Klassifikation - Ideen und Prinzipien

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1 Klassifikation - Ideen und Prinzipien Markus Severitt 22. September 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Prinzip der Mathematik Verallgemeinerung von Strukturen Klassifikation von Objekten Der Begriff der Kategorie Invarianten Invarianten in der Linearen Algebra Funktorielle Invarianten als Beziehungen zwischen Strukturen Funktorielle Invarianten in der (algebraischen) Topologie Funktorielle Invarianten in der Gruppentheorie Äquivalenz von Kategorien Eine Äquivalenz in der Linearen Algebra Eine Äquivalenz in der algebraischen Geometrie

2 2 2 PRINZIP DER MATHEMATIK 1 Vorwort Es ist empfehlenswert, sich einmal die Einleitung zu [Jän80, Kapitel VIII 5] durchzulesen. Da ist die Rede von dem Sinn und Unsinn der Mathematik, was Definitionen eigentlich sollen, und dass viele Studenten das Zentralfeuer der Mathematik nie brennen sehen. Dieses Paper möchte die Frage beantworten, was man eigentlich treibt in der (reinen) Mathematik. Nach Ansicht des Autors ist ein wesentlicher Punkt die Klassifikation, die man im Grunde im ersten Semester kennenlernt. Daher wird auch vieles anhand der Linearen Algebra erklärt werden. Insbesondere soll das Konzept der Kategorien eingeführt werden, das seit Mitte des 20. Jahrhunderts zu einem einheitlichem Verständnis der (reinen) Mathematik beigetragen hat und mit dem man Klassifikationsprobleme allgemein erfassen kann. Weiterhin sollen Invarianten und Äquivalenzen von Kategorien erklärt werden, die wesentliche Prinzipien der Klassifikation darstellen. Da dieses Paper hauptsächlich der Motivation und Illustration dient, wird nur wenig bewiesen und auch einiges nur angerissen. Für weitergehendes Interesse sind aber immer Literaturreferenzen angegeben. 2 Prinzip der Mathematik 2.1 Verallgemeinerung von Strukturen In der Mathematik begegnet einem oft das gleiche Prinzip: Man hat spezielle Strukturen und versucht, sie zu verallgemeinern und dann allgemein zu verstehen. Beispiel 2.1 (Lineare Algebra). In der Linearen Algebra betrachtet man Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen über einem Körper k, d.h. alle x k m mit Ax = b, wo b k n und A eine n m Matrix. Solche Lösungsmengen tragen die Struktur eines Untervektorraums des k m. Aber in der LA wird der Begriff des Vektorraums intrinsisch, d.h. unabhängig von einer Einbettung in einen k n, definiert. Dann untersucht man diese Struktur mit Hilfe von strukturerhaltenden Morphismen (hier: lineare Abbildungen). Dieses findet sich überall in der Mathematik: Man untersucht bestimmte Strukturen und strukturerhaltende Morphismen, z.b. (Mengen, Abbildungen)

3 2.2 Klassifikation von Objekten 3 (topologische Räume, stetige Abbildungen) (Gruppen, Gruppenhomomorphismen) (k-vektorräume, k-lineare Abbildungen) usw. Immer möchte man die Objekte verstehen und die Morphismen dazwischen. 2.2 Klassifikation von Objekten Meist möchte man die Objekte einer Struktur bis auf eine Äquivalenzrelation untersuchen, z.b. immer: bis auf Isomorphie bei top. Räumen: bis auf (schwache) Homotopieäquivalenz (s. [Jän80, Kap.V 1,2]) quadratische Matrizen bis auf Ähnlichkeit usw. Aber was heißt Isomorphie? Zwei Objekte X, Y mit strukturerhaltenden Morphismen f : X Y : g mit f g = id Y und g f = id X. Dieses kann man immer so sagen, egal welche der obigen Strukturen man untersucht. Das führt zu 2.3 Der Begriff der Kategorie Definition 2.1 (Kategorie). Eine Kategorie C = (ObC, MorC) besteht aus Objekten und Morphismen dazwischen, d.h. für X, Y ObC eine Menge Mor C (X, Y ) und eine Element darin wird mit f : X Y notiert. Es sollen die folgenden Axiome gelten: Zwei Morphismen f : X Y und g : Y Z soll man (assoziativ) komponieren können zu g f : X Z. Weiterhin soll es für alle X ObC einen Identitätsmorphismus id X geben, der bei Komposition nichts tut. Vergleiche auch zunächst [Jän80, Kapitel V 4] und später vielleicht [Mac98, Kapitel I 1,2]. Beispiel 2.2. Häufig (aber nicht immer) sind: ObC = Objekte einer Struktur, wie z.b. top. Räume, Gruppen, usw. MorC = strukturerhaltende Morphismen und die Komposition ist einfach Abbildungskomposition Also wie bei den Beispielen oben.

