UNIVERSITEIT STELLENBOSCH UNIVERSITY

Transkript

1 UNIVERSITEIT STELLENBOSCH UNIVERSITY jou kennisvennoot your knowledge partner ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ê Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ËÙ Ú ÓÒ Ý Ò Ö Ò Ö ÚÓ Ò Ê Ö ÓÒ Ì ÔÖ ÒØ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Å Ø Ö Ó Ë Ò Ø Ø ËØ ÐÐ Ò Ó ÍÒ Ú Ö ØÝ ËÙÔ ÖÚ ÓÖ ÈÖÓ º ºź Î ÐÐ Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Å Ø Ñ Ø Ú ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ËØ ÐÐ Ò Ó Ñ Ö ¾¼¼

2 Ð Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ñ ØØ Ò Ø Ø Ð ØÖÓÒ ÐÐÝ Á Ð Ö Ø Ø Ø ÒØ Ö ØÝ Ó Ø ÛÓÖ ÓÒØ Ò Ø Ö Ò ÑÝ ÓÛÒ ÓÖ Ò Ð ÛÓÖ Ø Ø Á Ñ Ø ÓÛÒ Ö Ó Ø ÓÔÝÖ Ø Ø Ö Ó ÙÒÐ ØÓ Ø ÜØ Ò ÜÔÐ ØÐÝ ÓØ ÖÛ Ø Ø µ Ò Ø Ø Á Ú ÒÓØ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ò Ø ÒØ Ö ØÝ ÓÖ Ò Ô ÖØ Ù Ñ ØØ Ø ÓÖ Ó Ø Ò Ò ÒÝ ÕÙ Ð Ø ÓÒº Ë Ò ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ö ÓÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÔÝÖ Ø ¾¼¼ ËØ ÐÐ Ò Ó ÍÒ Ú Ö ØÝ ÐÐ Ö Ø Ö ÖÚ º

3 ËÙÑÑ ÖÝ ÁÒ Ø Ø Û ÒØÖÓ Ù Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ö ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ö ÜÔÖ Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ø Ö ÓÛÒ Ð Ø ÓÒ Ý ØÓÖ Ó Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üº ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Û Ò Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ó Ó ÒØ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ º Ç Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Ö ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ú Ò Ø ÐÐ ÒØ Ö Ü ÔØ Ø ÓÖ Ò Ø Û Ø Ý Ø Ø Ú ÐÙ º Ï ÔÖ ÒØ ÑÔÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ò Ø ÖÑ Ó ÓØ Ø ÐØ ÕÙ Ò Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ö Ö Ø Ö Þ Ý ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒØ Ø º Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓÓÐ ÓÖ ÓÙÖ ÛÓÖ Ø ÙÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ò Ó Ø ÓÒ Û Ø Ø ÞÓÙØ Ø ÓÖ Ñ ÐÔ Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ò ÜÔÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ò Ø Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒØ Ø º Í Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ù ÔÖ ÒØ Û ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ó Ø Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü 2I Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Ù Ó Ø Ò ÔÔÐ ØÓ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓÜ ÔÐ Ò º Ì ÓÒ ÔØ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ð Ó ÒÚ Ø Ø º ËÙ Ú ÓÒ Ñ Ù Ù ÐÐÝ Ù ØÓ Ò Ö Ø ÙÖÚ Ò ÙÖ Ö ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Û Ò Ø Ò Ø Ð Ø ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ ÖÚ Ø ÐÐ Ø Ø Ô Ó Ø Ù Ú ÓÒ ÔÖÓ º Ï ÓÛ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö

4 ËÍÅÅ Ê ØÖÓÒ ÐÝ Ð Ò ØÓ ÓØ Öº ÓÖ Û Ðй Ó Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò ¹ Ñ ÒØ Ñ Û Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÖÚ ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ ÐÐÓÛ Ò Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ò ØÙÖÒ ÑÔÐ Ù Ú ÓÒ Ñ ÓÒÚ Ö Ò º ËÔ Ð Þ Ò ÓÒÐÝ ØÓ Ø Û Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Û ÔÖ ÒØ ÓÑ ÛÓÖ Ð Ñ Ø Ó ÔÔÐ ÓÖ ÓØ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ó Ø Ò Ý Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÓÒ ØÖÙØ ØÓ Ø Ý Ø ÙÑ ÖÙÐ Û ÔÖÓÚ ÒÙÑ Ö Ð ÔÖÓÓ ØÓÛ Ö ÒÚ Ø Ø Ò Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ý Ù Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒº ÆÙÑ Ö Ð ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ý Ñ Ò Ó Ù Ú ÓÒ Ö Ô Ö Ð Ó ÔÖÓÚ º

5 ÇÔ ÓÑÑ Ò ÁÒ Ö Ø ÓÙ ÓÒ ØÛ Ú Ö Ò ÖÐ Ú Ö ÝÒ Ö ÙÒ Ó Ø Û Ð ÙÒ Û Ø Ù Ø ÖÙ Ö Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ú Ò Ù Û Ú Ò ÙÐÐ Ð ÙÖ ¹ ØÓÖ Ú Ò Ð Ñ ØÖ º Î Ö ÓÓÖ Ò ÓÑ Ø Ú Ö ÝÒ Ò Ñ Ö Ò Ö ÓÒ Ñ Ö Ñ ÓÐ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ Û ÖÚ Ò Ó ÒØ Ð Ñ ÒØ Ú Ò Ú Ö ÝÒ¹ Ò Ñ Ö º Î Ò ÓÒ Ö Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ú Ö ÝÒ Ö ÙÒ Ø Û Ð Ú Ö ÝÒ Ö ÙÒ Û Ø ÐÝ Ò ÒÙÐ Ý ÐÐ Ð Ø ÐÐ ÐÛ ÓÓÖ ÔÖÓÒ Û Ö ÙÐÐ Û Ö ½ ÒÒ Ñº ÇÒ ³Ò ÒÚÓÙ Ö Ø Ö Ö Ò Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø Ñ¹ Ñ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ö Ò Ø ÖÑ Ú Ò ÐØ ÖÝ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ð Ñ ØÖ º ÓÓÖ Ò Ø ÑÑ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ö Ñ ÓÐ ÛÓÖ Ö Ø Ö Ö ÙÖ Ö ÔÓÐ ÒÓÓÑ ÒØ Ø Ø º ³Ò Ð Ò Ö ØÙ Ö Ô Ú Ö ÓÒ Û Ö Ù Ð Ð ÓÖ ØÑ Û Ø Ø Ñ Ñ Ø ÞÓÙØ Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÐÔ ÓÑ ³Ò ÔÐ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ô Ð Ú Ö Ð Ñ Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ö ÔÓÐ ÒÓÓÑ ÒØ Ø Ø º Å Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö Ð ÓÖ ØÑ Ø Ð ÓÒ Ò Ò Ð Ñ Ò ÚÓÖÑ Ú Ò ³Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ö Ñ ÓÓÐ Û Ø ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ñ Ø Ð Ñ ØÖ 2I Ò Ö ÙÐØ Ø Û Ø Ó Ò Ú Ö ÖÝ ÛÓÖ Ò ØÓ Ô ÓÔ Ñ Ö¹ Ñ ÓÐ Û Ø ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ñ Ø ³Ò Ö Ð ØÛ Ú Ö Ò ÖÐ Ð Ø ÙÒ ÓÜ ÔÐ Ò µº ÓÒ ÔØ Ú Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ù Ú Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÛÓÖ ÓÓ ÓÒ Ö Ó º ËÙ Ú Ñ ÓÓ ÛÓÓÒÐ ÖÙ ÓÑ ÖÓÑÑ Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ò Ö Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ò Ò Ò¹ Ø ÔÙÒØ ÔÖ ÖÚ Ö ÛÓÖ Ý Ð Ø Ô Ú Ò Ú

6 ÇÈËÇÅÅÁÆ Ú Ù Ú ÔÖÓ º ÇÒ ØÓÓÒ Ò Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö ÒÑ Ö Ú Ö Ò º Î Ö ³Ò Ó Ó Ð Ñ ØÖ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ú Ö ÝÒ¹ Ò Ñ Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÓÓÖ Ò Ø ÑÑ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö Ò ÔÔ Ú Ò Ò ÙÒ ÔÖ ÖÚ Ö Ñ Ø ÙÐÔ Û ÖÚ Ò ÓÒ Ò Ò ÛÝ Ø Ð Ó¹ Ö ØÑ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ò Ú Ò ³Ò ÓÓÖ Ò Ø ÑÑ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ú Ö ÝÒ Ö ÙÒ ÑÔÐ Ö Ò Û Ø ÓÔ ÙÖØ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ú Ò Ù Ú Ñ ÑÔÐ Öº ÙÖ Ø Ô Ð Ö Ò Ú Ð Û Ö Ð Ñ ØÖ M = 2I Ú Ö ÓÒ Û Ö Ö Ñ ØÓ Ú Ö ØÓ Ô Ò ÓÔ Ò ¹Ò Ø Û ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ö ÓÓ Ú Ö ÖÝ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ Ù Ø Ñ Ø Ó Ð ÓÑ Ø Ò Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø ÑÑ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ú Ö ÝÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó º Î Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ö Ò Ñ Ö Û Ø ÓÑÖ Ð ÚÖ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÛÝ Ø Ò ÓÔ Ø Ú Ò ÓÒ Ö¹ Ó Ò Ø Ò Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø ÑÑ Ò Ú Ö ÝÒ Ö ÙÒ ÙÖ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ø ³Ò Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÖÙ º ÆÙÑ Ö ÐÐÙ ØÖ ÙÖ Ñ Ð Ú Ò Ù Ú Ö ÛÓÖ ÓÓ Ú Ö º

7 ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Á Ø Ò Ó ÓÖ Ú ÖÝØ Ò À Ú ÓÒ ÓÖ Ñ ØÖ Ò Ø ÓÙÖ Ò Ø Á Ú Ö Ú ÖÓÑ À Ñ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø º ÅÝ Ô Ø ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ó ØÓ ÑÝ ÙÔ ÖÚ ÓÖ ÈÖÓ ÂÓ Ò Î ÐÐ Ö ÛÓÖ Ò Û Ø Ñ Û ÔÐ ÒØ Ò ÙÒ ÓÖ ØØ Ð ÜÔ Ö Ò º Á Ñ Ü ÔØ ÓÒ ÐÐÝ Ö Ø ÙÐ ØÓ ÐÐ Ò Ö Ñ ÖÓ ÓÖ Ø ÖØ ÙÐ ÐÔ Ò ÙÔÔÓÖØ Ú Ò Û Ø ÓÙØ ÒÝ Ø Ø ÓÒ Û Ð Á Û ÛÓÖ Ò ÓÒ Ø Ø º ÅÝ Ø Ò Ð Ó Ó ØÓ ÐÐ Ó ÑÝ Ö Ò ÑÝ Ó Ñ Ø Û Ø Ô Ð ÔÔÖ Ø ÓÒ ØÓ ÑÝ Ô Ö ÒØ Ò Ñ ÐÝ ÓÖ Ø Ö Ø ÓÙ Ø ÙÐ ÔÖ Ý Ö º Ò ÐÐÝ Á Ñ Ú ÖÝ Ö Ø ÙÐ ØÓ ÁÅË Ø Ö Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ò ØÓ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ËØ ÐÐ Ò Ó ÓÖ Ø Ò Ò Ð ÙÔÔÓÖØ Ô ÖÑ ØØ Ò Ñ ØÓ Ò Ø Ø º Ó Ð Ò Ø Ò ÝÓÙ Ðк Ú

8 ÓÒØ ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ ËÙÑÑ ÖÝ ÇÔ ÓÑÑ Ò Ú ÓÒØ ÒØ Ú Ä Ø Ó ÝÑ ÓÐ Ü ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ½ ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ½º½ ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð ÓÒ ÔØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÓÜ ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖ M = 2I ½ ¾º½ Ë ÑÔÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ò Ö Ð ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÜ ÔÐ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ º º º º º º º º º º º ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ º½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÙ Ú ÓÒ Ñ ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú

9 ÇÆÌ ÆÌË Ú º ÈÖÓÔ ÖØÝ ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ø Ò Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ¼ º½ ÓÖ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ ÙÑ ÖÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ó Ö Ô Ý ¼

10 Ä Ø Ó ÝÑ ÓÐ ËÝÑ ÓÐ Ò Ø ÓÒ N Z Z + Z 2 Z 2 + Q Q 2 R R 2 C C 2 M(Z) Ø Ø Ó Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ø Ø Ó ÒØ Ö Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ Ö Ø Ø Ó ÒØ Ö Ô Ö Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ø Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö Ð Ô Ö Ø Ø Ó ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ô Ó ¹ Ò Ò Ø Ö Ð¹Ú ÐÙ ÕÙ Ò Ò Z º º c M(Z) c = {c j : j Z} R M(Z 2 ) Ø Ð Ò Ö Ô Ó ¹ Ò Ò Ø Ö Ð¹Ú ÐÙ ÕÙ Ò Ò Z 2 º º c M(Z 2 ) c = {c : Z 2 } R 2 M(R) Ø Ð Ò Ö Ô Ó Ö Ð¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ò R º º Ø Ø {f : R R} M(R 2 ) Ø Ð Ò Ö Ô Ó Ö Ð¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ò R 2 º º Ø Ø {f : R 2 R} M (Z) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÕÙ Ò Ò M(Z) M (Z 2 ) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÕÙ Ò Ò M(Z 2 ) M (R) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ Ò M(R) M (R 2 ) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ Ò M(R 2 ) Ü

11 ÄÁËÌ Ç Ë Å ÇÄË Ü ÙÔÔ(c) Ø ÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÕÙ Ò c M (Z 2 ) º º Ø Ø { Z 2 : c ¼} ÙÔÔ(f) Ø ÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ f M (R 2 ) º º Ø Ñ ÐÐ Ø ÐÓ Ø ÓÒØ Ò Ò {Ü R 2 : f(ü) } C(R) Ø Ù Ø Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ò M(R) C(R 2 ) Ø Ù Ø Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ò M(R 2 ) C (R) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ Ò C(R) C (R 2 ) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ Ò C(R 2 ) C α (R) Ø Ù Ø Ó α¹ø Ñ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò C(R) C α (R 2 ) Ø Ù Ø Ó α¹ø Ñ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò C(R 2 ) C α (R) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ Ò C (R) C α(r2 ) Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ Ò C (R 2 ) j i,j sup I M Ò Ò sup Ü Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ j Z Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ (i,j) Z 2 Ò Z 2 Ø ÙÔÖ Ñ ÓÚ Ö ÐÐ Z 2 Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ü R 2 Ø 2 2 ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü º º 2 2 ÒÚ ÖØ Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒØ Ö ÒØÖ a Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ò M (Z 2 ) Π Ø Ô Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü Ú Ö Ð Π k Ø Ù Ô Ó Π ÓÒ Ø Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö Ø ÑÓ Ø k Z + A Ñ ÝÑ ÓÐ Ó Ø Û Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a M (Z 2 ) º º Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð i,j a i,j z i zj 2 φ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º º ÙÒØ ÓÒ Ø Ý Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ φ = a φ(m ) δ Ø ÐØ ÕÙ Ò Ò Ý δ ¼ = Ò δ = ÓÖ ¼ T Ø ØÖ Ò ÔÓ Ó Z 2 ( º º T i ) = ÓÖ = (i, j) j

12 ÄÁËÌ Ç Ë Å ÇÄË Ü S a Ø Ù Ú ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÔ Ò c M(Z 2 ) ØÓ S a c M(Z 2 ) Û Ø (S a c) = a M Tc Z 2 S r a Ø Ù Ú ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ S a ÔÔÐ r¹ø Ñ Û Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø Ø S a Ø ÒØ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ c (r) Ø ÕÙ Ò S r a c Û Ö c M(Z2 ) S a c Ø ÙÒ ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ò M(Z 2 ) Ò Ò M(R 2 ) º º c = sup c ÓÖ c M(Z 2 ) Ò f = sup f(ü) ÓÖ f M(R 2 ) Ü Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ú ÓÒ Ñ S a Û Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ò c M(Z 2 ) T a Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÔ Ò f M(R 2 ) ØÓ T a f M(R 2 ) Û Ø T a f = a f(m ) T r a Ø ÓÔ Ö ØÓÖ T a ÔÔÐ r¹ø Ñ Û Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø Ø T a Ø ÒØ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ g Ò Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ò M(R 2 ) ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ f r Ø ÙÒØ ÓÒ T r ag r Z + T a g Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ T a Û Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ g C (R 2 ) D Ø Ý Ø { M r T : Z 2, r Z + } Û Ò Ò R 2 φ ψ Ø Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÙÒØ ÓÒ φ Ò ψ º º Ø Ú Ö Ø ÙÒØ ÓÒ (x, y) φ(x) ψ(y) (x, y) R 2

13 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ ÜÔÖ Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ø ÓÛÒ Ð Ø ÓÒ Ý ØÓÖ Ó Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü º º Ò ÒÚ ÖØ Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒØ Ö ÒØÖ ÐÛ Ý Ð Ò ØÓ ÖØ Ò ÕÙ Ò ÐÐ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ º Ì Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÐÐ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ø Ó ÒØ Ó Û Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ º Ì Ö Ò Ð B¹ ÔÐ Ò ÙÒØ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Î¼ Ö ÑÓÒ Ø Ö Ø Ü ÑÔÐ Ó ÙÒ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ú ÒÓÖÑÓÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Û Ú Ð Ø Ò ÐÝ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺ ÁÒ Ò Ö Ð Ø Ö ØÓ ÒÚ Ø Ø Û Ø Ö Ú Ò ÙÒØ ÓÒ Ö Ò Ð Ò ÓØ Ø Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Û ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ú ØÓ ÓÙÒ º ÁØ Ø Ù ØØ Ö ØÓ Ø ÖØ Û Ø Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÕÙ Ò Ò ÒÚ Ø Ø Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒº ÓÒ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÕÙ Ò Ø Ó Ø Ù Ú ÓÒ Ñ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÔÖÓ Ù Ò Ö Ò Ò Ö Ø ÔÓ ÒØ Ý Ñ Ò Ó Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ð Ó Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ø Ö Ø Ú ÐÝ ÔÖÓ Ù ÕÙ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ Ý Ñ Ò Ó Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ º ËÙ Ú ÓÒ Ñ Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÒØÖÓ Ù Ý Ê Ñ ½ µ Ò Ð Ø Ö Ý Ò ½ µ ÔÐ Ý ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò ÓÑÔÙØ Ö ÓÑ ØÖ Ò µ Ý Ò Ö Ø Ò ÙÖÚ Ò ÙÖ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ö Ô º º ÝÒ ¾ µº Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ½

