Biometrische und Ökonometrische Methoden I! Lösungen 8

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN - WEIHENSTEPHAN WS 97/98 MATHEMATIK UND STATISTIK, INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM Biometrische und Ökonometrische Methoden I! Lösungen 8 MTB > Retrieve 'H:\STUDENT\MINITAB\GAEU.MTW'. Retrieving worksheet from file: H:\STUDENT\MINITAB\GAEU.MTW Worksheet was saved on 1/ 9/1997 a) Bei der stufenweisen Regression kommt im ersten Schritt diejenige Variable in die Regressionsgleichung, die mit der Zielgröße die betragsmäßig größte Korrelation und damit zugleich das höchste Bestimmtheitsmaß B = r 2 hat. Das ist C9, also die FamAK. MTB > Correlation 'RohEK' 'RindGV'-'Hack' Correlations (Pearson) RohEK RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart. Rueben Futter KuhGV RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart Rueben Futt KuhGV Hack b) Im nächsten Schritt wird diejenige Variable in die Regressionsgleichung aufgenommen, die mit der Zielgröße die betragsmäßig größte partielle Korrelation, unter Konstanthaltung der bereits in die Gleichung aufgenommenen Variablen C9 (FamAK), hat. Das ist hier C8, also die GesAK. r 18.9 ' r 18!r 19 r 89 (1!r 2 19 ) (1!r 2 89 ) ' 0.428!0.709@0.828 (1! )@(1& ) '!0.402 c) Nachdem als erste Variable FamAK in C9 in die Gleichung aufgenommen wurde, kann man auch im zweiten Schritt für jede verbleibende Einflußgröße jeweils eine zweidimensionale Regression durchführen und mit dem partiellen F-Test untersuchen, ob eine Hinzunahme der entsprechenden Variable das bereits bestehende eindimensionale Modell verbessern würde. Entsprechend dem partiellen F-Test kann man einen t-test des partiellen Regressionskoeffizienten durchführen bzw. am zugehörigen p-wert die Signifikanz feststellen. Falls mehrere Variablen die Voraussetzungen erfüllen, wird diejenige mit dem größten partiellen F-Wert bzw. t-wert oder äquivalent mit dem kleinsten p-wert neu in die Gleichung aufgenommen, da sie den größten Einfluß auf die Zielvariable hat. Äquivalent ist die Untersuchung der standardisierten partiellen Regressionskoeffizienten b i ' = b s x / s y. Die Variable in GesAK in C8 hat den betragsmäßig größten t-wert (4.09) mit dem kleinsten p-wert und auch den größten standardisierten partiellen Regressionskoeffizienten (0.5085). GesAK hat also den größten signifikanten Einfluß auf die eindimensionale Regressionsgleichung mit der FamAK und wird deshalb als nächste aufgenommen.

2 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 8 Seite 2 MTB > Regress 'RohEK' 2 'FamAK' 'GesAK'; SUBC> Constant. Regression Analysis The regression equation is RohEK = FamAK GesAK Predictor Coef StDev T P Constant FamAK GesAK d) Diese Vorgehensweise wiederholt sich bei der stufenweisen Regression in jedem neuen Schritt. Statt nun in jedem Schritt von Hand zu bestimmen, welche Variable als nächstes in das Modell aufgenommen werden soll, empfiehlt sich die Verwendung des Befehls Stepwise, das die schrittweise Regression automatisch durchführt. Gesteuert wird die Iteration durch die beiden Variablen F to enter und F to remove. Die stufenweise Regression endet, wenn keine neue Variable mehr einen F-Wert größer als F to enter bzw. keine bereits aufgenommene Variable einen F-Wert kleiner als F to remove hat. Es kann durchaus passieren, daß bei Aufnahme einer neuen Variablen, eine oder mehrere in der alten Gleichung befindliche Größen im neuen Regressionsmodell nun einen kleineren F-Wert als F to remove haben. Die Variable mit dem kleinsten F-Wert wird dann wieder aus der Gleichung entfernt. MTB > Stepwise 'RohEK' 'RindGV'-'Hack'; SUBC> FEnter 4.0; F-to-Enter: 4.00 F-to-Remove: 4.00 Response is RohEK on 9 predictors, with N = 89 Step Constant FamAK T-Value GesAK T-Value Hack T-Value RindGV 3.2 T-Value 2.57 S R-Sq Die Regressionsgleichung beinhaltet also vier signifikante Einflußgrößen. Es gibt keine von den noch übrigen Variablen, die beim partiellen F-Test eine Testgröße größer als 4 hat bzw. keine der verbleibenden Variablen hat einen t-wert (betragsmäßig) größer als 4'2.

