11. Simultane Gleichungssysteme

Transkript

1 11. Simultane Gleichungssysteme Bisher: Schätzung und Inferenz einzelner Gleichungen Jetzt: Modellierung und Schätzung von Gleichungssystemen 329

2 Beispiel: [I] Untersuchung des Einflusses von Werbemaßnahmen auf den Absatz eines Pharma-Produktes Datensatz über 24 Quartale (i = 1,..., 24) mit folgenden Variablen: Absatz a i (in 100 g) Werbeanzeigen w i (in Doppelseiten) Preis des Wirkstoffes p i (in Euro / 100 g) Anzeigenpreis q i (in 1000 Euro / Doppelseite) 330

3 Beispiel: [II] Mögliche Modellierung als Einzelgleichung a i = α + β 1 w i + β 2 p i + u i Problem: bidirektionale Kausalität, d.h. Werbeaufwand w i beeinflusst Absatz a i Absatz a i beeinflusst Werbeaufwand w i 331

4 Quartal Absatz Werbeanzeigen Wirkstoffpreis Anzeigenpreis

5 Konsequenz bei bidirektionaler Kausalität: KQ-Schätzer für Einzelgleichungen sind verzerrt und nichtkonsistent Ausweg: Modellierung der bidirektionalen Kausalität in simultanem Gleichungssystem (auch: interdependentes Gleichungssystem) 333

6 11.1 Nicht-Konsistenz der KQ-Schätzer Betrachte das folgende Gleichungssystem: a i = α + β 1 w i + β 2 p i + u i (1) w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i (2) Für die Störgrößen u i und v i soll gelten: u i und v i erfüllen alle B-Annahmen Zwischen u i und v i besteht lediglich eine kontemporäre Korrelation, d.h. Cov(u i, v i ) = σ für i = 1,..., N Cov(u i, v j ) = 0 für i j und i, j = 1,..., N 334

7 Man beachte den folgenden Zusammenhang: Für ein beliebiges i gelte u i > 0 Aus (1) folgt a i Mit δ 1 > 0 folgt aus (2) dann w i Mit β 1 > 0 folgt aus (1) dann a i Multiplikatorprozess: u i > 0 impliziert a i und w i 335

8 Analoger Multiplikatorprozess: v i > 0 impliziert w i und a i Offensichtlich: u i > 0 impliziert w i in (1) in (1) sind w i und u i positiv kontemporär korreliert v i > 0 impliziert a i in (2) in (2) sind a i und v i positiv kontemporär korreliert 336

9 Fazit: In beiden Gleichungen sind die Störgrößen kontemporär korreliert mit einer exogenen Variablen KQ-Schätzer der Einzelgleichungen sind verzerrt und nichtkonsistent (vgl. Kapitel 9, 3. Fall, Folie 244) 337

10 11.2 Indirekte KQ-Methode Jetzt: Schätzung der Parameter nach geeigneter Transformation des Gleichungssystems a i = α + β 1 w i + β 2 p i + u i (1) w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i (2) 338

11 Transformation: [I] Einsetzen von w i aus (2) in (1) ergibt a i = α + β 1 (γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i ) + β 2 p i + u i Umstellen liefert bzw. (1 β 1 δ 1 )a i = α + β 1 γ + β 2 p i + β 1 δ 2 q i + β 1 v i + u i a i = α + β 1γ 1 β 1 δ 1 + β 2 1 β 1 δ 1 p i + β 1δ 2 1 β 1 δ 1 q i + β 1v i + u i 1 β 1 δ 1 (3) 339

12 Transformation: [II] Analog ergibt sich durch Einsetzen von a i aus (1) in (2) und Auflösen nach w i w i = γ + δ 1α 1 β 1 δ 1 + β 2δ 1 1 β 1 δ 1 p i + δ 2 1 β 1 δ 1 q i + δ 1u i + v i 1 β 1 δ 1 (4) Definiere für Gleichung (3) π 1 α + β 1γ 1 β 1 δ 1, π 2 β 2 1 β 1 δ 1, π 3 β 1δ 2 1 β 1 δ 1, u i β 1v i + u i 1 β 1 δ 1 Definiere für Gleichung (4) π 4 γ + δ 1α 1 β 1 δ 1, π 5 β 2δ 1 1 β 1 δ 1, π 6 δ 2 1 β 1 δ 1, v i δ 1u i + v i 1 β 1 δ 1 340

13 Transformation: [III] Das transformierte Gleichungssystem lautet damit a i = π 1 + π 2 p i + π 3 q i + u i (5) w i = π 4 + π 5 p i + π 6 q i + v i (6) Bemerkungen: [I] Die Störgrößen u i und v i erfüllen alle B-Annahmen (Begründung?) Gleichung (5) enthält nicht mehr die Variable w i 341