14 ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ¾ Ø ÓØ Ö Ò Ö Ù ÙÐ Ò Ø Ò Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ Ø Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒº ËÔ Ð Þ Ò ÓÒÐÝ ØÓ Ø Û Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I ÓÙÖ Ó Ð Ò Ø Ø ØÓ Ú ÔÙÖ ÐÝ Ð Ö Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ØÙ Ý Ó ÓØ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ó Ø Ù Ú ÓÒ Ñ Ò ÓÒØÖ Ø ØÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ ØÐÝ ÒÓÙÒØ Ö Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø Ñ Ò Ø Ø ¹ Ø Ø Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ø Ø ÓÖ Ò Ò Ø ÐÐ ÓØ Ö ÒØ Ö º Ï ÔÖÓ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ò ÔØ Ö ½ Ö ÓÚ ÖÚ Û Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò ¹ Ñ ÒØ Ñ ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ò Ø Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ö Ø Ö Þ Ý ½º µ Ò ½º½¼µº Ï Ö Ö ØÓ Ø Ù Ù¹ Ð ÙÖ Ö ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÒÚ Ø Ø Ò Î À¼ Ð Ó ÀÙÒ¼ ÓÓ¼¼ µ ÓÖ Ø ÙÒ Ú Ö Ø ØØ Ò Ò ØÓ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÊË Ð Ó Â ¼¼ µ ÓÖ Ø ÑÙÐØ Ú Ö Ø º Ë Ú Ö Ð ØÙ Ó Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ú Ò Ú ÐÓÔ Ý Ù Ò Ø Ó Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Û Ó Ø Ò ÐÔ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø Ù Ú ÓÒ Ñ ØÓ Û Ø Ý Ö Ó Ø º º ļ¾ Ô ¹ ¼ Å ½ µº ÅÓØ Ú Ø Ý Ø Ô Ö Ô Ø Ú Û Ø Ô Ð ÒØ Ö Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖ Ø Ô Ð Û Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü 2Iº ÁÒ ÔØ Ö ¾ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ö ÓÒ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Û Ö ØÓ Ù Ø Ò ½º½¼µ Ú Òº ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Û Ù Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ý Ù Ò ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒØ Ø Ò Ø ÙÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ö ÙÐØ Ø Ù Ó Ø Ò Ö Ø Ò ÔÔÐ ØÓ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÜ ÔÐ Ò º Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ò Ö Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Ø Ø Ù Ú ÓÒ Ñ ÓÖ Û Ø Ò Ø Ð Ø ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ ÖÚ Ø ÐÐ Ø Ø Ô Ó Ø Ö ÙÖ Ú ÔÖÓ ÝÒ ¾ µº Ì ÜØÖ Ñ ÐÝ Ö Ð Ú ÒØ Ò ÖØ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ

15 ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ö Ò Û Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ö Ö ÕÙ Ö ØÓ ÔÖ ÖÚ Û Ð ÔÔÐÝ Ò Ø Ù Ú ÓÒ ÔÖÓ º ÁÒ ÔØ Ö Û Ù Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Ò Û ÒÚ Ø Ø Ò Ë Ø ÓÒ º Ø Ù Ó ÔÖÓÔ ÖØÝ ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ð ÓÖ Ø Ñº Ì ÓÙ Ö Ñ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ý Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ø Ö Ú Ò Ñ ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ò ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ó Ø Ò ÔÔÐ ØÓ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò ÙÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø Ó Ø Ù Ú ÓÒ Ñ º ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ý Ù Ò Ø Ó ÒØ Ô ØÖ Ð Ö Ù ÓÖ Ù Ú ÓÒ Ñ ÒÚ Ø Ø Ò ÀÂ Ò Ø ÑÔÖ Ø ÐÐÝ ÐÓÒ ØÓ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ Û Ö Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÒ ÓÒ¹ ØÖ Ø Ú ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ò Ä¼¾ Ð Ó ÝÒ¼¾ µ Ò Ð Ó ÓÖÑ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø ØÓ Ô Ö ÓÖѺ ÍÒ Ö ÖØ Ò Ö ØÖ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÓÖ Ú ÐÓÔ Ò Ô¹ Ø Ö Ø Ö Ð Ñ Ø Ó ØÓ Ü Ñ Ò Ø Ü Ø Ò Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ÔÖ Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº Ì ÔÖ ÒØ Ñ Ø Ó Ö ÔÔÐ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ò Ö ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ó Å ÐÐ Ò Å Ò ÓÒ Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ ÓÖ Ø Ò Ö Ð ØØ Ò Ø Ü Ø Ò Ñ Ø Ó ÒÚ Ø Ø Ò Ø Ü Ø Ò Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ö ÒÓØ ÐÛ Ý Ð ØÓ ÑÔÐ Ñ Òغ Ý Ù Ò Ø ÓÚ ¹Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÒØ ÒÙ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ù ÒÐÙ Ò Ò ÐÝ Ð Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ ¹ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÐÝ Û Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ü Ø Ò Ñ Ø Ó º

16 ÔØ Ö ½ ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ï Ö Ø Ú Ò Ø ÔØ Ö Ö ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ º Ì Ò Û Ð ÓÖ Ø ÑÔÐ Ö Ø Ö ÓÒ Ò ½º µ Ò Ò ½º½¼µ ØÓ Ö Ó Ò Þ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ò Ø Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ Óк Ï Ò Ø ÔØ Ö Ý ÔÖ ÒØ Ò Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ü ÑÔÐ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º ½º½ ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð ÓÒ ÔØ Ï ÐÐ ÒÓØ Ø Ø Ó Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ý N Ø Ø Ó ÒØ Ö Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ý Z Ò Z + Ø Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ý R Ò Ø Ø Ó ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö Ý Cº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø ÝÑ ÓÐ Z 2 R 2 Ò C 2 ÒÓØ Ø Ø Ó ÓÖ Ö Ô Ö Û Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÒØ Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö ÒØÖ º ÓÖ Ø Ð Ò Ö Ô M(Z 2 ) Ó ÐÐ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÕÙ Ò c = {c R : Z 2 } Û ÙÔÔÓÖØ ÒÓØ Ý ÙÔÔ(c) := { Z 2 : c ¼} Ø Ù Ô Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ

17 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÕÙ Ò º º Û Ó ÙÔÔÓÖØ Ö Ò Ø ÓÒ Ø ØÙØ Ð Ò Ö Ù Ô ÒÓØ Ý M (Z 2 )º ÁÒ Ø Ñ Û Ý ÓÖ Ø Ð Ò Ö Ô M(R 2 ) Ó ÐÐ Ö Ð¹Ú ÐÙ Ú Ö Ø ÙÒØ ÓÒ f ÓÒ R 2 Û ÙÔÔÓÖØ ÙÔÔ(f) Ø Ñ ÐÐ Ø ÐÓ Ø ÓÒØ Ò Ò {Ü R 2 : f(ü) } Ø Ø Ó Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ØÙØ Ð Ò Ö Ù Ô ÒÓØ Ý M (R 2 )º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ù Ô Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò M(R 2 ) Ò Ò M (R 2 ) Ö ÒÓØ Ý C(R 2 ) Ò C (R 2 )º ÓÖ Ú Ò 2 2 ÒÚ ÖØ Ð Ñ ØÖ Ü M Û Ø ÒØ Ö ÒØÖ ÙÒØ ÓÒ φ M (R 2 ) Ø ÖÑ M¹Ö Ò Ð Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò a = {a : Z 2 } M (Z 2 ) Ù Ø Ø φ = a φ(m ). ½º½µ Ï ÐÐ Ö Ö ØÓ M Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Û Ö Ø ÕÙ Ò a ÐÐ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÓÖ ÑÔÐÝ Ø Ñ µ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½º½µ Ö ÖÖ ØÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ò M¹Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ö ÓÖ ÜÔÖ Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ø ÓÛÒ Ð Ø ÓÒ Û Ø Ø ØÓÖ Ó Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ô Ý Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ aº ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Û ÐÐ Ó Ø Ò ÑÔÐ Ý M¹Ö Ò Ð ØÓ Ö Ò Ð º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ü Ø Ò Ó Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ý Ù Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÙÒ ¹ Ñ ÒØ Ð ÙØ ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØÐÝ Ò Ø Ø Ø Ø ÓÙÖ ØÙ Ý ÓÙ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ý φ( ) = δ, Z 2, ½º¾µ Û Ö Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ δ Ð Ó ÐÐ Ø ÐØ ÕÙ Ò µ Ò Ý, = ¼, δ =, ¼,, Z 2. ½º µ

18 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ø Ú Ò Ø ÐÐ ÒØ Ö Ü ÔØ Ø Ø ÓÖ Ò ¼ Z 2 Û Ö Ø Ø Ø Ú ÐÙ º Ï ÔÖÓ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ó¹ ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ó Ø Û Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º ½º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ï ÔÖ ÒØ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ó Ø Û Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º Ì Ö Ø Ö Û ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔØ Ó Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÓÐ Ò Ø Ò Ô Ð Þ ØÓ Ø M = 2I Û Ø ÓÑ Ü ÑÔÐ Ó Ú Ö Ø ÒØ Ö¹ ÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º Ý Ù Ò Ø ÝÑ ÓÐ T ÓÖ Ø ØÖ Ò ÔÓ Ó Ø ÒØ Ö Ô Ö Z 2 Û ÓÑ Ö Ø ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾º½º ÓÖ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ò Ñ a M (Z 2 ) ÙÔÔÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½µ ÓÐ ÓÖ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φº Á φ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ø Ò a Ø a M T = δ, Z 2. ½º µ ÈÖÓÓ º ÖÓÑ ½º¾µ Ò ½º½µ Û Ú Ø Ø ÓÖ Z 2 δ = φ( ) = a φ(m T ) = a δ M T = a M T. ÇÙÖ Ò ÜØ Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ ÓÖ Ø M = 2I Ò Å ½ º ÇÙÖ Ò Ö Ð ÔÖÓÓ ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ò À º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾º¾º ÓÖ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ò Ñ a M (Z 2 ) ÙÔÔÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½µ ÓÐ ÓÖ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φº Á φ Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ò

19 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÒØ Ö Ð Û Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö R 2 Ø Ò a Ø a = Ø(M). ½º µ ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ø ÓÖÑ M = c d e f. ÏÖ Ø Ò a i,j = a Û Ò ÒÓÛ ÒØ Ö Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½µ ØÓ Ó Ø Ò R 2 φ(x, y) x y = i,j a i,j R 2 φ(m(x, y) T (i, j)) x y. ½º µ Ë Ò Ø Ú Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ (X, Y ) T = M(x, y) T Â Ó Ò J(x, y) = X x Y x X y Y y = c d e f = Ø(M), Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ò Ö ÑÙÐØ Ú Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ò Ò ÐÝ Ø Ø φ(m(x, y) T (i, j)) Ø(M) x y = φ((x, Y ) (i, j)) X Y R 2 R 2 = φ(x, Y ) X Y. R 2 ½º µ Ï Ø Ò Ù ÖÓÑ ½º µ Ò ½º µ Ø Ø R 2 φ(x, y) x y = i,j a i,j Ø(M) R 2 φ(x, y) x y.

20 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Û ÙÑ Ø ÒØ Ö Ð Ó φ ØÓ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÓÚ Ö R 2 Û Ó Ø Ò i,j a i,j Ø(M) =, ÖÓÑ Û Ø Ö ÙÐØ ½º µ ÓÐÐÓÛ º Ì Ö ÓÖ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ø Ü Ø Ò Ó ÓÑÔ ØÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÒØ ÖÔÓ¹ Ð ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ Û Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö R 2 Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ú Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a ØÓ Ø Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ a M T = δ, Z 2, a = Ø(M). ½º µ ÆÓÛ ÓÒ Ö Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a = {a } = {a i,j } Û Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖ ÑÔÐÝ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ø Ú Ö Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð A Ú Ò Ý A(z, z 2 ) = i,j a i,j z i z j 2, z, z 2 C \ {}. ½º µ Ð Ó Û Ý Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ø Ø ½º µº ÁÒ Ø Ø ÓÖ Ö Ú ØÝ Û ÐÐ a Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÝÑ ÓÐ A ÐÐ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ Óк Ë Ò ÓÖ Ò ØÓ ½º µ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ò Ø Ö ÝÑ ÓÐ Ö Ø Ú ÐÝ Ð Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ½º µ ÓÒ Ñ a Ò ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ñ ÝÑ ÓÐ A ÓÐÐÓÛ Ì ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò A(z, z 2 ), Ò A ÒÓ Ø ÖÑ Ò z α zα 2 2 Ù Ø Ø (α, α 2 ) = M(i, j) T (, ) ÓÖ ÓÑ (i, j) Z 2 ; Ð Ó, ½º½¼µ A(, ) = i,j a i,j = Ø(M).

21 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÁØ Ó Ø Ò ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ù Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÓÐ Ò Ø Ó Ø Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ º ÁÒ ÔÖ ÒØ Ò Å ½ Å Ö ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ñ ÝÑ ÓÐ Ð ØÓ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÑÔ ØÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÓÑ Ü ÑÔÐ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2Iº ½º ÓÜ ÔÐ Ò ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ü Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2Iº Ì ÓÒ Ø ÓÒ ½º µ ÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ¹ ØÓÖÝ Ñ a Ò Ø Ò Ö ¹ÛÖ ØØ Ò a 2i,2j = δ (i,j), (i, j) Z 2, a i,j = 4, i,j ½º½½µ Û Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ ½º½¼µ ÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ A ÓÑ Ì ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò A(z, z 2 ), Ò A ÒÓ Ø ÖÑ Ò z 2α z 2α 2 2, ÓÖ ÒÝ (α, α 2 ) Z 2 \ {(, )}; Ð Ó, ½º½¾µ A(, ) = i,j a i,j = 4. Ì ÓÜ ÔÐ Ò N Ì ÓÜ ÔÐ Ò ÙÒØ ÓÒ N Ò Ý, (x, y) [, ) 2, N (x, y) =, (x, y) / [, ) 2. ½º½ µ Ì Ö Ô Ó N ÓÛÒ Ò ÙÖ ½º½ µ ÖÓÑ Û Û Ø Ø N Ò Ø ÐÝ

22 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½¼ µ ËÙÔÔÓÖØ Ó a () µ Ö Ô Ó N ÙÖ ½º½ Ì ÓÜ ÔÐ Ò N ÙÔÔÓÖØ Ò Ø ÓÙ Ø ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ð Ñ Ø Ø N Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a () Û ÙÔÔÓÖØ Ð Ñ Ø Ø Ý Ø ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ ½º½ µ Ú Ò Ý a (), = a (), = a (), = a (), = ; a () i,j = ÓØ ÖÛ. ½º½ µ ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ó ÖÚ Ö Ø Ø Ø ÓÖ x, y R, (x, y) [, 2 )2, N (2x, 2y) =, (x, y) / [, ) 2 ;, (x, y) [, ) [, ), 2 2 N (2x, 2y) =, (x, y) / [, ) 2 ;, (x, y) [, ) 2 [, ), 2 N (2x, 2y ) =, (x, y) / [, ) 2 ;

23 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½½, (x, y) [, 2 )2, N (2x, 2y ) =, (x, y) / [, ) 2. Ì Ò Ò Ø ÕÙ Ö [, 2 )2, [ 2, ) [, 2 ), [, 2 ) [ 2, ) Ò [ 2, )2 ÓÖÑ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÕÙ Ö [, ) 2 Û Ó Ø Ò ÓÖ (x, y) R 2 N (x, y) = N (2x, 2y) + N (2x, 2y) + N (2x, 2y ) + N (2x, 2y ), ½º½ µ Ø Ö Ý ÔÖÓÚ Ò Ø Ø N Ö Ò Ð Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ a () Ú Ò Ò ½º½ µº À Ò ÓÖ Ò ØÓ ½º½ µ Ò ½º µ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A Ú Ò Ý A (z, z 2 ) = + z + z 2 + z z 2 = ( + z )( + z 2 ), z, z 2 C. ½º½ µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ½º½½µ Ò ½º½¾µ Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÙÐ ÐÐ Ý Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a () Ò Ø ÝÑ ÓÐ A º ÅÓÖ ÓÚ Ö ½º½ µ ÓÛ Ø Ø N ( ) = δ Z 2 Û Ñ Ò Ø Ø N Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒº Ì ÓÜ ÔÐ Ò N 2 Í Ò Ø ÓÜ ÔÐ Ò N Ú Ò Ò ½º½ µ Ø ÓÜ ÔÐ Ò ÙÒØ ÓÒ N 2 Ò Ý N 2 (x, y) = N (x t, y t) t, x, y R. ½º½ µ Ä Ø Ù Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ø N 2 ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ý Ò Ò Ø ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ º ÌÓ Ø Ò Ó ÖÚ Ø Ø ÓÖ t (, ) Ò x, y R N (x t, y t) x t [, ) Ò y t [, ) = < x < 2 Ò < y < 2. ½º½ µ

24 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½¾ À Ò ÖÓÑ ½º½ µ Ò ½º½ µ Û Ù Ø Ø N 2 (Ü) = Ü / [, 2] 2 º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÖ x, y [, 2) Û Ú x t < x < t x Ò y t < y < t y, Û ØÓ Ø Ö Û Ø ½º½ µ Ý Ð N (x t, y t) t (, ) (x, x] (y, y], x, y [, 2). ½º½ µ Ï Ø Ò Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½º Ì ÓÜ ÔÐ Ò N 2 Ò Ò ½º½ µ ÜÔÐ ØÐÝ Ú Ò Ý N 2 (x, y) = min{x, y}, (x, y) [, ) 2, 2 max{x, y}, (x, y) [, 2) 2, + min{x, y} max{x, y}, (x, y), ÓØ ÖÛ ½º¾¼µ Û Ö Ø Ø Ò Ý = {(x, y) : min{x, y} [, ); max{x, y} [, 2); + min{x, y} max{x, y}}, ½º¾½µ º º = B E, Û Ø B Ò E Ò ÙÖ ½º¾º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø ÙÔÔÓÖØ Ó N 2 Ø ÔÓÐÝ ÓÒ A B C D E F = [, ] 2 [, 2] 2 Ò ÙÖ ½º¾º ÈÖÓÓ º Ç ÖÚ ÖÓÑ ÙÖ ½º¾ Ø Ø [, ) 2 = A F [, 2) 2 = C D Ò = B Eº

