Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin.

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1 Randomisierte Algorithmen Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. John von Neumann, / 59

2 Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen 14. Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2018/ / 59

3 Überblick Überblick Allgemeines Konkrete Generatoren für Tests für 3 / 59

4 Allgemeines Überblick Allgemeines Konkrete Generatoren für Tests für 4 / 59

5 Allgemeines Wünsche 5 / 59

6 Allgemeines Wünsche schnelle Erzeugbarkeit lange (gar keine?) Periode Reproduzierbarkeit portable Implementierbarkeit schnelles Vorwärtsspringen 5 / 59

7 Allgemeines Wünsche schnelle Erzeugbarkeit lange (gar keine?) Periode Reproduzierbarkeit portable Implementierbarkeit schnelles Vorwärtsspringen auch von der zyklischen Folge 0, 1,...,m 1, 0, 1... erfüllt. große Aufgabe: Zahlen sollen zufällig aussehen 5 / 59

8 Allgemeines Wünsche: konkreter 1. Die Zufallszahlen sollen, etwa in [0; 1[, gleichverteilt sein. 2. Die Zufallszahlen sollen unabhängig voneinander sein. 1. unter Umständen noch zu garantieren; 2. im allgemeinen verletzt man ist zufrieden, wenn die erzeugten Zahlen unabhängig aussehen statistische Abhängigkeiten sollen nicht einfach feststellbar sein diese/andere Eigenschaften abhängig von Anwendung unterschiedliche Anforderungen z. B. für Monte-Carlo- Simulationen versus Kryptographie 6 / 59

9 Allgemeines Physikalische Prozesse zur Erzeugung von Zufallszahlen: keine Gleichverteilung keine Unabhängigkeit keine Reproduzierbarkeit 7 / 59

10 Allgemeines (Pseudo-)Zufallszahlengenerator (PRNG) Struktur G = (S, s 0,T,U, G) mit folgenden Komponenten: einer endliche Menge S von Zuständen, einem Anfangszustand s 0 S, einer Überführungsfunktion T : S S, einer Menge U von Ausgabewerten und einer Ausgabefunktion G : S U. Generator beginnt in Zustand s 0 und durchläuft Zustände s 1, s 2,..., mit s i+1 = T (s i ) produziert in Zustand s i Ausgabe u i = G(s i ) 8 / 59

11 Allgemeines PRNG (2) Zustandsmenge S endlich = Folge s 0, s 1, s 2,... und Folge der Ausgaben wird schließlich zyklisch Länge ρ des Zyklus heißt auch Periodenlänge des PRNG. 9 / 59

12 Allgemeines Bauplan vieler Generatoren Zustandsmenge: Z m = {0, 1,...,m 1} Ausgabefunktion: u i = s i /m Rundung? Ausgabewerte: reelle Zahlen im Intervall [0; 1[ oder [0; 1] immer überprüfen! Bei aufwändigeren Generatoren: Zustand besteht aus k > 1 Zahlen (x i, x i 1,..., x i k+1 ) kleiner m Ausgabefunktion: z. B. u i = x i /m. 10 / 59

13 Konkrete Generatoren für Überblick Allgemeines Konkrete Generatoren für Tests für 11 / 59

14 Konkrete Generatoren für Von Neumanns Middle-square-Generator b-bit Zahlen. Startwert x 0 aus x n 1 ergibt sich x n so: Man schreibt das Quadrat von x n 1 als 2b-Bit Zahl. Die mittleren b Bits bilden x n. Generator praktisch unbrauchbar: Periodenlänge zu klein 12 / 59

15 Konkrete Generatoren für Muddle-square-Generator von Blum/Blum/Shub Verallgemeinerung von Levin: Alle Zahlen sind r Bits lang. m: Produkt zweier großer Primzahlen der Form 4l + 3. x 0 relativ prim zu m. Zahl z als Maske Sind die Dualzahldarstellungen x = (a r 1 a 0 ) 2 und z = (b r 1 b 0 ) 2 gegeben, so sei x z = a r 1 b r a 0 b / 59

16 Konkrete Generatoren für Muddle-square-Generator (2) Levins Generator: x n+1 = x 2 n (mod m) u n+1 = x n+1 z (mod 2) Satz Bei zufälliger Wahl von x 0, m und z übersteht der Generator alle statistischen Tests, die nicht mehr Zeit benötigen als das Faktorisieren natürlicher Zahlen. Generator von Blum/Blum/Shub: z = 1 in der Praxis anscheinend keine große Bedeutung 14 / 59