14 Bemerkungen: [II] Gleichung (6) enthält nicht mehr die Variable a i Gleichungen (5) und (6) bestehen jeweils aus einer endogenen Variablen (a i bzw. w i ) den echten exogenen Variablen p i, q i Kenntnis von π 1,..., π 6 und den exogenen Variablen p i, q i führt mit (5) und (6) direkt zu E(a i ), E(w i ) (π 1,..., π 6 enthalten Interdependenzen zwischen a i und w i ) 342

15 Definition 11.1: (Strukturelle, reduzierte Form) Die Ausgangsgleichungen (1) und (2) bezeichnet man als strukturelle Form des simultanen Gleichungssystems, während die transformierten Gleichungen (5) und (6) als reduzierte Form bezeichnet werden. Bemerkungen: [I] Die strukturelle Form enthält Verhaltensgleichungen, die meist durch ökonomische Theorie begründet sind Die reduzierte Form enthält auf der rechten Seite nur echte exogene Variablen (das System ist nach den endogenen Variablen aufgelöst) kontemporäre Korrelation der strukt. Form ist beseitigt KQ-Schätzung von π 1,..., π 6 unproblematisch 343

16 Bemerkungen: [II] Aus den Definitionen von π 1,..., π 6 für die reduzierten Gleichungen (3) und (4) folgt für die Parameter des strukturellen Systems (1) und (2): bzw. α = π 1 π 3π 4 π 6, β 1 = π 3 π 6, β 2 = π 2 π 3π 5 π 6 (7) γ = π 4 π 1π 5 π 2, δ 1 = π 5 π 2, δ 2 = π 6 π 3π 5 π 2 (8) (Beweis: Übungsaufgabe) Die KQ-Schätzer ˆπ 1,..., ˆπ 6 implizieren mit (7) und (8) Schätzer für die strukturellen Parameter 344

17 Dependent Variable: ABSATZ Method: Least Squares Date: 01/07/05 Time: 14:40 Sample: 1997:1 2002:4 Included observations: 24 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C WIRKSTOFFPREIS ANZEIGENPREIS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Dependent Variable: WERBEANZEIGEN Method: Least Squares Date: 01/07/05 Time: 14:41 Sample: 1997:1 2002:4 Included observations: 24 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C WIRKSTOFFPREIS ANZEIGENPREIS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

18 Definition 11.2: (Indirekte KQ-Schätzer) Die mit den KQ-Schätzern ˆπ 1,..., ˆπ 6 über die Gleichungen (7) und (8) zurückgerechneten Schätzer für die Parameter der strukturellen Form heißen indirekte KQ-Schätzer. Berechnung der IKQ-Schätzer: ˆα IKQ = , ˆβ IKQ 1 = , ˆβ IKQ 2 = ˆγ IKQ = , ˆδ IKQ 1 = , ˆδ IKQ 2 =

19 Bemerkungen: Die IKQ-Schätzer sind konsistent (folgt aus Konsistenz der KQ-Schätzer ˆπ 1,..., ˆπ 6 und dem Slutsky-Theorem) Interpretation der Schätzwerte: IKQ-Schätzwerte ˆβ 1 IKQ, ˆβ 2 IKQ, ˆδ 1 IKQ, ˆδ 2 IKQ spiegeln nur Primäreffekte wider (Auslösung eines Multiplikatoreffektes) Gesamteffekte erhält man aus den KQ-Schätzwerten ˆπ 2, ˆπ 3, ˆπ 5, ˆπ 6 (Parameterschätzungen der reduzierten Form) 347

20 11.3 Identifikation Bisher: Aus den KQ-Schätzern der reduzierten Form ließen sich jeweils eindeutige Schätzer für alle Parameter der strukturellen Form berechnen Frage: Unter welchen Bedingungen ist dies möglich? 348

21 Beispiel 1: [I] (Verkleinertes Werbung-Absatz-Modell) Verzicht auf Anzeigenpreis q i in Gleichung (2) liefert a i = α + β 1 w i + β 2 p i + u i (9) w i = γ + δ 1 a i + v i (10) (strukturelle Form) Reduzierte Form lautet a i = π 1 + π 2 p i + u i (11) w i = π 3 + π 4 p i + v i (12) 349

22 Beispiel 1: [II] mit π 1 = α + β 1γ 1 β 1 δ 1, π 2 = β 2 1 β 1 δ 1, π 3 = γ + δ 1α 1 β 1 δ 1, π 4 = β 2δ 1 1 β 1 δ 1, u i = β 1v i + u i 1 β 1 δ 1, v i = δ 1u i + v i 1 β 1 δ 1 Anzahl von Parametern strukturelle Form: 5 (α, β 1, β 2, γ, δ 1 ) reduzierte Form: 4 (π 1, π 2, π 3, π 4 ) Berechnung aller 5 struktureller Parameter unmöglich 350

