Kurs 9.3: Forschungsmethoden II

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1 MSc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmethoden II Zeitreihenanalyse Lernsequenz 07: Fehlerkorrekturmodell / Kointegration Dezember 2014 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie 2 Inhalt Einführung 4 Variante "Vernachlässigen" (=> Spurious Regression) 7 Variante "Differenzieren" 8 Kointegrationstest 16

2 Folie 3 Inhaltsverzeichnis Einführung 4 Massnahmen bei nichtstationären Zeitreihen... 4 Ausführliches Beispiel... 5 Zusammenhang zwischen gesamtwirtschaftlichem Konsum und Einkommen... 5 Stationarität... 6 Variante "Vernachlässigen" (=> Spurious Regression) 7 Regression der logarithmierten Zeitreihen... 7 Variante "Differenzieren" 8 Regression der differenzierten, logarithmierten Zeitreihen... 8 Interpretation der Resultate von Modell Erweiterung des Modells Interpretation der Erweiterung Berechnung mit EViews Korrektur der autokorrelierten Fehler Stationarität Kointegration Eigenschaften der Abweichung Kointegrationstest 16 Kointegrationstest in EViews (nach Johansen) Kointegrationstest von CONSPR_LOG und YDISPR_LOG Kointegrationstest mit Random Walk mit Drift Einführung Folie 4 Massnahmen bei nichtstationären Zeitreihen Vernachlässigen Problem der Scheinkorrelation ("Spurious Regression"): Modell mit hoher Güte aber ohne inhaltliche Bedeutung. Führt zu verzerrten Schätzungen (t-tests und Konfidenzintervalle) Differenzbildung Differenzstationäre Zeitreihen werden durch Differenzbildung zwar stationär. Wegen der Differenzbildung werden aber nur kurzfristige Änderungen beschrieben. Information über das Verhalten des Prozesses im Gleichgewicht bleibt unberücksichtigt. Fehlerkorrektur-Modelle Voraussetzung: Variablen sind kointegriert. Kointegration (saloppe Beschreibung): Variablen sind einzeln nichtstationär. Es gibt aber eine stationäre Linearkombination (Gleichgewichtsbeziehung).

3 Ausführliches Beispiel Zusammenhang zwischen gesamtwirtschaftlichem Konsum und Einkommen Folie 5 log(10 6 CHF) YDISPR_LOG CONSPR_LOG Logarithmierte Zeitreihen (<=> Schiefe Verteilung) Real verfügbares Einkommen der Haushalte (YDISPR_LOG) Gesamtwirtschaftlicher realer Konsum (CONSPR_LOG) Quartalsdaten von 1970 bis Quelle: (November 2014) Stationarität Die beiden Zeitreihen zum Einkommen und Konsum sind nichtstationär. => Differenzieren der (logarithmierten) Zeitreihen mit Lag 4 (<=> Quartalsdaten) series YDISPR_LOGD4 = LOG(YDISPR) - LOG(YDISPR (-4)) series CONSPR_LOGD4 = LOG(CONSPR) - LOG(CONSPR(-4)) => Differenzierte Zeitreihen sind stationär (Augmented Dickey-Fuller) Folie YDISPR_LOGD4 CONSPR_LOGD4

4 Variante "Vernachlässigen" (=> Spurious Regression) Folie 7 Regression der logarithmierten Zeitreihen Konsum_log = α + β Einkommen_log (Modell 1) (CONSPR_LOG = C + YDISPR_LOG) Geschätzte Gleichung: Konsum_log = Einkommen_log Das Modell ist hoch signifikant. Die Resultate sind aber nicht sinnvoll interpretierbar. Das Ergebnis wird durch den gemeinsamen Trend der beiden Zeitreihen verursacht. Variante "Differenzieren" Folie 8 Regression der differenzierten, logarithmierten Zeitreihen Konsum_log = α + β Einkommen_log (Modell 2) (CONSPR_LOGD4 = C + YDISPR_LOGD4) Geschätzte Gleichung: Konsum_log = Einkommen_log DW ist mit 1.49 signifikant verschieden von 2. Es gibt ein Problem mit autokorelierten Fehlern.