17 Konkrete Generatoren für Lineare Kongruenzgeneratoren LCG festgelegt durch Anfangswert x 0, Modulus m, Multiplikator a Inkrement c Regel x n = ax n 1 + c (mod m) LCG heißt multiplikativ (MLCG), wenn c = / 59

18 Konkrete Generatoren für LCG (2) Satz Der LCG mit x n = ax n 1 + c (mod m) hat genau dann volle Periodenlänge, wenn gilt: ggt(m, c) = 1, q prim und q m = q a 1 und 4 m = 4 a / 59

19 Konkrete Generatoren für RANDU LCG mit a = 65539, c = 0 und m = 2 31 schlecht lange im IBM/360 Betriebssystem benutzt Periodenlänge 2 29 schlechte Gitterstruktur (siehe später) 17 / 59

20 Konkrete Generatoren für Unix rand und Co. rand Standard-LCG mit a = , c = 12345, m = 2 31 und x 0 = schlecht vor allem die niedrigwertigen Bits der erzeugten Zahlen drand48 LCG mit m = 2 48, a = und c = 11. volle Periodenlänge Besser als rand, aber auch er besteht manche statistische Tests nicht. 18 / 59

21 Konkrete Generatoren für guter LCG von Marsaglia LCG mit a = c = 1 m = / 59

22 Konkrete Generatoren für Mehrfach rekursive Generatoren (MRG) x n = a 1 x n a k x n k+1 (mod m) Konstanten a 1,..., a k aus dem Bereich { (m 1),...,m 1} 20 / 59

23 Konkrete Generatoren für Lagged Fibonacci generators (LFG) Spezialfälle der MRG: Name wegen: zu schlecht besser: x n = x n 1 + x n 2 (mod m) x n = x n r + x n s (mod m) für geeignete Zahlen r und s statt Addition auch andere Operationen möglich 21 / 59

24 Konkrete Generatoren für Anmerkungen zu LFG Exklusives Oder in LFG ist schlecht. Lange Zeit galt (r, s) = (24, 55) und Addition als gut. für m = 2 e Periodenlänge 2 e 1 (2 55 1) allerdings z. B. die niedrigstwertigen Bits der x i nicht gut verteilt. Marsaglia (1985) schlägt einige Varianten vor 22 / 59

25 Konkrete Generatoren für MRG von L Ecuyer x n = x n x n x n 3 mod (2 31 1)( ) 23 / 59

26 Konkrete Generatoren für Satz Ein MRG hat maximale Periodenlänge ρ = m k 1, falls m prim ist und das charakteristische Polynom P(z) = z k a 1 z k 1 a k primitives Polynom des Körpers Z m ist. 24 / 59

27 Konkrete Generatoren für Inverser Kongruenzgenerator (ICG) p sei prim ICG festgelegt durch x n+1 = (ax 1 n + c) (mod p) für x i = 0 sei festgelegt: 0 1 = 0 bemerkenswert gute theoretische Eigenschaften bestehen empirische Tests mit sehr guten Ergebnissen. Nachteil: nicht ganz einfache Implementierung (Geschwindigkeit des Generators?) konkrete Parameter für gute ICG unter mat.sbg.ac.at/generators/wsc95/inversive/. 25 / 59

28 Konkrete Generatoren für Mersenne-Twister (Matsumoto/Nishimura) alle Zahlen sind Bitvektoren der Länge w r ist eine Zahl mit 0 r w 1 zwei Zahlen k und m mit 1 m < k w w-matrix A geeignet gewählt x l n+1 : die unteren (lower) r Bits von x n+1 xn: u die oberen (upper) w r Bits von x n xn u xn+1 l : die Konkatenation der beiden Bitfolgen dann: x n+k = x n+m (xn u xn+1 l )A. 26 / 59

29 Konkrete Generatoren für Mersenne-Twister (2) MT19937: konkrete Implementierung eines Mersenne-Twisters Periodenlänge ausgezeichnete Eigenschaften bei statistischen Tests mehr: ~m-mat/mt/emt.html wird z.b. in Python (seit 2.3), R, Ruby, matlab, C++ 11, etc. eingesetzt auch MT noch verbesserungsfähig Arbeit von Panneton, L Ecuyer, Matsumoto: papers/wellrng.pdf WELL-Generatoren: teils noch längere Periode, und noch bessere Eigenschaften als MT: http: // 27 / 59

30 Konkrete Generatoren für Der Zellularautomat Regel 30 als PRNG Feld von k Bits x k 1,..., x 1, x 0 berechne neue Werte y 0,...,y k 1 gemäß Regel 30 : x i+1 x i x i y i alle Indexrechnungen i 1 und i + 1 modulo k die y i bilden die Werte x i für den nächsten Schritt. Name wegen der Folge der Bits für die y i in Mathematica eine der Möglichkeiten 28 / 59