25 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ ÙÖ ½º¾ ËÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÓÜ ÔÐ Ò N 2 º Ì Ö ÓÖ ÖÓÑ ½º½ µ Û Ú Ø Ø ÓÖ x [, ) Á y [, ) Ù Ø Ø y x Ö Ôº y xµ Ø Ò t [, y] Ö Ôº t [, x]µ Ó y ( x ) Ø Ø N 2 (x, y) = t = y Ö Ôº N 2 (x, y) = t = x º Á y [, 2) ØÛÓ ÓÙÖ Á y > x Ø Ò t Ò N 2 (x, y) = Á y x Ø Ò t (y, x] Ò Ø Ö ÓÖ N 2 (x, y) = x y t = + x yº Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÖÓÑ ½º½ µ Û Ú Ø Ø ÓÖ x [, 2) Á y [, ) ØÛÓ ÓÙÖ Á y > x Ø Ò t (x, y] Ò Ø Ö ÓÖ N 2 (x, y) = Á y x Ø Ò t Ò N 2 (x, y) = º y x t = + y x Á y [, 2) Ù Ø Ø y x Ö Ôº y xµ Ø Ò t (x, ] Ö Ôº t (y, ]µ ( ) Ó Ø Ø N 2 (x, y) = t = 2 x Ö Ôº N 2 (x, y) = t = 2 y º x y Ý Ø Ò Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÙÖ ÓÚ Û Ó Ø Ò Ø Ö Ö ÙÐØ ½º¾¼µº

26 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ Æ ÜØ Ý Ù Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½ Ò ÙÖ ½º¾ Û Ù Ø Ø Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó N 2 ØÓ Ø Ö Ô Ø Ú Ö ÓÒ A, B, C, D, E Ò F Ö Ú Ò ÓÐÐÓÛ ÁÒ Ø Ö ÓÒ A x, y [, ) Û Ø y x Û Ú N 2 A (x, y) = x ÁÒ Ø Ö ÓÒ F x, y [, ) Û Ø y x Û Ú N 2 F (x, y) = y ÁÒ Ø Ö ÓÒ B x [, ) Ò y [, 2) Û Ø x y Û Ú N 2 B (x, y) = + x y ÁÒ Ø Ö ÓÒ E x [, 2) Ò y [, ) Û Ø y x Û Ú N 2 E (x, y) = + y x ÁÒ Ø Ö ÓÒ C x, y [, 2) Û Ø y x Û Ú N 2 C (x, y) = 2 y ÁÒ Ø Ö ÓÒ D x, y [, 2) Û Ø x y Û Ú N 2 D (x, y) = 2 xº À Ò N 2 Ò Ö ÒØ ÔÐ Ò Ò Ó Ø Ö Ô Ø Ú Ö ÓÒ A, B, C, D, E Ò F º ÁØ Û ÐÐ Ø Ö ÓÖ Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó N 2 Ø Ø Ó Ø Ö ÓÒ º ÐÓÒ Ø Ð Ò x = x = x = 2 Ø Ð Ò y = y = y = 2 Û ÐÐ Ø Ð Ò y = x y = x + Ò y = x º ÌÓ Ø Ò Ó ÖÚ Ö Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ö ÓÒ A Ö Ôº F µ Û Ò x Ö Ôº y µ Û Ú Ø Ø N 2 (x, y) º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ Ø Ö ÓÒ D Ö Ôº Cµ Û Ò x 2 Ö Ôº y 2µ Û Ð Ó Ú Ø Ø N 2 (x, y) º Æ ÜØ Ó ÖÚ Ø Ø Û Ò x Ö Ôº y µ Û Ú N 2 F (x, y) y Ò N 2 E (x, y) y Ö Ôº N 2 A (x, y) x Ò N 2 B (x, y) xµ Ó Ø Ø N 2 ÓÒØ ÒÙ¹ ÓÙ Ò Ø Ö ÓÒ F E Ö Ôº A Bµº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ò x Ö Ôº y µ Û Ú Ø Ø N 2 B (x, y) 2 y Ò N 2 C (x, y) 2 y Ö Ôº N 2 E (x, y) 2 x Ò N 2 D (x, y) 2 xµ Ó Ø Ø N 2 Ð Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ö ÓÒ B C Ö Ôº E Dµº

27 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ Ò ÐÐÝ ÐÓÒ Ø Ð Ò y = x Û Ú Ø Ø N 2 A (x, y) = N 2 F (x, y) Ò N 2 C (x, y) = N 2 D (x, y) Ó Ø Ø N 2 ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ö ÓÒ A F Ò C Dº ÐÓÒ Ø Ð Ò y = x + Ö Ôº y = x µ Û Ú Ø Ø N 2 B (x, y) = Ö Ôº N 2 E (x, y) = µº Ì Ù Û ÓÒÐÙ Ø Ø N 2 ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÒ R 2 º Ï ÔÖÓ ÒÓÛ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø N 2 Ö Ò Ð º ÖÓÑ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½ µ Û Ú Ø Ø ÓÖ x, y R N 2 (x, y) = = N (x t, y t) t [N (2x 2t, 2y 2t) + N (2x 2t, 2y 2t) + N (2x 2t, 2y 2t ) + N (2x 2t, 2y 2t )] t. ½º¾¾µ Í Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ t = 2t ÓÖ t [, ] Ò t = 2t ÓÖ t [, ] Ø Ö Ø ÒØ Ö Ð 2 2 Ò ½º¾¾µ Ò Ö ¹ÛÖ ØØ Ò ÓÖ x, y R N (2x 2t, 2y 2t) t = = 2 2 N (2x 2t, 2y 2t) t + N (2x t, 2y t) t N (2x 2t, 2y 2t) t N (2x t, 2y t ) t = 2 N 2(2x, 2y) + 2 N 2(2x, 2y ), ½º¾ µ Ý Ú ÖØÙ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ó N 2 Ò ½º½ µº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ø ÓÖ x, y R N (2x 2t, 2y 2t) t = 2 N 2(2x, 2y) + 2 N 2(2x 2, 2y ), N (2x 2t, 2y 2t ) t = 2 N 2(2x, 2y ) + 2 N 2(2x, 2y 2), ½º¾ µ ½º¾ µ N (2x 2t, 2y 2t ) t = 2 N 2(2x, 2y ) + 2 N 2(2x 2, 2y 2). ½º¾ µ

28 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÖÓÑ ½º¾¾µ ½º¾ µ ½º¾ µ ½º¾ µ Ò ½º¾ µ Û Ó Ø Ò N 2 (x, y) = 2 {N 2(2x, 2y) + N 2 (2x, 2y) + N 2 (2x, 2y ) + 2N 2 (2x, 2y ) + N 2 (2x, 2y 2) + N 2 (2x 2, 2y ) + N 2 (2x 2, 2y 2)}, ½º¾ µ Û ÓÛ Ø Ø N 2 Ö Ò Ð Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ a (2) Ú Ò Ý a (2), =, a(2), = a(2), = a(2), = a(2) 2, = a(2),2 = a(2) 2,2 =, 2 a (2) i,j =, (i, j) / {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 2), (2,), (2,2)}, ½º¾ µ ÓÖ Ò ØÓ Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A 2 Ú Ò Ý ( ) + z z 2 A 2 (z, z 2 ) = ( + z )( + z 2 ), z, z 2 C. ½º¾ µ 2 ÀÓÛ Ú Ö Ó ÖÚ ÖÓÑ ½º¾ µ Ø Ø a (2), Ò a(2) 2,2 ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò A 2 (z, z 2 ) ÒÓØ Ò Ø Ø ÖÑ Ò z 2 z 2 2µ Ø Ø N 2 ÒÓØ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖݺ Ì Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 Í Ò Ø ÓÜ ÔÐ Ò N 2 Ò Ò ½º½ µ Û Ò Ø Ø ÓÜ ÔÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ñ2 Ý Ñ 2 (x, y) = N 2 (x +, y + ), x, y R. ½º ¼µ Ï Ð Ñ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ñ2 Ö ÛÒ Ò ÙÖ ½º µ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Û Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ã (2) Û ÙÔÔÓÖØ Ð Ñ Ø Ø Ý Ø

29 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ µ ËÙÔÔÓÖØ Ó ã (2) µ Ö Ô Ó Ñ 2 ÙÖ ½º Ì Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ ½º µ Ú Ò Ý ã (2), =, ã(2), = ã(2), = ã(2), = ã(2), = ã(2), = ã(2), =, 2 ã (2) i,j =, (i, j) / {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ½º ½µ Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ Ã 2 Ú Ò Ý ( ) + z z 2 à 2 (z, z 2 ) = ( + z )( + z 2 ) z 2 z 2, z, z 2 C \ {}. ½º ¾µ ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Û Ù ½º ¼µ Ò ½º¾ µ ØÓ Ù Ø Ø ÓÖ x, y R Ñ 2 (x, y) =N 2 (x +, y + ) = 2 {N 2(2x + 2, 2y + 2) + N 2 (2x +, 2y + 2) + N 2 (2x + 2, 2y + ) + 2N 2 (2x +, 2y + ) + N 2 (2x +, 2y) + N 2 (2x, 2y + ) + N 2 (2x, 2y)}

30 À ÈÌ Ê ½º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ÁÎ ÊÁ Ì Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ = 2 {Ñ2 (2x +, 2y + ) + Ñ2(2x, 2y + ) + Ñ2(2x +, 2y) } + 2Ñ2(2x, 2y) + Ñ2(2x, 2y ) + Ñ2(2x, 2y) + Ñ2(2x, 2y ), ½º µ Û ÑÔÐ Ø Ø Ñ2 Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ã (2) Ú Ò Ý ½º ½µº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ý Ù Ò ½º ½µ Ò ½º µ Û Ò Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ Ã 2 Ú Ò Ý ½º ¾µº ÁØ Ò ÒÓÛ Ú Ö ÖÓÑ ½º ½µ Ò ½º ¾µ Ø Ø ã (2) Ò Ã2 Ø Ý Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½º½½µ Ò ½º½¾µº ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ2 ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Û Ù ½º ¼µ Ò ½º½ µ ØÓ Ó Ø Ò ÓÖ x, y R Ñ 2 (x, y) = N 2 (x +, y + ) = N (x + t, y + t) t. ½º µ Ì Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÜ ÔÐ Ò N Ò ½º½ µ Û Ù Ø Ø Ñ 2 (, ) = N ( t, t) t = t =, ½º µ Û Ö ÓÖ (i, j) (, ) Û Ú Ø Ø Ñ 2 (i, j) = N (i + t, j + t) t =, ½º µ ÓÖ i Ö Ôº j µ Ø Ò i+ t / [, ) Ö Ôº j+ t / [, )µ ÓÖ ÒÝ t (, )º ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ½º µ Ò ½º µ Ø Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½º¾µ Ø Ø Ö Ý ÓÛ Ò Ø Ø Ø Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒº ÆÓØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÖÓÑ ÙÖ ½º µ Ø Ø Ñ2 ÐÓÒ ØÓ C (R 2 ) \ C (R2 )º

31 ÔØ Ö ¾ Ì ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖ M = 2I Ï Ü Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Ò Ø ÔØ Öº ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾º½ ÐÓÛ Û ÔÖÓ Ù Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ö ÓÒ ¾º µ ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾º¾ Ø Ö ÓÐÚ Ò ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒØ Ø Ý Ñ Ò Ó Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÞÓÙØ ÒØ ØÝ Ò Ø ÙÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÔÖÓÚ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ù ÙÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾º Û Ô Ð ØÓ Ø Ó ÓÜ ÔÐ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ º ¾º½ Ë ÑÔÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ï ÔÖÓ ØÓ Ø Ð Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Û ÑÔÐ Ö ØÓ Ù Ø Ò ½º½¾µ Ò Û Û ÐÐ Ù Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¾º Ê ÐÐ ÖÓÑ ÔØ Ö ½ Ø Ø Ø Ð Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÒ Ø Ó ÐÐ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ½

32 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾¼ A Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ½º½¾µ º º Ì ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò A(z, z 2 ), Ò A ÒÓ Ø ÖÑ Ò z 2α z 2α 2 2, ÓÖ ÒÝ (α, α 2 ) Z 2 \ (, ); Ð Ó, A(, ) = 4, ¾º½µ Û Ö a Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ò Ý ½º µ Ò Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ½º½½µ º º a 2i,2j = δ (i,j), (i, j) Z 2, a i,j = 4. i,j ¾º¾µ Ä Ø Ù ÒÓØ Ý F G Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÛÓ Ø F Ò G ÓÖ Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ F G ÑÔØÝ Û Ö EE EO OE Ò OO Ø Ò ÓÖ Ø Ø Ó ÒØ Ö Ô Ö Û Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú Ò¹ Ú Ò Ú Ò¹Ó Ó ¹ Ú Ò Ò Ó ¹Ó ÒØÖ º Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ø Ó ÒØ Ö Z 2 ÓÒ Ø Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÓÙÖ Ó ÒØ Ù Ø EE EO OE Ò OO º º Z 2 = EE EO OE OO. ¾º µ Ú Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ a M (Z 2 ) Û Ó Ø Ò ÖÓÑ ¾º µ Ò ½º µ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 ) = i,j a 2i,2j z 2i z2j 2 + i,j a 2i,2j+ z 2i z2j+ 2 + i,j a 2i+,2j z 2i+ z 2j 2 + i,j a 2i+,2j+ z 2i+ z 2j+ 2, ¾º µ

33 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾½ Û Ö Ð Ó Ý Ö ÔÐ Ò z Ý z Ò ¾º µ Û Ú ÓÖ z, z 2 C \ {} A( z, z 2 ) = i,j a 2i,2j z 2i z2j 2 + i,j a 2i,2j+ z 2j z 2j+ 2 i,j a 2i+,2j z 2i+ z 2j 2 i,j a 2i+,2j+ z 2i+ z 2j+ 2. ¾º µ ÓÑ Ò Ò ¾º µ Ò ¾º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) = 2 i,j a 2i,2j z 2i z2j i,j a 2i,2j+ z 2i z2j+ 2. ¾º µ ÆÓÛ Ö ÔÐ z Ý z Ò z 2 Ý z 2 Ò ¾º µ ØÓ Ù Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} A( z, z 2 ) + A(z, z 2 ) = 2 i,j a 2i,2j z 2i z2j 2 2 i,j a 2i,2j+ z 2i z2j+ 2. ¾º µ Ý Ò ¾º µ Ò ¾º µ Û Ó Ø Ò Ø ÒØ ØÝ A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) + A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) = 4 i,j a 2i,2j z 2i z2j 2, z, z 2 C \ {}, ¾º µ Û Û Ò ÒÓÛ Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½º ËÙÔÔÓ Ø Ø a Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ù Ø Ø a = 4º Ì Ò a ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A Ò Ý ½º µ Ø Ø ÒØ ØÝ A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) + A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) = 4, z, z 2 C \ {}. ¾º µ ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ Ö Ø Ø Ø a ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖݺ ÖÓÑ ¾º¾µ Ò a 2i,2j = δ i,j Û Ú Ø Ø i,j a 2i,2j z 2i z 2j 2 =,

34 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾¾ Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º µ ÑÔÐ Ø Ø ¾º µ ÓÐ º ÓÒÚ Ö ÐÝ ¾º µ ÓÐ Û Ó Ø Ò ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø i,j a 2i,2j z 2i z2j 2 =, Û ÔÖÓÚ Ø Ø a 2i,2j = δ i,j º Ì Ö ÓÖ ¾º¾µ ÓÐ Ò a ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖݺ ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ú Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ó ¾º¾µ Ú Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Ò Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö k k 2 Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ù Ø Ø A(z, z 2 ) = ( + z ) k ( + z 2 ) k 2 B(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º½¼µ Ò Ø Ò A(, z 2 ) = A(z, ) = ÓÖ ÒÝ z, z 2 C \ {} Ó Ø Ø ¾º µ Ý Ð A(, ) = 4 Ò Ø Ù Ø Ñ ÝÑ ÓÐ A ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖݺ À Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º½º¾º ÓÖ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð A Ø Ý Ò Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Ø Ö Ü Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ù Ø Ø ¾º½¼µ ÓÐ Ø Ò A Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ Óк ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö Ó ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º½º¾ ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ØÖÙ ÓÖ A Ò ÒØ Ö¹ ÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ø Ø Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Ø Ò Ò A(, ) = 4 Û ÓÒÐÝ Ø Ø Ø A(, ) + A(, ) + A(, ) = Û Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÑÔÐÝ Ø Ø A Ó Ø ØÓÖ Þ ÓÖÑ ¾º½¼µº ÅÓØ Ú Ø Ý Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º½º¾ Û ÔÖÓ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¾ ÐÓÛ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Û Ö Ò Ø ØÓÖ Þ ÓÖÑ ¾º½¼µº

35 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ ¾º¾ Ò Ö Ð ÓÖÑ Ï ÔÖÓ ØÓ Ú Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ø Ø Ö ØÓÖ Þ Ð Ò Ø Ò Ó ¾º½¼µº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Ø ÖØ Ý ÓÐÚ Ò ÓÖ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð A Ò Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Û Ø Ø ÐÔ Ó Ø ÞÓÙØ Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ò ÐÐÝ Ø Ð Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ º ÌÓ Ð Ø Ø ÓÙÖ ÒÚ Ø Ø ÓÒ Û Ò ÓÖØ ÙÑ Ø Ø Ø Ñ ÝÑ ÓÐ A Ø ØÓÖ Þ ÓÖÑ A(z, z 2 ) = 2 2 k k 2 ( + z ) k ( + z 2 ) k 2 B(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º½½µ ÓÖ ÓÑ ÒØ Ö k, k 2 N Ò ÓÑ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ù Ø Ø B(, ) = B(, z 2 ) Ò B(z, ) ÓÖ ÐÐ z, z 2 C \ {} Ó Ø Ø ÖÓÑ ¾º½½µ Ø ÓÐ Ø Ø A(, ) = 4º Ð Ó Û ÐÐ ÙÑ Ø Ø A Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Ò Û ÓÖ Ò ØÓ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º½º¾ A Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ Óк ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÒØ Ø ÌÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ A Û Ö Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ Ä ÑÑ ¾º¾º½º Ä Ø k, k 2 N Ò ÙÔÔÓ α, α 2 Ö ØÛÓ Ó ÒØ Ö Ò Nº Ì Ò µ α < 2k Ø Ö Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Û Ó Ò z 2 Û Ø Ö α 2 Ò z 2 Ò Ö Ð Ø Ò k Ò z Ù Ø Ø Ø Ò Ö Ð Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÐÙØ ÓÒ K Ó Ø ÒØ ØÝ ( + z ) k K (z, z 2 ) ( z ) k K ( z, z 2 ) = z α z α 2 2, z, z 2 C \ {}, ¾º½¾µ

