Mathematik und Logik 2009W. Was ist Logik? Elementare Zahlentheorie

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1 Das ist doch logisch! Dieser Stein fällt zu Boden Ist das wirklich logisch? N E I N! Um dies zu erkennen, ist ein Experiment notwendig Bedeutung der Begriffe: Dieser Stein, fällt, zu Boden? Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im Inhalt Das Logische ist doch Disjunktion, logisch! Dieser Stein fällt zu Boden Abstrakte Ist das Algebra wirklich logisch? N E I N! Um dies zu erkennen, ist ein Experiment notwendig Bedeutung der Begriffe: Dieser Stein, fällt, zu Boden? Definierende Eigenschaften 0 ist eine natürliche Zahl; Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen Nachfolger Sn; Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf diese Weise konstruieren Zwei natürliche Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie gleich konstruiert wurden Beispiel 0, S0, S(S0), S(S(S0)),, S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S0))))))))))))), oder einfacher: Eukidsche Division Wir gruppieren: (Euklidsche Division) Seien m und b natürliche Zahlen und b 0 Dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahl q, r, sodaß m = q b + r und r < b Diese Idee läßt sich wiederholen: = = (342) 5 (Stellenwertsystem zur Basis 5) Logisches Schließen Wir nehmen an: Jeder Körper fällt zu Boden Dieser Stein ist ein Körper Dann gilt: Dieser Stein fällt zu Boden Das ist LOGISCH Dafür ist kein Experiment notwendig Die Bedeutung der Begriffe Dieser Stein, fällt, zu Boden, Körper ist dabei irrelevant Ebenfalls irrelevant: Wahrheitsgehalt der Annahmen Dieselbe logische Schlußregel kann auf gänzlich andere Situationen angewandt werden, zb: Jeder Mensch ist sterblich Aristoteles ist ein Mensch Also: Aristoteles ist sterblich Stellenwertsystem Seien m und b natürliche Zahlen, mit b 0 Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Liste von natürlichen Zahlen r 0, r 1,, r n 1, sodaß und r k < b, für alle k ɛ{ 1,, n 1 } r n 1 0 m = r n 1 b n r 1 b + r 0 Beispiel n 1 ( = r k b k) Dezimalsystem Basis 10, in den meisten Kulturen üblich; Sexagesimalsystem Basis 60, altbabylonisch; Dualsystem Basis 2, verwenden die meisten Digitalcomputer; Oktalsystem Basis 8, Variante des Dualsystems, da 8 = 2 3 ; Hexadezimalsystem Basis 16 = 2 22, heute gängigere Variante

2 Beweis für b-adische Darstellung Ist m = 0, so erfüllt die leere Liste (und nur diese) die gewünschten Eigenschaften Ansonsten bestimmen wir mittels Euklidscher Division natürliche Zahlen q und r, sodaß m = q b + r und r < b Wir nehmen an, daß q die eindeutige Darstellung besitzt Dann gilt n 1 q = r k b k m = ( n 1 r k b k) n 1 b + r = r k b k+1 + r = n r k 1 b k + r b 0 k=1 Damit haben wir eine passende Darstellung gefunden Es bleibt noch zu zeigen, daß diese eindeutig ist (Übung!) und Grundrechnungsarten Seien d, n, m, z ɛ Z und d n, d m Dann gelten auch d n + m, d n m, und d z n Lemma Seien m, n ɛ Z und m = qn + r, mit q, r ɛ Z, und d ɛ Z ein Teiler von n Dann ist d genau