5 Interpretation der Resultate von Modell 2 Folie 9 Konsum_log = Einkommen_log Konstante α = Bei konstantem Einkommen nimmt der Konsum um 0.64% gegenüber dem Vorjahresquartal zu. Einkommenselastizität β = 0.55 Erhöht sich das Einkommen um 1%, nimmt der Konsum um % zu. Die Ergebnisse geben die kurzfristige Trägheit der Konsumnachfrage wieder: Die Konsumnachfrage hat einen konstanten Trend (α). Die Reaktion auf kurzfristige Änderungen des Einkommens (β) ist eher schwach. Bei kurzfristig stagnierendem Einkommen nimmt der Konsum wegen des konstanten Trends zu. Wenn das Einkommen über längere Zeit stagniert, kann das Modell eine in der Realität gemessene Konsumzunahme von fast 1.5% gegenüber dem Vorjahresquartal aber nicht wiedergeben. Fazit: Mit diesem Modell wird die langfristige Entwicklung nicht abgebildet. Erweiterung des Modells Modell 2 (= Veränderungsrate des Konsums CONSPR_LOGD4) wird erweitert um die Abweichung des Konsums vom langfristigen Normalwert (Modell 1) zum Zeitpunkt t-1. Folie 10 Geschätztes Modell 1 umformen und Differenz bilden ^α + ^β Einkommen_log zurückversetzen ^α + ^β Einkommen_log(-1) Differenz bilden Konsum_log(-1) - ^α - ^β Einkommen_log(-1) ^α + ^β Einkommen_log Konsum_log(-1) - ^α - ^β Einkommen_log(-1) Diese Differenz ist die Abweichung vom langfristigen Normalwert Die Abweichung entspricht dem um eine Zeiteinheit verzögerten Residuum von Modell 1 In Modell 2 ergänzen Konsum_log = α + β Einkommen_log + γ Abweichung (Modell 2a) (CONSPR_LOGD4 = C + YDISPR_LOGD4 + ABWEICHUNG)

6 Interpretation der Erweiterung Folie 11 Konsum_log = α + β Einkommen_log + γ Abweichung Annahme: Der Parameter γ hat einen negativen Wert: Wenn bei t-1 der Konsum unter dem langfristigen Normalwert liegt, wird die Wachstumsrate in der nächsten Periode von γ Abweichung positiv beeinflusst. Wenn bei t-1 der Konsum über dem langfristigen Normalwert liegt, wird die Wachstumsrate in der nächsten Periode von γ Abweichung negativ beeinflusst. Die Eigenschaft, dass die kurzfristige Wachstumsrate durch die Abweichung vom langfristigen Wachstum "korrigiert" wird, führt zum Namen "Fehlerkorrekturmodell" (Nobelpreis 2003) Engle and Granger (1987): Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Econometrica, Vol. 55, No. 2 (Mar., 1987), pp Die Korrektur sorgt dafür, dass die Beziehung zwischen Konsum und Einkommen langfristig erfüllt bleibt. Der Parameter γ ist ein Mass für die Anpassung der kurzfristigen Wachstumsrate mit der langfristige Beziehung zwischen Konsum und Einkommen. Berechnung mit EViews Folie 12 (Modell 2a) DW ist mit 1.48 signifikant verschieden von 2. Es gibt ein Problem mit autokorelierten Fehlern. Konstante α = Bei unverändertem Einkommen nimmt der Konsum um 0.64% zu. Kurzfristige Einkommenselastizität β = 0.55 Erhöht sich das Einkommen um 1%, nimmt der Konsum um % zu. Langfristige Einkommenselastizität (Fehlerkorrekturparameter) γ = Abweichungen um 1%, des Konsums vom langfristigen Normalwert werden in der nächsten Periode um % korrigiert.

7 Folie 13 Korrektur der autokorrelierten Fehler Das Modell wird ergänzt um einen Term mit Lag 1, um die autokorrelierten Fehler zu korrigieren. Konsum_log = ρ Konsum_log(-1) + α + β Einkommen_log + γ Abweichung (Modell 3) Konstante α = Korrektur der Autokorrelation ρ = 0.26 Kurzfristige Einkommenselastizität β = 0.38 Langfristige Einkommenselastizität (Fehlerkorrekturparameter) γ = Stationarität Sind die Variablen in den Modellen stationär? Folie 14 Modell 2: Konsum_log = α + β Einkommen_log Differenzen sind stationär, aber durch Differenzbildung geht Information verloren Modell 3: Konsum_log = ρ Konsum_log(-1) + α + β Einkommen_log + γ Abweichung Abweichung (-1) ist Linearkombination aus nichtstationären Zeitreihen Allgemein ist eine solche Linearkombination nichtstationär Kointegration Es kann sein, dass eine Linearkombination aus nichtstationären Zeitreihen stationär ist, wenn sich die nicht-stationären Komponenten dieser Variablen gegenseitig neutralisieren. In diesem Fall spricht man von Kointegration.. Ist Abweichung = Konsum_log(-1) - α - β Einkommen_log(-1) stationär? Wenn ja, dann ist die Schätzung des Fehlerkorrekturmodells (2a oder 3) zulässig, weil dann nur stationäre Variablen enthalten sind respektive die Nicht-Stationaritäten sich aufheben.