36 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ò Ý K (z, z 2 ) = S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) k, z, z 2 C \ {}, ¾º½ µ Û Ø T ÒÓØ Ò Ò Ö ØÖ ÖÝ Ú Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò z Ð Ó K Ó Ò z 2 Ò ÓÒÐÝ T Ó Ò z 2 º µ α 2 < 2k 2 Ø Ö Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S 2 Û Ó Ò z Û Ø Ö α Ò z Ò Ö Ð Ø Ò k 2 Ò z 2 Ù Ø Ø Ø Ò Ö Ð Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÐÙØ ÓÒ K 2 Ó Ø ÒØ ØÝ ( + z 2 ) k 2 K 2 (z, z 2 ) ( z 2 ) k 2 K 2 (z, z 2 ) = z α zα 2 2, z, z 2 C \ {}, ¾º½ µ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ò Ý K 2 (z, z 2 ) = S 2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 ) k 2, z, z 2 C \ {}, ¾º½ µ Û Ø T 2 ÒÓØ Ò Ò Ö ØÖ ÖÝ Ú Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò z 2 Ð Ó K 2 Ó Ò z Ò ÓÒÐÝ T 2 Ó Ò z º ÈÖÓÓ º µ Ë Ò Ø ØÛÓ ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð (+z ) k Ò ( z ) k Ú ÒÓ ÓÑÑÓÒ ØÓÖ Ø Ö Ü Ø Ý Ø ÞÓÙØ Ø ÓÖ Ñ ØÛÓ ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð U Ò V Ù Ø Ø ( + z ) k U (z ) + ( z ) k V (z ) =, z C. ¾º½ µ ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò ÓØ Ó ¾º½ µ Ý z α zα 2 2 Ý Ð ÓÖ z, z 2 C ( + z ) k [z α zα 2 2 U (z )] + ( z ) k [z α zα 2 2 V (z )] = z α zα 2 2, z, z 2 C. ¾º½ µ

37 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ Í Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Û Ù Ø Ü Ø Ò Ó ØÛÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Q Ò R Ø Ý Ò z α V (z ) = Q (z )( + z ) k + R (z ), z C, ¾º½ µ Ù Ø Ø Ø Ö Ó R Ð Ø Ò k Ò Û Ö Q Ò R Ö ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ý α Ò V º ÁØ Ø Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º½ µ Ø Ø ( + z ) k S (z, z 2 ) + ( z ) k R (z, z 2 ) = z α z α 2 2, z, z 2 C, ¾º½ µ Û Ö S Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ý S (z, z 2 ) = z α zα 2 2 U (z )+( z ) k z α 2 2 Q (z ) Ò R Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ò Ý R (z, z 2 ) = z α 2 2 R (z ) ÓÖ ÐÐ z, z 2 Cº Ï Ð Ñ Ø Ø Ø Ö Ò z Ó S Ð Ø Ò k º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Û Ö Ø ÒÓØ ÖÓÑ ¾º½ µ Ø Ø ( + z ) k S (z, z 2 ) = z α z α 2 2 ( z ) k R (z, z 2 ), z, z 2 C, ÓÖ Ò ØÓ Û Ò Ø Ö Ó R Ò z Ð Ø Ò k Ò Ò α < 2k Û Ò Ö ÐÝ Ú Ø Ø Ø Ö Ò z Ó S Ð Ø Ò k º Ê ÔÐ Ò z Ý z Ò ¾º½ µ Ò Ù Ò Ø Ø Ø Ø α Ó Û Ù Ø Ø ( z ) k [ S ( z, z 2 )] + ( + z ) k [ R ] ( z, z 2 ) = z α z α 2 2, z, z 2 C. ¾º¾¼µ ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ÒØ Ø ¾º½ µ Ò ¾º¾¼µ ÒÓÛ Ý Ð ( + z ) k [S (z, z 2 ) + R ( z, z 2 )] = ( z ) k [S ( z, z 2 ) + R (z, z 2 )], z, z 2 C, Ò Ø Ù S (z, z 2 ) + R ( z, z 2 ) = M (z, z 2 )( z ) k, z, z 2 C, ¾º¾½µ

38 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ ÓÖ ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð M º Ë Ò Ø Ö Ò z Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Ð Ø¹ Ò ¹ Ó ¾º¾½µ Ð Ø Ò k Û Ò Ö ÐÝ Ú M = Ò ¾º¾½µ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ S (z, z 2 ) = R ( z, z 2 ), z, z 2 C, ¾º¾¾µ R (z, z 2 ) = S ( z, z 2 ), z, z 2 C. ¾º¾ µ Í Ò ¾º½ µ ¾º¾¾µ Ò ¾º¾ µ Û Ò Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ø ( + z ) k S (z, z 2 ) ( z ) k S ( z, z 2 ) = z α z α 2 2, z, z 2 C, ¾º¾ µ Û Ñ Ò Ø Ø S Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ ØÝ ¾º½¾µ Û Ø Ö Ò z Ð Ø Ò k º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÖÓÑ ¾º¾¾µ Û Ø Ø S (z, z 2 ) = z α 2 2 R ( z )º Ë Ò α 2 Ó Û ÓÒÐÙ Ø Ø S Ó Ò z 2 Ò Ø Ø Ø Ö Ò z 2 α 2 º ÆÓÛ Ð Ø K ÒÓØ Ø Ò Ö Ð Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó ¾º½¾µº ËÙ ØÖ Ø Ò ¾º½¾µ ÖÓÑ ¾º¾ µ Û Ó Ø Ò ÓÖ z, z 2 C \ {} ( + z ) k [K (z, z 2 ) S (z, z 2 )] = ( z ) k [K ( z, z 2 ) S ( z, z 2 )]. ¾º¾ µ Ë Ò ( + z ) k Ò ( z ) k Ú ÒÓ ÓÑÑÓÒ ØÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º¾ µ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T Ø Ý Ò K (z, z 2 ) S (z, z 2 ) = T (z, z 2 )( z ) k, z, z 2 C \ {}. ¾º¾ µ ËÙ Ø ØÙØ Ò ¾º¾ µ ÒØÓ ¾º¾ µ Ý Ð Ø Ø T (z, z 2 ) = T ( z, z 2 ) ÓÖ z, z 2 C \ {} º T Ú Ò Ò z º Ì Ù Û Ù ÖÓÑ ¾º¾ µ Ø Ø K Ú Ò Ý K (z, z 2 ) = S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) k, z, z 2 C \ {}, ¾º¾ µ

39 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ Û Ö T Ò Ö ØÖ ÖÝ Ú Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò z º Ð Ó Ò S Ó Ò z 2 Û Ø ÖÓÑ ¾º¾ µ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} K (z, z 2 ) = S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) k = S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) k, ¾º¾ µ Û Ö Ð Ó ÓÖ z, z 2 C \ {} K (z, z 2 ) = S (z, z 2 ) T (z, z 2 )( z ) k. ¾º¾ µ ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ÒØ Ø ¾º¾ µ Ò ¾º¾ µ Ú ÓÖ z, z 2 C \ {} K (z, z 2 ) + K (z, z 2 ) = ( z ) k [T (z, z 2 ) + T (z, z 2 )], ÖÓÑ Û Ø Ø Ò ÑÑ Ø ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ø Ø K Ó Ò z 2 Ò ÓÒÐÝ T Ó Ò z 2 º µ Ì ÔÖÓÓ Ñ Ð Ö ØÓ µº Ì ÙÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ï ÔÖ ÒØ Ö Ø Ð Ñ Ø Ó ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ò S 2 Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ý Ù Ò Ø ÙÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÍÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ä ÑÑ ¾º¾º½ Û Ø k, k 2 N Ò Û Ö α, α 2 N Ö Ó ÒØ Ö Ù Ø Ø Ð Ó α < 2k Û Ö Ø ÔÖÓ ØÓ Ò Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð U Ò V Ù Ø Ø ¾º½ µ ÓÐ º ÖÓÑ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ü Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð q, q Ò

40 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ r, r 2 Ù Ø Ø ÓÖ z C ( + z ) k =q (z )( z ) k + r (z ), r µ < k, ¾º ¼µ ( z ) k =q (z )r (z ) + r 2 (z ), r 2 µ < r µ. ¾º ½µ Ê Ô Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ Ø Ò Ý Ð Ø Ü Ø Ò Ó n N Ò ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð q j j = 2,...,n+ Ò r j j = 3,...,n+2 Ù Ø Ø ÓÖ z C r (z ) = q 2 (z )r 2 (z ) + r 3 (z ), r 3 µ < r 2 µ, º r n (z ) = q n (z )r n (z ) + r n+ (z ), r n+ µ, r n (z ) = q n+ (z )r n+ (z ) + r n+2 (z ), r n+2 (z ) = c, ÓÒ Ø ÒØ, ¾º ¾µ Ó Ø Ø Ý Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø ÓÐ Ø Ø ÓÖ z C r j+ (z ) = r j (z ) q j (z )r j (z ), j =,...,n +, ¾º µ Û Ø r (z ) = ( + z ) k Ò r (z ) = ( z ) k z Cº Ç ÖÚ Ø Ø c ÓØ ÖÛ Ý Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ý Ù Ò ¾º µ ( +z ) k Ò ( z ) k ÛÓÙÐ Ú r n+ (z ) ÓÑÑÓÒ ØÓÖ Û ÑÔÓ Ð Ò r n+ µ º ÆÓÛ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÕÙ Ò {T i,j (z ) : i =,, 2, 3; j =,,..., n + 2} Ý T i,j+ (z ) = T i,j (z ) q j (z )T i,j (z ), ÓÖ i =,, 2 Ò j =,...,n +, T 3,j (z ) = q j (z ), ÓÖ j =,..., n + T 3, (z ) = T 3,n+2 (z ) =, ¾º µ

41 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ Û Ø Ð Ó T, (z ) = ( + z ) k, T, (z ) =, ¾º µ T 2, (z ) =, T, (z ) = ( z ) k, T, (z ) =, ¾º µ T 2, (z ) =. Ç ÖÚ ÖÓÑ ¾º µ ¾º µ Ò Ø Ö Ø Ð Ò Ó ¾º µ Ò ¾º µ Ø Ø Ø Ò T,j (z ) = r j (z ), j =, 2,..., n + 2. ¾º µ ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ü T ÓÒ Ø Ò Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð [ T i,j (z ) ] ÓÖ i 3 Ò j n + 2 Ú Ò Ý T = ( + z ) k ( z ) k r (z ) r 2 (z )... r n+ (z ) r n+2 (z ) q (z ) + q (z )q (z )... T,n+ (z ) T,n+2 (z ) q (z )... T 2,n+ (z ) T 2,n+2 (z ) q (z ) q (z ) q 2 (z )... q n+ (z ). Ï Ð Ñ Ø Ø ÓÖ j =,...,n + 2 ( + z ) k T 2,j (z ) + ( z ) k T,j (z ) = r j (z ), z C. ¾º µ Ï ÔÖÓÚ Ø Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ jº Ç ÖÚ Ö Ø ÖÓÑ ¾º µ ¾º ¼µ Ø Ø ¾º µ ÓÐ ÓÖ

42 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¼ j = º Ð Ó ÖÓÑ ¾º ½µ ¾º ¼µ Ò ¾º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ z C r 2 (z ) =( z ) k q (z )r (z ) =( z ) k q (z )[( + z ) k q (z )( z ) k ] =[ q (z )]( + z ) k + [ + q (z )q (z )]( z ) k =T 2,2 (z )( + z ) k + T,2 (z )( z ) k, Ø Ö Ý ÔÖÓÚ Ò Ø Ø ¾º µ ÓÐ ÓÖ j = 2º ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø ¾º µ ØÖÙ ÓÖ j Ò j Û Ø j {2,..., n + }º ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò ÓØ Ó ¾º µ Ý q j (z ) Ý Ð ( + z ) k [ q j (z )T 2,j (z )] + ( z ) k [ q j (z )T,j (z )] = q j (z )r j (z ), z C. ¾º µ ÖÓÑ Ø Ò ÙØ Ú ÙÑÔØ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ø ( + z ) k T 2,j (z ) + ( z ) k T,j (z ) = r j (z ), z C. ¾º ¼µ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ Ò ¾º ¼µ Ò Ù Ò Ð Ó ¾º µ Ò ¾º µ Ø Ò Ý Ð ( + z ) k T 2,j+ (z ) + ( z ) k T,j+ (z ) = r j+ (z ), z C, Ø Ö Ý ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÙÖ Ò ÙØ Ú ÔÖÓÓ Ó ¾º µº Ø Ø ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ý ÓÓ Ò j = n + 2 Ò ¾º µ Ò Ò r n+2 (z ) = c Û Ù ( + z ) k U (z ) + ( z ) k V (z ) =, z C, ¾º ½µ

43 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ½ Û Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð U Ò V Ö Ú Ò Ý U (z ) = T 2,n+2(z ) c Ò V (z ) = T,n+2(z ), z C. ¾º ¾µ c Æ ÜØ ÖÓÑ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ü Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Q Ò R Ù Ø Ø ¾º½ µ ÓÐ Ø Ø ÓÖ z C z α V (z ) = Q (z )( + z ) k + R (z ), Û Ø R µ k, ¾º µ Ó Ø Ø ÖÓÑ Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ Ý ÓÓ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S S (z, z 2 ) = z α 2 2 R ( z ), z, z 2 C, ¾º µ Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø ¾º¾ µ ÓÐ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Û Ú Ø ÒØ ØÝ ( + z ) k S (z, z 2 ) ( z ) k S ( z, z 2 ) = z α z α 2 2, z, z 2 C. ¾º µ ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓÛ ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ Ø Ø S Ó Ò z 2 Ø Ø Ø Ö Ò z 2 α 2 Ò Ø Ø Ø Ö Ò z Ð Ø Ò k º Ï Ú ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÜÔÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓÐݹ ÒÓÑ Ð S Ó Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó S ½º Í ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ØÓ Ó Ø Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð {q j (z ) : j =,..., n + } Ò {r j (z ) : j =,...,n + 2} Û Ø r n+2 (z ) = c Ò ¾º ¾µº ¾º Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÕÙ Ò {T i,j (z ) : i =,, 2; j =,...,n + 2} Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ý Ñ Ò Ó ¾º µ ¾º µ Ò ¾º µº

44 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ º Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð U Ò V Ý ¾º ¾µ º Í Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ò Q Ò R Ù Ø Ø ¾º µ ÓÐ º Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ø Ò Ú Ò Ý ¾º µº Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S 2 ÙÒ Ö Ø ÓÒ ØÖ ÒØ α 2 < 2k 2 Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ Ø Ø Ó S º Ï ÔÖÓ ØÓ Ú Ò Ü ÑÔÐ Ý Ò Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S ÓÖ k = 2º Ì k = Û ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º Ò Û ÐÐ Ù ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ó Ø ÓÜ ÔÐ Ò ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ÔØ Ö ½º ÍÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò Ø ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð Ø k = 2 α {, 3} Ò Ð Ø α 2 N ÒÝ Ó ÒØ Öº Ç ÖÚ Ø Ø ÓÖ z C ( + z ) 2 =q (z )( z ) 2 + r (z ), Û Ø q (z ) = Ò r (z ) = 4z, ( z ) 2 =q (z )r (z ) + r 2 (z ), Û Ø q (z ) = 4 z 2 Ò r 2(z ) =. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ü T Ú Ò Ý T = ( + z ) 2 ( z ) 2 4z 4 z z z 2, Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º ¾µ Ý Ð Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð U Ò V Ö Ú Ò Ý U (z ) = 4 z, V (z ) = 4 z + 2, z C. ¾º µ

45 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ÌÛÓ ÓÙÖ α = Û Ù ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø ÓÖ z C z V (z ) = 4 z2 + 2 z = Q (z )( + z ) 2 + R (z ), Û Ø Q (z ) = 4 Ò R (z ) = 4 Ò Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ú Ò Ý S (z, z 2 ) = 4 zα 2 2, z, z 2 C. ¾º µ α = 3 Û Ù ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø ÓÖ z C z 3 V (z ) = 4 z4 + 2 z3 = Q (z )( + z ) 2 + R (z ), Û Ø Q (z ) = 4 z2 4 Ò R (z ) = 2 z + 4 Ò Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ú Ò Ý S (z, z 2 ) = 4 (2z )z α 2 2, z, z 2 C. ¾º µ Ç ÖÚ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÖÓÑ ¾º µ Ò ¾º µ Ø Ø Ø Ö Ó S Ò z Ð Ø Ò k = 2 Ò Ø Ø S Ó Ò z 2 Û Ø Ö α 2 Ò z 2 º Ö Ø ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ó Ñ ÝÑ ÓÐ Ï Ø Ø ÐÔ Ó Ä ÑÑ ¾º¾º½ Û Ò ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ º Ä ÑÑ ¾º¾º¾º ÓÖ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ A ÙÔÔÓ Ø Ö Ü Ø ÒØ Ö k, k 2 N Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ù Ø Ø ¾º½½µ ÓÐ Ò Ð Ø α Ò α 2 ÒÝ Ô Ö Ó Ó ÒØ Ö Ù Ø Ø α < 2k Ò α 2 < 2k 2 º Ì Ò ÓØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ ÓÐ

