutionelle Regelungen (z.b. Tarifverträge) führen zu Verzögerungen (z.b. Kündigungsschutz bei geplanten Entlassungen), Technische Voraussetzungen können Verzögerungen bedeuten (z.b. Bau einer Spezialmaschine oder neuer Gebäude), Entscheidungen benötigen Zeit, Erwerb von Humankapital benötigt Zeit, Erwartungen werden auf Basis der Vergangenheit für die Zukunft gebildet,... Ein Hinweis auf das Vorliegen einer langsamen Anpassung statt einer sofortigen ist ein unterschiedlicher Wert für statisches Modell und Differenzenmodell. Beispiel: Modell einer Arbeitsnachfrage geschätzt mit Quartalsdaten für Westdeuschland von , EViews workfile w90.wf.1 lyl : Pro-Kopf-Produktivität (Logarithmus) lwr : Realllohn (Logarithmus) t : technischer Fortschritt, t=1,2,...,1959.1=1 Wenn sich der Reallohn um 1 Prozent erhöht, erhöht sich die Arbeisproduktivität pro Kopf um 0.44 Prozent (statisches Modell = langfristiger Effekt). Wenn sich der Reallohn im Vergleich zur Vorperiode um ein Prozent erhöht, erhöht sich die Arbeitsproduktivität im Vergleich zur Vorperiode um 0.32 Prozent (Differenzenmodell = kurzfristiger Effekt) Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da keine sofortige Anpassung vorliegt. Beide Modelle sind (einzeln) fehlspezifiziert. 3

4 Statisches Modell Dependent Variable: LYL Sample: 1960:1 1989:4 Included observations: 120 Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T T^2-2.07E E LWR R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Differenzenmodell Dependent Variable: D(LYL) Sample(adjusted): 1960:2 1989:4 Included observations: 119 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T -5.64E E D(LWR) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

5 3 Modelle mit verzögerten exogenen Variablen Die erklärende Variable wird verzögert modelliert: y t = β 0 + β 1 x t 1 + ε t bei einer Verzögerung um eine Periode, y t = β 0 + β 1 x t τ + ε t bei einer Verzögerung um τ Perioden In EViews wird eine verzögerte exogene Variable durch ein ( 1) bzw. ( τ) modelliert. Im Beispiel der Arbeitsnachfrage ergibt sich: verzögerte exogene Variable Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1960:2 1989:4 Included observations: 119 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T T^2-1.45E E LWR(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Die verzögerte exogene Variable lwr(-1) ist signifikant. Eine Erhöhung des Reallohns um ein Prozent in der Vorperiode führt zu einer Erhöhung der Arbeitsproduktivität von 0.53 Prozent in der aktuellen Periode. Eine Erhöhung des Reallohns um ein Prozent in der aktuellen Periode führt zu einer Erhöhung der Arbeitsproduktivität von 0.53 Prozent in der nächsten Periode. 5

6 Das empirische Modell kann auch mehr als eine verzögerte exogene Variable besitzen: Flexible Lag Funktion: y t = α + k i=0 β i x t i + ε t Lag-Funktion mit i=5 Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1961:2 1989:4 Included observations: 115 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T T^2-2.81E E LWR LWR(-1) LWR(-2) LWR(-3) LWR(-4) LWR(-5) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Die Verzögerungen um 1,3 und 4 Quartale sind signifikant. Flexible Lag-Funktionen mit einer großen Zahl i sind nicht praktikabel: Steigt i um den Wert eins, geht eine Beobachtung verloren (nur 115 statt 120 bei i=5). Steigt i um den Wert eins, wird ein weiterer Koeffizient geschätzt. (Problem: Freiheitsgrad!) 6

7 Graphisch veranschaulicht bedeutet dies: y x x Änderung um 1% i y t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t Die Anpassung beginnt zum Zeitpunkt t 0 und ist zu einem Zeitpunkt t n abgeschlossen. Wichtig ist die Frage, ob aufgrund der ökonomischen Theorie die Anpassung in allen Perioden konstant ist: ω i = c 0, in den ersten Perioden ein Großteil der Anpassung geschieht: ω i = c 0 + c 1 i oder ein Großteil der Anpassung in den mittleren Perioden passiert: ω i = c 0 + c 1 i + c 2 i 2. Eine solche Information kann modelliert werden, wenn die zu schätzenden Koeffizienten β i mit einem Gewichtungsfaktor ω versehen werden: y t = α + β k i=0 ω i x t i + ε t y t = α + β ω o x 0 + β ω 1 x β ω n x n + ε t Bei einer Gleichgewichtung der Perioden werden die verzögerten exogenen Variablen in EViews aufsummiert, bei einer unterschiedlichen Gewichtung der PDL-Befehl verwendet, der drei Eingaben (Variable, Lag, Struktur) benötigt. 7