4 4 3 INVARIANTEN Wenn man also davon spricht, eine Struktur bis auf Isomorphie zu untersuchen, kann man sich auch abstrakt auf den Standpunkt stellen, dass man sich in einer Kategorie befindet. D.h. man kann sich ganz allgemein über Kategorien Gedanken machen wie in [Mac98] und das dann auf den gegebenen Fall anwenden, um konkrete Objekte einer Struktur zu untersuchen. 3 Invarianten Definition 3.1 (Invariante). Eine Invariante I ist eine Zuordnung X I(X) wo X ein Objekt der Struktur, die zu klassifizieren ist, mit der Eigenschaft: X Y I(X) = I(Y ) wobei die Äquivalenzrelation ist, bis auf die man klassifizieren möchte. Bemerkung 3.1. Der Trick bei Invarianten ist, dass man hofft, dass es leichter ist, die Invarianten zu verstehen als die Objekte selbst. Aber nun zu einigen Beispielen. 3.1 Invarianten in der Linearen Algebra In der Linearen Algebra I lernt man schon die folgende Invariante kennen, die Objekte klassifiziert. Beispiel 3.1 (Dimension). Zwei endlich-dimensionale k-vektorräume V und W sind genau dann isomorph, wenn dim k V = dim k W, denn dann sind sie beide zum k n isomorph durch Wahl einer Basis, wo n = dim k V = dim k W. D.h. die k-dimension stellt eine Isomorphieinvariante I(V ) = dim k V dar, bei der sogar gilt I(V ) = I(W ) V = W, was ja allgemein bei Invarianten nicht erfüllt sein muss. Damit gibt die k- Dimension über den Isomorphietyp vollständige Auskunft. In der Linearen Algebra II oder auch manchmal schon in LA I lernt man die Klassifikation der Endomorphismen für k algebraisch abgeschlossen kennen. Beispiel 3.2 (Jordan-Normalform). Die Jordan-Normalform (JNF) klassifiziert quadratische Matrizen bis auf Ähnlichkeit vollständig für k algebraisch abgeschlossen, denn sonst ex. die JNF ja i.a. nicht: Das charakteristische Polynom der Matrix muss ja zerfallen. D.h. die Invariante ist hier A JNF (A) und Ähnlichkeit. Mit einem anderen Blickwinkel stellt man

5 3.2 Funktorielle Invarianten als Beziehungen zwischen Strukturen 5 fest, dass das nicht anderes ist, als Endomorphismen bis auf Isomorphie zu klassifizieren. Genauer: End k (V ) entspricht ja unter Wahl einer Basis B gerade M n (k), den n n- Matrizen, via darstellender Matrix. Ähnlichkeit von Matrizen entspricht gerade den Orbiten der Gruppenoperation (S, A) SAS 1 von GL n (k) auf M n (k), was unter Wahl der Basis B gerade der Operation (g, f) gfg 1 von Aut k (V ) auf End k (V ) entspricht. D.h. die JNF klassifiziert die Orbiten dieser Gruppenoperation auf End k (V ). Aber wann sind zwei Endomorphismen f und h im gleichen Orbit? Genau dann, wenn g Aut k (V ) existiert mit f V V g V g h V kommutiert. Denn das heißt ja gerade h = gfg 1. Aber das wiederum heißt nichts anderes, als das f und h in folgender Kategorie C isomorph sind: ObC = End k (V ) und ein Element in Mor C (f, h) ist ein kommutatives Diagramm f V V g h V V wobei g End k (V ). Komposition von Morphismen ist einfach Hintereinanderschaltung zweier kommutativer Diagramme, was ja außen wieder ein kommutatives Diagramm gibt. Damit klassifiziert die JNF Endomorphismen bis auf Isomorphie. 3.2 Funktorielle Invarianten als Beziehungen zwischen Strukturen Invarianten dienen auch dazu um Beziehungen zwischen Strukturen festzustellen, d.h meist ist ja die Ausgangsstruktur eine Kategorie C und man kann sich fragen, ob man als Invariante eine Zuordnung I : C D zu einer zweiten Kategorie D einer Struktur wählen kann. Tatsächlich wird das sehr oft gemacht mit D eine algebraische Struktur wie (Gruppen) oder (Ringe). Das sind dann sogenannte algebraische Invarianten, wie sie in der algebraischen Topologie und der algebraischen Geometrie auftauchen (daher auch der Beiname algebraisch). g