46 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I µ Ì Ö Ü Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð K K 2 Ò T 3 Ù Ø Ø Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B ÓÖ z, z 2 C \ {} Ø ÓÖÑ B(z, z 2 ) = 2 k +k 2 z 2α z 2α 2 2 [K (z, z 2 )K 2 (z, z 2 ) + T 3 (z, z 2 )( z 2 ) k 2 ], ¾º µ Û Ö Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 3 Ó Ò z 2 Ò Û Ø K K 2 Ø Ý Ò Ø Ö Ô Ø Ú ÒØ Ø ( + z ) k K (z, z 2 ) ( z ) k K ( z, z 2 ) = z α zα 2 2, ( + z 2 ) k 2 K 2 (z, z 2 ) ( z 2 ) k 2 K 2 (z, z 2 ) = z α z α 2 2,, z, z 2 C \ {}. ¾º ¼µ ÅÓÖ ÓÚ Ö K Ò K 2 Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÜÔÐ ØÐÝ Ý Ø ÜÔÖ ÓÒ ¾º½ µ ¾º½ µ Û Ø S T S 2 Ò T 2 Ö Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò Û Ö ÓØ K Ò T Ö Ó Ò z 2 º µ Ì Ö Ü Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð L L 2 Ò T 3 Ù Ø Ø Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B ÓÖ z, z 2 C \ {} Ø ÓÖÑ B(z, z 2 ) = 2 k +k 2 z 2α z 2α 2 2 [L (z, z 2 )L 2 (z, z 2 ) + T 3 (z, z 2 )( z ) k ], ¾º ½µ Û Ö Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T3 Ó Ò z Ò Û Ø L L 2 Ø Ý Ò Ö Ô Ø Ú Ò¹ Ø Ø ( + z ) k L (z, z 2 ) ( z ) k L ( z, z 2 ) = z α z α 2 2, ( + z 2 ) k 2 L 2 (z, z 2 ) ( z 2 ) k 2 L 2 (z, z 2 ) = z α z α 2 2,, z, z 2 C \ {}. ¾º ¾µ ÅÓÖ ÓÚ Ö L Ò L 2 Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÜÔÐ ØÐÝ Ý Ø ÜÔÖ ÓÒ ¾º½ µ ¾º½ µ Û Ø S T S 2 Ò T 2 Ö Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò Û Ö ÓØ L 2 Ò T 2 Ö Ó Ò z º

47 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ÈÖÓÓ º µ Ý Ò Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð H H(z, z 2 ) = A(z, z 2 ) + A(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º µ Û Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ H(z, z 2 ) + H( z, z 2 ) = 4, z, z 2 C \ {}. ¾º µ Ð Ó Ý Ù Ò ¾º½½µ Ò ¾º µ Û Ú Ø Ø H(z, z 2 ) = 2 2 k k 2 ( + z ) k G(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º µ Û Ö Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð G Ò Ý G(z, z 2 ) = ( + z 2 ) k 2 B(z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 B(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º µ Û Ø B ÒÓØ Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ Û ¾º½½µ Ø º ÁØ Ø Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º µ Ò ¾º µ Ø Ø G Ø Ø ÒØ ØÝ 2 k k 2 ( + z ) k G(z, z 2 ) + 2 k k 2 ( z ) k G( z, z 2 ) =, z, z 2 C \ {}. ¾º µ ÆÓÛ ÓÓ ÒÝ Ô Ö Ó Ó ÒØ Ö α, α 2 N Ù Ø Ø α < 2k Ò α 2 < 2k 2 º Ì Ò ÓÖ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð G Ú Ò Ý ¾º µ Û Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð K Ý G(z, z 2 ) = 2 k +k 2 z α z α 2 2 K (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}. ¾º µ ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º µ Ò ¾º µ Ø Ø K Ø Ø ÒØ ØÝ ( + z ) k z α z α 2 2 K (z, z 2 ) ( z ) k z α z α 2 2 K ( z, z 2 ) =, z, z 2 C \ {},

48 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ( + z ) k K (z, z 2 ) ( z ) k K ( z, z 2 ) = z α zα 2 2, z, z 2 C \ {}. ¾º µ À Ò ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ Ø Ö Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ Ð T Ù Ø Ø K (z, z 2 ) = S (z, z 2 ) + ( z ) k T (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, Û Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T Ø Ý Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ µº ¾º µ Ò ¾º µ Ý Ð H(z, z 2 ) = 4( + z ) k z α z α 2 2 K (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ÓÖ Ò ØÓ Û Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð H Ò Ý ¾º µ Ú Ò Ò z 2 Û Ù Ø Ø K Ó Ò z 2 Ò Ò Ð Ó ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ T Ð Ó Ó Ò z 2 º Æ ÜØ Û Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ý B(z, z 2 ) = 2 k +k 2 z 2α z 2α 2 2 B(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}. ¾º ¼µ ÖÓÑ ¾º µ Ò ¾º µ Û Ø Ò Ó Ø Ò ( + z 2 ) k 2 B(z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 B(z, z 2 ) = 2 k +k 2 z α z α 2 2 K (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º ¼µ ÓÛ Ø Ø B Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º ½µ ( + z 2 ) k 2 B(z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 B(z, z 2 ) = z α z α 2 2 K (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}. ¾º ¾µ

49 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ÁØ ÒÓÛ Ö Ñ Ò ØÓ Ò Bº ÌÓ Ø Ò Û Ö Ø Ó Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó ¾º ¾µ Ý ÓÒ Ö Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ò Ý B (z, z 2 ) = K (z, z 2 )K 2 (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º µ ÓÖ ÓÑ Ö ØÖ ÖÝ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð K 2 Ù Ø Ø B Ø ¾º ¾µ º º ( + z 2 ) k 2 B (z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 B (z, z 2 ) = z α z α 2 2 K (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}. ¾º µ Ë Ò K Ó Ò z 2 Û Ú ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} B (z, z 2 ) = K (z, z 2 )K 2 (z, z 2 ) = K (z, z 2 )K 2 (z, z 2 ), Ó Ø Ø ÖÓÑ ¾º µ Ò ¾º µ Ò Ø Ö Ú Ò Ý K (z, z 2 ) Û Ù Ø Ø Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð K 2 Ó Ò ØÓ Ø Ý Ø ÒØ ØÝ ( + z 2 ) k 2 K 2 (z, z 2 ) ( z 2 ) k 2 K 2 (z, z 2 ) = z α z α 2 2, z, z 2 C \ {}, ¾º µ Ø Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ò Ý ¾º µ Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µº ÙØ ¹ ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ Ø Ò Ö Ð Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÐÙØ ÓÒ K 2 Ó Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Ú Ò Ý K 2 (z, z 2 ) = S 2 (z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 T 2 (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, Û Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S 2 Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 2 Ø Ý Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ µº ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¾µ Ò ¾º µ ÒÓÛ Ý Ð ÓÖ z, z 2 C \ {} ( + z 2 ) k 2 [ B(z, z 2 ) B (z, z 2 )] = ( z 2 ) k 2 [ B(z, z 2 ) B (z, z 2 )], ¾º µ

50 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I Ò Ò Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ( + z 2 ) k 2 Ò ( z 2 ) k 2 Ú ÒÓ ÓÑÑÓÒ ØÓÖ Ø Ö Ü Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 3 Ù Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} B(z, z 2 ) B (z, z 2 ) = ( z 2 ) k 2 T 3 (z, z 2 ). ¾º µ ËÙ Ø ØÙØ Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò ¾º µ ÒØÓ ¾º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ z, z 2 C \ {} ( + z 2 ) k 2 ( z 2 ) k 2 T 3 (z, z 2 ) = ( z 2 ) k 2 ( + z 2 ) k 2 T 3 (z, z 2 ), ÖÓÑ Û Û Ù Ø Ø T 3 Ó Ò z 2 º Ð Ó Û Ù ÖÓÑ ¾º µ Ø Ø B(z, z 2 ) = B (z, z 2 ) + T 3 (z, z 2 )( z 2 ) k 2, z, z 2 C \ {}, Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º ¼µ Ò ¾º µ ÓÛ Ø Ø B Ò Ú Ò Ý ¾º µº µ Ý Ò Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð J J(z, z 2 ) = A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º µ Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ J(z, z 2 ) + J(z, z 2 ) = 4 z, z 2 C \ {}º Ì Ö Ø Ó ÔÖÓÓ Ø Ò Ù Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò µº Ì Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ ÆÓØ Ø Ø ¾º µ Ò ¾º ½µ Ý Ð ØÛÓ Ö ÒØ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ò Ä ÑÑ ¾º¾º¾º Ï ÔÖÓ Ö ØÓ Ú Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ B Û Ú Ö ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¾º µ Ò ¾º ½µº

51 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I Í Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò ¾º¾º¾ Û ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Û Ý Ð Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º º ÓÖ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð A ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÒØ Ö k, k 2 N Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ù Ø Ø ¾º½½µ ÓÐ º Ì Ò A Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÒÝ Ô Ö Ó Ó ÒØ Ö α Ò α 2 Ù Ø Ø α < 2k Ò α 2 < 2k 2 Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B ÓÖ z, z 2 C \ {} Ø ÓÖÑ B(z, z 2 ) =2 k +k 2 [ z 2α z 2α 2 2 T(z, z 2 )( z ) k ( z 2 ) k 2 ¾º µ + { S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) k } { S 2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 ) k 2 }], Û Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ò S 2 Ö Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ º º S Ò S 2 Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ò z 2 Ò Ó Ò z Ø Ý Ø Ý Ø Ö Ô Ø Ú ÒØ Ø ( + z ) k S (z, z 2 ) ( z ) k S ( z, z 2 ) = z α z α 2 2,, z, z 2 C, ¾º ¼µ ( + z 2 ) k 2 S 2 (z, z 2 ) ( z 2 ) k 2 S 2 (z, z 2 ) = z α zα 2 2, Û Ö Ð Ó S Ö Ð Ø Ò k Ò z Ò S 2 Ö Ð Ø Ò k 2 Ò z 2 º Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T, T 2 Ò T Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú Ò Ò z ÙØ Ó Ò z 2 Ú Ò Ò z 2 ÙØ Ó Ò z Ò Ó Ò ÓØ z Ò z 2 º ÈÖÓÓ º Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÔÖÓÓ Ò Ø Ò ÖÝ Ö Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ý Ø ÖØ Ò Û Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ò Ý ¾º µ Û Ø Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó ÓÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð L ÓÖ Ý Ø ÖØ Ò Û Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ò Ý ¾º ½µ Û Ø Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó ÓÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð K 2 º Ï Ø Ò ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ù ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ò ÖÝ Ö Ø ÓÒ Û ÙÔÔÓ Ø Ø A Ò Ò ÒØ ÖÔÓ¹ Ð ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ò ÓÒ Ö ÒÝ Ô Ö Ó Ó ÒØ Ö α α 2 N Ù Ø Ø α < 2k Ò α 2 < 2k 2 º

52 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¼ ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾º¾º¾ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B ÓÖ Û ¾º½½µ Ø Ø ÓÖÑ Ú Ò Ý ¾º µ Ò ¾º ½µ Û Ö Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð K 2 Ò ¾º µ Ò L Ò ¾º ½µ Ö ØÓ Ó Ò Ô Ò Ä ÑÑ ¾º¾º¾º Ï ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò ¾º¾º¾ Ø Ø Û Ñ Ý ÓÓ L = K ÓÖ Ò ØÓ Û Ø Ø Ò ÓÐ Ø Ø ÓØ K Ò L Ö Ú Ò Ò z Ò Ó Ò z 2 º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø ÖÓÑ ¾º½½µ Ò ¾º ½µ Ø ÓÐ Ø Ø A(z, z 2 ) =4( + z ) k ( z 2 ) k 2 z 2α z 2α 2 2 [ L (z, z 2 )L 2 (z, z 2 ) + T 3 (z, z 2 )( z ) k ], z, z 2 C \ {}, Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º½½µ ¾º ½µ Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ó ¾º ¾µ ÓÛ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 ) + A(z, z 2 ) =4( + z ) k z 2α z 2α 2 2 [z α zα 2 2 L (z, z 2 ) +( z ) k {( + z 2 ) k 2 T3 (z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 T3 (z, z 2 )}]. ¾º ½µ Æ ÜØ Û ÒÓØ Ø Ø Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 3 Ò K Ò ¾º µ Ö ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾º¾º¾ Ó Ò z 2 Û Ú ÖÓÑ ¾º½½µ Ò ¾º µ Ø Ø A(z, z 2 ) =4( + z ) k ( z 2 ) k 2 z 2α z 2α 2 2 [ K (z, z 2 )K 2 (z, z 2 ) T 3 (z, z 2 )( + z 2 ) k 2 ], z, z 2 C \ {}, Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º½½µ ¾º µ Ò Ø Ö Ø Ð Ò Ó ¾º ¼µ ÓÛ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 ) + A(z, z 2 ) = 4( + z ) k z 2α z 2α 2 2 [z α zα 2 2 K (z, z 2 )]. ¾º ¾µ

53 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ½ ÁØ Ø Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ¾º ½µ Ò ¾º ¾µ Ø Ø Ò Ð Ó Û Ú Ó Ò L = K Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 3 Ø ( + z 2 ) k 2 T3 (z, z 2 ) + ( z 2 ) k 2 T3 (z, z 2 ) =, z, z 2 C \ {}, ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ( + z 2 ) k 2 T3 (z, z 2 ) = ( z 2 ) k 2 T3 (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}. ¾º µ Ë Ò Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ( + z 2 ) k 2 Ò ( z 2 ) k 2 Ú ÒÓ ÓÑÑÓÒ ØÓÖ Û Ù ÖÓÑ ¾º µ Ø Ü Ø Ò Ó Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 4 Ø Ý Ò T 3 (z, z 2 ) = T 4 (z, z 2 )( z 2 ) k 2, z, z 2 C \ {}, ¾º µ Ó Ø Ø Ò T 3 Ó Ò z Û Ò Ø Ø T 4 Ó Ò z º Ð Ó Ý Ù Ø ØÙØ Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò ¾º µ Ó T 3 ÒØÓ ¾º µ Û Ó Ø Ò ( + z 2 ) k 2 ( z 2 ) k 2 T4 (z, z 2 ) = ( z 2 ) k 2 ( + z 2 ) k 2 T4 (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ÓÛ Ò Ø Ø T 4 Ð Ó Ó Ò z 2 º ÓÑ Ò Ò ¾º ½µ Û Ø ¾º µ Û Ù Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ó Ø ÓÖÑ B(z, z 2 ) = 2 k +k 2 z 2α z 2α 2 2 [L (z, z 2 )L 2 (z, z 2 ) + T(z, z 2 )( z ) k ( z 2 ) k 2 ], ¾º µ Û Ö T = T 4 Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ó Ò ÓØ z Ò z 2 º ÇÙÖ ÔÖÓÓ Ò Ø Ò ÖÝ Ö Ø ÓÒ ÒÓÛ ÓÑÔÐ Ø Ý ÔÔ Ð Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò ¾º¾º¾ Ò Ù Ò ¾º µ Û Ø Ô ÐÐÝ Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T 2 Ò Ä ÑÑ ¾º¾º½ µ Ó Ò ØÓ Ð Ó Ó Ò z º

54 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ¾ ÆÓØ ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º¾º½ Ò ¾º¾º¾ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ ¾º µ Ò Ñ Ð ÖÐÝ Ú Ý Ñ Ò Ó Ø Ó K 2 = L 2 Ò ¾º µº Æ ÜØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ù ÒØ Ö Ø ÓÒº ÌÓ Ø Ò ÙÔÔÓ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ô Ö Ó Ó ÒØ Ö α Ò α 2 Ù Ø Ø α < 2k Ò α 2 < 2k 2 Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ø ÓÖÑ Ú Ò Ý ¾º µº ÌÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð A Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ø Û ÐÐ Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø A Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½º ÌÓ Ø Ò Ò Ý ÙÑÔØ ÓÒ S 2 T 2 Ò T Ö Ó Ò z Ó ÖÚ ÖÓÑ ¾º½½µ Ò ¾º µ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 )+A( z, z 2 ) =4z 2α z 2α 2 2 ( + z ) k ( + z 2 ) k 2 [ T(z, z 2 )( z ) k ( z 2 ) k 2 + { S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) k } { S 2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 ) k 2 }] +4z 2α z 2α 2 2 ( z ) k ( + z 2 ) k 2 [ T(z, z 2 )( + z ) k ( z 2 ) k 2 + { S ( z, z 2 ) + T (z, z 2 )( + z ) k } { S 2 (z, z 2 ) T 2 (z, z 2 )( z 2 ) k 2 }], Û ØÓ Ø Ö Û Ø ¾º ¼µ Ý Ð ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 )+A( z, z 2 ) =4z 2α z 2α 2 2 ( + z 2 ) [ { k 2 z α z α 2 2 S2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 ) }] k 2. ¾º µ Ê ÔÐ Ò z 2 Ý z 2 Ò ¾º µ Ò Ù Ò Ø Ø Ø Ø T 2 Ú Ò Ò z 2 Û Ó Ø Ò ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 )+A( z, z 2 ) =4z 2α z 2α 2 2 ( z 2 ) [ ( k 2 z α zα 2 2 S2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( + z 2 ) )] k 2. ¾º µ

55 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I Ë Ò S 2 Ø ¾º ¼µ Ò ¾º µ Û Ø ¾º µ Ý Ð ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) + A(z, z 2 ) + A( z, z 2 ) = 4z 2α z 2α 2 2 [z α zα 2 2 (zα zα 2 2 )] = 4, Ø Ö Ý ÓÛ Ò Ø Ø Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð A Ø Ø ÒØ ØÝ ¾º µ Û ÓÒ¹ ÐÙ ÓÙÖ ÔÖÓÓ º ¾º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÜ ÔÐ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÒ Ö Ø Ñ ÝÑ ÓÐ A Ò Ã2 ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø ÓÜ ÔÐ Ò N Ú Ò Ý ½º½ µ Ò ØÓ Ø Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 Ú Ò Ý ½º ¾µº Ì Ò Û Ú A (z, z 2 ) =( + z )( + z 2 )B (z, z 2 ), z, z 2 C, à 2 (z, z 2 ) =( + z )( + z 2 ) B 2 (z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, ¾º µ ¾º µ Û Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ò Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B 2 Ö Ú Ò Ý B (z, z 2 ) =, z, z 2 C, B 2 (z, z 2 ) =( + z z 2 2 ¾º ¼µ ) z z 2, z, z 2 C \ {}. ¾º ½µ Ê ÐÐ ÖÓÑ ÔØ Ö ½ Ø Ø ÓØ A Ò Ã2 Ö ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ó Ø Ø ÓÖ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Û Ø k = k 2 = Ò α = α 2 = B Ò B 2 Ö Ó Ø ÓÖÑ ¾º µ ÓÖ ÓÑ Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T, T 2 Ò T Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú Ò Ò z ÙØ Ó Ò z 2 Ú Ò Ò z 2