31 Konkrete Generatoren für Regel 30 (2) guter Generator, wenn k groß genug (in Mathematica: einige Hundert) Anfangskonfiguration mit mindestens einer 1 zunächst größere Zahl von Initialisierungsschritten in einer fest gewählten Zelle die Folge der durchlaufenen Werte benutzt wird Generator besteht z. B. alle Test in Marsaglia s diehard Test (Schloissnig, 2003) 29 / 59

32 Konkrete Generatoren für Kombination mehrerer Generatoren Idee: baue einen neuen Generator aus mehreren alten häufig: größere Periodenlänge manchmal besseres statistisches Verhalten zwei Kombinationsverfahren gerne verwendet: / 59

33 Konkrete Generatoren für Shuffling zwei Generatoren für Zahlenfolgen x i und y i. Tabelle mit einer gewissen Anzahl zuletzt erzeugter x i. wenn nächster Wert benötigt: benutze nächstes y j, um zufällig Wert aus Tabelle zu wählen entsprechender Platz wird mit nächstem neuen x i gefüllt Nachteile: theoretisch nicht gut verstanden schnelles Überspringen von Werten unklar 31 / 59

34 Konkrete Generatoren für zweite Kombinationsmethode aus Zufallsfolgen x 0, x 1,... und y 0,y 1,... erzeuge neue Folge z 0 = x 0 y 0, z 1 = x 1 y 1,... Periodenlänge kann größer werden Uniformität der Verteilung im allgemeinen besser (Pseudo-)Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Werte im allgemeinen größer 32 / 59

35 Tests für Überblick Allgemeines Konkrete Generatoren für Tests für 33 / 59

36 Tests für Qualität von PRNG Wie stellt man fest, ob ein PRNG gut ist? Was heißt überhaupt gut? verschiedene Tests 34 / 59

37 Tests für Tests Testergebnisse sind üblicherweise Zahlen (z.b. zwischen 0 und 1), die als Qualitätsangabe interpretiert werden können. theoretischer Test: Werte explizit berechenbar empirischer Test: untersuche lange Folge erzeugter Zufallszahlen 35 / 59

38 Tests für Chi-Quadrat-Statistik s 1,..., s k : mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments, die mit Wahrscheinlichkeiten p 1,..., p k auftreten. n unabhängige Zufallsexperimente: Y i : absolute Häufigkeit, mit der Ergebnis s i auftritt also i Y i = n und E [Y i ] = np i. χ 2 -Statistik der beobachteten Größen Y 1,..., Y k : V = k (Y i E [Y i ]) 2 i=1 E [Y i ] 36 / 59

39 Tests für Chi-Quadrat-Statistik (2) Einsetzen von E [Y i ] = np i ergibt V = k (Y i np i ) 2 i=1 np i = k i=1 Y 2 i 2Y i np i + n 2 p 2 i np i = 1 n k i=1 Y 2 i p i 2n + n = 1 n k i=1 Y 2 i p i n. 37 / 59

40 Tests für Chi-Quadrat-Statistik (3) Wie ist die Größe V verteilt? Tabellen mit Näherungswerten enthalten für jedes ν = k 1 (Anzahl der Freiheitsgrade) eine Zeile für einige p, z. B. 1%, 5%,..., 99% eine Spalte Beachte: Anzahl n geht nicht ein; muss groß genug sein; Daumenregel: n so groß, dass jedes s i 5. dann besagt Wert x in Zeile ν = k 1 und Spalte p: V ist kleiner oder gleich x mit Wahrscheinlichkeit p. 38 / 59

41 Tests für Chi-Quadrat-Statistik: Beispiel 1 p ν = ist k = 12, also ν = 11, und hat man in einer Versuchsreihe Wert V = ermittelt, dann liest man aus der Tabelle ab: In 99% der Fälle ist V 24.72, also ist V > und erst recht V > in höchsten einem Prozent der Fälle. Also: Es ist sehr unwahrscheinlich, dass die Versuchsreihe der angenommenen Verteilung genügt. 39 / 59

42 Tests für Chi-Quadrat-Statistik: Beispiel 2 p ν = Wenn die Y i alle sehr sehr gut den Erwartungswerten entsprechen, dann ist V klein, etwa V = Tabelle: auch das passiert in weniger als 1% der Fälle 40 / 59