23 Beispiel 1: [III] Aus den Formeln für π 1,..., π 4 ergibt sich γ = π 3 π 1π 4 π 2, δ 1 = π 4 π 2 γ, δ 1 sind berechenbar (Gleichung 10) α, β 1, β 2 sind nicht berechenbar (Gleichung 9) nur partiell eindeutige IKQ-Schätzungen 351

24 Beispiel 2: [I] (Erweitertes Werbung-Absatz-Modell) Aufnahme einer Trendvariablen i in Gleichung (1) liefert a i = α + β 1 w i + β 2 p i + β 3 i + u i (13) w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i (14) (strukturelle Form) Reduzierte Form lautet a i = π 1 + π 2 p i + π 3 i + π 4 q i + u i (15) w i = π 5 + π 6 p i + π 7 i + π 8 q i + v i (16) 352

25 Beispiel 2: [II] mit π 1 = α + β 1γ 1 β 1 δ 1, π 2 = β 2 1 β 1 δ 1, π 3 = β 3 1 β 1 δ 1, π 4 = β 1δ 2 1 β 1 δ 1, π 5 = γ + δ 1α 1 β 1 δ 1, π 6 = β 2δ 1 1 β 1 δ 1, π 7 = β 3δ 1 1 β 1 δ 1, π 8 = δ 2 1 β 1 δ 1 Anzahl von Parametern strukturelle Form: 7 (α, β 1, β 2, β 3, γ, δ 1, δ 2 ) reduzierte Form: 8 (π 1,..., π 8 ) keine eindeutige Berechnung aller struktureller Parameter 353

26 Beispiel 2: [III] Z.B. folgt aus den Formeln für π 1,..., π 8 δ 1 = π 6 π 2 und gleichzeitig δ 1 = π 7 π 3 δ 1 nicht eindeutig berechenbar keine eindeutige IKQ-Schätzung für δ 1 354

27 Fazit der 3 Modelle: Im System (1) und (2) sind alle strukturellen Parameter eindeutig bestimmbar Im System (9) und (10) sind nur die strukturellen Parameter γ, δ 1 eindeutig bestimmbar Im System (13) und (14) sind nur die strukturellen Parameter α, β 1, β 2, β 3 eindeutig bestimmbar 355

28 Definition 11.3: (Identifikation) (a) Strukturelle Gleichungen, deren Parameter eindeutig bestimmbar sind, heißen genau identifiziert. (b) Strukturelle Gleichungen, deren Parameter aus Mangel an verbleibenden Bestimmungsgleichungen nicht bestimmbar sind, heißen unteridentifiziert. (c) Strukturelle Gleichungen, deren Parameter aufgrund eines Überflusses an Bestimmungsgleichungen nicht eindeutig bestimmbar sind, heißen überidentifiziert. 356

29 Offensichtlich: Bestimmung der Identifikationsart technisch aufwendig Jetzt: Kriterium zur Bestimmung der Identifikationsart (einfaches Kriterium, aber nicht immer exakt) Dazu: Unterscheidung aller Modellvariablen in system-endogene Variablen system-exogene Variablen (auch prädeterminierte oder vorherbestimmte Variablen) 357

30 Definition 11.4: (Exogene, endogene Variablen) (a) System-exogene Variablen sind Größen, deren Werte außerhalb des Gleichungssystems festgelegt werden. (b) System-endogene Variablen sind Größen, deren Werte innerhalb des Gleichungssystems bestimmt werden. Bemerkungen: [I] Die konstanten Glieder in einer oder mehreren Regressionsgleichungen werden als eine einzige exogene Variable betrachtet (Einser-Spalte in der X-Matrix) 358

31 Bemerkungen: [II] Exogene Größen im erweiterten Werbung-Absatz-Modell: das konstante Glied die Variablen p i, q i, i Endogene Größen im erweiterten Werbung-Absatz-Modell: die Variablen a i, w i Entscheidung, ob eine Variable endogen oder exogen ist, fällt in praxi oft schwer: wird vorgegeben durch ökonomische Theorie liegt im Ermessen des Modellbauers 359

32 Bezeichnungen: K ges = Anzahl der exogenen Variablen im gesamten Gleichungssystem K = Anzahl der exogenen Variablen in der betrachteten Gleichung M = Anzahl der endogenen Variablen in der betrachteten Gleichung Jetzt: Notwendige Bedingung für genaue bzw. Überidentifiziertheit 360

33 Satz 11.5: (Notwendige Bedingung) Falls eine Gleichung eines simultanen Gleichungssystems (a) genau identifiziert ist, so gilt K ges K = M 1, (b) überidentifiziert ist, so gilt K ges K > M 1. Bemerkungen: [I] Es gibt Gleichungssysteme mit unteridentifizierten Gleichungen für die gilt K ges K M 1 Aus der Aussagenlogik folgt jedoch: Falls für eine Gleichung K ges K < M 1 gilt, so muss diese Gleichung unteridentifiziert sein (hinreichende Bedingung für Unteridentifiziertheit) 361