6 6 3 INVARIANTEN Wenn aber Quelle und Ziel der Invariante Kategorien sind, möchte man auch die Morphismen abbilden und zwar so, dass die kategorielle Struktur respektiert wird, genauer: Eine Zuordnung mit X f Y C I(X) I(f) I(Y ) D I(f g) = I(f) I(g) und I(id X ) = id I(X). Eine solche Zuordnung auf Kategorien nennt man einen Funktor. Wenn aber die Invariante funktoriell ist, ist es sinnvoll die Forderung zu X Y I(X) = I(Y ) X Y I(X) = I(Y ) aufzuweichen, da es sonst praktisch nicht nutzbar ist. Das führt zur Definition 3.2 (Funktorielle Invariante). Eine funktorielle Invariante I ist ein Funktor I : C D mit X Y I(X) = I(Y ), wobei die Äquivalenzrelation in C ist, bis auf die man klassifizieren möchte. Bemerkung 3.2. Jeder Funktor ist eine funktorielle Isomorphieinvariante (leichte Übung: folgt sofort aus den Axiomen für einen Funktor). Das bedeutet, dass bei Klassifikation bis auf Isomorphie jeder Funktor als Invariante herhalten kann. 3.3 Funktorielle Invarianten in der (algebraischen) Topologie Sei C = (T op) die Kategorie der topologischen Räume und (Set) bzw. (Gr) die Kategorie der Mengen bzw. der Gruppen. Beispiel 3.3 (Zusammenhangskomponenten). π 0 : C (Set) mit π 0 (X) = [ S 0, X ] Homotopieklassen von stetigen Abbildungen S 0 X (s. [Jän80, Kap.V 1]) ist die Zuordnung auf die Weg-Zusammenhangskomponenten von X. Diese ist funktoriell wegen f : X Y (T op) induziert π 0 (f) [ π 0 (X) π 0 (Y ) g : S 0 X ] [ f g : S 0 Y ] in (Set).

7 3.4 Funktorielle Invarianten in der Gruppentheorie 7 Beispiel 3.4 (Fundamentalgruppe). π 1 : C (Gr) mit π 1 (X) = [ S 1, X ] Homotopieklassen (eigentlich punktiert) ist die Zuordnung auf die Fundamentalgruppe von X. Funktoriell wie bei π 0. Gruppenstruktur: Zwei Homotopieklassen von Schleifen in einem Punkt x 0 werden einfach hintereinander durchlaufen (vgl. [Jän80, Kap.IX 5]). Die Fundamentalgruppe dient dazu, Löcher zu detektieren, denn wenn es kein Loch gibt, ist die Fundamentalgruppe trivial: Alle Schleifen sind zusammenziehbar. Man spricht von einfach zusammenhängend. Bemerkung 3.3. π 0 und π 1 sind nicht nur als Funktoren Isomorphieinvarianten (vgl. Bemerkung 3.2), sondern auch Homotopieinvarianten, d.h. zwei homotopieäquivalente Räume haben das gleiche π 0 und π 1, was ja auch nach Definition plausibel ist. 3.4 Funktorielle Invarianten in der Gruppentheorie In der Gruppentheorie kennt man bestens die endlichen abelschen Gruppen (auch die endlich erzeugten), sie sind nämlich endliche direkte Summen von zyklischen Gruppen, genauer: Satz 3.1 (Struktursatz für endliche abelsche Gruppen). Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt: wobei p 1,..., p r prim und die p n i i G = Z/p n 1 1 Z... Z/pnr r Z, eindeutig bestimmt sind. Vergleiche hierzu auch [Mey80, Satz 2.3.2]. Die allgemeinen Gruppen kennt man aber nicht so gut. Etwas Abhilfe schafft da die Gruppenkohomologie: für jedes n N einen Funktor H n : (Gr) (Ab), d.h. eine Zuordnung G (H n (G)) n 0, wobei (Ab) die Kategorie der abelschen Gruppen ist. Hierbei gilt natürlich wieder (vgl. Bemerkung 3.2): G = H H n (G) = H n (H) n N Man untersucht also statt den Gruppen bis auf Isomorphie die zugeordneten abelschen(!) Kohomologiegruppen, die mit etwas Glück sogar endlich bzw. endlich erzeugt sind. Bemerkung 3.4. Eigentlich gehört zum Input der Gruppenkohomologie noch als Koeffizient ein linker G-Modul, d.h. eine abelsche Gruppe M mit einer Gruppenoperation von G, die kompatibel mit der Gruppenstruktur von M ist. Wer das ganz genau wissen will, kann in [Wei94, Kapitel 6] nachschauen.

