Gepaarter und ungepaarter t-test. Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2014

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1 Gepaarter und ungepaarter t-test Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2014

2 Wdh: t-test für eine Stichprobe 1. Modell: X i ist eine kontinuierliche MessgrÄosse; X 1 ; : : : ; X n iid N (¹; ¾ 2 X ); ¾ X wird durch c¾ X geschäatzt 2. Nullhypothese: H 0 : ¹ = ¹ 0, Alternative: H A : ¹ 6= ¹ 0 (oder \<" oder \>") 3. Teststatistik: T = (X n ¹ 0 ) d¾ Xn = p n(xn ¹ 0 ) c¾ X = beobachtet erwartet geschäatzter Standardfehler : Verteilung der Teststatistik unter H 0 : T» t n 1 4. Signi kanzniveau: 5. Verwerfungsbereich fr die Teststatistik: K = ( 1; t n 1;1 2 ] [ [t n 1;1 2 ; 1) bei H A : ¹ 6= ¹ 0 ; K = ( 1; t n 1;1 ] bei H A : ¹ < ¹ 0 ; K = [t n 1;1 ; 1) bei H A : ¹ > ¹ 0 : 6. Testentscheid: Ä UberprÄufe, ob der beobachtete Wert der Teststatistik im Verwerfungsbereich liegt. 1

3 Mr. X Krebs

4 Zwei Krebstypen 1 Typ 1: Mild Chemotherapie nicht nötig 2 Typ 2: Schwer Chemotherapie nötig

5 Problem: Typ erst nach langer Zeit erkennbar?? 1 2 Jetzt Chemotherapie oder nicht?

6 Wie kann man verschiedene Arten von Krebs frühzeitig unterscheiden?

7 Typ 1 Typ 2 Vergleiche Krebszellen

8 Idee: Vergleiche Aktivität innerhalb der Zelle

9 Zentrales Dogma der Molekularbiologie Zelle GEN DNA mrna Protein

10 Entnehme mrna

11 Entnehme mrna

12 Nehme einen Microarray

13 Microarray: Zoom In

14 mrna auf Microarray

15 mrna auf Microarray

16 Auf dem Microarray

17 Voila: Ein Feuerwerk!

18 Helligkeit = Aktivität des Gens Gen 5 sehr aktiv

19 Helligkeit = Aktivität des Gens Gen 6 nicht aktiv

20 Für jeden Patienten ein Microarray Typ 1 Typ 2

21 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat

22 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat

23 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat Ist Gen 1 bei Typ 2-Tumorzellen signifikant aktiver? Falls ja: Gen 1 kann Typ1-Tumor und Typ-2 Tumor unterscheiden!

24 Falls ja: Gen 1 nicht aktiv Gen 1 aktiv Typ 1 Typ 2 Chemotherapie Chemotherapie

25 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat Ist Gen 1 bei Typ 2-Tumorzellen signifikant aktiver? Ungepaarter t-test

26 Ungepaarter t-test: 1/3 1. Modell: X 1 ; : : : ; X n iid» N (¹ X ; ¾ 2 ); Y 1 ; : : : ; Y m iid» N (¹ Y ; ¾ 2 ): 2. Nullhypothese: H 0 : ¹ X = ¹ Y : Alternative: H A : ¹ X 6= ¹ Y (zweiseitig) oder H A : ¹ X > ¹ Y (einseitig) oder H A : ¹ X < ¹ Y (einseitig) 25

27 Ungepaarter t-test: 2/3 3. Teststatistik: x = 1 n x i T = X n Y m S pool p 1=n + 1=m wobei S 2 pool = = 1 n + m 2 1 n + m 2 Ã X n (X i X n ) 2 + i=1! mx (Y i Y m ) 2 = i=1 (n 1)^¾ 2 x + (m 1)^¾ y 2 : Verteilung der Teststatistik unter H 0 : T» t n+m 2. 1 n 1 x i x 2 26

28 Ungepaarter t-test: 3/3 4. Signi kanzniveau: 5. Verwerfungsbereich fäur die Teststatistik: ( 1; t n+m 2;1 =2 ] [ [t n+m 2;1 =2 ; 1) bei Alternative H A : ¹ X 6= ¹ Y ; [t n+m 2;1 ; 1) bei Alternative H A : ¹ X > ¹ Y ; ( 1; t n+m 2;1 ] bei Alternative H A : ¹ X < ¹ Y : 6. Testentscheid: Entscheide, ob der beobachtete Wert der Teststatistik im Verwerfungsbereich der Teststatistik liegt. 27

29 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat n = 5, m = 4, x = 1.58, y = 2.43, σ x = 0.40, σ y = 0.41 Ungepaarter t-test

30 Happy End!

31 Happy End!

32 Gepaart vs. Ungepaart Bsp: Augeninnendruck; ein Auge behandelt, das andere nicht (gepaarter Test ist angebracht) Gemäss Vorraussetzungen dürfte auch ein ungepaarter Test angewendet werden Augendruck Ungepaart: Intuition Teststatistik: T = X Y σ X H 0 : μ X = μ Y Gepaart: Differenz D i = X i Y i Teststatistik T = D σ D links rechts 31