34 Bemerkungen: [II] Eine hinreichende Bedingung für alle Arten von Identifiziertheit liefert das sogenannte Rangkriterium (vgl. Abschnitt ) Eine dem theoretisch exakten Rangkriterium ähnliche Identifikationsregel ist das Ordnungskriterium 362

35 Definition 11.6: (Ordnungskriterium) Das Ordnungskriterium klassifiziert eine Gleichung eines simultanen Gleichungssystems (a) als unteridentifiziert, falls K ges K < M 1, (b) als genau identifiziert, falls K ges K = M 1, (c) als überidentifiziert, falls K ges K > M 1. Bemerkungen: [I] Das Ordnungskriterium ist nicht immer exakt (vgl. 1. Bemerkung nach Satz 11.5, Folie 361) 363

36 Bemerkungen: [II] Die Fälle, in denen das Ordnungskriterium versagt, d.h. tatsächlich unterindentifizierte Gleichungen als genau oder überidentifiziert eingestuft werden, treten in praxi selten auf in praxi wird oft das einfache Ordnungskriterium dem komplizierter zu bestimmendem Rangkriterium vorgezogen (unter Hinnahme eines geringen Fehlerrisikos) 364

37 Bemerkungen: [III] K ges K ist die Anzahl der in der betrachteten Gleichung fehlenden exogenen Variablen M 1 ist die Anzahl der auf der rechten Seite auftauchenden endogenen Variablen das Ordnungskriterium vergleicht innerhalb einer Gleichung die Zahl ausgeschlossener exogener Variablen mit der Zahl rechtsseitiger endogener Variablen 365

38 Beispiele für das Ordnungskriterium: [I] Ursprüngliches Werbung-Absatz-Modell Gleichung (1): K ges = 3, K = 2, M = 2 K ges K = 3 2 = 1 = M 1 Gleichung (1) ist genau identifiziert Gleichung (2): K ges = 3, K = 2, M = 2 K ges K = 3 2 = 1 = M 1 Gleichung (2) ist genau identifiziert 366

39 Beispiele für das Ordnungskriterium: [II] Verkleinertes Werbung-Absatz-Modell Gleichung (9): K ges = 2, K = 2, M = 2 K ges K = 2 2 = 0 < 1 = M 1 Gleichung (9) ist unteridentifiziert Gleichung (10): K ges = 2, K = 1, M = 2 K ges K = 2 1 = 1 = M 1 Gleichung (10) ist genau identifiziert 367

40 Beispiele für das Ordnungskriterium: [III] Erweitertes Werbung-Absatz-Modell Gleichung (13): K ges = 4, K = 3, M = 2 K ges K = 4 3 = 1 = M 1 Gleichung (13) ist genau identifiziert Gleichung (14): K ges = 4, K = 2, M = 2 K ges K = 4 2 = 2 > 1 = M 1 Gleichung (10) ist überidentifiziert 368

41 11.4 Zweistufige KQ-Methode Fazit: Ist eine Gleichung des GLS genau identifiziert, so können alle strukturellen Parameter dieser Gleichung mit der IKQ-Methode konsistent geschätzt werden unteridentifiziert, dann sind die strukturellen Parameter dieser Gleichung nicht konsistent schätzbar überidentifiziert, dann liefert die IKQ-Methode für die strukturellen Parameter dieser Gleichung keine eindeutigen Schätzer 369

42 Jetzt: Es gibt eine allgemeine Schätzmethode, die zweistufige KQ- Methode (ZSKQ-Methode), welche für genau identifizierte Gleichungen dieselben Ergbenisse liefert wie die IKQ-Methode für überidentifizierte Gleichungen eindeutige und konsistente Schätzer liefert Bemerkung: Vgl. den Zusammenhang mit der allgemeinen IV-Schätzung für Einzelgleichungen in Kapitel 9, Folien 304 ff. 370

43 1. Stufe der ZSKQ-Schätzung: [I] Betrachte erweitertes Werbung-Absatz-Modell a i = α + β 1 w i + β 2 p i + β 3 i + u i (17) w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i (18) mit der überidentifizierten Gleichung (18) a i und v i sind kontemporär korreliert KQ-Schätzer sind nicht-konsistent Führe allgemeine IV-Schätzung durch 371

44 1. Stufe der ZSKQ-Schätzung: [II] Mögliche Instrumentvariable für a i : lineare Kombination aller system-exogenen Variablen (Grund: exogene Variablen sind unabhängig von v i ) System-exogene Variablen: p i, i, q i, konstanter Term Instrumentvariable hat die Form z i = µ 1 + µ 2 p i + µ 3 i + µ 4 q i mit optimalen Parametern µ 1,..., µ 4 (möglichst hohe Korrelation zu a i ) 372