dann ein Teiler von m, wenn es ein Teiler von r ist Annahmen: d n, m = qn + r Wir haben zu zeigen, daß d m d r Aus d n erhalten wir sofort d qn Wenn d m, dann gilt auch d (m qn), und somit d r Wenn d r, dann gilt auch d (qn + r), und somit d m Somit gilt d m d r Axiom (Introduktionsregel für ) Wenn d, n, q ganze Zahlen sind, sodaß q d = n, Dann gilt: d teilt n Example Weil 6 2 = 12, gilt: 2 teilt 12 Example Wenn wir die Aussage 4 teilt 20"beweisen möchten, so reicht es, eine ganze Zahl q zu konstuieren, sodaß q 4 = 20 Seien d, n beliebige ganze Zahlen Wenn wir eine Aussage der Form d teilt n beweisen möchten, so reicht es, dazu eine ganze Zahl q zu konstuieren (abhängig von d und n), sodaß q d = n Axiom (sregel für ) Seien d und n ganze Zahlen,sodaß gilt: d teilt n Dann gibt es eine ganze Zahl q, sodaß q d = n Man nennt d einen gemeinsamen Teiler von n, m ɛ Z, wenn d n und d m gilt Jeder Teiler eines gemeinsamen Teilers ist wieder ein gemeinsamer Teiler Dies folgt direkt aus der Transitivität der srelaion Ein gemeinsamer Teiler d ɛ N heißt ein größter gemeinsamer Teiler, wenn jeder weitere gemeinsame Teiler ein Teiler von d ist Lemma Gibt es zu zwei Zahlen einen größten gemeinsamen Teiler, so ist dieser eindeutig bestimmt Eine Zahl d ɛ Z heißt ein Teiler von n ɛ Z, wenn es ein q ɛ Z gibt, sodaß n = q d Man sagt dann auch, d teilt n, und schreibt d n Es gilt also d n n = q d q ɛ Z ist transitiv, dh für alle a, b, c : Z gilt a b b c = a c Seien a b und b c Dann gibt es x, y ɛ Z, sodaß b = x a und c = y b Einsetzen ergibt c = y (x a) = (y x) a, dh a c Berechnung des größten gemeinsamen Teilers Theorem (Euklidscher Algorithmus) Seien m, n ɛ Z Dann gibt es genau einen größten gemeinsamen Teiler d ɛ N von m und n Wir beweisen mit Induktion nach n Ist n = 0, so ist m ein größter gemeinsamer Teiler von m und n Ist n > 0, dann gibt es Zahlen q, r mit m = qn + r und 0 r < n Laut Induktionsvoraussetzung haben n und r einen größten gemeinsamen Teiler d Da die gemeinsamen Teiler von m und n dieselben sind wie die gemeinsamen Teiler von n und r, ist d auch der größte gemeinsame Teiler von m und n Den größten gemeinsamen Teiler von m und n bezeichnen wir mit ggt(m, n) Laut obigem Beweis erfüllt dieser die beiden Gleichunen: ggt(m, 0) = m, ggt(m, n) = ggt(n, r), für m = q n + r Ordnungseigenschaften der Seien a, b : Z Dann gilt: a b a b Für alle a, b, c ɛ Z gilt: Reflexivität: a a; Transitivität: a b b c = a c; Fast -Antisymmetrie: a b b a a = b Für alle a ɛ Z gilt: 1 a; a 1 a = 1; a 0; 0 a a = 0 Somit ist 1 die kleinste und 0 die größte Zahl (bezüglich ) Gleichungen über den ganzen Zahlen Es seien m, n, d ɛ Z Wir suchen nach ganzzahligen Lösungen der Gleichung x m + y n = d Jeder gemeinsame Teiler von m und n teilt auch d; insbesondere ggt(m, n) d Falls x 1 m + y 1 n = d gilt, dann erhalten wir daraus für jedes q : Z, q x 1 m + q y 1 n = q d, und somit auch eine Lösung von x m + y n = q d Es ist daher von Interesse, ob diese Gleichung stets lösbar ist, wenn d = ggt(m, n) Die Differenz zweier Lösungen dieses Systems ist eine Lösung von x m + y n = 0 (die zugehörige homogene Gleichung)

