Invariance is bliss! Was ist algebraische Topologie?
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- Eduard Kaufer
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1 Invariance is bliss! Was ist algebraische Topologie? Clara Löh Universität Regensburg 29. Juli 2011
2 Was sind Invarianten? Clara Löh Was sind Invarianten? 2 / 17
3 Was sind Invarianten? Clara Löh Was sind Invarianten? 2 / 17
4 Was sind Invarianten? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen. Clara Löh Was sind Invarianten? 2 / 17
5 Überlebt Siegfried? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen; ihm stehen dazu die Schwerter Notung, Gram und Balmung zur Verfügung. Clara Löh Was sind Invarianten? 3 / 17
6 Überlebt Siegfried? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen; ihm stehen dazu die Schwerter Notung, Gram und Balmung zur Verfügung. Ein Hieb mit Notung entfernt genau 36 Köpfe des Drachen; genetisch bedingt wachsen dann jedoch 12 Köpfe nach. Gram entfernt genau 42 Köpfe, es wachsen 27 nach. Balmung entfernt genau 9 Köpfe, es wachsen 21 nach. Clara Löh Was sind Invarianten? 3 / 17
7 Überlebt Siegfried? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen; ihm stehen dazu die Schwerter Notung, Gram und Balmung zur Verfügung. Ein Hieb mit Notung entfernt genau 36 Köpfe des Drachen; genetisch bedingt wachsen dann jedoch 12 Köpfe nach. Gram entfernt genau 42 Köpfe, es wachsen 27 nach. Balmung entfernt genau 9 Köpfe, es wachsen 21 nach. Kann Blorx alle Köpfe von Siegfried abschlagen? Clara Löh Was sind Invarianten? 3 / 17
8 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
9 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Notung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 24 bzw. 36. Gram: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 15 bzw. 42. Balmung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 12 bzw. 9. Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
10 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Notung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 24 bzw. 36. Gram: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 15 bzw. 42. Balmung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 12 bzw. 9. Der Rest der Anzahl der Köpfe von Siegfried bei Division durch 3 ist also eine Invariante. Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
11 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Notung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 24 bzw. 36. Gram: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 15 bzw. 42. Balmung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 12 bzw. 9. Der Rest der Anzahl der Köpfe von Siegfried bei Division durch 3 ist also eine Invariante. Da Siegfried zu Beginn genau 100 Köpfe hat und 100 im Gegensatz zu 0 nicht durch 3 teilbar ist, kann Blorx den Drachen Siegfried nicht vollständig enthaupten! Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
12 Was sind Invarianten? Invarianten sind einfache mathematische Objekte (z.b. Zahlen) oder Eigenschaften, die sich unter gewissen Transformationen der betrachteten Objekte nicht oder nur kontrolliert ändern. Clara Löh Was sind Invarianten? 5 / 17
13 Was ist Topologie? Clara Löh Was ist Topologie? 6 / 17
14 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
15 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
16 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
17 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
18 Was ist Geometrie? Winkelsumme: 180 Grad Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
19 Was ist Geometrie? Winkelsumme: 180 Grad a 2 + b 2 = c 2 Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. b a c Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
20 Was ist Geometrie? Winkelsumme: 180 Grad a 2 + b 2 = c 2 Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. b a c Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
21 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
22 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
23 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
24 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
25 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
26 Wozu Topologie? Welche Form hat das Universum? Und wie können wir das überprüfen, ohne das Universum zu verlassen? Existenzaussagen für die Lösbarkeit gewisser Gleichungen Modellierung von kombinatorischen/diskreten Problemen; z.b. Einbettungs- und Färbungsprobleme für Graphen, untere Schranken für verteilte Algorithmen... Clara Löh Was ist Topologie? 9 / 17
27 Was ist algebraische Topologie? Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 10 / 17
28 Was ist algebraische Topologie? Problem Im allgemeinen ist es sehr schwer, herauszufinden, ob zwei gegebene topologische Objekte topologisch gleich sind oder nicht da es sehr viele topologische Transformationen gibt. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 10 / 17
29 Was ist algebraische Topologie? Idee Übersetzung der Topologie in ein starreres mathematische Gebiet. Algebraische Topologie: Topologie Algebra topologische Objekte algebraische Objekte topologische Transformationen algebraische Transformationen 2 Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 11 / 17
30 Beispiel: Die Euler-Charakteristik Zellenzerlegungen der Kugeloberfläche: Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 12 / 17
31 Beispiel: Die Euler-Charakteristik Zellenzerlegungen der Kugeloberfläche: Definition Die Euler-Charakteristik eines topologischen Raumes bezüglich einer Zellenzerlegung ist definiert als Anzahl der 0-dimensionalen Zellen (Ecken) Anzahl der 1-dimensionalen Zellen (Kanten) + Anzahl der 2-dimensionalen Zellen (Flächen)... Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 12 / 17
32 Topologische Invarianz der Euler-Charakteristik Satz Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante; insbesondere hängt sie nicht von der gewählten Zellenzerlegung ab! Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 13 / 17
33 Topologische Invarianz der Euler-Charakteristik Satz Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante; insbesondere hängt sie nicht von der gewählten Zellenzerlegung ab! Eulersche Polyederformel Für jede überkreuzungsfreie Einbettung eines Graphen G in die Ebene oder in die Kugeloberfläche gilt: 2 = Anzahl der Ecken von G Anzahl der Kanten von G + Anzahl der Flächen dieser Einbettung. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 13 / 17
34 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
35 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
36 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
37 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
38 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden ohne dass sich diese Straßen u berkreuzen oder Tunnel/Bru cken no tig sind.??? Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
39 Wie sieht der Planet Goleos aus? Welche Schlüsse können wir daraus über den Planeten Goleos ziehen???? Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 15 / 17
40 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
41 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
42 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Also beträgt die Anzahl der Flächen dieser Einbettung: 2 Ecken von G + Kanten von G = 2 (3 + 3) + (3 3) = 5. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
43 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Also beträgt die Anzahl der Flächen dieser Einbettung: 2 Ecken von G + Kanten von G = 2 (3 + 3) + (3 3) = 5. Andererseits hat jeder Kreis in G mindestens 4 Kanten, und jede Kante benachbart höchstens 2 Flächen. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
44 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Also beträgt die Anzahl der Flächen dieser Einbettung: 2 Ecken von G + Kanten von G = 2 (3 + 3) + (3 3) = 5. Andererseits hat jeder Kreis in G mindestens 4 Kanten, und jede Kante benachbart höchstens 2 Flächen. Also kann diese Einbettung von G höchstens 2 Kanten von G 4 Flächen besitzen. Widerspruch! = < 5 Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
45 Goleos kann keine Kugel oder Scheibe sein! Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 17 / 17
46 Goleos kann keine Kugel oder Scheibe sein! Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 17 / 17
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