45 1. Stufe der ZSKQ-Schätzung: [III] Ermittlung der optimalen Linearkombination über KQ- Schätzung der reduzierten Form (15) für a i a i = µ 1 + µ 2 p i + µ 3 i + µ 4 q i + u i Optimale Parameterwerte lauten also µ 1 = ˆπ 1,..., µ 4 = ˆπ 4 gesuchte Instrumentvariable z i ist somit bzw. mit z i = ˆπ 1 + ˆπ 2 p i + ˆπ 3 i + ˆπ 4 q i z i = â i â i = ˆπ 1 + ˆπ 2 p i + ˆπ 3 i + ˆπ 4 q i 373

46 2. Stufe der ZSKQ-Schätzung: Möglich wäre nun klassische IV-Schätzung (vgl. Definition 9.7, Folie 292) man erhält ˆγ KIV, ˆδ 1 KIV, ˆδ 2 KIV Allerdings gilt bei simultanen Gleichungssystemen aus der Regression KIV-Schätzer = KQ-Schätzer d.h. ˆγ KIV = ˆγ KQ, w i = γ + δ 1 â i + δ 2 q i + v i (19) ˆδ KIV 1 = ˆδ KQ 1, ˆδ KIV 2 = ˆδ KQ 2 374

47 Definition 11.7: (Zweistufige KQ-Schätzer) Die gewöhnlichen KQ-Schätzer der Gleichung (19) heißen Zweistufige-KQ-Schätzer (ZSKQ-Schätzer). Bemerkung: Da die ZSKQ-Schätzer mit den (klassischen) IV-Schätzern übereinstimmen, sind die ZSKQ-Schätzer konsistent 375

48 Zusammenfassendes Beispiel: [I] Erweitertes Werbung-Absatz-Modell struktureller Form a i = α + β 1 w i + β 2 p i + β 3 i + u i (20) w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i (21) und reduzierter Form a i = π 1 + π 2 p i + π 3 i + π 4 q i + u i (22) w i = π 5 + π 6 p i + π 7 i + π 8 q i + vi (23) (vgl. Folien ) 376

49 Zusammenfassendes Beispiel: [II] Wissen aufgrund des Ordnungskriteriums Gleichung (20) ist genau identifiziert Gleichung (21) ist überidentifiziert Schätzung der überidentifizierten Gleichung (21) mit ZSKQ- Methode 377

50 Dependent Variable: ABSATZ Method: Least Squares Date: 01/14/05 Time: 18:54 Sample: 1997:1 2002:4 Included observations: 24 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C WIRKSTOFFPREIS I ANZEIGENPREIS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Zusammenfassendes Beispiel: [III] 1. Stufe: KQ-Schätzung von (22) liefert IV z i = â i = p i i q i 378

51 Zusammenfassendes Beispiel: [IV] 2. Stufe: KQ-Schätzung von w i = γ + δ 1 â i + δ 2 q i + v i liefert (konsistente) ZSKQ-Schätzer ˆγ ZSKQ = , (vgl. EViews-Output auf Folie 380) ˆδ ZSKQ 1 = , ˆδ ZSKQ 2 =

52 Dependent Variable: WERBEANZEIGEN Method: Least Squares Date: 01/14/05 Time: 19:00 Sample: 1997:1 2002:4 Included observations: 24 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C Z ANZEIGENPREIS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

53 11.5 Beispiele simultaner Gleichungssysteme Beispiel 1: (GLS mit Lag-Variablen) [I] Betrachte Werbung-Absatz-Modell Vermutung: Werbeumfang der Vorperiode w i 1 beeinflusst aktuellen Absatz a i Absatz der Vorperiode a i 1 beeinflusst aktuellen Werbeumfang w i Modell: a i = α + β 1 w i + β 2 p i + β 3 w i 1 + u i (24) w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + δ 3 a i 1 + v i (25) 381

54 Beispiel 1: [II] a i 1 und w i 1 sind zum Zeitpunkt i prädeterminiert (d.h. system-exogen) System-endogene Variablen: a i, w i System-exogene Variablen: Konstante, p i, q i, a i 1, w i 1 Ordnungskriterium: Für beide Gleichungen gilt: K ges = 5, K = 3, M = 2 K ges K = 2 > 1 = M 1 beide Gleichungen sind überidentifiziert Parameterschätzungen über ZSKQ-Methode (Übungsaufgabe) 382

55 Beispiel 2: (Keynesianisches Makromodell) [I] Für i = 1,..., N ist C i = α + β Y i + u i (26) Y i = C i + I i (27) mit C = Konsum, Y = Einkommen, I = Investitionen (vgl. Folie 298) Besonderheit: Gleichung (27) enthält keine Störgröße keine Parameter 383

56 Beispiel 2: [II] Wissen aus Kapitel 9, Folien : Separate KQ-Schätzung von (26) ist nicht-konsistent Identifikation (Ordnungskriterium) (27) enthält keine Parameter Für (26) gilt: K ges = 2, K = 1, M = 2 K ges K = 1 = M 1 (26) ist genau identifiziert Parameterschätzung über IKQ- oder ZSKQ-Methode 384