3 Lösung Diophantischer Gleichungen Theorem (Erweiterter Euklidscher Algorithmus) Seien m, n ɛ Z, und d = ggt(m, n) Dann gibt es x, y ɛ Z, sodaß d = xm + yn Wir beweisen mit Induktion nach n Ist n = 0, so ist d = m Aus d = sgn m m + 0n ergibt sich die passende Lösung Ist n > 0, dann gibt es Zahlen q, r mit m = qn + r und 0 r < n Es gilt dann d = ggt(n, r) und laut Induktionsvoraussetzung gibt es x, y ɛ Z, sodaß d = xn + yr Wegen r = m qn ergibt sich somit d = xn + yr = xn + y(m qn) = ym + (x yq)n Damit haben wir eine passende Lösung gefunden xggt(m, 0) = (sgn m, 0), xggt(m, n) = (y, x yq), wobei m = qn + r und (x, y) = xggt(n, r) Dividieren modulo m Wir versuchen eine lineare Gleichung modulo m zu lösen, dh wir suchen eine Lösung von a x m b Seien a, b : Z Dann gilt a m b genau dann wenn es ein y : Z gibt, sodaß a + m y = b Seien a, b : Z Dann gibt es genau dann ein x : Z, sodaß a x m b, wenn es x, y : Z gibt, sodaß a x + m y = b Folgerung Die Gleichung a x m b ist genau dann lösbar wenn ggt(a, m) b a ist modulo m invertierbar (dh es gibt eine Lösung von a x m 1), wenn ggt(a, m) = 1 Zwei Zahlen m, n ɛ Z heißen teilerfremd, wenn ggt(m, n) = 1 Teilt eine Zahl ein Produkt und ist zu einem der beiden Faktoren teilerfremd, dann teilt sie den anderen Faktor Genauer: Für alle a, b, d : Z gilt: d ab ggt(d, a) = 1 = d b Wegen ggt(d, a) = 1 gibt es x, y ɛ Z, sodaß dx + ay = 1 Dann ist b = 1b = (dx + ay)b = dxb + aby Da d ab teilt d auch diese Summe, somit d b Eulersche ϕ-funktion Die Menge der invertierbaren Elemente von Z m sei mit Z m bezeichnet Z m ist gegenüber Multiplikation abgeschlossen Ist a a 1 m 1 und b b 1 m 1, dann ist wegen der Vertäglichkeit auch (a a 1 ) (b b 1 ) m 1, bzw (a b) (a 1 b 1 ) m 1 Somit ist auch a b invertierbar und (a b) 1 = a 1 b 1 Man nennt daher Z m auch eine Gruppe, weil Multiplikation und Invertieren nicht aus der Menge hinaus führen und die üblichen Rechenregeln gelten Sein m ɛ N Dann bezeichnet ϕ(m) die Anzahl der Elemente von Z m (bzw die Anzahl der Zahlen k ɛ N, k < m, welche zu m teilerfremd sind) Die Funktion ϕ heißt die Eulersche ϕ-funktion Kongruenz modulo m Sei m ɛ N; dann heißen ganze Zahlen a, b ɛ Z kongruent modulo m falls m ein Teiler von deren Differenz a b ist: a m b : m (a b) Die Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation, dh sie erfüllt: Reflexivität: a m a; Symmetrie: a m b = b m a; Transitivität: a m b b m c = a m c Die Kongruenz modulo m ist mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation verträglich, dh sind a m b und c m d, so gelten auch a + c m b + d a c m b d a c m b d Potenziern mit der ϕ-funktion (Euler) Für m ɛ N und a ɛ Z m (dh ggt(a, m) = 1) gilt Später Folgerung Sei a ɛ Z m und e ϕ(m) f Dann gilt a e m a f a ϕ(m) 1 Folgerung Sei a ɛ Z m und e d ϕ(m) 1 Dann gilt (a e ) d m a (mod m) Wir können also im Restklassenring auch Wurzelziehen, sofern wir ϕ(m) kennen Restklassenring