8 y x Anpassungsfunktion x Änderung um 1% y t 0 t n 2 t n t Lagfunktion L 0 L n 2 L n Lag 8

9 ls @seas(3) t t^2 lwr+lwr(-1)+lwr(-2)+lwr(-3)+lwr(-4)+lwr(-5) Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1961:2 1989:4 Included observations: 115 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T T^2-2.73E E LWR+LWR(-1)+LWR(-2) ( ) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) y t = α + β ω o x 0 + β ω 1 x β ω 5 x 5 + ε t mit ω i = c 0 Bei einer Gleichgewichtung der Quartale und einer Erhöhung des Reallohns um 1 Prozent steigt die Arbeitsproduktivität pro Quartal um 0.06 Prozent. Der betrachtete Zeitraum beträgt 6 Quartale (aktuelles Quartal und 5 verzögerte), so dass der Gesamteffekt 0.36 Prozent beträgt. Der Koeffizient des Reallohns ist signifikant. 9

10 ls @seas(3) t t^2 pdl(lwr,5,1) Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1961:2 1989:4 Included observations: 115 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Errot-Statistic Prob. C T T^2-2.58E E PDL PDL R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterio Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Lag Distribution of LWRi CoefficieStd. Error T-Statistic. * * * * * * Sum of Lags y t = α + β ω o x 0 + β ω 1 x β ω 5 x 5 + ε t mit ω i = c 0 + c 1 i Die Koeffizienten PDL01 und PDL02 entsprechen c 0 und c 1. In EViews findet man den Koeffizienten von PDL01 zum Zeitpunkt i = 2, die anderen Koeffizienten von β i sind um PDL02 korrigiert. 10

11 ls @seas(3) t t^2 pdl(lwr,5,2) Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1961:2 1989:4 Included observations: 115 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Errot-Statistic Prob. C T T^2-2.80E E PDL PDL PDL R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterio Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Lag Distribution of LWRi CoefficieStd. Error T-Statistic. * * * * * * Sum of Lags y t = α + β ω o x 0 + β ω 1 x β ω 5 x 5 + ε t mit ω i = c 0 + c 1 i + c 2 i 2 Die Koeffizienten PDL01, PDL02 und PDL03 entsprechen c 0, c 1 und c 2. In EViews findet man den Koeffizienten von PDL01 zum Zeitpunkt i = 2, die anderen Koeffizienten von β i sind um PDL02 und PDL03 korrigiert. 11

12 4 Modelle mit verzögerten endogenen Variablen Partielles Anpassungsmodell: Die endogene Variable wird verzögert modelliert: y t = β x t + λ y t 1 + ε t, da y t 1 = β x t + λ y t 2 + ε t 1 erhält man für y t : y t = β x t + λ y t 1 + ε t y t = β x t + λ (β x t 1 + λ y t 2 + ε t 1 ) + ε t y t = β x t + λ β x t 1 + λ 2 y t 2 + ε t + λ ε t 1 y t = β x t + λ β x t 1 + λ 2 (β x t 2 + λ y t 3 + ε t 2 ) + ε t + λ ε t 1 y t = β x t + λ β x t 1 + λ 2 β x t 2 + λ 3 y t 3 + ε t + λ ε t 1 + λ 2 ε t 2... y t = β λ i x t i + λ i ε t i i i Autokorrelationsproblem bei verzögerten endogenen Variablen! Die Schätzung am Beispiel der Arbeitsproduktivität liefert folgendes Ergebnis: ls @seas(3) t t^2 lwr lyl(-1) verzögerte endogene Variable Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1960:2 1989:4 Included observations: 119 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T T^2-3.25E E LWR LYL(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

13 y x Anpassungsfunktion Änderung um 1% x β λ β λ 2 β λ 3 β... y t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t Lagfunktion L 0 L 1 L 2 L 3 L 4 Lag Beim partiellen Anpassungsmodell unterscheiden sich der kurzfristige und der langfristige Effekt, den die exogene Variable x (z.b. der Reallohn) auf die endogene Variable y (z.b. die Arbeitsproduktivität pro Kopf) besitzt. Der kurzfristige Effekt: Kurzfristig wirkt x t auf y t mit dem Koeffizient β, im aktuellen Beispiel also mit Der langfristige Effekt: Langfristig unterscheiden sich y t und y t 1 nicht und es existiert kein Störterm. 13

14 Es gilt folgende Annahme: Gleichgewicht y t = y t 1 y t = β x t + λ y t y (1 λ) = β x y = β x 1 λ Im Beispiel ist β = 0.41 und λ = Damit ergibt sich ein langfristiger Effekt von i t-i β λ i β λ i 0 t = t = t = t = t = t = n t-n n i Nach Abschluß des Anpassungsprozesses gilt: y t y (y : langfristiges Gleichgewicht) Der Anpassungsprozess: y = (1 λ) (y y t 1 ) mit 0 λ < 1 y t y t 1 = (1 λ) (y y t 1 ) y t = (1 λ) (y y t 1 ) + y t 1 y t = (1 λ) y + λ y t 1 y t = (1 λ) β x t + λ y t 1, da y = β x t λ = 0 aktueller Wert von y entspricht dem des langfristigen Gleichgewichts λ = 1 y t = y t 1, d.h. keine Anpassung 14