57 11.6 Matrixalgebraische Darstellung Jetzt: Formale Matrix-Darstellung simultaner GLS Strukturelle Form Notation: [I] Betrachte simultanes GLS mit M Gleichungen Bezeichnung der M system-endogenen Variablen: y 1,..., y M bzw. y m mit m = 1,..., M 385

58 Notation: [II] Bezeichnung der K ges = K + 1 system-exogenen Variablen: wobei x 0, x 1,..., x K bzw. x k mit k = 0, 1,..., K x 0 = (Einser-Spalte der X-Matrix)

59 Notation: [III] Gleichung m des Systems: mit y m = α m x 0 + β 1m x 1 + β 2m x β Km x K +γ 1m y γ m 1m y m 1 + γ m+1m y m γ Mm y M + u m (28) u m : Störvektor der Gleichung m α m : Konstante der Gleichung m β km : Koeffizient der k-ten exogenen Variablen in Gleichung m γ jm : Koeffizient der j-ten endogenen Variablen in Gleichung m 387

60 Notation: [IV] Vertauschen der Seiten und Subtraktion von y m auf beiden Seiten von (28) liefert mit 0 0 N 1 und γ mm = 1 γ 1m y 1 + γ 2m y γ Mm y M + α m x 0 +β 1m x 1 + β 2m x β Km x K + u m = 0 (29) Alle M Gleichungen ergeben die strukturelle Form γ 11 y γ M1 y M + α 1 x 0 + β 11 x β K1 x K + u 1 = 0 γ 12 y γ M2 y M + α 2 x 0 + β 12 x β K2 x K + u 2 =. 0 γ 1M y γ MM y M + α M x 0 + β 1M x β KM x K + u M = 0 388

61 Annahmen bzgl. der Störvektoren u 1,..., u M : u 1,..., u M erfüllen alle 4 B-Annahmen Zulassung kontemporärer Korrelation zwischen den Störvektoren verschiedener Gleichungen (vgl. Folie 334) formale Darstellung: Cov(u m ) = E(u m u m ) = σ2 m I N (m = 1,..., M) E(u m u n) = σ mn I N (m = n, m, n = 1,..., M) 389

62 Matrixdarstellung: [I] Zusammenfassung der M Gleichungen der strukturellen Form von Folie 388 in Matrixform Definiere die (N M) bzw. (N K + 1)-Matrizen Y [ y 1 y 2 y M ] = X [ x 0 x 1 x 2 x K ] = y 11 y 12 y 1M y 21 y 22 y 2M.... y N1 y N2 y NM 1 x 11 x 21 x K1 1 x 12 x 22 x K x 1N x 2N x KN 390

63 Matrixdarstellung: [II] Definiere für die m-te Systemgleichung die (M 1) bzw. (K + 1 1) Parametervektoren (m = 1,..., M) γ m γ 1m γ 2m. γ Mm strukturelle Form des GLS und β m α m β 1m β 2m. β Km Yγ 1 + Xβ 1 + u 1 = 0 N 1 Yγ 2 + Xβ 2 + u 2 =. 0 N 1 (30) Yγ M + Xβ M + u M = 0 N 1 391

64 Matrixdarstellung: [III] Noch kompaktere Darstellung der strukturellen Form: Y [ γ 1 γ 2 γ M ] + X [ β1 β 2 β M ] + [ u 1 u 2 u M ] = 0 N M (31) (Nebeneinander-Anordnung der M Gleichungen aus (30)) 392

65 Matrixdarstellung: [V] Weitere kompaktisierende Notationen: γ 11 γ 12 γ 1M Γ [ ] γ 1 γ 2 γ γ M = 21 γ 22 γ 2M.... γ M1 γ M2 γ MM (32) B [ β 1 β 2 β M ] = α 1 α 2 α M β 11 β 12 β 1M β 21. β 22.. β 2M. β K1 β K2 β KM (33) 393

66 Matrixdarstellung: [VI] u 11 u 12 u 1M U [ ] u u 1 u 2 u M = 21 u 22 u 2M.... u N1 u N2 u NM (34) Darstellung der strukturellen Form: YΓ + XB + U = 0 N M (35) 394

67 Beispiel: [I] Erweitertes Werbung-Absatz-Modell (i = 1,..., N) a i = α + β 1 w i + β 2 p i + β 3 i + u i w i = γ + δ 1 a i + δ 2 q i + v i Matrizen für Darstellung in der Form (35) lauten: Y = a 1 w 1 a 2. w 2. a N w N, Γ = [ ] 1 δ1 β 1 1, 395

68 Beispiel: [II] 1 p 1 1 q 1 1 p X = 2 2 q p N N q N, B = α γ β 2 0 β δ 2 u 1 v 1 u, U = 2 v 2.. u N v N (Herleitung: vgl. Übung) 396