33 Gepaart vs. Ungepaart: Simulationsstudie H 0 : μ D = 0 bzw. H 0 : μ X = μ Y ; n=m=10 X~N 100, σ X 2, D~N 2, 1, Y = X + D ~ N(102, 1 + σ x 2 ) gepaarte Situation Der gepaarte t-test hat mehr Macht, wenn die Daten verrauscht sind. gepaart ungepaart X~N(100, 1) Y~N(102, 2) D~N(2, 1) X~N(100, 49) Y~N(102, 50) D~N(2, 1) 32

34 t-test falls Varianz in Gruppen unterschiedlich (aka Welch-Test) Grundidee identisch Teststatistik und Verteilung falls H 0 stimmt ist komplizierter Computer: Dieser Test ist meist der default t-test Praxis: Man sollte immer annehmen, dass die Varianz der Gruppen unterschiedlich ist; d.h., Welch-Test verwenden Prüfung: Um einfacher rechnen zu können, werden wir beim t-test gleiche Varianzen in den beiden Gruppen annehmen 33

35 Wa.dichte Mann-Whitney U-Test (aka Wilcoxon Rank-sum Test) Falls Daten nicht normalverteilt X i ~F, i = 1,, n; Y j ~G, j = 1,, m H 0 : F = G H A : F = G + δ (δ 0) (oder einseitig) (d.h., Verteilungen sind verschoben, haben aber gleiche From) Teststatistik: - Bilde Ränge über beide Gruppen hinweg - Falls Gruppen gleich gross sind, sollten Rangsummen etwa gleich sein - Falls Gruppen ungleich, sollten Rangsummen in einem gewissen Verhältnis stehen x 34

36 Bsp: Mann-Whitney U-Test Behandlung (B) und Kontrolle (K) je 2 Patienten Beobachtung: B: 1.2, 3.1; K: 5.9, 4.4 Gesamtrang: B: 1, 2; K: 4, 3 Rangsumme R in K: = 7 Falls H 0 stimmt sind alle Ränge in K gleich wahrscheinlich Ränge 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 R Z.B. für einseitigen Test: P R 7 = P R = 7 = P-Wert H 0 kann auf dem 5% Niveau nicht verworfen werden Praxis: Computer verwenden 35

37 Übersicht: Tests für ungepaarte Stichproben Test Annahmen n min (falls n = m) bei α = Macht für ein Beispiel (1) t (σ X = σ Y ) t (σ X σ Y ) MW U-Test σ X = σ Y X i ~N Y i ~N F, G haben gleiche Form iid pro Gruppe x x x x 2 57 % x x 2 56 % x x x 4 53 % (1): X i ~N μ X, σ 2, Y i ~N μ Y, σ 2, n = m = 10; H 0 : μ X = μ Y ; H A : μ X μ Y ; α = 0.05 Macht berechnet für konkrete Alternative: X i ~N 0,1, Y i ~N(1,1) 36

38 Multiples Testen Microarray Test mit m=1000 Genen 1000 t-tests auf dem 5% Sign.niveau Angenommen, kein Gen hat einen Effekt: Ca. 50 Tests (5% von 1000) werden trotzdem ein signifikantes Ergebnis liefern! 50 Gene werden als wichtig angegeben, obwohl sie gar nicht wichtig sind. Wie erzeugt man eine Liste von wirklich wichtigen Genen? 37

39 Multiples Testen: Bonferroni Korrektur Wollen eine konservative Liste mit der Eigenschaft: P(mind. ein Fehler 1. Art) α Bonferroni Korrektur: Teste jedes Gen mit Sign.niveau α m, statt α; m ist die Anzahl Gene Begründung: F i : Fehler 1. Art bei Gen i F 2 F 3 F 1 union bound : Gesamtfläche ist sicher kleiner als Summe der Einzelflächen m P F i i=1 m i=1 P F i = m i=1 α m = α Nachteil: Liste ist evtl. extrem konservativ (z.b. gar kein Gen enthalten) 38

40 Wiederholung: Hypothesentests Für Prüfung Eine Aufgabe: Binomialtest Eine Aufgabe: t-test und Vorzeichentest Test Was wird getestet Bsp Binomialtest t-test: Eine Stichprobe t-test: 2 gepaarte Stichproben Vorzeichentest t-test: 2 ungepaarte Stichproben Ist Anteil in Gruppe gleich π 0? Ist Erwartungswert in Gruppe gleich μ 0? Ist Erwartungswert in beiden Gruppen gleich? Ist Median in Gruppe gleich μ 0? Ist Erwartungswert in beiden Gruppen gleich? Wirksamkeit von Medikament Füllmenge in Getränkeflaschen Reaktionszeit von Hauptund Nebenhand Wie oben Aktivität von Gen XY bei Gesunden und Kranken 39