43 Tests für Kolmogorov-Smirnov-Test (KS-Test) gegeben: n unabhängige Zufallsexperimente mit Ergebnissen X 1,..., X n. diese induzieren eine empirische Verteilungsfunktion F n (x) = {i X i x} n Zum Vergleich mit einer vorgegebenen kontinuierlichen Verteilungsfunktion F(x) berechnet man die Größen. K n + = n max (F n(x) F(x)) <x<+ Kn = n max (F(x) F n(x)) <x<+ und 41 / 59

44 Tests für Kolmogorov-Smirnov-Test (2) Für die K + n und K n gibt es wieder Tabellen mit Zeilen für verschiedene n und Spalten für verschiedene p: Wert x in Zeile n und Spalte p: K ist kleiner oder gleich (bzw. größer) x mit Wahrscheinlichkeit p. mögliche Anwendung: zunächst mehrere χ 2 -Tests Verteilung für χ 2 (jedenfalls näherungsweise) bekannt auf die sich ergebenden Wahrscheinlichkeiten KS-Test anwenden analog: Verteilung der K n ist (näherungsweise für große n) bekannt und darauf weiterer KS-Test anwendbar. 42 / 59

45 Tests für Einfache empirische Tests Ziele: Informationen über die vermutliche Art der Verteilung die Un-/Abhängigkeit der erzeugten Zahlen eventuelle Korrelationen Frei verfügbare Programmpakete zum Beispiel: Diehard: dieharder: https: // TestU01: testu01/tu01.html enthält auch Implementierungen von fast 200 PRNG ( some are good and many are bad ) NIST statistical test suite: http: //csrc.nist.gov/groups/st/toolkit/rng/index.html 43 / 59

46 Tests für Vereinbarung U 0,U 1,... Folge reeller Zahlen, angeblich unabhängig und gleichverteilt in [0,..., 1[. Werden für einen Test nichtnegative ganze Zahlen benötigt, dann statt dessen die Folge der Y i = du i (für geeignetes d N) 44 / 59

47 Tests für EinfacheTest am simpelsten: stelle fest, ob unter den Y i jeder mögliche Wert 0,..., d 1 gleich oft vorkommt. Serial Test: analog für Paare, Tripel, etc. beachte: benutze nicht überlappende Vektoren Y i = (Y si, Y si+1,... Y si+s 1 ) (und nicht Vektoren, die sich überlappen) 45 / 59

48 Tests für Lückentest (gap test) zwei relle Zahlen 0 α < β 1 gegeben Betrachte die Längen der maximalen Teilfolgen U j,...,u j+r, so dass α U j+r β aber alle vorherigen Werte nicht. Man spricht dann von einer Lücke der Länge r. Für p = β α ist p r = p(1 p) r die Wahrscheinlichkeit für eine Lücke der Länge r. χ 2 -Test anwendbar 46 / 59

49 Tests für Permutationstest betrachte nicht überlappende Vektoren U i = (U si,u si+1,...u si+s 1 ) bestimme Permutation π der Indizes, die die Komponenten sortiert. erstelle Statistik, welche Permutation wie häufig auftritt vergleiche mit der theoretisch gegebenen Gleichverteilung 47 / 59

50 Tests für Maximum-of-t Test Berechne die Größen V i = max{u si,u si+1,...u si+s 1 } Falls die U j gleichverteilt sind, ist P(V i x) = P(max{U si,u si+1,...u si+s 1 } x) = P ( U si+j x ) = x s. Diese Hypothese kann mit einem KS-Test überprüft werden. 48 / 59

51 Tests für Geburtstagsabstandstest (birthday spacings test) gegeben: Pseudozufallszahlen Y 1, Y 2,..., Y m aus {1,..., n} Z 1, Z 2,..., Z m : die Zahlen aufsteigend sortiert berechne die Abstände S i = Z i+1 Z i Sei R = {Si j < i : S j = S i } die Anzahl der mehrfach vorkommenden Abstände. R näherungsweise Poisson-verteilt mit Parameter λ = m 3 /(4n). χ 2 -Test Lagged-Fibonacci-Generatoren (z. B. x n = x n 24 + x n 55 (mod 2 e )) haben üblicherweise Probleme mit dem Geburtstagsabstandstest. 49 / 59

52 Tests für Weitere Tests betrachte (besonders) schlechten PRNG x n+1 = 85x n + 2 (mod 256) mit Ausgabefunktion u n = x n /256. zeichne überlappende Paare (u i,u i+1 ) im Einheitsquadrat: 50 / 59