15 Modelle höherer Ordnung: k y t = α 1 x t + β i y t i + ε t i=1 z.b.: y t = α 1 x t + γ 1 y t 1 + γ 2 y t 1 + ε t Das Problem der Autokorrelation: Der Fehler zu einem Zeitpunkt t ist definiert durch: ε t = ρ ε t τ + µ t ρ = cov(ε t,ε t τ ) var(ε t ) var(ε t τ ) Wenn die Nullhypothese ρ = 0 verworfen wird, liegt Autokorrelation der Residuen vor. Ein denkbarer Test auf Autokorrelation ist der Durbin-Watson-Test. Dieser überprüft jedoch nur das Problem der Autokorrelation zum ersten Vorgänger und ist nur bei statischen Modellen einsetzbar. Bei dynamischen Modellen empfiehlt sich der Breusch-Godfrey-Test. Nach einer Schätzung kann dieser Test unter View - Residual Tests - Serial Correlation LM-Test in EViews durchgeführt werden. Bei Lags to include wird die Anzahl der Zeitpunkte angegeben, die auf Autokorrelation überprüft werden. Bei Quartalsdaten sollte diese nicht kleiner als 12 sein. Im vorliegenden Beispiel wird die Nullhypothese ρ = 0 verworfen, da der Probability-Wert zur F- Statistik kleiner ist als die gängigen Irrtumswahrscheinlichkeiten 0.01, 0.05 bzw Im vorliegenden Beispiel liegt daher Autokorrelation der Residuen vor. 15

16 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Presample missing value lagged residuals set to zero. Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T T^2-1.04E E LWR LYL(-1) RESID(-1) RESID(-2) RESID(-3) RESID(-4) RESID(-5) RESID(-6) RESID(-7) RESID(-8) RESID(-9) RESID(-10) RESID(-11) RESID(-12) R-squared Mean dependent var-4.33e-16 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

17 5 Fehlerkorrekturmodelle Neben Modellen mit ausschließlich verzögerten exogenen und Modellen mit ausschließlich verzögerten endogenen Variablen gibt es Modelle mit verzögerten exogenen und verzögerten endogenen Variablen. Solche kombinierten Modelle sind Fehlerkorrekturmodelle. y t = β 0 + β 1 x t + β 2 x t λ 1 y t 1 + λ 2 y t ε t Das allgemeine Fehlerkorrekturmodell: k l y t = β 0 + γ i x t i λ (y t 1 β 2 x t 1 ) + δ i y t i + ε t i=0 i=1 Langfristig gilt: y = β x. Am Anfang weicht der Wert von y 0 vom langfristigen Gleichgewicht ab, es kommt zu einem Anpassungsprozess y 1 : (1) y t = α x t + λ (y t 1 β x t 1 ) + ε t y t y t 1 = α x t + λ (y t 1 β x t 1 ) + ε t y t y t 1 = α x t α x t 1 + λ y t 1 λ β x t 1 + ε t (2) y t = α x t + (1 + λ) y t 1 (α + β λ) x t 1 + ε t Die Modelle (1) und (2) liefern identische Schätzergebnisse (siehe nächste Seite), da es sich um das gleiche Modell handelt, welches lediglich anders aufgeschrieben ist. Die Koeffizienten für die Konstante, die Saisondummies und den technischen Fortschritt sind in beiden Modellen identisch. Der kurzfristige Effekt einer Reallohnerhöhung um ein Prozent beträgt α = Prozent. In beiden Modellen kann man nicht nur den kurzfristigen Effekt α, sondern auch den langfristigen Effekt β = ausrechnen. 17

18 Modell (1) Dependent Variable: D(LYL) Sample(adjusted): 1960:2 1989:4 Included observations: 119 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T D(LWR) LYL(-1) LWR(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Modell (2) Dependent Variable: LYL Sample(adjusted): 1960:2 1989:4 Included observations: 119 after adjusting endpoints Variable CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. C T LWR LYL(-1) LWR(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criter Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

19 Berechnung von β im Modell (1): λ β = β = λ β = ( 0.716) β = β = Berechnung von λ im Modell (2): (1 + λ) = λ = λ = Berechnung von β im Modell (2): (α + β λ) = α + β λ = β λ = α β λ = β λ = β = λ β = β =

20 Vertiefende Literatur: Winker, Peter, Empirische Wirtschaftsforschung, 1997, Kapitel 10. Pindyck, Robert und Rubinfeld, Daniel, Econometric models and economic forecasts, 4. Auflage, 1998, Kapitel 9.1,