56 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ÙØ Ó Ò z Ò Ó Ò ÓØ z Ò z 2 Ò ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ò S 2 Ø Ý Ò ( + z )S (z, z 2 ) ( z )S ( z, z 2 ) = z z 2, ( + z 2 )S 2 (z, z 2 ) ( z 2 )S 2 (z, z 2 ) = z z 2,, z, z 2 C, ¾º ¾µ Ù Ø Ø S Ò S 2 Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ò z 2 Û Ø Ö Ð Ø Ò k Ò z Ò Ó Ò z Û Ø Ö Ð Ø Ò k 2 Ò z 2 º Ï ÒÓÛ ÔÖÓ ØÓ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S Ò S 2 Ø Ý Ò ¾º ¾µº Ý Ù Ò Ø ÙÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¾ Û Ò Ø Ø Ø ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð U Ò V Ø Ý Ò ( + z )U (z ) + ( z )V (z ) =, z C, Ö Ú Ò Ý U (z ) = V (z ) = 2 z Cº Ð Ó Ý Ù Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Û Ó Ø Ò z V (z ) = z 2 = 2 ( + z ) 2 z C ÖÓÑ Û Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø R Ú Ò Ý R (z ) = 2 Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ S Ú Ò Ý S (z, z 2 ) = z 2 R ( z ) = 2 z 2, z, z 2 C. ¾º µ Í Ò Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Û ÓÛ Ø Ø S 2 Ú Ò Ý S 2 (z, z 2 ) = 2 z, z, z 2 C. ¾º µ Ç ÖÚ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ø S Ò S 2 Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ò z 2 Ò Ó Ò z º Ì ÓÜ ÔÐ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A ÓÒ Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T T 2 Ò T Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ý T (z, z 2 ) = 2 z 2, T 2 (z, z 2 ) = 2 z, T(z, z 2 ) =, z, z 2 C, ¾º µ

57 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I ÓÖ Ò ØÓ Û T Ú Ò Ò z ÙØ Ó Ò z 2 T 2 Ú Ò Ò z 2 ÙØ Ó Ò z Ò T Ó ÓØ Ò z Ò Ò z 2 º Í Ò ¾º µ ¾º µ Ò ¾º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ z, z 2 C 4z 2 z 2 2 [T(z, z 2 )( z )( z 2 ) +(S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ))(S 2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 ))] [( =4z 2 z2 2 2 z 2 ) ( 2 z 2( z ) 2 z )] 2 z ( z 2 ) ) ( )] =4z 2 z 2 2 = =B (z, z 2 ), [( 2 z 2z 2 z z 2 Ý Ú ÖØÙ Ó ¾º µ Ò ¾º ¼µº À Ò B = B Ó Ø ÓÖÑ ¾º µ Û Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S S 2 Ö Ú Ò Ý ¾º µ Ò ¾º µ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T T 2 Ò T Ú Ò Ý ¾º µº Ì Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ Ã 2 Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÒ Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T T 2 Ò T Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ý T (z, z 2 ) = 4 z 2, T 2 (z, z 2 ) = 4 z, T(z, z 2 ) = 6 z z 2, z, z 2 C, ¾º µ Ó Ø Ø T Ú Ò Ò z ÙØ Ó Ò z 2 T 2 Ú Ò Ò z 2 ÙØ Ó Ò z Ò T Ó ÓØ Ò z Ò Ò z 2 º Í Ò ¾º µ ¾º µ Ò ¾º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ z, z 2 C S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ) = 2 z 2 4 z 2( z ) = 4 z z z 2, S 2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 ) = 2 z 4 z ( z 2 ) = 4 z + 4 z z 2, T(z, z 2 )( z )( z 2 ) = 6 (z z 2 z 2 z 2 z z z 2 z 2 2),

58 À ÈÌ Ê ¾º ÌÀ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Å ËÃ Ë Å ÇÄË ÇÊ M = 2I Ó Ø Ø ÓÖ z, z 2 C T(z, z 2 )( z )( z 2 ) + (S (z, z 2 ) + T (z, z 2 )( z ))(S 2 (z, z 2 ) + T 2 (z, z 2 )( z 2 )) = 6 (z z 2 + z 2 z 2 + z z z2 z2 2 ) + 6 (z z 2 z 2 z 2 z z z2 z2 2 ) = 8 z z 2 ( + z z 2 ). ¾º µ ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò ÓØ Ó ¾º µ Ý 4z 2 z 2 2 Ý Ð ÓÖ z, z 2 C \ {} 4z 2 z z z 2 ( + z z 2 ) = z z 2 2 ( + z z 2 ) = B 2 (z, z 2 ), Ý Ú ÖØÙ Ó ¾º µ Ò ¾º ½µº À Ò B = B 2 Ó Ø ÓÖÑ ¾º µ Û Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð S S 2 Ö Ú Ò Ý ¾º µ Ò ¾º µ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T T 2 Ò T Ú Ò Ý ¾º µº

59 ÔØ Ö ÁÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Ì Ñ Ò Ø Ñ Ò Ø ÔØ Ö Ö Ø ÓÒ ÔØ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ú Ö Ø Ù Ú ÓÒ Ñ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Ë Ø ÓÒ º¾ Û Ù Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó ÒØ Ö¹ ÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Û Ö Ò Ë Ø ÓÒ º Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ö ÔÖ ÖÚ Ý Ø Ø Ö Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ¹ ØÓÖÝ Ñ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ö Ó Ò ØÓ Ø Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ º½ µ Ò º½ µ ÐÓÛº º½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÓÖ Ú Ò ÕÙ Ò a M (Z 2 ) Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ø Ù Ú ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ S a : M(Z 2 ) M(Z 2 ) Ò ÓÖ ÒÝ ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ý (S a c) = a M Tc, Z 2. º½µ

60 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë Ì Ö ÙÐØ Ò Ù Ú ÓÒ Ñ S a Ø Ò Ò Ö Ø ÓÖ Ú Ò ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø ÕÙ Ò {c (r) : r Z + } M(Z 2 ) Ý Ñ Ò Ó Ø Ö ÙÖ Ú ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ c () = c, c (r+) = S a (c (r) ), r Z +, º¾µ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ c (r) = S r a c r Z + Û Ö S a c = c, Sr+ a c = S a (S r a c), r Z +. º µ Ì ÕÙ Ò a ÐÐ Ø Ù Ú ÓÒ Ñ Ð Ó Ö ÖÖ ØÓ Ø Ñ Ò a Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ó ½º µ Ø Ò Ò º½µ Û Ú (S a c) M T = c, Z 2. º µ ÁÒ Ø Ø Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ r Z + Û Ð Ó Ú Ò º¾µ Ø Ø c (r+) M T = c (r), Z 2, º µ Û Ñ Ò Ø Ø Ø Ð Ú Ð Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ù Ú ÓÒ Ñ ÔÖÓ ÔÖ ÖÚ ÐÐ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ù Ú ÓÒ Ø Ô º ËÙ Ù Ú ÓÒ Ñ Ø Ò ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖݺ ÓÖ Ø M M(Z 2 ) Û Ý Ø Ø Ø Ù Ú ÓÒ Ñ S a ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒ M ÓÖ ÒÝ ÕÙ Ò c M Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ f C(R 2 ) Ô Ò Ò ÓÒ c Ù Ø Ø lim r Sr ac f(m r ) =, º µ Û Ö ÓÖ r Z + f(m r ) ÒÓØ Ø ÕÙ Ò {f(m r T ) : Z 2 }º Ì Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ f Û ÐÐ Ó Ø Ò ÒÓØ Ý S a cº

61 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ò ÕÙ Ò a M (Z 2 ) Û Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ T a : M(R 2 ) M(R 2 ) Ý T a f = a f(m ), f M(R 2 ). º µ Ì Ö ÙÐØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ T a Ø Ò Ò Ö Ø ÓÖ Ú Ò Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ g M(R 2 ) Ø ÕÙ Ò {f r : r Z + } Ý Ñ Ò Ó Ø Ö ÙÖ Ú ÓÖÑÙÐ f = g, f r+ = T a f r, r Z +, º µ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ f r = T r a g r Z + Û Ö Ta r+ f = f, Ta f = T a (Ta r f), r Z +. º µ Ì Ð ÓÖ Ø Ñ T a ØÓ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒ Ø M C (R 2 ) ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ g M Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ f C(R 2 ) Ù Ø Ø lim T a r g f =. r º½¼µ Ì Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ f Û ÐÐ Ó Ø Ò ÒÓØ Ý T a gº ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Û ÐÐ ÑÔÐÝ Ý ÓÖ Ù Ú ÓÒ Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒ M(Z 2 ) Ò ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒ C (R 2 ) º ÇÙÖ ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ ÔÖ ÒØ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ù Ú ÓÒ Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ º ÇÙÖ ÔÖÓÓ Ù Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò ÝÒ ¾ Û Ö ÓÒÐÝ Ø M = 2I Ù º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º½º ËÙÔÔÓ Ø Ø M Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò a Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ º

62 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë ¼ Ì Ò ÓÖ ÒÝ ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ò ÓÖ ÒÝ ÙÒØ ÓÒ f M(R 2 ) (Sa r c) f(m r ) = c (T r a f)( ), r Z +. º½½µ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÓ Ò Ø ÕÙ Ò c Ò º½½µ Ø ÐØ ÕÙ Ò δ Ò Ò ½º µ Ý Ð ÓÖ ÒÝ ÙÒØ ÓÒ f M(R 2 ) T r af = (S r aδ) f(m r ), r Z +. º½¾µ ÈÖÓÓ º Ä Ø f M(R 2 ) Ò c M(Z 2 )º Ö Ø ÒÓØ ÖÓÑ º µ Ò º µ Ø Ø º½½µ ØÖ Ú ÐÐÝ ÓÐ ÓÖ r = º Æ ÜØ Û Ù º µ ØÓ Ø Ö Û Ø º½µ Ò º µ ØÓ Ó Ø Ò (Sa r c) f(m r ) = = = = = (S r a (S r a (S r a a M T (Sa r c) f(m r ) c) a M Tf(M r ) c) a f(m r M T ) c) a f(m(m r ) ) (Sa r c) (T a f)(m r ) º = (Sa c) (Ta r f)( ) = c (Ta r f)( ), Ý Ú ÖØÙ Ó º µ Ø Ö Ý ÓÛ Ò Ø Ø º½½µ ÓÐ º

63 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë ½ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÓ Ò c = δ Ò º½½µ Ý Ð (Sa r δ) f(m r ) = δ (T r a f)( ) = T r a f, r Z +, f M(R 2 ). º¾ ËÙ Ú ÓÒ Ñ ÓÒÚ Ö Ò ÙÑ Ò Ø Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ü Ø Û ÔÖÓ ØÓ Ò ÐÝ Ø ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ó Ø Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ º Ç ÖÚ Ö Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ò Ø Ú Ð Ò Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ö Q 2 ÒØÓ Ø Ð Ó Ø Ø Ø Ý Ø D Ú Ò Ý D = { M r T : Z 2, r Z + }, º½ µ Ò Ò R 2 º Ï ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ º¾º½º ËÙÔÔÓ Ø Ø φ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Û Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) Ò Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Mº Ì Ò ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ð ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø ÙÒØ ÓÒ Φ Ò Ý Φ = c φ( ), º½ µ Ø µ Φ(Ñ) = cñ, Ñ Z 2 µ Φ(M r Ñ) = (S r a c) Ñ, r Z +, Ñ Z 2 º

64 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë ¾ ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÓÖ ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø Ù Ú ÓÒ Ñ S a Ò Ý º½µ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Φ Ú Ò Ý º½ µ Ó Ø Ø S a c = Φ Ò S a δ = φ, º½ µ Û Ö δ ÒÓØ Ø ÐØ ÕÙ Ò Ò Ý ½º µº ÈÖÓÓ º ÓÒ Ö ÕÙ Ò c M(Z 2 )º Ì Ò (i) Ë Ò φ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ º½ µ Ø Ø Φ(Ñ) = c φ(ñ ) = c Ñ, Ñ Z 2. (ii) Ë Ò φ Ö Ò Ð Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ º½ µ º½µ Ò º µ Ø Ø ÓÖ r Z + Ñ Z 2 Φ ( M r Ñ T) = = = = = c φ ( M r Ñ T ) c a φ ( M r+ Ñ T M T ) c a M Tφ ( M r+ Ñ T ) [ a M Tc ]φ(m r+ Ñ T ) (S a c) φ ( M r+ Ñ T ) º = (S r a c) φ(ñ ) =(S r a c) Ñ, º½ µ Ý Ú ÖØÙ Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó φº

65 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë µ ÁÒ Ø Ð ÕÙ Ò c µ Ö Ô Ó Φ Ò c ÙÖ º½ ËÙ Ú ÓÒ Sã(2) ÔÔÐ ØÓ c Ú Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ø D Ò Ý º½ µ Ò Ò R 2 Û Ù ÖÓÑ º½ µ Ø Ø Sa rc Φ(M r ) = r Z + Ò Ø Ö ÓÖ º µ ÓÐ º À Ò ÓÖ ÒÝ ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø Ù Ú ÓÒ Ñ S a ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Φ Ú Ò Ý º½ µ º º Sa c = Φº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÓ Ò c = δ Ò º½ µ Ý Ð Sa δ = φº Ò Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö Ø Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 ÖÓÑ ÔØ Ö ½ Ò Ø Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ã (2) Ú Ò Ý ½º ½µ º º ã (2), =, ã(2), = ã(2), = ã(2), = ã(2), = ã(2), = ã(2), =, 2 ã (2) i,j =, (i, j) / {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. º½ µ ÓÖ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ø Ù Ú ÓÒ Ñ Sã(2) ÓÒÚ Ö Òغ Ì Ö ÓÖ ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ð ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Φ = S ã (2) c Ù Ö ÒØ ØÓ Ü Øº ÓÓ Ò Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ò c Ø Ö ÔÓ ÒØ Ò ÙÖ º½ µ Ø Ö Ô Ó Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Φ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º½ µ ÓÛ Ò Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ ÖÚ Ý Ñ Ò Ó Ø Ù Ú ÓÒ ÔÖÓ º Ç ÖÚ ÓÛ Ú Ö Ø Ø Φ C(R 2 ) \ C (R 2 ) º º Φ Ò ÒÓÒ¹ ÑÓÓØ ÙÖ º

66 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë º ÈÖÓÔ ÖØÝ ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÛ Ø Ø ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ö ÔÖ ÖÚ Ý Ø Ø Ö Ø {f r : r Z + } Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÖ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ò a M (Z 2 ) Û ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ g Ò Ø Ñ T a g Ö ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ º Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ r Z + Û Ø Ò ÓÛ Ø Ø g Ò Tag r Ú ÓÑÑÓÒ ÔÖÓÔ¹ ÖØ Ó Ø Ø Ò Ø Û Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ Ý ÓÒ Ö Ò Ø Ð Ñ Ø r Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ T a g Ð Ó ÔÖ ÖÚ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ gº ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Û Ö Ø Ø Ø Û Ø ÓÙØ ÔÖÓÓ µ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ ÀÂ Ð Ó ÃÄ ¼ µ Û ÔÖ ÒØ Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a ÓÖ Ø ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ù Ú ÓÒ Ñ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ù Ú ÓÒ Ñ S a Ó Ø Û Ø Ò ÒØ ÖÔÓ¹ Ð ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M ÓÒÚ Ö Òغ Ì Ò a Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ a M T =, Z2. º½ µ ÁØ ÓÙÐ ÔÓ ÒØ Ö Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½ Ó ÒÓØ ÓÐ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ º½ µ ÒÓØ Ù ÒØ ÓÖ Ø Ù Ú ÓÒ Ñ S a ØÓ ÓÒÚ Ö º Æ ÜØ Û ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔ ÖØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖº Ì ÓÖ Ñ º º¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø M Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò a M (Z 2 ) Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ ÓÑ Ò Ø ÕÙ Ö [N, N 2 ] 2 Ò Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ò a Ø Ø

67 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë ÓÒ Ø ÓÒ º½ µº ËÙÔÔÓ Ò Ø ÓÒ Ø Ø M Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ [2α, 2β] 2 M[α, β] 2, α, β Z. º½ µ Ì Ò Ú Ò Ò Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ g M(R 2 ) Ø ÙÒØ ÓÒ {φ r = T r a g : r Z +} Ò Ö Ø Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ý Ñ Ò Ó º µ Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò µ Á ÙÔÔ(g) [N, N 2 ] 2 Ø Ò ÙÔÔ(φ r ) [N, N 2 ] 2 µ Á g C(R 2 ) Ø Ò φ r C(R 2 ) µ Á g Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ g( ) = δ, Z 2, º¾¼µ Ø Ò φ r Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ φ r ( ) = δ, Z 2 ; º¾½µ Úµ Á g Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ º º g(ü ) =, Ü R 2, º¾¾µ Ø Ò φ r Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ º º φ r (Ü ) =, Ü R 2. º¾ µ ÈÖÓÓ º Ï ÔÖÓ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ rº Ê ÐÐ Ö Ø ÖÓÑ Ø Ö ÙÖ Ú ÓÖÑÙÐ º µ ØÓ¹ Ø Ö Û Ø º µ Ø Ø φ r+ = T a φ r = a φ r (M ), r Z +. º¾ µ

