texte zur mathematischen forschung und lehre

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1 texte zur mathematischen forschung und lehre 49

2 texte zur mathematischen forschung und lehre 49 Markus Vogel Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge mit multimediabasierter Supplantation Theoretische Grundlegung und empirische Untersuchung Verlag Franzbecker

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available in the Internet at Information bibliographique de la Deutsche Nationalbibliothek La Deutsche Nationalbibliothek a répertorié cette publication dans la Deutsche Nationalbibliografie; les données bibliographiques détaillées peuvent être consultées sur Internet à l'adresse Markus Vogel Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge mit multimediabasierter Supplantation Veröffentlicht im Verlag Franzbecker KG Hildesheim, Berlin, 2006 ISBN reihe: texte zur mathematischen forschung und lehre, band 49 Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

4 Vorwort Die Frage, wie Schülerinnen und Schüler beim Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge unterstützt werden können, beschäftigte mich bereits während meiner Tätigkeit als Lehrer der Fächer Mathematik und Physik. Die unterrichtspraktischen Erfahrungen zeigten, dass diese Frage interdisziplinären Charakter hat. Mit Funktionen lassen sich Gesetzmäßigkeiten naturwissenschaftlicher Phänomene strukturell erfassen und beschreiben. Dadurch können Funktionen zur Erschließung und zum Verstehen naturwissenschaftlicher Gesetzmäßigkeiten beitragen. Umgekehrt kann das Verstehen solcher Gesetzmäßigkeiten dazu beisteuern, das mathematische Verständnis des Funktionsbegriffs zu vertiefen. Im wechselseitigen Übergang zwischen phänomenologisch-realer und mathematischer Modellebene zeigt sich das didaktische Potenzial des Mathematisierens. Das Forschungsprojekt Fachintegratives Lernen mit digitalen Medien FiLM, in dessen Rahmen die vorliegende Arbeit entstanden ist, gab mir die Gelegenheit, der eingangs genannten Leitfrage in einem sehr günstigen, weil interdisziplinären Umfeld wissenschaftlich nachzugehen. Die Synergien, an denen ich teilhaben durfte, ergaben sich nicht nur aus inhaltlicher Sicht der Fachintegration, sondern insbesondere auch aus der kollegialen Zusammenarbeit. In diesem Zusammenhang geht mein erster und herauszuhebender Dank an Herrn Prof. Dr. Joachim Engel und Herrn Prof. Dr. Raimund Girwidz. Ihre wissenschaftliche Betreuung war jederzeit getragen von förderlicher konstruktiver Kritik, von motivierendem Anspruch und von ermutigendem Zuspruch. Die Zusammenarbeit mit meinen Doktorandenkollegen Christian Spannagel, Thomas Rubitzko und Steffen Schaal möchte ich ebenfalls besonders hervorheben. Die dreijährige intensive Zusammenarbeit war jederzeit geprägt von kollegialem Miteinander. Der gemeinsame Austausch und die gegenseitige Unterstützung haben wesentlich zu dieser Arbeit beigetragen. Danken möchte ich auch meinen Kolleginnen und Kollegen des Instituts für Mathematik und Informatik, die mich immer unterstützt haben. Insbesondere Dank an Frau Dr. Rose Vogel, Herrn Dr. Dieter Klaudt und Christian Spannagel für