8 Eigenschaften der Abweichung Folie Ob Stationariät vorliegt, kann auf Grund des Zeitreihenplots nicht eindeutig festgestellt werden. Augmented Dickey-Fuller test statistic: p = => Abweichung nichtstationär. Konsum (CONSPR_LOG) und Einkommen (YDISPR_LOG) sind nicht kointegriert. Das Fehlerkorrekturmodell (2a oder 3) kann nicht problemlos geschätzt werden. Kointegrationstest Folie 16 Kointegrationstest in EViews (nach Johansen) (Variablen CONSPR_LOG und YDISPR_LOG als Gruppe öffnen) Eingabe von zusätzlichen exogenen Variablen Nicht Intercept oder Trend! Eingabe von autoregressiven Termen der abhängigen Variable: Lag von... bis... Hier Von 1 bis 1 (Lag 1) Deterministic trend assumption of the test Die Variante "3) Intercept (no trend) in CE and test VAR" ist default. Die Varianten 1) und 5) sind selten. CE Cointegration Equation VAR Vector Autoregression Model (gemeint sind die Variablen)

9 Folie 17 Kointegrationstest von CONSPR_LOG und YDISPR_LOG 1 Wahl von "Deterministic trend assumption..." For trending series, use case 3 if you believe all trends are stochastic. (!) Autoregressiver Term mit Lag Rank Test Der Johansen-Test beruht allgemein auf einem VAR(p)-Modell und testet schrittweise, ob die Variablen kointegriert sind. Im Gegensatz zum univariaten Fall, bei dem ein Parameter entweder den Wert der Nullhypothese annimmt oder nicht, gibt es bei Matrizen Zwischenformen mit Rang k kleiner K (= Anzahl Gleichungen im VAR(p)-Modell). Die Anzahl der Kointegrationen k ist dann bei jenem k, für das die Nullhypothese H 0 : "Zeitreihen sind nichtstationär und nicht kointegriert" nicht abgelehnt werden kann. Beispiel aus EViews-Help mit * Fälle im Ranktest für zwei Variablen Folie None und At most 1 sind nicht signifikant (haben kein Sternchen *) H 0 : "Zeitreihen sind nichtstationär und nicht kointegriert" kann nicht verworfen werden. Zeitreihen sind nichtstationär und nicht kointegriert. 2. None und At most 1 sind beide signifikant (haben je ein Sternchen *) H 0 : "Zeitreihen sind nichtstationär und nicht kointegriert" kann verworfen werden. Zeitreihen sind stationär aber nicht kointegriert. 3. None ist nicht signifikant und At most 1 ist signifikant (Sternchen * nur bei At most 1) H 0 : "Zeitreihen sind nichtstationär und nicht kointegriert" kann bei At most 1 verworfen werden. Zeitreihen sind kointegriert. Konsum (CONSPR_LOG) und Einkommen (YDISPR_LOG) sind gemäss Kointegrationstest nach Johansen nichtstationär und nicht kointegriert (haben kein Sternchen *). Das Fehlerkorrekturmodell (2a oder 3) kann nicht problemlos geschätzt werden.

10 Folie 19 Kointegrationstest mit Random Walk mit Drift Gegeben zwei Random Walk mit Drift X t = X t-1 + u t u t ~ i.i.d. Y t = Y t-1 + v t v t ~ i.i.d. Eigenschaften der Zeitreihen - sicher nichstationär - sicher ohne deterministischen Trend - sicher nicht kointegriert None und At most 1 sind nicht signifikant (haben kein Sternchen *) Zeitreihen sind nichtstationär und nicht kointegriert. Zusammenfassung Kointegration* Folie 20 Untersuchung langfristiger (Gleichgewichts-)Beziehungen zwischen mehreren nicht-stationären ökonomischen Variablen Grundidee: Es kann eine stabile langfristige Relation (Gleichgewichtsbeziehung) zwischen den ökonomischen Variablen bestehen, die durch die ökonomische Theorie begründbar ist. Sie muss jedoch in den Beobachtungsperioden nicht notwendig erfüllt sein. Wenn die beobachteten Abweichungen von einer vermuteten Gleichgewichtsbeziehung stationär sind, besteht eine Tendenz zu ihrer Rückbildung, die den langfristigen Steady State wieder etabliert. Man bezeichnet die untersuchten Variablen dann als kointegriert. Während gewöhnlich eine Regression nicht-stationärer Variablen das Problem einer "Spurious Regression" nach sich zieht, die einen strengen Zusammenhang zwischen den Variablen nur vortäuscht, lässt sich im Falle kointegrierter Variablen die zwischen ihnen vorhandene Langfristbeziehung ökonometrisch fundiert schätzen und ökonomisch interpretieren. Kointegrierte Variablen enthalten nämlich keine unabhängigen Trends, sondern werden durch gemeinsame stochastische Trends getrieben. Eine Regression von Differenzen der involvierten Variablen, die das Problem einer "Spurious Regression" vermeiden kann, gibt dagegen nur Auskunft über kurzfristige Anpassungsprozesse, nicht jedoch über die Gleichgewichtsbeziehung selbst. *Quelle: (Zugriff: November 2012, Dezember 2014 => nicht verfügbar)