68 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë Æ ÜØ ÓÖ r = ÙÔÔÓ Ø Ø Ò (i) (ii) (iii) Ò (iv) Ö Ô Ø Ú ÐÝ φ = g ÙÔÔÓÖØ ÓÒ [N, N 2 ] 2 ÓÒØ ÒÙÓÙ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò º¾¼µ Ò Ø Ý Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ º¾¾µº Ä Ø Ù ÒÓÛ Ü r Z + º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ (i) Á ÙÔÔ(φ r ) [N, N 2 ] 2 Ø ÓÐ Ø Ø ÓÖ Ü R 2 Ò [N, N 2 ] 2 MÜ T [N, N 2 ] 2 = MÜ T + [N, N 2 ] 2 [2N, 2N 2 ] 2 = Ü M ( + [N, N 2 ] 2) M [2N, 2N 2 ] 2. º¾ µ Ë Ò a ÙÔÔÓÖØ ÓÒ [N, N 2 ] 2 Ò Ò Ø Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ò [N, N 2 ] 2 Û Ù ÖÓÑ º¾ µ º¾ µ Ò º½ µ Ø Ø Ø ÙÔÔÓÖØ Ó φ r+ Ø ÙÔÔ(φ r+ ) ( M + [N, N 2 ] 2) M [2N, 2N 2 ] 2 [N, N 2 ] 2, [N,N 2 ] 2 [N,N 2 ] 2 Ý Ú ÖØÙ Ó º½ µº (ii) Á φ r ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ò Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Z 2 Ó Ø Ð Ø ÓÒ Ö ÓÒØ Ò¹ ÙÓÙ Ó Ø Ø ÖÓÑ º¾ µ Û Ù Ø Ø φ r+ Ð Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ º (iii) Á φ r ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò º¾½µ Û Ó Ø Ò ÖÓÑ º¾ µ Ò ½º µ Ø Ø ÓÖ Z 2 φ r+ ( ) = a φ r (M T ) = a M T = δ. (iv) Á φ r Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ò Û Ú ÓÖ Ü R 2 Ø Ø φ r (MÜ ) =, º¾ µ

69 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë Û ØÓ Ø Ö Û Ø º¾ µ Ò º½ µ Ý Ð ÓÖ Ü R 2 φ r+ (Ü ) = = = = a φ r (MÜ M T ) a M Tφ r (MÜ ) [ a M T φ r (MÜ ) ] φ r (MÜ ) =, Û Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ Ò ÙØ Ú ÔÖÓÓ º ÁÒ Ø Û Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ Û ÓÛ Ò Ø Ö ÙÐØ ÐÓÛ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ ÔÖ ÖÚ ÖØ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º º º ÍÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ º º¾ Û Ø Ô ÐÐÝ g Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò µ ØÓ Úµ Ó Ø Ø Ø ÓÖ Ñ Ð Ó g C (R 2 ) Ò Ø ÕÙ Ò a Ù Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ º µ ÓÒÚ Ö ÒØ Û Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ φ Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ µ φ C (R 2 ) µ Á ÙÔÔ(g) [N, N 2 ] 2 Ø Ò ÙÔÔ(φ) [N, N 2 ] 2 µ φ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ò a Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ø Ý Ò Ð Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ φ(ü ) =, Ü R 2. º¾ µ ÈÖÓÓ º (i) Ë Ò g C (R 2 ) Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ º º µ Ò µ Ø Ø φ r = T r a g C (R 2 ) r Z + Ó Ø Ø Ø ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö ÙÐØ φ φ r r Ø Ò Ý Ð φ C (R 2 )º

70 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë (ii) ËÙÔÔÓ Ø Ø ÙÔÔ(g) [N, N 2 ] 2 Ò Ð Ø Ü / [N, N 2 ] 2 Ó Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º º µ Ý Ð φ r (Ü) = r Z + º À Ò φ(ü) = φ(ü) φ r (Ü) φ φ r, r, Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø φ(ü) = º º ÙÔÔ(φ) [N, N 2 ] 2 º (iii) ÓÖ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ º º¾ µ φ r ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ÓÖ Ú ÖÝ r Z + Ó Ø Ø ÓÖ Z 2 φ( ) δ = φ( ) φ r ( ) φ φ r, r, Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø φ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò ½º¾µº ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ø φ Ø Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½µ Û Ù º µ Ò º µ ØÓ Ó Ø Ò φ T a φ φ φ r+ + T a (φ r φ) [ ] φ φ r+ + a φ r φ, r, º º φ = T a φ Û ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ½º½µº Ò ÐÐÝ Ò φ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò Ö Ò Ð Û Ù ÖÓÑ º½ µ Ø Ø ÓÖ Z 2 Ò r Z + φ ( M r T ) = = = a φ ( M r+ T M T ) a M Tφ ( M r+ T ) [ a M T ] φ ( M r+ T )

71 À ÈÌ Ê º ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ ËÍ ÁÎÁËÁÇÆ Ë À Å Ë = φ ( M r+ T ) º = φ ( ) = φ( ) =, ÖÓÑ Û Û ÓÒÐÙ Ý Ö ÐÐ Ò Ð Ó Ø Ø Ø Ø Ø Ý Ø D Ò º½ µ Ò Ò R 2 Ø Ø φ Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ º¾ µº ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÚ Ö¹ Ò ÑÔÐ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ü Ø Ò Û Ò ØÙÖÒ ÑÔÐ Ù Ú ÓÒ ÓÒÚ Ö Ò º Ö Ô Ð ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ö ÔÖÓÚ Ò ÔØ Ö º

72 ÔØ Ö Ü Ø Ò Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Û ÔÖ ÒØ Ò Ø ÔØ Ö Ø Ö Ñ Ø Ó ØÓ ÔÖÓÚ ÓÖ Ú Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒº Ì Ö Ø Ñ Ø Ó ÓÒ Ö ÙÐØ Ý Å ÐÐ Å ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Û Ö ØÓÖ Þ Ð Ò Û Ö ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÓÒ Ø ØÓÖÙ T º Ì ÓÒ Ñ Ø Ó Ö Ò Ë Ø ÓÒ º¾ ÓÒ Ø Ó Ù Ò Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ö Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ º Ò ÐÐÝ Ø Ø Ö Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ º ÓÒ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ò Ö ÐÐÝ ÔÔÐ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ø Ý Ò Ö ÓÖ Ö ÙÑ ÖÙÐ º Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÔØ Ø Ø ÓÒ Ø Ø Ó ÝÑÑ ØÖÝ Û Û ÔÖÓ ØÓ Ò ÓÐÐÓÛ º ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ò a M (Z 2 ) ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ a( i, j) =a(i, j) = a(i, j), (i, j) Z 2, a( i, j) =a(i, j), (i, j) Z 2, a(j, i) =a(i, j), (i, j) Z 2. º½µ º¾µ º µ ¼

73 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ Ï Ý Ø Ø a ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø ØÛÓ Ü a Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ º½µ ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø ÓÖ Ò a Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ º¾µ Ò ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø Ð Ò y = x a Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ º µº º½ ÓÖ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ñ ÓÒ Ö Ø ØÓÖÙ T Ò Ø Ù Ø T Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ý T = {( ix, ix 2 ) : x, x 2 R} Ò T = {( ix, ix 2 ) : x, x 2 R, x, x 2 π/2}. Ñ a M (Z 2 ) Ø ÖÑ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A Ò Ý ½º µ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÓÒ Ø ØÓÖÙ T º º A( ix, ix 2 ), x, x 2 R. º µ Ì Ö ÙÐØ ÐÓÛ ÔÖ ÒØ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒº Ï Ö Ö ØÓ Å ÓÖ Ø ÔÖÓÓ º Ì ÓÖ Ñ º½º½º ÓÒ Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Ò ÙÔÔÓ Ø Ø a M (Z 2 ) ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ º ËÙÔÔÓ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÒØ Ö k, k 2 N Ò Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð B Ù Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A Ó Ø ÓÖÑ A(z, z 2 ) = 2 2 k k 2 ( + z ) k ( + z 2 ) k 2 B(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, º µ Û Ø B(, ) = Ò B(z, z 2 ) ÓÖ (z, z 2 ) T º Ì Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ a C (R 2 ) Ü Ø º

74 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ¾ Ü ÑÔÐ ½ ÓÒ Ö Ø Ñ ÝÑ ÓÐ G Ò Ý G (z, z 2 ) = 4 ( + z ) 2 ( + z 2 ) 2 z z 2, z, z 2 C \ {}. º µ Ï Ú Ö Ý Ø Ø G Ø ¾º½µ º º G ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖݺ ÅÓÖ ÓÚ Ö G Ó Ø ÓÖÑ º µ Û Ø k = k 2 = 2 Ò B(z, z 2 ) = z z 2 z, z 2 C \ {}º Í Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó G Ò º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ x, x 2 R G ( ix, ix 2 ) = + ( ix + ix + ix 2 + ) ix ( i(x +x 2 ) + i(x +x 2 ) + i(x x 2 ) + ) i(x x 2 ) 4 = + cosx + cosx [cos(x + x 2 ) + cos(x x 2 )] = + cosx + cosx 2 + cosx cos x 2 =( + cosx )( + cos x 2 ), Ø Ø G ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÓÒ Ø ØÓÖÙ T º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò B(z, z 2 ) = z z 2 z, z 2 C \ {} Û Ð ÖÐÝ Ú B(, ) = Ò B(z, z 2 ) z, z 2 T º À Ò ÓÖ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ º½º½ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ C (R 2 ) Ü Ø º Ü ÑÔÐ ¾ ÓÒ Ö Ò ÜØ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ã 2 Ú Ò Ý ½º ¾µ º º ( ) + z z 2 à 2 (z, z 2 ) = ( + z )( + z 2 ) z z2, z, z 2 C \ {}, º µ 2

75 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÓÖ Ò ØÓ Û Ã 2 Ó Ø ÓÖÑ º µ Û Ø k = k 2 = Ò ( ) + z z 2 B(z, z 2 ) = z 2 z 2 z, z 2 C \ {}º Ê ÐÐ ÖÓÑ ÔØ Ö ½ Ø Ø Ã2 ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ¹ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 C (R 2 ) Ú Ò Ý ½º ¼µº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ã2 ÒÓØ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÓÒ Ø ØÓÖÙ T º Ñ ØØ Ö Ó Ø Ý Ù Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ã2 Ò º µ Û Ó Ø Ò ÓÖ x, x 2 R à 2 ( ix, ix 2 ) = + 2 ( ix + ix + ix 2 + ix 2 + i(x +x 2 ) + i(x +x 2 ) ) = + cosx + cosx 2 + cos(x + x 2 ). Ë Ò Ã2( i2π/3, i2π/3 ) = 2 < Û Ù Ø Ø Ã2 ÒÓØ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÓÒ Ø ØÓÖÙ T º Ì Ö ÓÖ Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ö Ö Ñ ÝÑ ÓÐ Û Ö ÒÓØ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÖÐ ÙØ ÓÖ Û ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ü Øº À Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ü Ø Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º½º½ Ö Ù ÒØ ÙØ ÒÓØ Ò Öݺ º¾ Ì Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ì Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ö Ý Ù Ò Ä¼¾ Ð Ó ÝÒ ¾ µ Ý Ð Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ó ØÓ Ò Ö Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ú Ò ØÛÓ ÙÒ Ú Ö Ø ÙÒØ ÓÒ φ Ò ψ Ø Ú Ö Ø ÙÒØ ÓÒ φ Ó Ø Ò Ý Ø Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó φ Ò ψ Ò Ö Ø ÓÑ Ó Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ØÛÓ ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÙÒØ ÓÒ φ Ò ψº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö φ Ò ψ Ö ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò Ö Ò Ð Ø Ò φ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò Ö Ò Ð º Ú Ò ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ φ C α (R) Ò ψ C α 2 (R) α, α 2 Z + Û Ò Ø Ø Ò ÓÖ

76 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÔÖÓ ÙØ φ = φ ψ Ø ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý φ(x, y) = φ(x) ψ(y), (x, y) R 2, º µ Ó Ø Ø φ C α (R 2 ) Û Ö α = min{α, α 2 }º Ä Ø ϕ M (R)º Ï Ý Ø Ø ϕ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ ϕ(j) = δ j j Z Ø Ø ϕ Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ j ϕ(x j) = x R Ò Ø Ø ϕ Ö Ò Ð Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò a M (Z) ÐÐ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ Ù Ø Ø ϕ = j a j ϕ(2 j)º Ï Ö ÒÓÛ Ð ØÓ ÔÖ ÒØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ º¾º½º ËÙÔÔÓ Ø Ø φ C α (R) Ò ψ C α 2 (R) α, α 2 Z + Ö Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ã Ò b Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ò Ø Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ φ Ò Ý º µ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ñ a Ú Ò Ý a j,k = ã j bk, (j, k) Z 2. º µ ÅÓÖ ÓÚ Ö φ Ò ψ Ö ÓØ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ò φ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒº Ð Ó φ Ò ψ ÓØ Ø Ý Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò φ Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ º¾ µº ÈÖÓÓ º Ë Ò φ Ò ψ Ö Ö Ò Ð Û Ù ÖÓÑ º µ Ø Ø ÓÖ (x, y) R 2 φ(x, y) = φ(x) ψ(y) = ã j φ(2x j) bk ψ(2y k) j k = ã j bk φ(2x j) ψ(2y k) j k = a j,k φ(2x j, 2y k), j,k

77 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ÓÖ Ò ØÓ Û φ Ö Ò Ð Û Ø Ó Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Ò Ñ a Ú Ò Ý º µº Á φ Ò ψ Ö ÓØ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ø Ò ÓÖ = (i, j) Z 2 φ( ) = φ(i, j) = φ(i) ψ(j) = δ i δ j = δ, ÔÖÓÚ Ò Ø Ø φ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò ½º¾µº Á φ Ò ψ ÓØ Ø Ý Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ Ø Ò Û Ú ÓÖ Ü = (x, y) R 2 φ(ü ) = i,j [ ] [ φ(x i, y j) = φ(x i) i j ψ(y j) ] =, Û ÓÛ Ø Ø φ Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ º¾ µº ÒÓØ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ý Ã B Ò A Ø Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ñ ã b Ò a Ò Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ º µ Ø Ø ÓÖ z, z 2 C \ {} A(z, z 2 ) = j,k ( )( ) a j,k zz j 2 k = ã j z j bk z2 k = Ã(z ) B(z 2 ). º½¼µ j k Ì Ö ÙÐØ ÐÓÛ Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ º¾º½º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾º¾º Ú Ò Ñ ÝÑ ÓÐ A ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ã Ò B Ù Ø Ø º½¼µ ÓÐ º Á Ø Ö Ü Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ C α (R) Ò ψ C α 2 (R) α, α 2 Z + ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ã Ò B Ø Ò Ø Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ φ = φ ψ C α (R2 ) Û Ö α = min{α, α 2 } Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ó Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü 2I Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÓÐ Aº

78 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ ËÙÔÔÓÖØ Ó Ø Ñ Ó Ø Û Ø φ = h h µ Ö Ô Ó φ = h h ÙÖ º½ Ì Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ h Ò Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ h C (R) Ò Ý h(x) = x +, x [, ), x, x [, ),, x R \ [, ), º½½µ Û ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð Ò ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð [, ] Ò Û Ó ¹ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ã h Ú Ò Ý Ã h(z) = 2 ( + z)2 z = + 2 (z + z ), z C \ {}. º½¾µ ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ø Ø φ = h h C (R 2 ) Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÕÙ Ö [, ] 2 º Ì Ö Ô Ó φ Ú Ò Ò ÙÖ º½ µ Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ð Ñ Ø Ø Ý Ø ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ º½ µº

79 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ ËÙÔÔÓÖØ Ó A D µ Ö Ô Ó φ D = φ D φ D ÙÖ º¾ Ì Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ù Ù¹ Ð ÙÖ Ö φ D ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ù ÖÓÑ º½¾µ Ò º½¼µ Ø Ø Ø Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ã Ú Ò Ý Ã(z, z 2 ) = à h(z ) à h(z 2 ) = 4 ( + z ) 2 ( + z 2 ) 2 z z 2, z, z 2 C \ {}. º½ µ Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ã Ú Ò Ý º½ µ Ò Ø Ñ ÝÑ ÓÐ G Ú Ò Ý º µ Ö Ø Ñ Û Ñ Ò Ø Ø Ø Ý ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ñ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ Û Ü Ø Ò Ù Ö ÒØ Ý ÓØ Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ò Ì ÓÖ Ñ º½º½º Æ ÜØ ÓÒ Ö Ø Ù Ù¹ Ð ÙÖ Ö ÙÒØ ÓÒ φ D ÀÙÒ¼ Ð Ó Î À¼ µ Û ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð Ò ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð [ 3, 3] Ò Û Ó Ø Ñ ÝÑ ÓÐ Ã D Ú Ò Ý Ã D (z) = (z + z ) 6 (z3 + z 3 ) = 6 z 2 ( + z) 4 (4 z z ), z C \ {}. º½ µ

80 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ Ö Ô Ó ΦÃ Ò c µ Ö Ô Ó Φ A D Ò c ÙÖ º ËÙ Ú ÓÒ SÃ Ò S A D ÔÔÐ ØÓ c Ë Ò Ð Ó φ D C (R) Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ø Ø φd = φ D φ D C (R2 ) Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÕÙ Ö [ 3, 3] 2 º Û Ù ÖÓÑ º½ µ Ò º½¼µ Ø Ø Ø Ó Ø Ñ ÝÑ ÓÐ A D Ú Ò Ý A D (z, z 2 ) = 256 (+z ) 4 (+z 2 ) 4 z 2 z 2 2 (4 z z )(4 z 2 z 2 ), z, z 2 C\{}. º½ µ Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ö Ô Ó φ D ÓÛÒ Ò ÙÖ º¾ µ Ò ÑÓÓØ ÙÖ ÑÔÐ Ý Ì ÓÖ Ñ º¾º½º Ì ÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ A D Ð Ñ Ø Ø Ý Ø ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ º¾ µº Ä Ø Ù ÒÓÛ Ù Ø ÓÒØÖÓÐ ÔÓ ÒØ c ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º½ µ Ò ÒÓØ Ý SÃ Ò S A D Ø Ù Ú ÓÒ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ã Ò AD Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú Ò Ý º½ µ Ò Ý º½ µº Ï ÓÛ Ò ÙÖ º µ Ò µ Ø Ö Ô Ó Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ ΦÃ Ò Φ A D ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø Ù Ú ÓÒ Ñ SÃ Ò S A D Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ò cº Ç ÖÚ Ø Ø Φ A D C (R 2 ) º º Φ A D Ò ÑÓÓØ ÙÖ Û Ö ÓØ ΦÃ Ò ÙÖ º µ Ò Φ Ò ÙÖ º½ µ Ò ÒÓÒ¹ ÑÓÓØ ÙÖ º ÁÒ Ò Ö Ð ÑÓÓØ Ö