Sei m ɛ N Wir betrachten jetzt ganze Zahlen bereits als gleich, wenn sie modulo m gleich sind Dadurch entsteht eine neue Menge, die Faktormenge Z/ m Sie heißt der Restklassenring modulo m und wird mit Z m bezeichnet Weil die Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation ist, kommt sie als Gleichheitsbegriff in Frage Die Tatsache, daß die Kongruenz modulo m mit Addition, Subtraktion und Multiplikation verträglich ist, garantiert, daß diese Operationen auch in Z m wohldefiniert sind Zu jedem n ɛ Z gibt es genau ein r ɛ N, sodaß n m r und r < m Dh die Menge Z m besteht aus m Elementen In Z m kann es vorkommen, daß das Produkt zweier von Null verschiedener Zahlen gleich Null ist (Nullteiler) Beispiel: , obwohl und Sukzessives uadrieren Die Berechnung von a n ɛ Z m ist durch sukzessives uadrieren (und sofortiges Reduzierem modulo m) effizient möglich Wir verwenden die Gleichungen; a 0 = 1; a 2n = (a n ) 2 ; a 2n+1 = a(a n ) 2 Für ganze Zahlen bringt das nichts, weil sie bei jedem uadrieren doppelt so lange werden Wenn wir aber in jedem Schritt modulo m reduzieren können, bleiben alle Zwischenergebnisse durch m beschränkt

4 Simultane Kongruenzen (Chinesischer Restsatz) Seien p, q ɛ N, d = ggt(p, q) = r p + s q, v = kgv(p, q), und a, b ɛ Z Dann gilt x p a, a d b, x q b x v s q d a + r p d b x p a gilt genau dann wenn x = a + k p, für ein k ɛ Z Einsetzen in die 2 Kongruenz: a + k p q b Umformen ergibt: k p q b a Dies gilt genau dann wenn d (b a) und und k q r a b d Einsetzen in die 1 Kongruenz und Vereinfachen ergibt dann die gewünschte Form Zur Eindeutigkeit: Sei y eine zweite Lösung Wegen x p a und y p a gilt x y p 0, dh p (x y) Analog ist q (x y) Und somit v (x y) Potenzieren modulo (Fermat) Sei p ein Primzahl, a ɛ Z beliebig Dann gilt a p p a Folgerung (von Chinesischem Restsatz) Seien p, q teilerfremd Dann gilt: x p y x q y = x p q y Seien p und q verschiedene, m = p q, und n ϕ(m) 1 Dann gilt für beliebige a ɛ Z a n m a Wir zeigen zuerst, daß a n p a Wenn a p 0, dann trivial Wenn a p 0, dann ist a ɛ Z p (weil p prim) Sei n = 1 + k ϕ(m) Somit a n = a 1+k ϕ(m) = a 1+k ϕ(p) ϕ(q) = a (a ϕ(p) ) k ϕ(q) p a 1 ϕ(q) p a Analog ist a n q a Der Chinesische Restsatz (Eindeutigkeitsteil) liefert die Kongruenz modulo dem Produkt p q Ein natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl wenn sie keine echten Teiler hat (also nur 1 und n selbst 1 ist per keine Primzahl Lemma Eine natürliche Zahl p > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt: ( ) p n m = p n p m n,m ɛ N Sei n = q p + r Falls r = 0, dann gilt p n Falls 0 < r < p, dann ist ggt(n, p) = ggt(p, r) = 1 Gemäß einem über teilerfremde Zahlen, muß somit p m gelten Berechnung der Primfaktorzerlegung Man finde die Primfaktorzerlegung für eine gegebene Zahl n ɛ N Sei p der kleinste nicht-triviale Teiler einer Zahl n ɛ N, dann ist n = p, und somit n eine Primzahl, oder p 2 < n Um den kleinsten Teiler von n zu finden, muß man maximal alle bis n testen Ist n 2 k, dann ca O(2 k/2 ) stests Grundrechnungsarten: ca O(k) Es ist keine deutlich bessere allgemeine Methode bekannt Faktorisieren viel schwieriger als Multiplizieren Die Korrektheit einer Faktorisierung läßt sich leicht überprüfen Ein uantencomputer mit mindestens k ubits könnte das effizient lösen Eindeutige Zerlegung in Primfaktoren Theorem (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl n > 0 hat eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren n = p k1 1 pkm m, wobei alle p i sind, mit p i < p i+1, und k i > 0 Existenz: Wenn n eine Primzahl ist, dann ist n = n 1 bereits die gewünschte Zerlegung Ansonsten gibt es eine nicht-triviale Faktorisierung n = a b Die eindeutigen Zerlegungen von a und b müssen dann nur noch kombiniert werden Eindeutigkeit: Sei n = p 1k 1 p m k m eine zweite derartige Zerleung Dann muß gelten: p 1 p 1k 1 p m k m Da p 1 eine Primzahl ist, muß sie einen der Faktoren teilen Sei p i dieser Faktor, dh p 1 p i Weil beide sind, folgt daraus p 1 = p i Wir dividieren beide Seiten durch diesen Faktor und fahren in der selben Weise fort Primzahltests Man entscheide, ob eine gegebene Zahl p ɛ N eine Primzahl ist Für jede Primzahl p und jedes a ɛ N, a > 0, gilt: a p 1 p 1 Wenn a p 1 p 1, dann muß p eine zusammengesetzte Zahl sein Diese Tatsache gibt jedoch keinen Hinweis darauf, wie eine Faktorisierung aussehen könnte Dieser Test läßt sich beliebig oft wiederholen Wenn a p 1 p 1, für viele verschiedene a, dann ist das ein deutlicher Hinweis, daß p eine Primzahl sein könnte Durch eine Verfeinerung dieses Verfahres kann man die Fehlerwahrscheinlichkeit beliebig klein machen Es gibt inzwischen auch ein halbwegs effizientes Verfahren, welches gegebenenfalls einen Beweis liefert, daß p eine Primzahl ist Berechnung der ϕ-funktion Sei p eine Primzahl Dann ist ϕ(p) = p 1 Ist weiters k > 1, dann ist ϕ(p k ) = k p k 1 Sind n und m teilerfremd, dann ist ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m) Die ϕ-funktion kann damit leicht berechent werden, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist Unendlich viele (Euklid) Es gibt unendlich viele Zu jeder endlichen Mengen von konstruieren wir eine weitere Primzahl, die nicht darin vorkommt: Es seien p 1,, p n Wir bilden das Produkt m = p 1 p n + 1 Wegen dem Fundamentalsatz der Arithmetik gibt es eine Primzahl, die m teilt Aber m pi 1, für alle i = 1,, n Es muß also mindestens eine weitere Primzahl geben Mit etwas mehr Theorie gelangt man zu wesentlich besseren Schranken Der durchschnittliche Abstand zwischen zwei n-stelligen betägt ungefähr 2n

5 Verschlüsselung Man wähle zwei große p und q Sei m = p q Es gilt: ϕ(m) = (p 1)(q 1) Wähle e ɛ Z ϕ(m) Sei a ɛ Z m, die Nachricht, Klartext Berechne: b m a e (Verschlüsselung) (m, e) ist der öffentliche Schlüssel b ist das Kryptogramm (Geheimtext) Sei d das Inverse von e (mod ϕ(m)) Dann gilt b d m a (Entschlüsselung) (m, d) ist der geheime Schlüssel Um aus aus dem öffentlichen Schlüssel (m, e) das d für den geheimen Schlüssel zu bestimmen, brauchen wir ϕ(m), und dazu brauchen wir