texte zur mathematischen forschung und lehre

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1 texte zur mathematischen forschung und lehre 54

2 texte zur mathematischen forschung und lehre 54 Sebastian Wartha Längsschnittliche Untersuchungen zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs Franzbecker

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available in the Internet at Information bibliographique de la Deutsche Nationalbibliothek La Deutsche Nationalbibliothek a répertorié cette publication dans la Deutsche Nationalbibliografie; les données bibliographiques détaillées peuvent être consultées sur Internet à l'adresse Sebastian Wartha Längsschnittliche Untersuchungen zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs texte zur mathematischen forschung und lehre 54 ISBN Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

4 Inhalt 9 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Forschungseinbettung 1.1 Das DFG-Projekt PALMA: eine Längsschnittstudie Kompetenzbegriff Ziele 2.1 Entwicklung mathematischer Kompetenzen im Bereich der Bruchzahlen Analysen zu Grundvorstellungen und Fehlerstrategien Stand der Forschung und didaktische Diskussion 3.1 Längsschnittliche und querschnittliche Untersuchungen zur mathematischen Kompetenzentwicklung Theoretische Konstrukte zur Beschreibung von Lernprozessen Modellierung Mentale Modelle Untersuchungen zur Bruchrechnung Erweiterung des Zahlbereichs der natürlichen Zahlen auf die Bruchzahlen Ein kurzer historischer Überblick über die Didaktik der Bruchrechnung Bruchzahlbegriff: Aspekte und Grundvorstellungen Struktur der Bruchzahlen: Kleinerrelation und Dichte Operationen mit Brüchen Zusammenfassung und Ausblick Forschungsfragen 4.1 Gesamtentwicklung der Kompetenzen im Bruchrechnen Grundvorstellungen und Fehlerstrategien beim Bruchrechnen...108

5 10 Inhalt 5 Methode 5.1 Anlage der Untersuchung Testinstrumente Beschreibung der Stichprobe Quantitative Methoden Qualitative Methoden Zur Verschränkung der Daten Analysen 6.1 Analysen zur längsschnittlichen Leistungsentwicklung der Gesamtstichprobe und nach Schularten Klassenspezifische Analysen Analysen zur Schwierigkeitsverteilung der Aufgaben Aufgabenanalysen Überblick über die Teilgebiete Analysen zum Bruchzahlbegriff Analysen zur Ordnung und Dichte von Bruchzahlen Weitere Analysen zum Rechnen mit Brüchen Interviewanalysen Zusammenfassung und Ausblick 7.1 Zusammenfassender Überblick Weiterführende Fragestellungen Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Literaturverzeichnis...243

6 Einleitung 11 Einleitung In der vorliegenden Arbeit wird die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs und der damit verbundenen mathematischen Operationen zu Beginn der Sekundarstufe I auf der Grundlage empirischer Befunde analysiert. Letztere werden in einer Kombination von qualitativen und quantitativen Studien gewonnen. Die Analysen werden auf verschiedenen Ebenen (Schulart, Klasse, Individuum) durchgeführt. Durch die systematische Erfassung der Genese von mathematischen Grund- bzw. Fehlvorstellungen zu Bruchzahlen soll die mathematische Kompetenzentwicklung in einem zentralen Themengebiet der Sekundarstufe I untersucht werden. Das vergleichsweise mäßige Abschneiden deutscher Jugendlicher in Bezug auf mathematische Kompetenzen bei den internationalen Vergleichsuntersuchungen TIMSS und PISA hat seit einigen Jahren einen bedeutsamen Einfluss auf die bildungspolitische Diskussion. Diese Studien zeichnen ein differenziertes Bild über den Leistungsstand der Lernenden am Ende der Pflichtschulzeit. Aufgrund der querschnittlichen Anlage dieser Erhebungen ist jedoch die Aussagekraft über das Zustandekommen der Leistungen begrenzt. Hierzu sind längsschnittliche Untersuchungen nötig, die die Leistungsentwicklung und deren Bedingungsfaktoren näher beschreiben. National wie international mangelt es jedoch an Längsschnittstudien, die in umfassenderer Weise die Entwicklung von Kompetenzen im Fach Mathematik der Sekundarstufe erfassen. Um diesem Forschungsdesiderat zu begegnen, wurde die von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderte Studie PALMA 1 implementiert, die mathematische Kompetenzen im Laufe der Sekundarstufe I analysiert. Die Bruchrechnung stellt einen zentralen Lerninhalt zu Beginn der Sekundarstufe I dar. In der vorliegenden Arbeit soll die Kompetenzentwicklung im Themenbereich der Bruchrechnung über einen Zeitraum von drei Jahrgangsstufen untersucht werden. Dieses Themengebiet zeichnet sich durch die große Bedeutung für weitere Inhalte der Mathematik (beispielsweise Geometrie und Stochastik), eine hohe Relevanz für andere Schulfächer (Chemie, Biologie, Wirtschaft) und das Verstehen von Informationen im alltäglichen Leben aus. Gleichzeitig stellt die Bruchrechnung ein Themengebiet dar, in dem bei Schülern besonders große Verständnisprobleme festgestellt werden können. Im Bereich der Bruchrechnung wurden zahlreiche Analysen zu Fehlern und Fehlerstrategien durchgeführt. Eine Untersuchung, die über mehrere Schuljahre hinweg Kompetenzen im Bruchrechnen auf Schulart-, Klassen- und individueller 1 Akronym für Projekt zur Analyse der Leistungsentwicklung in Mathematik.