69 Reduzierte Form Jetzt: Auflösung der strukturellen Form (35), so dass auf der linken Seite die endogenen Variablen stehen auf der rechten Seite nur exogene Variablen stehen 397

70 Strukturelle Form (35) lautet: mit der YΓ + XB + U = 0 N M (N M)-Matrix Y (enthält endogene Variablen) (N K + 1)-Matrix X (enthält exogene Variablen) (M M)-Parameter-Matrix Γ (K + 1 M)-Parameter-Matrix B (N M)-Störgrößen-Matrix U 398

71 Man beachte: (M M)-Matrix Γ ist quadratisch und regulär es existiert die Inverse Γ 1 Rechtsseitige Multiplikation der strukturellen Form (35) mit Γ 1 und Umstellen liefert Y = XBΓ 1 UΓ 1 (36) 399

72 Notation: [I] Definiere (K + 1 M)-Matrix π 01 π 02 π 0M Π BΓ 1 π = 11 π 12 π 1M.... π K1 π K2 π KM (Π ist eine reine Parameter-Matrix) = [ π 1 π 2 π M ] Definiere (N M)-Matrix V UΓ 1 = v 11 v 12 v 1M v 21. v 22.. v 2M. v N1 v N2 v NM (V ist die Störgrößen-Matrix) = [ v 1 v 2 v M ] 400

73 Notation: [II] die Form (36) geht über in Y = XΠ + V (37) bzw. formuliert als M Gleichungen y 1 = Xπ 1 + v 1 (38) y 2 = Xπ 2 + v 2 (39). y M = Xπ M + v M (40) 401

74 Offensichtlich: Auf der linken Seite von (37) bzw. (38) bis (40) erscheinen nur endogene Variablen Auf der rechten Seite von (37) bzw. (38) bis (40) erscheinen nur exogene Variablen und Störgrößen (37) bzw. (38) bis (40) ist die reduzierte Form des GLS Bemerkung: Die reduzierten Parameter der Gleichung m befinden sich im Parametervektor π m 402

75 Schätzung: Die M Gleichungen (38) bis (40) können separat KQ-geschätzt werden Für die KQ-Schätzung der Gleichung m (m = 1,..., M) gilt π m = (X X) 1 X y m (41) 403

76 Kompaktere Darstellung: Nebeneinander-Anordnung der M Schätzformeln (41) [ π 1 π 2 π M ] = (X X) 1 X [ y 1 y 2 y M ] Mit der Definition Π [ π 1 π 2 π M ] ergibt sich die kompakte Schätzformel Π = (X X) 1 X Y (42) 404

77 Identifikation einer Gleichung Frage: Ist Gleichung m des strukturellen Systems identifiziert? Formale Betrachtung: [I] Betrachte den Term (vgl. Folie 400) Π = BΓ 1 (43) mit den Definitionen (32) und (33) B = [ β 1 β 2 β M ] und Γ = [ γ 1 γ 2 γ M ] von Folie

78 Formale Betrachtung: [II] Rechtsseitige Multiplikation von (43) mit Γ liefert Π [ γ 1 γ 2 γ M ] = [ β1 β 2 β M ] (M Gleichungen) die Form für Einzelgleichung m lautet Πγ m = β m (44) Zusammenhang zwischen strukturellen Parametern der Einzelgleichung m (in γ m, β m ) und allen reduzierten Parametern (in Π) 406

79 Problem der Identifikation: Ist mit bekanntem Π Rückschluss auf unbekannte Vektoren γ m und β m möglich? Zunächst: Ordnungskriterium (Definition 11.6, Folie 363) klassifiziert Gleichung m des Systems als unter-, genau, überidentifiziert anhand der (Variablen)Anzahlen K ges, K m, M m Ordnungskriterium ist nicht immer exakt Exaktes Kriterium für Identifikationsart: Zusammenfassung aus (einfachem) Rangkriterium und Ordnungskriterium 407

80 Einfaches Rangkriterium: [I] Zusammenfassung aller struktureller Parameter des GLS in der Matrix γ 11 γ 21 γ M1 α 1 β 11 β K1 [ Γ B ] γ = 12 γ 22 γ M2 α 2 β 12 β K γ 1M γ 2M γ MM α M β 1M β KM Zeile m von [Γ B ] enthält alle strukturellen Parameter der Gleichung m 408

81 Einfaches Rangkriterium: [II] Erzeugung der Matrix R aus [Γ B ]: Betrachte Zeile m von [Γ B ] Streiche alle Spalten von [Γ B ], bei denen in Zeile m keine Null steht Streiche Zeile m aus [Γ B ] dies ist die (M 1) (K ges K m + M M m )-Matrix R Das einfache Rangkriterium betrachtet den Rang der Matrix R [rang(r)] und vergleicht rang(r) mit M 1 409