die Faktorisierung von m Diese Methode (das RSA-Verfahren) funktioniert, weil das der Faktorisierung schwierig ist Das Verfahren gilt als sicher, wenn m und noch ein paar zusätzliche Nebenbedingungnen gelten Kommutativität der Konjunktion Die logische Konjunktion ist kommutativ, dh die Aussage ist allgemeingültig A B E1 B A B B A A B B A A B E0 A A B B A I Aussagen der Äquivalenz, Die mathematische verwendet mathematische Methoden, um das logische Denken formal zu beschreiben Populäre : Eine Aussage ist ein, der entweder falsch oder wahr ist : Wie definiert man wahr und falsch? Ein Beweis stellt sicher, daß eine Aussage wahr ist : Eine Aussage ist eine Konstruktion, durch welche festgelegt wird, wie ihre Beweise zu konstruieren sind Eine Aussage, die wir nicht beweisen können, muß nicht unbedingt falsch sein Notation Die logische Äquivalenz wird mit P bezeichnet und ist lediglich eine Abkürzung für (P ) ( P) Zwei Aussagen sind äquivalent wenn sie vom logischen Standpunkt aus betrachtet gleichwertig sind der Implikation, der Disjunktion, Formation Sind P und Aussagen, dann bezeichnet P ebenfalls eine Aussage, die Implikation von P und Introduktion Um P zu beweisen, muß man beweisen, wobei man einen Beweis von P voraussetzen darf Hat man einen Beweis von P, so reicht ein Beweis von P, um auch zu beweisen Schlußregeln P P P P E Formation Sind P und Aussagen, dann bezeichnet P ebenfalls eine Aussage, die Disjunktion von P und Introduktion Um P zu beweisen, genügt es, P zu beweisen, oder zu beweisen Folgt irgendeine Aussage R sowohl aus P als auch aus, dann folgt sie auch aus P (Beweis durch Fallunterscheidung) Schlußregeln P I0 P I1 P P R R E P R der Konjuktion, Formation Sind P und Aussagen, dann bezeichnet P ebenfalls eine Aussage, die Konjunktion von P und Introduktion Um P zu beweisen, muß man sowohl P als auch beweisen Hat man einen Beweis von P so auch einen Beweis von P, und auch einen Beweis von Schlußregeln P I P P E0 P P E1 Sei X ein Datentyp, und P[x] für jedes x ɛ X eine Aussage Dann bezeichnet x ɛ X P[x] eine All-Aussage Die All-Aussage drückt eine universelle uantifizierung aus Ein Beweis von x ɛ X P[x] konstruiert für jedes beliebige x ɛ X einen Beweis von P[x] Praktisch: Es sei x ɛ X P[x] zu beweisen Vorgangsweise: Annahme x ɛ X; beweise P[x] Hängt P[x] nicht von x ab, dann liegt eine normale Implikation vor: x ɛ X P ist dasselbe wie X P

6 Allquantor, Introduktion und Um x ɛ X P[x] zu beweisen, muß man P[x] für ein beliebiges x ɛ X beweisen -Introduktion: x ɛ X P[x] I x ɛ X P[x] Wurde x ɛ X P[x] bewiesen, und ist a ɛ X, dann hat man einen Beweis von P[a] -: x ɛ X P[x] a ɛ X E P[a] Existenzquantor: Introduktion und Um x ɛ X P[x] zu beweisen, muß man ein a ɛ X finden und damit P[a] beweisen -Introduktion: a ɛ X P[a] I x ɛ X P[x] Wurde x ɛ X P[x] bewiesen, so kann man für s weitere annehmen, daß es ein soches Objekt gibt -: x ɛ X P[x] y ɛ X P[y] E Allquantor, Beispiel Implikation, x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] x ɛ X y ɛ Y