5 ii die klugen Anregungen, die aus ihrer kritischen Durchsicht hervorgegangen sind. Besonders danken möchte ich auch Frau Prof. Dr. Carmen Batanero und Prof. Dr. Juan Godino von der Universität Granada sowie Herrn Prof. Dr. Rolf Biehler und Carmen Maxara von der Universität Kassel. Der gemeinsame Austausch im Rahmen des Forschungsprojektes statedueurope war für mich nicht nur persönlich sehr bereichernd. Darüber hinaus sind aus der konstruktiven und freundschaftlichen Zusammenarbeit wichtige Impulse für diese Arbeit hervorgegangen. Empirische Studien der Unterrichtsforschung sind ohne die Unterstützung der Schulen und der schulischen Administration nicht möglich. In diesem Zusammenhang sei den Herren Gerhard Glos und Günter Lenz-Bläßing vom Regierungspräsidium Stuttgart gedankt, mit deren Unterstützung die Studien an den Schulen durchgeführt werden konnten. Danken möchte ich Herrn Achim Olpp dafür, dass ich an seiner Schule die Pilotstudie durchführen konnte und für die Unterstützung meines Weges, der mich an die Hochschule geführt hat. Der Dank geht auch an Frau Krömer-Schmeisser und die Herren Gerd Dermann sowie Rainer Mecherlein, die mir ermöglichten an ihren Schulen die Hauptstudie durchzuführen. Hervorzuheben sind die vielen Schülerinnen und Schüler, die sich an den Untersuchungen beteiligten. Sie sind diejenigen, die mit ihrem Engagement die Basis für die empirische Arbeit gelegt haben. Eine Forschungsarbeit ist nicht nur durch das wissenschaftliche, sondern auch wesentlich durch das private Umfeld eingerahmt. An dieser Stelle möchte ich ausdrücklich meiner Familie danken, von der ich mich getragen weiß. Meinem Schwager Christian Jelen sei für die Textdurchsicht und die sprachlichen Detailkorrekturen gedankt. Schließlich und herauszuheben möchte ich meiner Lebensgefährtin Stephanie Pfaller danken. Ihr Wohlwollen und Verständnis in arbeitsreichen Zeiten hat im besonderen Maße zur Entstehung und Fertigstellung der Arbeit beigetragen.

6 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Mathematisieren in fachintegrativen Lernszenarien Curriculare Rahmenbedingungen Mathematisches und fachintegratives Lernen Mathematisches Lernen Fachintegratives Lernen Mathematisieren Teilprozess mathematischer Modellierung Zusammenfassung Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge Mathematisieren Abstrahieren von kontextuellen Merkmalen des Realmodells Kontextualisieren abstrakter Merkmale des mathematischen Modells Modell des Mathematisierungsprozesses Mathematisieren unter dem Aspekt der Repräsentation Funktionale Abhängigkeiten im Mathematikunterricht Der Funktionsbegriff Funktionales Denken Funktionen unter dem Aspekt der Repräsentation Abstrahieren funktionaler Abhängigkeiten aus Daten Kontextualisieren funktionaler Zusammenhänge Zusammenfassung in Forschungsfragen Multimediabasierte Supplantation Informationsverarbeitung Mayer: multimedia learning Schnotz und Bannert: Integriertes Modell des Textund Bildverstehens

7 iv Inhaltsverzeichnis Repräsentation Mentale Modelle Arbeitsmodell zur multimediagestützten Verarbeitung mathematischer Information Supplantation Definition Formen der Supplantationsintensität Leitfragen Mediale Realisierung Wirkungsfunktionen Oberflächen- und Tiefenstruktur der Informationsdarbietung Lernen mit multiplen Repräsentationen Interaktivität cognitive load Zusammenfassung Kontextualisieren funktionaler Zusammenhänge mittels multimediabasierter Supplantation Entschlüsseln von Funktionsgraphen als Kontextualisierungsprozess Probleme beim Graphenverstehen Bewegungs-Diagramme Graphen mit situativem oder figurativem Hintergrund Fehlertypisierung Spezifizierung von Forschungsfragen Supplantation mentaler Operationen auf Graphen Beispiel Formen der Supplantation mentaler Operationen auf Graphen Charakterisierung Beispielszenarien zur Supplantation mentaler Operationen auf Graphen Zusammenfassung Empirische Studien Pilotstudie Hypothesen Stichprobe und Untersuchungsdesign Erhebungsinstrumente Erhebungsdaten