3 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 8 Seite 3 e) Die resultierende vierdimensionale Regressionsgleichung RohEK = FamAK GesAK Hack RindGV erklärt 72.5% der gesamten Variation. Alle t-testgrößen für die Koeffizienten b 1! b 4 sind dem Betrag nach größer als , die 97.5%-Fraktile der t-verteilung bei 87 Freiheitsgraden. Somit sind sie signifikant verschieden von 0 auf " = 5%. MTB > InvCDF 0.975; SUBC> T 87. Inverse Cumulative Distribution Function Student's t distribution with 87 DF P( X <= x) x Leider wird keine Testgröße für den Koeffizienten b 0 = 160 ausgegeben, so daß man diesen per Hand berechnen muß. Alternativ rechnet man mit MINITAB die vierdimensionale Regression mit den von der schrittweisen Regression aufgenommenen Variablen. MTB > Regress 'RohEK' 4 'FamAK' 'GesAK' 'Hack' 'RindGV'; SUBC> Constant. Regression Analysis The regression equation is RohEK = FamAK GesAK Hack RindGV Predictor Coef StDev T P Constant FamAK GesAK Hack RindGV S = R-Sq = 72.5% R-Sq(adj) = 71.2% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Error Total Source DF Seq SS FamAK GesAK Hack RindGV In diesem Output sind die p-werte der Koeffiziententests direkt angegeben. Auf 5% Signifikanzniveau ist also der Achsenabschnitt der Hyperebene nicht verschieden von Null.

4 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 8 Seite 4 f) In d) fragt die Routine, ob man weitere Subkommandos angeben will. MTB > Stepwise 'RohEK' 'RindGV'-'Hack'; SUBC> FEnter 4.0; [...] More? (Yes, No, Subcommand, or Help) SUBC> fenter 3; SUBC> fremove 3. Step 5 Constant FamAK 54.6 T-Value GesAK T-Value Hack 23.6 T-Value 3.92 RindGV 4.5 T-Value 3.16 Futt T-Value S 187 R-Sq Wenn man F to enter (und F to remove) auf 3 herabsetzt, wird zusätzlich die Variable Futter in das Regressionsmodell aufgenommen. Allerdings ist der Koeffizient b 5 =!5.8 auf " = 5% nicht signifikant von 0 verschieden, denn die t-tesgröße von ist betragsmäßig nicht größer als die 97.5%-Fraktile der t-verteilung bei 87 Freiheitsgraden von Dies liegt natürlich am kleineren Wert von F to enter, denn 3' Es sei hier noch einmal erinnert, daß F 1,n;1!" ' t n;1!"/2.

5 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 8 Seite 5 g) MTB > Stepwise 'RohEK' 'RindGV'-'Hack'; SUBC> Enter 'RindGV'-'Hack'; SUBC> FEnter ; F-to-Enter: F-to-Remove: 4.00 Response is RohEK on 9 predictors, with N = 89 Step Constant RindGV T-Value SchwGV T-Value GesAK T-Value FamAK T-Value Kart T-Value Rueben -4 T-Value Futt T-Value KuhGV T-Value Hack T-Value S R-Sq Auch die Rückwärtselimination liefert natürlich das optimale vierdimensionale Regressionsmodell wie unter d).