8 8 4 ÄQUIVALENZ VON KATEGORIEN 4 Äquivalenz von Kategorien Es gibt Situationen, da sind zwei Kategorien von Strukturen absolut gleichwertig, was Untersuchung bis auf Isomorphie angeht. Diese besondere Beziehung wird durch spezielle Funktoren hergestellt. Das führt zu Definition 4.1 (Äquivalenz von Kategorien). Eine Äquivalenz von Kategorien ist ein Funktor F : C D mit den Eigenschaften: 1. Für alle A ObD existiert ein X ObC mit F (X) = A. 2. Gegeben X, Y ObC, dann kommt ein Morphismus genau von einem Morphismus her via F, d.h. F (α) = f. f : F (X) F (Y ) D α : X Y C 3. Die Korrespondenz in 2 ist kompatibel mit Morphismenkomposition in C Lemma 4.1. Sei F : C D eine Äquivalenz von Kategorien. Dann entspricht ein Morphismus f : A B D nach eventueller isomorpher Ersetzung genau einem in C via F, d.h. es existiert ein kommutatives Diagramm = A F (X) g f B = F (Y ) in D, so dass g von genau einem Morphismus α : X Y C herkommt via F, d.h. F (α) = g. Das Ganze soll verträglich sein mit der Morphismenkomposition in D. Beweis. Man führe die isomorphe Ersetzung der Objekte wie in Axiom 1 durch und ergänze einfach das Diagramm kommutativ mit g. Die Korrespondenz der Morphismen folgt aus Axiom 2 und die Veträglichkeit aus Axiom 3. Die Definition einer Äquivalenz von Kategorien ist nicht so unsymmetrisch wie sie aussieht, denn:

9 4.1 Eine Äquivalenz in der Linearen Algebra 9 Korollar 4.1. Für eine Äquivalenz von Kategorien F : C D existiert eine Äquivalenz von Kategorien G : D C. Beweis. Auf Objekten wirkt G einfach durch Wahl eines Urbilds aus Axiom 1 und auf Morphismen wie Lemma 4.1 sagt. G ist dann ein Funktor wegen der Verträglichkeit mit Morphismenkomposition in D und erfüllt die drei Axiome (Übungsaufgabe). Bemerkung 4.1. D.h. für die Praxis (bis auf Isomorphie untersuchen) ist C genauso gut wie D: Man wechselt einfach mit den beiden Äquivalenzen F und G hin und her. Bemerkung 4.2. Es gibt noch mindestens 2 äquivalente Definitionen für die Äquivalenz von Kategorien. Ich habe diese gewählt, da sie sehr gut den praktischen Nutzen illustriert. Die anderen Definitionen finden sich in [Mac98, Kapitel IV 4]. 4.1 Eine Äquivalenz in der Linearen Algebra Beispiel 4.1 (Darstellende Matrix). Sei Vect k die Kategorie der endlichdimensionalen k-vektorräume mit Basiswahl und linearen Abbildungen als Morphismen, d.h. die Objekte sind Tupel (V, B), wobei V endlich-dimensionaler k-vektorraum und B eine Basis, und ein Morphismus (V, B) (W, A) einfach eine lineare Abbildung V W. Sei nun weiter Kan k die Kategorie der kanonischen k-vektorräume k n mit n N und Matrizen als Morphismen mit Matrizenmultiplikation als Mophismenkomposition, d.h. die n m-matrizen über k. Betrachte nun Mor Kank (k n, k m ) = M(n, m, k) ι : Kan k Vect k mit ι (k n ) = (k n, (e 1,..., e n )) die kanonische Inklusion mit Wahl der kanonischen Basis, sowie ι (A) = f A die durch eine n m-matrix A auf k n k m induzierte kanonische Abbildung. Dieses macht ι zu einem Funktor und zu einer Äquivalenz von Kategorien, denn: Für alle (V, B) Vect k gilt: via B ist (V, B) = (k n, (e 1,..., e n )) = ι (k n )