A[x] B[y] I y ɛ Y (A[x] B[y]) I x ɛ X y ɛ Y (A[x] B[y]) x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] x ɛ X y ɛ Y (A[x] B[y]) Schlußregeln: x ɛ P t[x] ɛ x t[x] ɛ P f ɛ P x ɛ P E fx ɛ Der Beweis einer Implikation ist ein Algorithmus, der für jeden Input vom Typ P einen Output vom Typ liefert Funktionsdatentyp: Schreibweise: P oder P Konstruktor: Abstraktion: ( ); Selektor: Funktionsanwendung: apply Allquantor: Beispiel (Fortsetzung) Annahmen: x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y], x ɛ X, y ɛ Y Zu beweisen: Die beiden Fälle: x ɛ X A[x] x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] A[x] B[y] A[x] B[y] E x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] A[x] B[y] x ɛ X E A[x] I 0 A[x] B[y] y ɛ Y E B[y] A[x] B[y] y ɛ Y B[y] I 1 Introduktion und x ɛ P y ɛ I (x, y) ɛ P z ɛ P E0 fst z ɛ P Ein Beweis der Konjunktion P ist ein Paar, dessen Komponenten die Typen P bzw haben Verbunddatentyp (Direktes Produkt): P Konstruktor: (, ) ɛ P P ; Selektoren: fst ɛ P P, snd ɛ P z ɛ P E1 snd z ɛ Kommutativität der Konjunktion Sei X ein Datentyp, und P[x] für jedes x ɛ X eine Aussage Dann bezeichnet x ɛ X P[x] eine Existenz-Aussage Die Existenzaussage drückt eine existenzielle uantifizierung aus Ein Beweis von x ɛ X P[x] konstruiert ein a ɛ X und einen Beweis von P[a] Praktisch: Es sei x ɛ X P[x] zu beweisen Vorgangsweise: Man wählt ein passendes a ɛ X, und versucht damit P[a] zu beweisen Hängt P[x] nicht von x ab, dann liegt eine normale Konjunktion vor: x ɛ X P ist dasselbe wie X P A B B A Beweis: c ɛ A B E1 snd c ɛ B c ɛ A B c ɛ A B E0 fst c ɛ A (snd c, fst c) ɛ B A I c (snd c, fst c) ɛ A B B A commute ɛ A B B A, c (snd c, fst c), Intuitiver: (a, b) (b, a) Äquivalenz: ( c (snd c, fst c), c (snd c, fst c) ) ɛ A B B A

7 Introduktion und x ɛp I 0 Left x ɛp f ɛp R g ɛ R E either f g ɛp R y ɛ I 1 Right y ɛp Ein Beweis der Disjunktion P ist einer von P oder von, und als solcher gekennzeichnet Disjunkte Vereinigung (Direkte Summe): P + Konstruktoren: Left ɛ P P +, Right ɛ P + ; Selektor: either ɛ(p R) ( R) (P + R) Beispiel: A (B C) A B a ɛ A a ɛ A I 0 Left a ɛ A B a Left a ɛ A A B y ɛ B C y ɛ B C E1 fst y ɛ B I 1 Right(fst y) ɛ A B y Right(fst y) ɛ B C A B either(a Left a) (y Right(fst y)) ɛ A (B C) A B Mit E f ɛ A (B C) A B g ɛ A (B C) A C erhalten wir auch: (f, g) ɛ A (B C) (A B) (A C) Es gibt auch: h ɛ(a B) (A C) A (B C) Eine Aussage legt den Datentyp ihrer Beweise fest Ein Datentyp entspricht der Aussage, daß es ein Objekt dieses Typs gibt Jeder Algorithmus, der ein Objekt eines bestimmten Datentyps konstruiert, ist ein Beweis, daß es ein solches gibt Aussagen entsprechen Programmspezifikationen Beweise entsprechen Programmen Man kann Aussagen beweisen, indem man ein Objekt vom passenden Typ konstruiert Aus mathematischen Beweisen lassen sich verifizierte Programme extrahieren Fehlerfreie Software beliebiger Komplexität ist möglich { ab a < x } X x,, { ab a < x } X x { aεb, a ɛ b, a b, a b, a b, a \ b, a b, X } a b a, a / b a α ɛ a, X a b, b a ɛ