53 Tests für Weitere Tests betrachte (besonders) schlechten PRNG x n+1 = 85x n + 2 (mod 256) mit Ausgabefunktion u n = x n /256. zeichne überlappende Paare (u i,u i+1 ) im Einheitsquadrat: 1 "85x+2_mod_256" Gitterstruktur Tritt bei linearen Kongruenzgeneratoren aber auch bei einigen anderen Generatorarten auf. 50 / 59

54 Tests für Spektraltest für Dimension s s-dimensionale überlappende Vektoren u i = (u i,u i+1,...,u i+s 1 ) im Einheitshyperwürfel ermittle d s = maximaler Abstand zwischen zwei Hyperebenen, genommen über alle Familien paralleler Hyperebenen im Einheitswürfel, die alle Punkte u i beinhalten. je kleiner ein d s ist, als desto besser der Generator (hinsichtlich Dimension s) 51 / 59

55 Tests für Diskrepanz und Sterndiskrepanz N Vektoren u i = (u i,u i+1,...,u i+s 1 ) im Einheitshyperwürfel für Menge R = s j=1 [α j, β j [ mit 0 α j < β j 1 sei I(R) die Anzahl der u i, die in R liegen, und V (R) = s j=1 (β j α j ) das Volumen von R. s-dim. Diskrepanz D (s) N D (s) N der Punkte u 0,..., u N 1 ist = max V (R) I(R)/N. R Sterndiskrepanz D (s) N : nur R mit einer Ecke im Nullpunkt Punkteverteilung zu ungleich : zu große Diskrepanz Punkteverteilung zu gleichmäßig : zu kleine Diskrepanz 52 / 59

56 Tests für Näheste-Paare-Test (nearest pair test) erzeuge zufällig n Punkte im s-dimensionalen Einheitshyperwürfel bestimme das Minimum D der (euklidischen) Abstände zwischen je zwei Punkten. bekannt: Für große n ist T = n 2 D s /2 exponentiell verteilt mit Erwartungswert 1/V s, wobei V s Volumen der s-dimensionalen Einheitskugel 53 / 59

57 Tests für Ränge zufälliger Boolescher Matrizen Eine echt zufällig mit Nullen und Einsen gefüllte m n-matrix hat Rang r mit 1 r min(m, n) mit Wahrscheinlichkeit r 1 2 (n r)(m r) i=0 (1 2 i n )(1 2 i m ) 1 2 i r. insbesondere: nutze für die Bits jeweils einer Zeile der Matrix die Bits einer Pseudozufallszahl. 54 / 59

58 Tests für OPSO-Test (overlapping pairs sparse occupancy test) fasse je 10 Bits als ein Symbol aus einem 1024-elementigen Alphabet auf erzeuge solche Symbole und prüfe alle 2 21 überlappenden Paare auf fehlende Symbolpaare bekannt: Deren Zahl ist normalverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung / 59

59 Tests für weitere Tests... Marsaglia schlägt auch noch andere Tests vor, bei denen allerdings nicht klar ist, welches die korrekten theoretischen Werte sind, mit denen die empirischen Ergebnisse verglichen werden müssen. Die Vergleichswerte bestimmt er daher ebenfalls mit der Hilfe von PRNGs. hmmm / 59

60 Tests für weitere Tests... Marsaglia schlägt auch noch andere Tests vor, bei denen allerdings nicht klar ist, welches die korrekten theoretischen Werte sind, mit denen die empirischen Ergebnisse verglichen werden müssen. Die Vergleichswerte bestimmt er daher ebenfalls mit der Hilfe von PRNGs. hmmm... L Ecuyer: Das ist akzeptabel, solange viele vermutlich gute Generatoren zu übereinstimmenden Zahlen kommen, die als Ersatz für die fehlenden theoretischen Werte genommen werden. 56 / 59

61 Tests für OQSO Test (overlapping quadruples sparse occupancy) analog zum OPSO-Test, aber Quadrupel von Symbolen über einem 32-elementigem Alphabet. auch hier Erwartungswert nur experimentell bestimmbar. 57 / 59

62 Tests für Parking lot test mein Lieblingstest: Hubschrauber parken 58 / 59

63 Tests für Parking lot test mein Lieblingstest: Hubschrauber parken gegeben: z. B. ein Quadrat mit Seitenlänge 100 darauf sollen Einheitskreise ( Hubschrauber von oben gesehen ) an zufällig gewählten Stellen u i positioniert ( geparkt ) werden. wähle u i als Mittelpunkt des Kreises, sofern der sich nicht mit schon festgelegten Kreisen schneidet. Man macht n Versuche und zählt, wie oft ein Kreis ohne Kollision positioniert werden konnte. 58 / 59

64 Tests für Auf Wiedersehen! 59 / 59