81 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ó Ø Ò Ý Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ý Ø Ø Ý ÔÖ ÒØ Ø Ú ÒØ Ó Ú Ò Ð Ö ÙÔÔÓÖØ º º Å ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ ÙÑ ÖÙÐ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ù ÖÓÑ ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ü Ø Ò Ó Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Û Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÖÓÑ ÙÑ ÖÙÐ º ÓÖÖÓÛ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ò À¼¼ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Û Ý Ø Ø ÕÙ Ò a M(Z 2 ) Ø Ø ÙÑ ÖÙÐ Ó ÓÖ Ö k N a ε+β p(ε + β) = a β p(β), ε Z 2, p Π k, β MZ 2 β MZ 2 º½ µ Û Ö Π k ÒÓØ Ø Ø Ó Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ØÓØ Ð Ö Ø ÑÓ Øµ k º Ë Ò Π k Ò Ö Ø Ý Ø ÑÓÒÓÑ Ð Ð z µ zµ 2 2 : (µ, µ 2 ) Z 2 +, µ + µ 2 k Û Ó ÖÚ ÖÓÑ ½º µ Ø Ø ÓÖ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ º½ µ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ (β,β 2 ) MZ 2 a ε +β,ε 2 +β 2 (ε + β ) µ (ε 2 + β 2 ) µ2 = δ (µ,µ 2 ), µ + µ 2 k, º½ µ ÓÖ (µ, µ 2 ) Z 2 + Ò (ε, ε 2 ) Z 2 Û Ö δ ÒÓØ Ø ÐØ ÕÙ Ò Ò Ý ½º µº Í Ò Ø Ò Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò ÀÂ Û Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø ØÛÓ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÙÑ ÖÙÐ º½ µ ÓÐ Û Ò Ú Ö µ ÓÖ µ 2 Ò Ó ÒÙÑ Öº ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÒ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) Ò ÙÔÔÓ Ø Ø a

82 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ¼ ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø ØÛÓ ÓÓÖ Ò Ø º Á µ Ó Û Ú ÓÖ µ 2 Z + Ò (ε, ε 2 ) Z 2 a ε +β,ε 2 +β 2 (ε + β ) µ (ε 2 + β 2 ) µ2 (β,β 2 ) MZ 2 = a ε β,ε 2 +β 2 (ε + β ) µ (ε 2 + β 2 ) µ2 (β,β 2 ) MZ 2 = a ε +β,ε 2 +β 2 (ε + β ) µ (ε 2 + β 2 ) µ2, (β,β 2 ) MZ 2 Ò Ø Ù (β,β 2 ) MZ 2 a ε +β,ε 2 +β 2 (ε + β ) µ (ε 2 + β 2 ) µ2 = = δ (µ,µ 2 ). Ï ÔÔÐÝ Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Û Ö µ 2 Ó º ÓÖ Ò ØÓ ÀÂ Ð Ó À¼¼ µ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ C (R 2 ) Ø Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô S(φ) Ò Ö Ø Ý φ Ò Ý { } S(φ) = c φ( ), c M(Z 2 ), º½ µ ÓÒØ Ò Π k Ò ÓÒÐÝ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) Ó Ø Û Ø φ Ø Ø ÙÑ ÖÙÐ Ó ÓÖ Ö k Nº ÖÓÑ Ø Ô Ö Ô Ø Ú Ø Ñ Ò Ð ØÓ Ú Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ø Ø Ø Ø ÙÑ ÖÙÐ Ó Ò ÓÖ Ö ÔÓ Ð º ÁÒ À ÓÑ Ò Ø ÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÒØ ÖÔÓ¹ Ð ØÓÖÝ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙØ Ý ÓÐÚ Ò ÓÖ Ø ÕÙ Ò a ÖÓÑ Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ º½ µº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ü Ø Ò Ó Ø Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ö ÒÓØ ÒÚ Ø Ø º Ì ÑÓØ Ú Ø Ù ØÓ ÒÚ Ø Ø ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Û Ø Ö ÓÖ ÓÑ Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÀÂ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ü Øº

83 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ½ Ú Ò Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a M (Z 2 ) Û Ù Ø ÐØ ÕÙ Ò δ Ò Ò ½º µ Û ÐÐ Ø Ý Ø D Ò Ò º½ µ ØÓ Ù ÖÓÑ º½¾µ Ø Ø ÓÖ f M(R 2 ) T r a f(m r T ) = (S r a δ) f( ), Z 2, r Z +, ÓÖ Ò ØÓ Û Ø ÙÒØ ÓÒ f Ø f( ) = δ Z 2 Ø Ò Ø ÓÐ Ø Ø T r af(m r T ) =(S r aδ), Z 2, r Z +. º½ µ ÓÒ Ö Ò Ø Ò Ò Ò Ø Ð ÙÒØ ÓÒ g C (R 2 ) Ó Ò ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ò Ö Ò Ð Û ÐÐ Ù Ø Ð ÓÖ Ø Ñ T a Ò Ò º µ ØÓ Ö Û Ø Ö Ô Ó φ = g φ = T a g Ò φ 2 = Tag 2 Ý Ñ Ò Ó Ø ÓÖÑÙÐ º µº Ë Ò Ú ÐÙ Ø Ò φ r = Tag r ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÒØ Ò ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ Ó r Z + Û ÐÐ Ö Ø Ö Ù º½ µ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ô Ó φ r º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÖ r 3 Û ÔÐÓØ Ø ÕÙ Ò Ó ÔÓ ÒØ (M r T, (S r a δ) ) Z 2 Ò Ö Ø Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ý Ñ Ò Ó Ø Ù Ú ÓÒ Ñ S r a Ò Ò º µº Ì ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ g 2 Ò h 2 Ä Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Ü Ò Ð Ø a M (Z 2 ) Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ÐÐ Ù Ø Ø ÓÜ ÔÐ Ò Ñ2 C (R 2 ) Ò Ý ½º ¼µ Ø Ò Ø Ð ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ta r r Z + Ú Ò Ý º µº ÓÖ Ò ØÓ º½ µ Ø Ñ a M (Z 2 ) Ø Ø ÙÑ ÖÙÐ Ó ÓÖ Ö k Z + β,β 2 a(ε + 2β, ε 2 + 2β 2 )(ε + 2β ) µ (ε 2 + 2β 2 ) µ2 = δ (µ,µ 2 ), µ + µ 2 k, º¾¼µ

84 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË ¾ Û Ö (µ, µ 2 ) Z 2 + Ò (ε, ε 2 ) {(, ), (, ), (, ), (, )}º Ì ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a = g 2 À ÓÒØÖÙØ Ò Ù Û Ý ØÓ Ø Ý Ø ÙÑ ÖÙÐ Ó ÓÖ Ö 4 Ò ØÓ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø Ø {(α, α 2 ) : α + α 2 4}º ÁØ Ó Ø Ò Ý ÓÐÚ Ò Ø Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º¾¼µ ÓÖ k = 4 Ø Ö ØØ Ò Ð Ó a(i, j) = i + j 5 Ý Ð Ò Ø Ú ÐÙ a(i, j) = g 2 (i, j) Ú Ò Ý g 2 (, ) =, g 2 (3, ) =g 2 ( 3, ) = g 2 (, 3) = g 2 (, 3) = 6, g 2 (, ) =g 2 (, ) = g 2 (, ) = g 2 (, ) = 9 6, g 2 (, ) =g 2 (, ) = g 2 (, ) = g 2 (, ) = 5 6, g 2 (3, ) =g 2 ( 3, ) = g 2 (3, ) = g 2 ( 3, ) = 32, g 2 (, 3) =g 2 (, 3) = g 2 (, 3) = g 2 (, 3) = 32. Ì Ñ ÝÑ ÓÐ G 2 Ó Ø Û Ø g 2 Ú Ò Ý G 2 (z, z 2 ) = 6 (z 3 + z 3 + z z 3 2 ) (z + z + z 2 + z 2 ) (z z 2 + z z 2 + z z2 + z z 2 ) 32 b(z, z 2 ), z, z 2 C \ {}, º¾½µ Û Ö b(z, z 2 ) = z 3z 2 + z 3 z2 + z z2 3 + z z2 3 + z z2 3 + z z2 3 + z 3 z 2 + z 3z 2 ÓÖ z, z 2 C \ {}º ÆÓØ Ø Ø G 2 Ò Ö ¹ÛÖ ØØ Ò G 2 (z, z 2 ) = [ 6 ( + z ) 2 ( + z 2 ) 2 z 2 z 2 2 z z2 2 + z2 z 2 2 (z z2 3 + z3 z 2) ] 2 (z z2 + z z 2) + z + z 2 + 2z z 2, z, z 2 C \ {}.

85 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ Ö Ô Ó T g2 Ñ 2 µ Ö Ô Ó T 2 g 2 Ñ 2 ÙÖ º Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ g 2 Ç ÖÚ ÒÓÛ ÖÓÑ º¾½µ Ø Ø ÓÖ x, x 2 R G 2 ( ix, ix 2 ) = 8 [cos(3x ) + cos(3x 2 )] [cos x + cosx 2 ] cos(x + x 2 ) cos(x x 2 ) 6 [cos(3x + x 2 ) + cos(x + 3x 2 )] 6 [cos(x 3x 2 ) + cos(3x x 2 )], = 8 [cos(3x ) + cos(3x 2 )] [cos x + cos x 2 ] cos x cos x 2 8 [cos(3x ) cos x 2 + cosx cos(3x 2 ). ÆÓØ Ò Ø Ø G 2 ( i7π/6, i7π/6 ) =.44 3 < Û Ù Ø Ø g 2 ÒÓØ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ó Ø Ø Û Ò ÒÓØ ÔÔ Ð ØÓ Ì ÓÖ Ñ º½º½ ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ g2 º Æ Ú ÖØ Ð Û Ó ÖÚ ÖÓÑ ÙÖ º µ Ò µ Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ T g2 Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö Òغ À Ò Û ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ù Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ¹ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ g2 Ü Ø ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º µ Û Ð Ó ÓÛ Ø Ø φ g2 Ñ ØÓ Ó Ð C º º φ g2 C (R2 )º Ì ÙÔÔÓÖØ Ó g 2 Ð Ñ Ø Ø Ý Ø ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ º µ ÓÖ Ò ØÓ Û g 2 ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Ø ØÛÓ Ü Ò

86 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ ËÙÔÔÓÖØ Ó g 2 µ Ö Ô Ó φ g2 ÙÖ º Ê Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ g 2 ÓÙØ Ø Ð Ò y = xº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a = h 2 À ÓÒ ØÖÙØ Ò Ù Û Ý ØÓ Ø Ý Ø ÙÑ ÖÙÐ Ó ÓÖ Ö 4 Ò ØÓ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø Ø {(α, α 2 ) : α + α 2 4, α α 2 3}º ÁØ Ó Ø Ò Ý ÓÐÚ Ò Ø Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º¾¼µ ÓÖ k = 4 Ø Ö ØØ Ò Ð Ó a(i, j) = i + j 5 ÓÖ i j 4 Ý Ð Ò Ø Ú ÐÙ a(i, j) = h 2 (i, j) Ú Ò Ý h 2 (, ) =, h 2 (3, ) =h 2 ( 3, ) = h 2 (, 3) = h 2 (, 3) = 6, h 2 (, ) =h 2 (, ) = h 2 (, ) = h 2 (, ) = 9 6, h 2 (, ) =h 2 (, ) = 2, h 2 (, ) =h 2 (, ) = 8, h 2 (3, ) =h 2 ( 3, ) = h 2 (, 3) = h 2 (, 3) = 6. ÆÓØ Ø Ø h 2 Ñ ÐÐ Ö ÙÔÔÓÖØ Ø Ò g 2 Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ñ ÝÑ ÓÐ H 2

87 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ Ö Ô Ó T h2 Ñ 2 µ Ö Ô Ó T 2 h 2 Ñ 2 ÙÖ º Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ h 2 Ú Ò Ý H 2 (z, z 2 ) = 6 (z 3 + z 3 + z z 3 2 ) (z + z + z 2 + z 2 ) + 2 (z z 2 + z z 2 ) + 8 (z z 2 + z z 2 ) 6 (z3 z 2 + z 3 z 2 + z z z z 3 2 ), z, z 2 C \ {}, º¾¾µ Û Ò Ö ¹ÛÖ ØØ Ò H 2 (z, z 2 ) = 6 ( + z )( + z 2 ) [ 6 + z + z 2 + 2(z + z 2 ) z2 z2 2 ] + z 2 z2 + z z2 2 z 3 z2 z z z z2, z, z 2 C \ {}. Æ ÜØ Û Ù ÖÓÑ º¾¾µ Ø Ø ÓÖ x, x 2 R H 2 ( ix, ix 2 ) = 8 [cos(3x ) + cos(3x 2 )] [cos x + cosx 2 ] 8 [cos(3x + x 2 ) + cos(x + 3x 2 )] + cos(x + x 2 ) + 4 cos(x x 2 ). ÆÓØ Ò Ø Ø H 2 ( i2π/3, i2π/3 ) = 2 < Û Ù Ø Ø h 2 ÒÓØ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Û

88 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ ËÙÔÔÓÖØ Ó h 2 µ Ö Ô Ó φ h2 ÙÖ º Ê Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ h 2 Ñ Ò Ø Ø Û Ò ÒÓØ ÔÔ Ð ØÓ Ì ÓÖ Ñ º½º½ ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ h2 º ÀÓÛ Ú Ö Û Ó ÖÚ ÖÓÑ ÙÖ º µ Ò µ Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ T h2 Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö Òغ Ï Ø Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ù Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ h2 Ü Ø ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º µ Û Ð Ó ÓÛ Ø Ø φ h2 Ñ ØÓ Ó Ð C º º φ h2 C (R2 )º Ì ÙÔÔÓÖØ Ó h 2 Ð Ñ Ø Ø Ý Ø ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ º µ ÓÖ Ò ØÓ Û h 2 ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ ÓØ Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò y = xº ÆÓØ Ø Ø Ú Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ a Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ Ü Ø Ø Ò ÖÓÑ ½º½µ φ( /2) = a φ( ) = a, Z 2, º¾ µ Ý Ú ÖØÙ Ó Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½µº ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ º¾ µ Ø Ø Ø ÙÖ Ò Ý φ Ô Ø ÖÓÙ Ø ÔÓ ÒØ (, a ) ÓÖ ÐÐ Z 2 º

89 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ Ö Ô Ó Φ g2 Ò c µ Ö Ô Ó Φ h2 Ò c ÙÖ º ËÙ Ú ÓÒ S g2 Ò S h2 ÔÔÐ ØÓ c ÓÖ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ g 2 Ò h 2 Ó ÖÚ ÖÓÑ ÙÖ º µ Ò ÙÖ º µ Ø Ø Ø Ö Ô Ó φ g2 Ò φ h2 Ö ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ º¾ µº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ù Ò Ø ÓÒØÖÓÐ ÔÓ ÒØ c ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º½ µ Û Ó ÖÚ ÖÓÑ ÙÖ º µ Ò µ Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ù Ú ÓÒ Ñ S g2 Ò S h2 Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ò Ø Ð ÕÙ Ò c Ý Ð Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Φ g2 Ò Φ h2 Û ÓØ Ò ÑÓÓØ ÙÖ Û ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ÀÂ Ø Ø Ò Ø Ø g 2 Ò h 2 Ò Ù C ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ º º ÓÖ ÒÝ ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ S g 2 c Ò S h2 ÐÓÒ ØÓ C (R 2 )º Ì ÙØØ Ö Ý ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ Ä Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü M = 2I Ü º Ï ÒÓÛ ÒØÖÓ Ù Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÙØØ Ö Ý Ñ Ú ÐÓÔ Ò Ä ¼ Ò Ä¼¾ Ð Ó ÝÒ ¾ µº ÓÖ w R Ø ÙØØ Ö Ý Ñ ÝÑ ÓÐ B w Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ý B w (z, z 2 ) = 2 ( + z )( + z 2 )( + z z 2 )( wc(z, z 2 )), z, z 2 C \ {}, º¾ µ

90 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ Ö Ô Ó T Bw Ñ 2 w = /6 µ Ö Ô Ó T 2 B w Ñ 2 w = /6 ÙÖ º Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÙØØ Ö Ý Ñ B w w = /6 Û Ö Ø Ä ÙÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð C Ú Ò Ý C(z, z 2 ) = 2z 2 z2 + 2z z2 2 4z z2 4z 4z2 + 2z z 2 + 2z z z 4z 2 4z z 2 + 2z 2 z 2 + 2z z 2 2, z, z 2 C \ {}. ÆÓØ ÖÓÑ º¾ µ Ø Ø ÓÖ w R Ø ÙØØ Ö Ý Ñ B w Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÕÙ Ö [ 3, 3] 2 º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ú B = Ã2 Û Ö Ã2 ÒÓØ Ø ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÝÑ ÓÐ Ú Ò Ý ½º ¾µº Ï Ø Ø Ó w = /6 Û Ó ÖÚ ÖÓÑ ÙÖ º µ Ò µ Ø Ø Ø ¹ Ð ÓÖ Ø Ñ T Bw Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö Òغ Ì Ö ÓÖ Û ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ù Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÙÒØ ÓÒ φ Bw Ü Ø ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º µ Û Ð Ó ÓÛ Ø Ø φ Bw Ñ ØÓ Ó Ð C º º φ Bw C (R2 )º Ì ÙÔÔÓÖØ Ó B w Ð Ñ Ø Ø Ý Ø ÓØØ Ð Ò Ò ÙÖ º µ ÓÖ Ò ØÓ Û B w ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ ÓØ Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò y = xº Í Ò Ø ÓÒØÖÓÐ ÔÓ ÒØ c ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º½ µ Ò Û Ø w = /6 Û ÓÛ Ò ÙÖ º½½ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ Φ Bw Ö ÙÐØ Ò ÖÓÑ Ø ÙØØ Ö Ý Ù Ú ÓÒ Ò

91 À ÈÌ Ê º ÁËÌ Æ Ç ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÇÊ Ê ÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆË µ ËÙÔÔÓÖØ Ó B w µ Ö Ô Ó φ Bw Û Ø w = /6 ÙÖ º½¼ Ê Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ B w ÙÖ º½½ Ö Ô Ó Φ Bw w = /6 ÓÛ Ò Ø ÙØØ Ö Ý Ù Ú ÓÒ ÔÔÐ ØÓ c ÑÓÓØ ÙÖ Û ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ä ¼ Ò Ò Ä¼¾ Ø Ø Ò Ø Ø ÓÖ Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ w > Ø ÙØØ Ö Ý Ñ S Bw C ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖÝ Ù Ú ÓÒ Ñ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÕÙ Ò c M(Z 2 ) Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ S B w c ÐÓÒ ØÓ C (R 2 )º