8 Inhaltsverzeichnis v Ergebnisse Diskussion Zusammenfassung und weiterführende Forschungsfragen Hauptstudie Hypothesen Stichprobe und Untersuchungsdesign Erhebungsinstrumente Erhebungsdaten Ergebnisse Follow-up-Test Diskussion Zusammenfassung und Ausblick Abstrahieren funktionaler Abhängigkeiten aus Daten mit multimediabasierter Supplantation Abstrahieren durch die Analyse von Trend und Zufall Mathematische Konzepte Mathematisieren über die Darstellung im Streudiagramm Techniken zur Mathematisierung funktionaler Abhängigkeiten aus Daten Didaktische Diskussion Mathematisierungstechniken Trend und Zufall Einordnung multimediagestützter Supplantationsmöglichkeiten Beispiele Bestimmung des absoluten Temperaturnullpunktes Abkühlung von Wasser Atmosphärischer CO 2 -Gehalt Wachstum einer Hefekultur Supplantationselemente Greifen und Ablegen von Daten Auszeichnung und Bewegung eines Punktes auf einem Funktionsgraphen Einfluss von Funktionsparametern und depiktionalbasierte Datenanpassung Residuenplot Abweichungsquadrate Variation der Datenrepräsentation Kategorisierung

9 vi Inhaltsverzeichnis Supplantation von Elementen oder Operationen, die den Repräsentationsebenenwechsel unterstützen Supplantation von Elementen oder Operationen, welche den Modellebenenwechsel unterstützen Zusammenfassung Fazit Zusammenfassung Implikationen Ausblick A Anhang 213 Literaturverzeichnis 231 Abbildungsverzeichnis 244 Tabellenverzeichnis 249

10 1 Einleitung Mit den Veröffentlichungen der Untersuchungsergebnisse der TIMS-Studie im Jahr 1997 (Baumert, Lehmann & Lehrke, 1997) rückte der deutsche Schulunterricht im Fach Mathematik und in den naturwissenschaftlichen Fächern in den Mittelpunkt einer breiten öffentlichen Wahrnehmung. Dem unbefriedigenden Abschneiden der deutschen Schülerinnen und Schüler folgten intensive fachdidaktische Diskussionen über Ursachen, Analysen und mögliche Konsequenzen. Für das Fach Mathematik resümierte der damalige Vorsitzende der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM) Prof. Dr. Blum in einer Stellungnahme: Unser Mathematikunterricht ist insgesamt zu sehr an Regeln, Kalkülen und Routinen orientiert, die Leistungsanforderungen sind insgesamt zu sehr auf kurzfristig in Klassenarbeiten verlangtes reproduktives Wissen ausgerichtet, inhaltliche Aspekte (Begriffsvorstellungen, inhaltliches Argumentieren, verständiges Umgehen mit Realsituationen) kommen im Vergleich zu kurz, und zu wenige Schülerinnen und Schüler sind wirklich aktiv. (Blum, 1998, S. 13) Drei Jahre später wurden in den zentralen Befunden zu PISA 2000, dem ersten Zyklus der PISA-Studie, die Befunde der TIMS-Studie für das Fach Mathematik im Wesentlichen nochmals bestätigt (vgl. Klieme, Neubrand & Lüdtke, 2001, S. 178), für die Naturwissenschaften sogar ein Abrutschen im internationalen Vergleich festgestellt (vgl. Prenzel, Rost, Senkbeil, Häußler & Klopp, 2001, S. 231). Auf der Basis dieser Befunde lautete die Forderung der deutschen PISA-Expertenkommission für die Naturwissenschaften: Nach wie vor gilt es, die in Deutschland erkennbare Neigung zum fragend-entwickelnden und fachsystematisch orientierten Unterricht zu überwinden und durch Anwendungsbezug, Problemorientierung sowie Betonung mentaler Modelle das Interesse an den