82 Bemerkungen: Zum Konzept des Ranges einer Matrix, vgl. Ökonometrie I, Abschnitt 2.3 Berechnung von rang(r) mit geeigneter Software (z.b. EViews, Mathematica etc.) Jetzt: Zusammenfassung von einfachem Rangkriterium und Ordnungskriterium zu einer exakten Identifikationsregel 410

83 Definition 11.8: (Rangkriterium) Die Gleichung m eines simultanen GLS ist (a) genau dann unteridentifiziert, wenn rang(r) < M 1 ist. (b) genau dann genau identifiziert, wenn rang(r) = M 1 und K ges K m = M m 1 gilt. (c) genau dann genau überidentifiziert, wenn rang(r) = M 1 und K ges K m > M m 1 gilt. 411

84 Schätzung mit der IKQ-Methode Annahme: Gleichung m des strukturellen Systems sei genau identifiziert Yγ m + Xβ m + u m = 0 N 1 412

85 Dann: [I] Bildung der reduzierten Form des GLS Y = XΠ + V bzw. formuliert als M Einzelgleichungen y 1 = Xπ 1 + v 1 y 2 = Xπ 2 + v 2. y M = Xπ M + v M 413

86 Dann: [II] Gewöhnliche KQ-Methode liefert Schätzwerte aller reduzierten Parameter in der Matrix Π Berechnung der Schätzwerte für die strukturellen Parametervektoren γ m und β m aus den Schätzwerten Π über die Beziehung (44) von Folie 406: Πγ m = β m 414

87 Bemerkungen: Die IKQ-Methode ist konsistent Die IKQ-Methode liefert keine Schätzungen für unter- bzw. überidentifizierte Gleichungen 415

88 Schätzung mit der ZSKQ-Methode Annahme: Gleichung m des strukturellen Systems sei überidentifiziert Yγ m + Xβ m + u m = 0 N 1 (45) 416

89 Vorbereitende Notation: [I] Zunächst Umordnung der Matrix Y zu mit Y m = [ y m Y (1) m Y (2) m ] y m : endogene Variable der zu schätzenden Gleichung m Y (1) m : weitere in Gleich. m enthaltene endogene Variablen Y (2) m : in Gleichung m nicht enthaltene endogene Variablen 417

90 Vorbereitende Notation: [II] Analoge Umordnung des Parametervektors γ m zu γ m = [ 1 γ (1) m 0 ] mit 1 = γ mm : Parameter für y m γ (1) m : Parameter für endogene Variablen aus Y m (1) 0: (Null)Parameter für fehlende endogene Variablen in m 418

91 Vorbereitende Notation: [III] Gleichung (45) geht über in [ y m Y m (1) Y (2) m ] 1 γ (1) m 0 + Xβ m + u m = 0 N 1 Ausmultiplizieren und Auflösen nach y m ergibt y m = Y (1) m γ (1) m + Xβ m + u m = [ Y (1) m X ] [ γ (1) m β m ] + u m (46) 419

92 1. Stufe der ZSKQ-Methode: [I] Bestimmung der optimalen Linearkombination der Instrumentvariablen über KQ-Schätzung der reduzierten Form (vgl. Folie 373) y 1 = Xπ 1 + v 1 y 2 = Xπ 2 + v 2. y M = Xπ M + v M Zusammenfassung der KQ-Schätungen in der Matrix Π = [ π 1 π 2 π M ] 420

93 1. Stufe der ZSKQ-Methode: [III] Umordnung von Π analog zur Umordnung von Y: mit Π m = [ π m Π (1) m Π (2) m π m : Schätzwerte der reduzierten Form der Gleichung m Π (1) m : Schätzwerte für die weiteren in Gleichung m der strukturellen Form enthaltenen endogenen Variablen Π (2) m : Schätzwerte für alle nicht in Gleichung m der strukturellen Form enthaltenen endogenen Variablen ] 421

94 1. Stufe der ZSKQ-Methode: [IV] Berechnung der geschätzten Werte von Y (1) m : Ŷ (1) m = X Π (1) m 2. Stufe der ZSKQ-Methode: [I] Ersetzung von Y (1) m liefert in der strukturellen Form (46) durch Ŷ(1) m y m = [ [ ] Ŷ(1) m X γ (1) m β m ] + u m (47) 422

95 2. Stufe der ZSKQ-Methode: [II] KQ-Schätung von (47) liefert die ZSKQ-Schätzer für die Parameter der Gleichung m der strukturellen Form (46): γ (1),ZSKQ m β ZSKQ m = [ [ Ŷ(1) m X ] [ Ŷ (1) m X ] ] 1 [ Ŷ(1) m X ] ym = Ŷ(1) m Ŷ(1) m Ŷ(1) m X Ŷ(1) m X X X 1 [ Ŷ(1) m y m X y m ] (48) Bemerkung: Die ZSKQ-Schätzer aus (48) sind konsistent 423