10 10 4 ÄQUIVALENZ VON KATEGORIEN Also ist Axiom 1 erfüllt. Ein Morphismus f : (k n, (e 1,..., e n )) (k m, (e 1,..., e m )) ist ja bekanntlich genau das gleiche wie ein A M n (k) via darstellender Matrix bzgl. der beiden kanonischen Basen. Also kommt f genau von A her via ι, da f = f A = ι(a), und damit ist Axiom 2 erfüllt. Axiom 3 stimmt wegen f A B = f A f B nach Eindeutigkeit der darstellenden Matrix. Die Interpretation von Lemma 4.1 bedeutet hier einfach (V, B) f (W, A) = via B ι (k n ) f A =ι(a) = via A ι (km ) D.h. die isomorphe Ersetzung ist einfach die darstellende Matrix. Die zugehörige Äquivalenz aus Korollar 4.1 ist π : Vect k Kan k mit π (V, B) = k n, wobei V = k n via B, und π (f : (V, B) (W, A)) = A die darstellende Matrix von f bezüglich B und A. Mit anderen Worten heißt das ja: Es ist in der Praxis das gleiche, lineare Abbildungen zu untersuchen, wie Matrizen. Man springt in der Linearen Algebra ständig hin und her via den Funktoren ι und π. Bemerkung 4.3. Eigentlich haben wir eine Anwendung dieser Äquivalenz schon gesehen in Beispiel 3.2, denn dort hat man ja für ein Objekt (V, B) Vect k die Elemente in End k (V ) = Mor Vectk ((V, B), (V, B)) bis auf Isomorphie klassifiziert, indem man einfach die Elemente in π (End k (V )) = M n (k) via B durch die Jordan-Normalform bis auf Ähnlichkeit klassifiziert hat und damit via ι zurück die Elemente in End k (V ) bis auf Isomorphie. 4.2 Eine Äquivalenz in der algebraischen Geometrie Beispiel 4.2 (Der Koordinatenring). Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Weiter sei C die Kategorie der affinen Varietäten über k, d.h. Objekte sind gegeben durch Primideale I k [X 1,..., X n ] in einem Polynomring in endlich vielen Variablen (wobei auch n N variiert), und zwar als Nullstellenmenge aller dieser Polynome aus I im k n, notiert V (I). Die

11 LITERATUR 11 Morphismen sind nachzulesen in [Sch06, Kapitel 1.4] oder auch in [Mum99, Kapitel I 3]. Sei D die Kategorie der endlich erzeugten nullteilerfreien k- Algebren. Dann ist F : C D mit F (V (I)) = k [V (I)] = k [X 1,..., X n ] /I der Koordinatenring eine Äquivalenz von Kategorien mit G (R = k [X 1,..., X m ] /I) = V (I) k m dem zugehörigen Funktor aus Korollar 4.1 nach [Sch06, Kapitel 3.1] oder auch [Mum99, Kapitel I 3 Proposition 2]. Literatur [Jän80] Klaus Jänich. Topologie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, [Mac98] Saunders MacLane. Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, New York, second edition, [Mey80] Kurt Meyberg. Algebra, Teil 1. Carl Hansen Verlag, München Wien, [Mum99] David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2nd expanded edition, [Sch06] Lars Scheele. Was ist was - Algebraische Geometrie. lars/mitternacht.pdf, [Wei94] Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.